Dinâmica e Vibração - Análise de Sistemas de Frenagem para Locomotivas

Nome do alunoa Matrícula Período Turma Professora IMPORTANTE A resolução dessa atividade poderá ser digital enviada em formato PDF ou escrita nesse último caso as folhas de resposta deverão ser escaneadas agrupadas e enviadas em formato PDF Todas as respostas devem conter as hipóteses e simplificações adotadas Resposta trechos imagens gráficos etc copiados da internet sem a devida referência serão penalizados A atividade é individual portanto cálculos textos e respostas integralmente ou parcialmente iguais terão suas pontuações divididas entre o número de cópias Todas as perguntas devem ser respondidas de forma crítica e analítica não devendo ser respondida apenas com um cálculo qualquer Podem apresentar texto argumentativos eou gráficos que devem ser explicados Todas as datas e horários dos fóruns estão disponíveis no Portal Acadêmico Todas as demais regras estão contidas na Manual do Aluno Regimento Institucional e Portarias disponível a todos Nota obtida Uma locomotiva ao final da linha para conseguir entrar em repouso deve colidir com um sistema externo que auxilie sua parada Diversos aparelhos podem ser utilizados para esse fim As Figuras abaixo mostram diferentes arranjos Figura A Figura B Figura C Figura D Para todas as Figuras considere Massa da locomotiva m 10 toneladas Velocidade inicial Vo 234 kmh Rigidez da mola 1 k1 120000 Nm Rigidez da mola 2 k2 100000 Nm Coeficiente de amortecimento c2 5000 Nsm Considerando uma locomotiva se deslocando sem atrito sem a resistência do ar responda 1 Determine para cada caso a a equação de movimento xt b o deslocamento máximo c a posição e o valor da velocidade máxima d a posição e o valor da aceleração máxima e o tipo de sistema subamortecido crítico ou superamortecido 2 Qualis arranjos apresentariam melhor desempenho para a finalidade requerida Justifique sua resposta 3 Refaça as questões 1 e 2 se a velocidade da locomotiva for aumentada em 20 e sua massa reduzida em 10 4 Na Figura D depois de quanto tempo a amplitude da oscilação será menor que 5 cm Vibrações Fenômeno em que o sistema se desloca e retorne a uma mesma posição se desloca novamente e retorna novamente a mesma posição e assim sucessivamente Essa posição em que o sistema sempre retorna na inexistência de uma força externa é chamado de posição de equilíbrio estável O movimento oscilatório é possível graças à existência de forças de restituição presentes no sistema A mola por exemplo caso seja ideal absorve a energia do movimento armazena e devolve descarrega depois Amortecimento É a capacidade de dissipar a energia neste caso a de movimento O sistema de amortecimento influencia no tamanho o termo real é amplitude das vibrações Configuração A Sistema com 1 GDL todos grau de liberdade considerando que o dispositivo de parada possua um mecanismo de fixação com a locomotiva após o contato entre elas Considerando que a locomotiva tem velocidade X0 e aceleração inicial X0 Não ocorre a dissipação de energia por atrito ou devido a resistência do ar As considerações acima valem para todas as configurações Do princípio da conservação da energia sabese que Para todos os estados o somatório de todas as energias envolvidas é constante No estado 1 existe apenas a energia cinética da locomotiva A mola não possui deformação portanto não possui energia potencial elástica Ep No estado 2 o carro ainda possui Ec mas com o contato com a mola essa energia começa a ser transferida para a mola