Trabalho de Vibrações Mecanica

Vibrações Mecânicas Atividade avaliativa de dependência 20241 Prof Antônio Salvador Neto 1 Introdução O presente documento visa orientar a atividade de avaliativa processual da disciplina de dependência em Vibrações Mecânicas oferecida no 1 período de 2024 pela Multivix Vila Velha A atividade consiste na realização de análise de um sistema vibracional As análises devem ser registradas em um relatório de atividade como orientado a seguir e entregue por meio eletrônico no portal até o dia 1506 O trabalho é individual Para cada aluno um conjunto de parâmetros de entrada foi gerado de modo que cada trabalho será único O anexo I traz uma tabela com os valores individuais a serem usados por cada aluno Para facilitar o andamento do trabalho o capítulo seguinte sugere uma divisão em etapas para sua realização 2 Sistema vibracional Considere os problemas de vibrações mecânicas que podem ocorrer em uma motocicleta sendo conduzida em condições normais A imagem a seguir ilustra a situação real Figura 21 Ilustração do sistema vibracional real O modelo matemático que descreve as vibrações mecânicas pode ser feito de várias maneiras diferentes Dependendo das simplificações admitidas o modelo pode apresentar mais ou menos graus de liberdade A seguir algumas imagens de modelos de vibração discretos são apresentadas Figura 22 Dois modelos discretos possíveis de vibração mecânica para o problema da motocicleta De maneira mais simplificada a motocicleta pode ser modelada como um único grau de liberdade Quando a motocicleta é posta para andar irregularidades no asfalto podem ser modeladas como uma função yt da posição da roda da motocicleta o que promove um forçamento devido o movimento da base Figura 23 Modelo de 1GL com forçamento por movimento da base 3 Etapas do trabalho Em cada etapa registre o que está sendo feito para ajudar na redação do relatório Etapa 1 Análise descritiva do modelo Redija um texto explicando as diferentes formas de se modelar o problema da motocicleta Proponha modelos mais de um de mais de um grau de liberdade detalhando a forma como se deveria obter as constantes elásticas de amortecimento e massas em cada Pelo menos um destes modelos deve ter um elemento rígido não pontual de modo a modelar a vibração de rotação do elemento Nessa etapa não é necessário realizar qualquer cálculo apenas descrever e explicar as possíveis formas de se modelar o problema Etapa 2 Dados do sistema de um GL Modelado o problema como um grau de liberdade você deve obter os dados para resolver numericamente o sistema vibracional Como primeiro passo você deve consultar o anexo 1 e determinar os valores dos elementos para o seu caso em particular Cada aluno tem seu próprio conjunto de valores para realizar o trabalho Etapa 3 Solução homogênea De posse dos dados do modelo de 1GL resolva o problema homogêneo para determinar a frequência natural não amortecida Etapa 4 Solução do forçamento não amortecido Resolva o sistema para o forçamento devido ao movimento da base no caso não amortecido Gere o gráfico da posição em função do tempo Etapa 5 Solução do forçamento amortecido subcrítico Determine o fator de amortecimento para que a razão de amortecimento fique entre 0208 e resolva o sistema forçado com esse fator de amortecimento Gere o gráfico da posição ao longo do tempo Se quiser use mais de um valor para o fator de atrito para avaliar a mudança no comportamento Etapa 6 Solução do forçamento criticamente amortecido Determine o fator de amortecimento para que a razão de amortecimento seja exatamente 1 e resolva o sistema forçado com esse fator de amortecimento Gere o gráfico da posição ao longo do tempo Se quiser use valores maiores para o fator de atrito para avaliar o movimento no amortecimento supercrítico Etapa 7 Relatório de atividade Realizado as análises e cálculos é hora de formatar tudo em um documento de texto como um relatório científico O relatório deve conter os