No estado 3 a locomotiva finalmente para Ec0 e a deformação na mola é máxima ou seja a mola tem Ep máxima Os estados que nos interessa são a partir do 2 quando inicia a interação a troca de energias entre a mola e o carro Então Do princípio da conservação da energia o somatório de Ec mais o somatório de Ep deve ser constante para todos os estados ΣEc ΣEp constante derivando no tempo t os dois lados da equação temse ddt 12 m v2 12 kx2 ddt C 0 m2 ddt v2 k2 ddt x2 0 m2 2 v dvdt k2 2 x dxdt 0 m v a k x v 0 v ma kx 0 ma kx 0 reescrevendo a equação na forma diferencial a d2xdt2 md2xdt2 kxt 0 x km x 0 equação diferencial ordinária homogênea 4ª ed p54 Vibrações mecânicas RAO tem todo o passo a passo Suponto uma solução da seguinte forma linear de ordem 2º Xt a sen bt c cos bt Xt a cos bt b c sen bt b Xt a b2 sen bt c b2 cos bt Substituindo na EDO m a b2 sen bt c b2 cos bt k a sen bt c cos bt 0 m b 2 a sen bt c cos bt k a sen bt c cos bt 0 k m b2 a sen bt c cos bt 0 1 k m b2 0 k m b2 b sqrtkm omegan onde omegan frequência natural Suponto que em t 0 X0 Xo posição inicial do carro X0 a sen omegan0 c cos omegan0 Xo c Xo 0 Suponto que em t0 X0 Vo velocidade inicial do carro X0 a wn cos wn0 c wn sen wn0 Vo a Voomegan 0 A solução geral da EDO é então Xt Voomegan sen omegan t Xo cos omegan t Considerando Xo 0 Xt Voomegan sen omegan t 65346 sen 346 t 188 sen 346 t Xt 1b O deslocamento máximo acontece quando Xt é maximo Do teste da 1ª derivada Xt Voomegan cos omegan t 0 Vo cos omegan t Xt 0 Vo cos omegan t 0 omegan t npi2 n 1 3 5 t npi2 1omegan npi2 omegan tempo em que a amplitude do deslocamento é máximo Para n1 Xmax Xnpi2 omegan Voomegan sen omegan pi2 omegan Vo 234 Kmh 65 ms Vo 36 omegan sqrt12000010000 346 1s em t 0454s Xmax 65346 senpi2 1879 m 1c A velocidade máxima acontece quando dvdt 0 dvdt xt ddt Vo cos omegan t Vo 1 sen omegan t omegan Vo omegan sen omegan t 0 sen omegan t 0 quando omegan t npi t npiomegan para n1 t piomegan Xt Voomegan sen omegan piomegan 0 Xt Vo cos omegan piomegan Vo 1 Vo negativo porque está se deslocando no sentido oposto do eixo de referencia A velocidade máxima é Vo 234 Kmh e acontece em X 0 e t piomegan 091 s Velocidade máxima no dobro do tempo em que ocorre o deslocamento máximo 1d a aceleração é máxima quando dadt 0 ddt Xt ddt Vo wn sen wn t Vo wn2 cos wn t 0 cos wn t 0 wn t npi2 t npi2 wn n 135 Para n1 t pi2 wn Substituindo em Xt Xpi2 wn Vo wn sen wn pi2 wn Vo wn a max 65346 ja calculado em b X0454 0 m aceleração negativa porque é uma desaceleração máxima que está acontecendo em X0 t o454s 1e1 O sistema não é amortecido pois não possui sistema de dissipação de energia ou seja o conjunto locomotivamola oscila indefinidamente Configuração B As molas estão em paralelo então significa que a energia potencial elástica é a Soma da Ep de cada mola equação 1 E o carro se desloca ou deforma as molas de forma igual para as duas independente do valor da rigidez das molas equação 2 1 Ep Ep1 Ep2 k1 X122 k2 X222 2 Para determinar uma única mola que funcione como as molas 1 e 2 em paralelo sua energia potencial deve ser igual a keq X22 k1 X12 k2 X22 keq X2 Sabendo que X1 X2 X equação 2 k1 k2 X2 keq X2 keq k1 k2 Da conservação da energia temse a mesma equação diferencial da configuração A com k alterado para keq x keqm x 0 A solução desta EDO é Xt Voomegan sen omegan t X0 cos omegan t onde omegan sqrtkeqm sqrtk1 k2m a Considerando que X0 X0 0 Xt Voomegan sen omegan t Xt Vo cos wn t Vt Xt Vo wn sen wn t at Xt 65469 sen 469 t mola sem deformação