seguintes capítulos Introdução Introduza o tema do problema de vibração mecânica em motocicletas dê exemplos ressalte sua importância faça um breve apanhado histórico etc A introdução não precisa ter mais de uma página Referencial teórico Escreva os fundamentos usados nos seus estudos por exemplo se você utilizou o teorema de constante elástica equivalente na análise aqui você precisa explicar como que o teorema funciona Cite suas fontes de pesquisa Análise descritiva Neste capítulo você registra as discussões feitas na etapa 1 Dados do problema Nesse capítulo você apenas evidencia os valores numéricos individuais foram usados nos cálculos do sistema de um GL Solução homogênea Neste capítulo você escreve o que foi feito na etapa 3 Solução do forçamento não amortecido Neste capítulo você escreve o que foi feito na etapa 4 Solução do forçamento amortecido subcrítico Neste capítulo você escreve o que foi feito na etapa 5 Solução do forçamento criticamente amortecido Neste capítulo você escreve o que foi feito na etapa 6 Conclusões Baseado nos seus estudos e resultados escreva suas conclusões gerais sobre o problema por exemplo o que o aumento do fator de atrito faz com o movimento vibracional Um motorista com mais massa demanda mais ou menos fator de amortecimento dos amortecedores Qual a implicação da frequência de forçamento no movimento Referências Seu trabalho deve citar as fontes que foram utilizadas no decorrer do estudo 4 Avaliação O trabalho terá valor máximo de 100 pontos e mínimo de zero pontos e será avaliado baseado em critérios Cada critério representa uma parcela dos pontos do trabalho A avaliação de cada critério pode conferir um valor igual ou inferior ao valor da parcela que ele representa Os critérios de avaliação serão os seguintes Critério Pontos 1 A formatação do relatório está adequada com capa contendo nome e título 10 2 Introdução clara e objetiva que cumpre o propósito de introduzir um texto científico 10 3 Referencial teórico claro e suficiente para as decisões tomadas nas análises e simulações 20 4 Realizou satisfatoriamente a etapa 1 10 5 Realizou satisfatoriamente a etapa 3 10 6 Realizou satisfatoriamente a etapa 4 10 7 Realizou satisfatoriamente a etapa 5 10 8 Realizou satisfatoriamente a etapa 6 10 9 Conclusão e referencial teórico estão adequados 10 Anexo 1 Dados individuais Os dados se referem a um sistema vibracional de um grau de liberdade com a massa m em quilogramas a constante elástica k em Newtons por metro e uma função de forçamento pelo movimento da base na forma 𝑦𝑡 𝑌 𝑠𝑒𝑛𝛚𝑡 com Y em metros e 𝛚 em radianos por segundo Aluno m kg k Nm Y w Adriesley Oliveira Prates 607 24099 0069 74 Bruno Askisasch Gomes 482 18595 0076 70 Fabrizio Dias Lopes 492 4970 0049 42 Gabriel Azevedo Moral 217 3642 0071 44 Giulya Rita Emidio Domingos 415 1698 0043 23 Igor Vieira Laignier 321 23433 0038 94 Izaque Nascimento Pereira da Silva 361 24156 0083 87 Nicholas Matheo De Almeida Pereira 540 9585 0036 52 Rafael Pianca de Castro 295 16535 0011 77 Ricardo Proescholdt Thom 590 18023 008 65 Robert Vieira de Sousa Oliveira 507 22002 006 67 Tayson da Silva Teodoro 327 27178 0036 100 Capa Objetivo O objetivo deste trabalho é demostrar os conceitos de modelamento matemático no contexto de vibrações mecânicas A dinâmica de uma motocicleta em movimento é abordada com diferentes modelamentos e as Leis Dinâmicas de Newton serão aplicadas para obter a equação diferencial e as possíveis soluções serão parametrizadas em função do fator de amortecimento e demostradas graficamente Introdução O modelamento de sistemas vibracionais é uma área de estudo crucial na engenharia automotiva e no design de veículos e motocicletas visando melhorar tanto o desempenho quanto o conforto Este tipo de modelagem envolve a criação de representações matemáticas e físicas dos elementos das forças e movimentos que ocorrem durante a operação considerando as interações complexas entre a motocicleta e o motociclista