mola com deformação b O deslocamento máximo acontece quando o valor da função seno é máximo ou seja seu argumento deve ser múltiplo de pi2 omegan t npi2 n135 t npi2 wn para n1 t pi2 wn X1pi2 wn Vown sen wn pi2 wn Vown 65469 1386 m Xmax 1 substituindo os valores 033 1 167 O deslocamento máximo acontece em t epsilon pi2wn 3pi2wn 5pi2wn 11pi2wn Substituindo em Xt Vown senpi2 sen3pi2 sen5pi2 senn pi2 wn Xt Vown 1 1 1 1 1386 1386 1386 1386 movimento oscilatório OBS 1386 1879 corrente config B config A c1 A velocidade é máxima quando a função cosseno é máxima ou seja seu argumento é múltiplo de pi omegan t n pi n012 wn t n pi t n piwn para n1 t piwn Xpiwn Vo coswn piwn Vo 65 ms Vmax 1 A velocidade máxima acontece em t 0 piwn 2 piwn 3 piwn n piwn Substituindo em Xt Vo cos 0 cos pi cos 2 pi cos 3 pi cos n pi Xt Vo 1 1 1 1 65 65 65 65 e t 0 067 134 2 Xt 000 A posição em t 0 a 0 piwn 2 piwn resulta na função seno como sendo zero Então a velocidade é máxima quando o carro passa pela origem Positivo porque está indo no sentido positivo do eixo á direita e negativo porque está correndo no sentido negativo á esquerda d A aceleração é máxima quando a função seno é máxima wn t pi2 wn n 135 para n1 t pi2 wn Xpi2 wn Vo wn sen wn pi2 wn 65469 3048 ms2 Xpi2 wn a max Para t pi2 wn 3 pi2 wn 5 pi2 wn 033 1 167 Xt Vo wn 1 1 1 3048 3048 3048 A aceleração máxima em B é maior pois a locomotiva percorre menor espaço para uma mesma velocidade Vmax 65 ms para A e B portanto deve variar sua velocidade mais rapidamente aceleração é a taxa de variação da velocidade a 0 em t033 porque o carro está à direita diminuindo sua velocidade até parar E assim que começa seu movimento para esquerda voltando ele está acelerando o carro A posição da aceleração máxima corresponde ao tempo em que o deslocamento é máximo portanto X 1386 m e O sistema não é amortecido Config C As molas estão em série Nessa configuração a energia potencial das molas são iguais pois ambas recebem a mesma energia cinética e não proporcionalmente à rigidez da mola como em B proposição para equação 1 Uma mola equivalente a k1 e k2 deve ter deslocamento igual a soma do deslocamento de ambos Xeq X1 X2 c2 Ec1 Ec2 Eceq k1 X122 k2 X222 keq Xeq22 k1 X12 keq Xeq2 X12 keq Xeq2k1 k2 X22 keq Xeq2 X22 keq Xeq2k2 substituindo em c2 Xeq7 sqrtkeq1 Xeq12 k1 keq2 Xeq22 k2 elevando ao quadrado Xeq72 Xeq9 keq1k1 Xeq9 keq2k22 Xeq92 keq1k1 keq2k22 Xeq92 keq1k1 keq2k2 1 keq 1k1 1k2 1 1keq 1k1 1k2 O sistema fica igual a configuração A e B depois da reconfiguração A EDO é X keqm X 0 Sua solução é Xt Vown Senwn t Xo Coswn t a Considerando que X0 Xo 0 Xt Vown Senwn t Xt Vo Coswn t X0 Vown Senwn t Vo 65 ms dado wn sqrtkeqm keq 1k1 1k21 1120000 1100001 545455 Nm wn sqrt54545510000 234 hz Xt 65234 sen234 t b Deslocamento Xt 278 Sen234 t é máximo quando a função seno é máximo 234 t n pi2 n 1 3 5 t n pi2 234 para n1 t pi2234 067s X067 278 Sen234 067 278 Xmax Na associação em série a mola equivalente se torna menos rígida em relação às molas originais c A velocidade é máxima quando a função cosseno é máxima Xt Vo Cos wn t 65 Cos 234 t 234 t n pi n0 1 2 3 t n pi 234 para n1 t pi 234 134 s radiano dependendo da config da calculadora transformar para graus X134 65 Cos 234 134 65 ms Vmax X134 278 Sen 234 134 0 m posição onde velocidade é máxima d A aceleração é máxima quando a função seno é máxima Xt 65 234 Sen 234 t 1521 Sen 234 t 234 t n pi2 t n pi2234 067 n n 1 3 5 para n1 t 067 s X067 1521 Sen 234 067 1521 ms2 X067 278 m xmax A aceleração é a menor