Essas interações são influenciadas por diversos fatores incluindo a geometria da moto as características da suspensão a postura do motociclista e as condições da estrada Ao entender como essas forças e vibrações afetam a moto e o piloto engenheiros podem projetar soluções para minimizar desconfortos reduzir a fadiga do piloto melhorar a estabilidade do veículo e aumentar a segurança geral Modelos vibracionais podem ser utilizados para simular diferentes cenários permitindo a otimização de componentes e a identificação de potenciais problemas antes da fabricação Assim o modelamento de sistemas vibracionais representa uma ferramenta essencial para a inovação e aprimoramento contínuo na indústria de motocicletas Referencial teórico Um sistema vibratório simples pode ser modelado como um sistema massamola amortecedor A equação de movimento para um sistema massamolaamortecedor submetido a um movimento harmônico da base 𝑦𝑡 𝑌 sin𝑤 𝑡 é dada por 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝑐 𝑦 𝑘 𝑦 Onde 𝑚 é a massa equivalente do sistema 𝑐 é o coeficiente de amortecimento equivalente do sistema 𝑘 é o coeficiente de rigidez equivalente do sistema 𝑥 é o deslocamento absoluto da massa 𝑌 é a amplitude do movimento da base 𝑤 é a frequência angular da excitação harmônica O fator de amortecimento também conhecido como coeficiente de amortecimento é uma medida de quanto o sistema dissipa energia Ele é frequentemente expressado em termos do coeficiente de amortecimento crítico 𝑐𝑐 onde 𝑐𝑐 2𝑘𝑚 Considerando a excitação harmônica da base 𝑦𝑡 𝑌 sin𝑤 𝑡 a resposta do sistema pode ser determinada substituindo a derivada de 𝑦𝑡 na equação de movimento original Após resolver a equação diferencial a resposta 𝑥𝑡 pode ser expressa como a soma da solução homogênea componente transitória e da solução particular componente estacionária 𝑥𝑡 𝑥ℎ𝑡 𝑥𝑝𝑡 A componente particular que representa a resposta em regime permanente devido ao movimento harmônico da base pode ser expressa como 𝑥𝑝𝑡 𝑋 sin𝑤 𝑡 𝜙 Com base no valor de 𝜁 podemos categorizar o comportamento do sistema em três regimes distintos Subamortecido 𝜁 1 Quando o sistema é subamortecido ele exibe oscilações amortecidas A solução para o movimento relativo 𝑥𝑡 pode ser escrita como 𝑥𝑡 𝑒𝜁𝑤𝑛𝑡 𝐴 cos𝑤𝑑 𝑡 𝐵 sin𝑤𝑑 𝑡 𝑋 sin𝑤 𝑡 𝜙 Onde 𝑤𝑛 𝑘 𝑚 é a frequência natural não amortecida 𝑤𝑑 𝑤𝑛 1 𝜁2 é a frequência natural amortecida 𝑋 é a amplitude da resposta estática 𝜙 é o defasamento estre a excitação e a resposta Criticamente Amortecido 𝜁 1 Em um sistema criticamente amortecido o retorno à posição de equilíbrio ocorre sem oscilações A solução geral para 𝑥𝑡 é 𝑥𝑡 𝐴 𝐵 𝑡 𝑒𝑤𝑛𝑡 𝑋 sin𝑤 𝑡 𝜙 Super Amortecido 𝜁 1 No caso de superamortecimento o sistema retorna à posição de equilíbrio de maneira exponencial mas sem oscilações A solução é dada por 𝑥𝑡 𝑒𝜁𝑤𝑛𝑡 𝐴 𝑒𝑤𝑛𝜁21𝑡 𝐵 𝑒𝑤𝑛𝜁21𝑡 𝑋 sin𝑤 𝑡 𝜙 Análise Descritiva Para uma representação mais realista podese recorrer a modelos de múltiplos graus de liberdade Nestes modelos a motocicleta pode ser decomposta em vários componentes como rodas chassi e suspensões cada um com sua própria massa rigidez e amortecimento Adicionalmente o condutor pode ser modelado como uma massa separada conectada ao sistema da motocicleta através de elementos que representam a interação dinâmica entre o corpo do condutor e a motocicleta A figura a seguir descreve um sistema com 4 graus de liberdade translacionais Podemos incluir também graus de liberdade rotacionais para simular rotações que o chassi da motocicleta realiza no plano da análise A figura a seguir descreve um sistema com 5 graus de liberdade sendo 1 rotacional e os demais translacionais Os modelos mais avançados incluem a análise de sistemas não lineares onde as forças não são proporcionais aos deslocamentos ou velocidades Esses modelos são mais complexos matematicamente mas são capazes de capturar efeitos como amortecimento dependente da velocidade e rigidez variável que ocorrem em situações reais como ao passar