porque a locomotiva tem mais espaço e consequentemente mais tempo para percorrer os intervalos de deslocamento máximo Assim a mudança na velocidade se torna mais suave também e O sistema não é amortecido Configuração D O sistema possui um dissipador de energia que é um amortecedor viscoso com coeficiente C Antes de determinar a EDO para este caso observase que a equação da energia para todas as outras configurações é semelhante a uma equação muito conhecida m X k X 0 m a k X FR k X A equação da energia então resulta numa equação da 2ª lei de Newton Dessa forma as forças atuando no carro na configuração D é ΣFx k X CV m a m X C V k X 0 m X C X k X 0 equação diferencial da config D Supondo que a solução é da seguinte forma Xt A eB t Xt A B eB t AB eB t substituindo na EDO Xt AB2 eB t C AB eB t K A eB t 0 eB t m AB2 C A B A K 0 m A B2 C A B A K 0 nunca é zero equação do 2º grau Determinando a raiz por Bháskara Δ b2 4ac C2 A2 4 m A A K A2 C2 4 m K Δ B b sqrtΔ 2a CA sqrtA2 C2 4 m K 2 m A B C A A sqrtC2 4 m K 2 m A C sqrtC2 4 m K 2 m caso k0 B terá uma única raiz caso C0 B terá raiz complexa e a solução será do tipo trigonométrica ou seja oscilando continuamente caso C2 4 m K 0 C2 4 m K a raiz será complexa e do tipo trigonométrico Caso C2 4 m K 0 a equação possui duas raízes Supondo que a equação possui 2 raízes então são duas soluções X1 t e X2 t B1 C sqrtC2 4 m K 2 m B2 C sqrtC2 4 m K 2 m Substituindo na solução Xt Xt X1 t X2 t A e C sqrtC2 4 m K 2 m t D eC sqrtC2 4 m K 2 m t Trabalhando com o expoente temos C2m sqrtC2 4 m K 2 m2 C2m sqrtC2m2 4 m K 4 m2 C2m sqrtC2m2 Km Quando o termo na raiz é zero a constante de amortecimento é chamado de crítico Cc 2m2 Km 0 Cc 2m sqrtKm Cc 2 m wn A razão entre C e Cc é definido como fator de amortecimento zeta C Cc Se zeta 1 sistema subamortecido zeta 1 sistema criticamente amortecido zeta 1 sistema superamortecido No sistema C2 4 m K C2 4 m K2 50002 4105103 25106 41010 0 As raízes da solução da EDO do sistema é complexa Trabalhando apenas com a exponencial C sqrtC2 4 m K 2 m Trocando os termos da raiz C sqrt4 m K C2 1 2 m C i sqrt4 m K C2 2 m C 2 m i sqrt4 m K C2 4 m2 C 2 m i sqrtKm C 2 m2 Xt A eC2m t i sqrtKm C2m2 t D eC 2m t i sqrtKm C2m2 t eC2m t A ei sqrtKm C 2 m2 t D ei sqrtKm C2m2 t usando a relação ei x t cos x t i sen x t eC2m t A cossqrtKm C2m2 t i sensqrtKm C2m2 t D cossqrtKm C2m2 t i sensqrtKm C2m2 t eC2m t cossqrtKm C2m2 t A D sen sqrtKm C2m2 t A D i eC2m t cos sqrtKm C2m2 t C2 sen sqrtKm C2m2 t Considerando que X0 Xo 0 X0 e0 C1 cos0 C2 sen0 Xo C1 0 Xt eC2m t C2 sensqrtKm C2m2 t aplicando a derivada do produto Xt C2m eC2m t C2 sensqrtKm C2m2 t C2 sqrtKm C2m2 eC2m t cossqrtKm C2m2 t X0 Vo C2m e0 C2 sen0 C2 sqrtKm C2m2 e0 cos0 C2 sqrtKm C2m2 Vo C2 Vo sqrtKm C2m2 A configuração D é o ideal para a finalidade de parar a locomotiva Já que reduz a amplitude da velocidade ao longo de um tempo Os novos valores são m 10 000 kg 1 01 9000 kg m v0 234 1 02 2808 Kmh 78 ms v0 Os outros se mantêm Para A a equação do movimento é Xt VoWn sen Wn t 78365 sen 365 t b deslocamento máximo quando a função seno é máxima Wn t n π2 n135 tπ2Wn Wn k1m 1200009000 365 Hz 55 t π2365 043s tempo de deslocamento máximo X043 78365 sen 365 043 214 m xmax c a velocidade é máxima quando a função cosseno é máxima ωn t n π t n πWn n012 t πWn 086 s Vxt xt Vo cos ωn t x086 Vo 086 365 Vo 78 ms X086 78365 sen 365 086 0 d a é máxima quando seno é máximo t n π2 Wn n1 t π2365 043s at Vo Wn sen Wn t a043 78 365 sen 365 043 2897 ms2 266 X043 78365 sen 365 043 214 m e Sistema não amortecido 16 11 Para B a A eq do movimento não se altera Xt Voωn senωn t ωn k1 k2m 120 1001039000 494 Hz Xt 78494 sen 494 t 158 sen 494 t b Xmax t n π2 ωn n135 n1 t π2494 032 s X032 158 sen 494 032 158 m Xmax c Vmax t n πωn n012 para n1 t π494 064 s Vt xt Vo cos ωn t x064 78 cos 494 064 78 ms X064 158 sen 494064 0 d amax t n π2ωn n135 n1 t π2 494 032 s a032 78 494 sen494 032 3853 ms2 X032 Xmax 158 m e Sistema não amortecido Configuração C a Xt Voωn senωn t com ωn keqm keq 1k1 1k21 ωn 5494559000 246 Hz Xt 78246 sen 246 t X1 317 sen 246 t b t n π2ωn n1 t π2 246 064 s X064 317 sen 246 064 317 m Xmax 17 9 c t n πωn n012 n1 t π246 128 s V128 x128 78 cos 246 128 78 ms X128 0 porque o argumento do cosseno que retorna 1 retorna zero para seno d t n π2ωn n135 n1 t π2 246 064 s at Vo Wn sen ωn t 78 246 sen 246 t a064 sen 246 064 1919 1919 ms2 amax X064 317 m calclado em b e Sistema não amortecido Configuração D a xt Vokmc2m2 ec2m t sen km c2m2 t k1m c2m2 332 Hz c2m 50002900 028 Xt 78332 e028t sen 332 t 235 e028t sen332 t Xt b t n π2 332 n1 t 097s X041 235 e028 047 sen 332 047 206 m c xt e028t 78 cos 332 t 066 sen 332 t aplicando o teste da primeira derivada onde fx é máximo onde dfdx 0 xt e028t 2572 sen332 t 437 cos332 t 0 nunca nulo 2572 sen 332 t 437 cos 332 t sen 332 tcos 332 t tg 332 t 017 332 t arctg 017 0168 n π n1 332 t 0168 π t 2974332 09 s X09 e028 09 78 cos 332 09 066 sen 332 09 607 ms au X0 78 ms X09 235 e028 09 sen 332 09 028 m d at é máximo quando dadt0 xt e028t 217 sen 332 t 8416 cos 332 t nunca zero 217 sen 332 t 8416 cos 332 t 0 sen332 t cos 332 t 8416 217 tg 332 t 388 arctg 388 332 t 132 n π 332 t n012 Para n0 t 04 ms2 a e028 t 2572 sen 332 t 437 cos 332 t 028 038 a 038 e028 t 2572 sen 332 038 437 cos 332 038 2322 ms2 028 03 p X038 235 e028 038 sen 332 038 201 m e Cc 2 m Wn 2 9000 100 0009000 60 000 Nsm 5000 Como Cc 1 5000 1 o sistema é subamortecido 4 Determinar para D o tempo para X 005 m Para m9000 kg e Vo 78 ms Xt 235 e028 t sen332 t a amplitude é dado por 235 e 028 t pois 1 sen 332 t 1 18 15 X041 206 e04914 sen 315 047 182 m c A velocidade é máxima quando xt 0 xt et4 324 cos 315 t 2031 sen 315 t 0 nunca nulo 324 cos 315 t 2031 sen 315 t sen 315 t cos 315 t tg 315 t 3242031 016 arctg 016 315 t t0 s A velocidade tem decaimento exponencial portanto sen vala é máximo quando se inicia o movimento oscilatório x0 206 315 cos 0 sen 04 315 206 65 ms X0 0 d A aceleração é máxima quando at 0 at et4 153 sen 315 t 6317 cos 315 t 0 nunca nulo sen 315 t cos 315 t 6317153 tg 315 t 413 arctg 413 315 t t042 s Por arredondamento o tempo de amax fica diferente de xmax a042 e0424 324 cos 315 042 2031 sen 315 042 1844 ms2 amax X042 206 e0424 sen 315 042 16 m e Verificando o tipo de amortecimento Cc 2m Wn 2m Km 210000 100 000100000 632455 Nsm ξ CCc 500063245 1 Sistema Subamortecido Xt Vo sqrtKm C2m2 eC 2 m t sensqrtKm C2m2 t k k2 100000 Nm C C2 5000 N sm Substituindo os valores temos C 2m 5000 20000 14 025 sqrtKm C2m2 sqrt100000 10000 0252 315 1s Xt 65315 e14 t Sen 315 t 206 e14 t Sen 315 t Xt a Xt 206 e14 t 14 Sen 315 t Cos 315 t 315 e14 t Xt 206 e14 t 315 Cos 315 t Sen 315 t 4 Xt 206 315 e14 t 14 Cos 315 t Sen 315 t 315 e14 t 206 4 e14 t Sen 315 t Cos 315 t 315 e14 t 649 e14 t Cos315 t 4 315 Sen 315 t 051 e14 t Sen 315 t 4 315 Cos 315 t Xt e14 t 2031 Sen 315 t 324 Cos 315 t b O deslocamento máximo acontece quando Xt 0 teste da 1ª derivada 206 e14 t 315 Cos 315 t Sen 315 t 4 0 nunca é zero 315 Cos 315 t Sen 315 t 4 0 4 315 Cos 315 t Sen 315 t 126 Sen 315 t Cos 315 t tg 315 t arctg 126 315 t t 047 s X Xmax e028t 235 005 e028t 005235 002 ln ln e028t ln 002 028t 391 t 14s a partir de t 14s a amplitude de oscilacao será menor que 5cm Verificando o valor da amplitude em um máximo logo após 14s Xt 0 após t 14s Xt e028t 78 cos 332t 066 sen 332t 0 arctg x X tg 332t 332t 149 nπ π t 149 nπ332 meio O n aqui representa os ciclos n 0 é o primeiro ciclo de X máximo ou V nulo n 1 é o segundo n 2 é o terceiro tempo em que V 0 ou Xmax acontece 14 149 nπ332 n 1432 15º ciclo O tempo onde o deslocamento é máximo em n 15 é t 149 15π332 1464s t X 1464 235 e0281464 sen 3321464 004 m amplitude maxima no 15º ciclo de 4cm Para m 10 000 kg e Vo 65 ms encontrando t para Xt 005 005 206 et4 sen 315 t et4 sen 315 t 005206 0024 a amplitude é dada por et4 p 1 sen 315 t 1 et4 0024 x ln t4 ln 0024 t 1492 s A partir de 1492 s a amplitude de oscilação será menor que 5cm Link do drive porque o vídeo ficou grande Eu posso dividir ele pra não ficar difícil de acompanhar httpsdrivegooglecomdrivefolders1NXF0lA2V2onOiSzKULOMgfe6nd5DXuspsharing Verificando o valor da amplitude em um pico logo após 1492s Xt 0 após t 1492s Xt et4 649 cos 315t 051 sen 315t 0 nunca nulo 649 cos 315t 051 sen315t tg315t 649051 1272 x arctg 315t 149 nπ quando t1492 n 3151492149π n h 1448 15º ciclo O tempo onde o deslocamento é máximo no 15º ciclo é t 149 15 π315 1543s X 1543 206 e15434 sen 315 1543 X 1543 0043m 43cm amplitude no 15º ciclo a a referencia é máxima quando ddt Xt ddt Vo n senωn t Vo n cosωn t 0 cos ωn t 0 Para n 1 t π2ωn ωn t π2 3π2 Vo t nπ2 ωn substituindo em Xt Xt Vo ωn senωn t 69 ms² em t 0454s erro calculado em b o deslocamento máximo ocorre quando o valor da força Sen é maximo a força Seno constante deve ser múltiplo de π2 para n 1 t π2ωn X t Vo sen ωn t Vo sen π2 Vo a A velocidade máxima ocorrer quando ddt x t ddt Vo sen ωn t Vo ωn cos ωn t 0 Vo ωn sen ωn t 0 quando un t n π ωn un t n π 2 ωn n 1 3 5 X t Vo cos ωn t Vo 65 ms t π2 ωn 0454s Para n1 xmax X 15 π6 ωn 65ωn 469 ωn o deslocamento máximo acontece quando X t é máximo Do fato de ηt 0 Vo cos ωn t 0 un t n π ωn n 1 3 5 X t 0 Vo cos ωn t 0 t n π ωn tempo em que a amplitude do deslocamento é máximo a b Considerando que X0 0 un kqm wn kqm m 10 000 kg X 469 sen 469 t 65 sen 469 t 1386 sen 1469 t Xoτ 1386 sen 346 t 1386 t 469 1276 subtraindo em Xo t 1 1 1 1 0 Observ 1386 1897 erro Correção B Correção A Da conservação da energia Temse a mesma equação diferencial de amortecimento A com k alterado para kq X kqm X 0 X Cm X 0 Solução desta EDO é X t Vo sen ωn t Xo cos ωn t onde un kqm Xot Vo sen wnt Xo cos wn t Nota Xot Xo0 é posição inicial do corpo onde um frequência natural m bo a sen bt C cos bt k a sen bt c cos bt 0 k m bo k mb a sen bt c cos bt 0 k mb² 0 b m km ωn A velocidade é máxima quando a função cosseno é máxima ou seja fator campano é múltiplo de π Com t n π ωₙ então v xt v₀ cos n π ωₙ v₀65 m s para n 1 t π ωₙ n 0 1 2 Xti v₀ cos n π ωₙ Xti 1000 A velocidade máxima ocorre em t t₀ π ωₙ 2π ωₙ Xti 1 0087 134 2 Xti 1 0 0 0 0 e xf 0087 134 2 A posição em t₀ é a 10 ωₙ π ωₙ n resultam na função seno Como sendo zero Então a velocidade é máxima quando a carro passa pelo origem positivo porque este indo no sentido positivo do eixo x a direita e negativo porque esta correndo no sentido negativo x esperado A a aceleração é máximo quando a função seno é mínima ωₙ t n π un n1235 para n 1 ωₙ t πun xtn v₀ un sen ωₙ 2πun 65 65 05 Bar tₙ 1 un 3E 2πun 3E 2πun 2πun 0333 117 167 Xt₁ v₀ un 1 1 65 48 3048 3048 3048 A aceleração máxima em B é maior pois o levantamento parece mexer o sistema para uma mesma velocidade Vmax 65 ms para A e B portanto deve variar uma velocidade mais rapidamente acelerando a taxa de variação da velocidade A x₀ em t 03s porque o carro está é direção diminuída sua velocidade até parar em E assim que começa seu movimento para esquerda voltando ele esta acelerando o carro A posição de aceleração máxima corresponde ao tempo em que o deslocamento é máximo portanto x 138m O sistema não é amortecido Config C As molas estão em série Nessa configuração a energia potencial das molas são iguais pois não recebem a mesma energia cinética e não proporcionalmente rigidez da mola como em B apropriada para equação C1 Uma modificação a k1 e k2 deve ter deslocamentos X₁ X₂ iguais e deslocamento ignorar o som da deslocamento dos dois Ec1 Ec2 Ec1q k1 X1² k2 X2² 2C1 22 X₁ X₂ Substituindo em 22 k₂ x₂ k₁ x₁ k₁x₁² k₂X₂² k₂X₂² k₂X₂² k₂x₂ k₁x₁ x₂ k₁k₂ x₁ O sistema fica igual a configuração A e B pires da ressortfrágil A EDO é X Km X x 0 Solução geral xt Aebt X0 x0 0 Xt V₀sen ωₙt x₀cos wt Considerando que X0 0 X v₀ωₙ senwt vₙ k m kₐ k kₐ k 1 kₐ k kₐ k ² kₐ k kₐ k x₂ x₁ k₂ k₂ k₁ k₂ k1 k₂ k₁ k₁ clicando no quaclado V₀ 65 ms dado wₙ sqrtkₐm kₐ k sqrt1 120000 1 10000 5455 s¹ xt 234 sen 234t xt 279 sen 234t máximo para n 1 t 067 n 1 2 3 5 t n π wₙ xtn Xtn 279 sên 234t deslocamento A velocidade é máxima quando a função cosseno é máxima xt Vo cos ωₙ t 65 cos 234 t 2 34 t n π n 0123 t n π 234 para n 1 t π 234 sendo dependido da carga da inclinação transformando para grav A aceleração é máxima quando a função seno é máxima xt 65 234 sen 234t 65 x max Para n 1 t 067 s x067 1521 ms² A aceleração máxima corresponde ao tempo em que o deslocamento é máximo portanto x 234 sen 234 t 1521 sen 234 t 0 δ 1 O sistema não é amortecido xtn 278 m xmax A aceleração é menor porque a levantada tem mais espaço e deslocamento mais tempo para percorrer a intervalos de deslocamento máximo Assim a mudança na velocidade se torna mais suave também O sistema não é amortecido Configuração D O sistema possui um dissipador de energia que é um amortecedor viscoso com referecia c Antes de determinar a EDO para CFC caso observado que a equação para todas as outras configurações é semelhante a uma equação muito atenuada c i4mk c 2m c i mk 2m c i mk 2m c c i4mk c 2m c i mk 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m Xt A e 2im cos t 2m i sen t 2m De 2im t i sen t 2m e i sen t 2m A cos t 2m i sen t 2m De 2im t i sen t 2m usando a relação e ixt cos xt i sen xt e i sen t 2m A cos t 2m i sen t 2m D cos t 2m i sen t 2m e i sen t 2m C cos t 2m i sen t 2m c 2 sen t 2m D cos t 2m i sen t 2m A D sen t 2m A D c 1 c 2 Xt e 2im C cos t 2m c 2 sen t 2m Considerando que X0 x0 X0 e 0 C cos 0 c 2 sen 0 x0 C 0 Xt e 2im c 2 sen t 2m c 2 sen t 2m sen t 2m C 0 Xt C 2m e c 2m 0 0 sen t 2m c 2 sen t 2m e 2im t 0 xt v0 t C 2m C 2m c 2m 0 k 3 2m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos0 v0 C 2 v0 2m Xt sen t 2m cos t 2m 3 0 6 315 cos 3 315 sen 315 sen cos 315 cos 315 206 315 Cos 315 sen 15 sen 315 cos 15 cos 315 sen 315 cos 315 cos 315 126 sen 4315 cos 315 4 4 606 sen 315 sen 315 cos 315 C e c 2 000 0 5000 0 25 0 25 0 25 315 e 315 000 0 018 0 06 315 koh v0 0975 x xmax d o deslocamento maximo acontece quando xt 0 este e o derivada b 2 06 315 cos 3 15 sen 3 15 4 4 4 126 cos 315t tg 315t 0 315 cos 15 sen 315 315 cos 315 sen 3 15 sen 3 15 cos 3 15 4315 cos 3 15 sen 315 315 cos 3 15 arctg 126 315 t x 041 206 04974 sen 3 15 0491 xt 0 182m a A velocidade e maxima quando xt e 324 cos 315t 2031 sen 315t 0 e i324 cos 315t 2031 sen 315t sen 315t se 315t cos 3t5t tg 315t 324 231 231 sen 315t 016 arctg 016 315 t t 05 A velocidade tem decamanto exponencial portanto seu valor e maximo quando se inicia o movimento oscilatario x0 206 315 0 1 釪 sen 315t 65 ms 2 03 sen 315t e 0 315 0 65 x0 A aceleracao e maxima quando at 0 at 62 315t 15315t 6319 cos 315t 0 cos 35t 6319 tg 315t 413 arctg 413 315 t 0 425 e Varrendo o tipo de amortecimento C 2m w 0 2m 21000 100000 18000 63245 s 1 sistema subsarotado 63245 1 e constante de amortecimento 100000 18000 63245 s 63245 1 sistema subsaratado 2 A configuracão D é e ideal para a finalidade de pesar a locomora Js que reduz a amplitude da velocidade ao longo de um tempo a os dados são m 1000 kgs r 2000 kgfm m V 274 7 022 288 kmh i 7rs Vb xt V0 sen wn t Xot Ati 7 849 92 t 426 at vt0 sin 3 15 043 2 14 m d A aceleração e máxima quando at 0 ie t PI 2wn n 1 t ir 265 043 t 221 wn 7r 2 365 0 865 t vmax 0 885 Ve Ut wat 1 A4 at I 4at 0 Xt 79315 17 98 Xt 79 496 sen 494 032 3FS 952 vem t 2 mn d 4 parâmetro encontrado para o máximo xak 297 f 2 426 aak2 178 l 219 m e verifica do tipo de amortecimento Cc 2mua 2 m 21000 100000 18000 63245 sistema não amortecido c t n T n012 n tT t 2T 128 s x 122 x 122 78 os 126 128 78 x122 0 torque torcido t nT 2n 1 coseno que retorna 1 retorna zero xt 235 028t xt 235c 028t 332 h sin332t 235 c 028 e seno 332t xt 1 2 sistema não amortecido calculado em 6 78 2 max an max an variância x nT t 78 228 sen 228 t 1 a n 091 sen 248 049 1919 at variação 78 228 sen 228 t 332h a t nT 2 n 1 t 091 xt 1 e 2028t 716 332t 0665 332t xt 716 235 c 332t 091 206m a aplicado o teste da primeira derivada onde faz o máximo onde dfdx 0 xt nT 028t 332t 235 437 08 332t 0 437t 0 6 332t 437 08 332t num não 028t e028t 005 002 ee028t 028t 381 t 14s t14s a amplitude de oscilação é 002t a e028t 002t 002t na 024t Verificando o valor da amplitude em um máximo logo após 14s x11 0 após t14s x11 x 1 697 315t 051 sena 315t 0 641 cos 315t 051 sin 315t tg 315t 641 051 O agi representa a ciclo inicial é o primeiro ciclo de máximo desenvolvido segundo n 15 ciclos O tempo onde o deslocamento é máximo no 15 ciclo é t 149 15π 332t 816 315t 149π quando t 1492 n 315t 1492 149 t 332t π n 066 219 sen 332t 816 6332t 0 sen 332t tg 332t 398 arctg 398 332t 5332t 398 Arctg 398 332t t r 04 15r 437 058 332 058 332 t 437 06 332t a 028t xtn sen 332t 33208 a 332t e 201 m xt 235c e seno 332 039 437 06 322 039 a e 2m w 29000 06 10000 5000 06000 m tanto para o tempo para x 005m sistema é subamorizado 4 Determinar para o tempo para x 005m m 9000 Kg v0 97 ms xt 235 e 102 e amplitude é dado por 275 e 102 e pois é a amplitude é dado por 102 e pois a emplitude é dado por e 0024 14 t 1024 a partir de 1492s a amplitude de oscilação sera menor que 5em t 14625 t Para m 10 000 kg a 235 e0285 t 065 ms 004 m amplitude máxima no 15 ciclo de 4cm e seno 315t concentrando T para xt 005 15 ciclo de t 206 6em 315t e sin 315 t 005 0024 05 0024 0024 1 sen 315t 0024 a t 149 15T t 14645 t 332 332 xtn 235 024 65 A partir de 1992s a amplitude de oscilação será menor que 5cm X1543 0043m 43cm amplitude no 15 ciclo Verificando o valor da amplitude em um pico logo apos 1492s X110 e 697 315t 051 seno 315t 0 t 149 157 1492s 315t 149 πt 051 sena 315t 066 seno 332t 0 332t arctg 0917 πt n1 332t 0287 391 t 14s t 14s a amplitude de oscilação e005t 002t a e028t 005 002 a 002t 002t 002t 002t