por um buraco ou ao fazer curvas em alta velocidade Além disso é possível incorporar fatores como as características da via irregularidades inclinações etc a dinâmica dos pneus incluindo contato com a superfície da estrada e as interações entre diferentes componentes do sistema Esses modelos são frequentemente resolvidos utilizando técnicas de simulação numérica permitindo uma análise detalhada do comportamento do sistema sob diversas condições operacionais Os modelos de sistemas vibratórios podem variar significativamente em sua complexidade Os modelos mais simples conhecidos como sistemas de um grau de liberdade consideram a motocicleta e o condutor como um único corpo em massa sujeita a uma força de restituição e uma força de amortecimento Este modelo básico embora útil para entender os conceitos fundamentais de vibração e amortecimento não captura todas as nuances de um sistema real O modelamento mais simples de qualquer sistema vibratório consiste em apenas 1 grau de liberdade No caso de vibrações forçadas tal sistema contém os elementos de mola e amortecimento em paralelo conectados a uma massa pontual que sobre translação no modelamento de veículos a força externa normalmente é modelada pelo movimento da base como sendo senoidal A representação esquemática da situação é dada a seguir Usando a segunda lei de Newton 𝑚 𝑥 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝑐 𝑦 𝑘 𝑦 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝑐 𝑦 𝑘 𝑦 𝑥 𝑐 𝑚 𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 𝑐 𝑚 𝑦 𝑘 𝑚 𝑦 Os termos que contém o coeficiente de amortecimento c podem ser expressos em função do fator de amortecimento 𝑐 𝑚 2𝜁𝑤𝑛 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 𝑦 𝑘 𝑚 𝑦 O movimento da base é harmônico 𝑦 𝑌 sin𝑤 𝑡 Derivando em relação ao tempo 𝑦 𝑤 𝑌 cos𝑤 𝑡 Substituindo na equação 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 𝑤 𝑌 cos𝑤 𝑡 𝑘 𝑚 𝑌 sin𝑤 𝑡 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 2𝜁𝑤𝑛𝑤 𝑌 cos𝑤 𝑡 𝑘 𝑚 𝑌 sin𝑤 𝑡 Esta é a equação diferencial do modelamento de vibrações forçadas amortecidas com 1 grau de liberdade Dados do Problema Usando os dados do sistema mecânico 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 𝑥 18595 482 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 70076 cos7 𝑡 18595 482 0076 sin7 𝑡 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 𝑥 385788 𝑥 1064 𝜁𝑤𝑛 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 Solução Homogênea O movimento livre se obtém retirando o forçamento externo do problema tornando a equação homogênea 𝑥 2𝜁𝑤𝑛 𝑥 385788 𝑥 0 Podemos também considerar o coeficiente de amortecimento nulo para tratar de vibrações livres não amortecias 𝑥 385788 𝑥 0 Está equação é conhecida como equação do oscilador harmônico 𝑥 𝑤𝑛2 𝑥 0 Que para um sistema vibratório mecânico é dada por 𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 0 Logo a frequência natural é dada por 𝑤𝑛 𝑘 𝑚 𝑤𝑛 385788 𝒘𝒏 𝟔 𝟐𝟏𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅𝒔 Solução do Forçamento não Amortecido Substituindo a frequência natural na equação diferencial do problema 𝑥 2𝜁 62112 𝑥 385788 𝑥 1064 𝜁 62112 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 𝑥 124224 𝜁 𝑥 385788 𝑥 66087 𝜁 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 Considerando um sistema não amortecido 𝜁 0 𝑥 1242240 𝑥 385788 𝑥 660870 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 𝑥 385788 𝑥 29320 sin7 𝑡 Obtendo a solução homogênea 𝑥 385788 𝑥 0 𝜆2 385788 0 𝜆2 385788 𝜆 385788 𝜆 62112 𝑖 Os autovalores são complexos que indica que a solução homogênea é harmônica 𝑥ℎ 𝐴 cos62112 𝑡 𝐵 sin62112 𝑡 Obtendo a solução particular 𝑥𝑝𝑡 𝐶 cos7 𝑡 𝐷 sin7 𝑡 Derivando 𝑥𝑝𝑡 7 𝐶 sin7 𝑡 7 𝐷 cos7 𝑡 𝑥𝑝𝑡 49 𝐶 cos7 𝑡 49 𝐷 sin7 𝑡 Substituindo na equação do problema 𝑥 385788 𝑥 29320 sin7 𝑡 49𝐶 cos7𝑡 49𝐷 sin7𝑡 385788 𝐶 cos7𝑡 𝐷 sin7𝑡 29320 sin7 𝑡 49𝐶 cos7𝑡 49𝐷 sin7𝑡 385788𝐶 cos7𝑡 385788𝐷 sin7𝑡 29320 sin7𝑡 49𝐶 385788𝐶 cos7𝑡 385788𝐷 49𝐷 sin7𝑡 29320 sin7𝑡 104212 𝐶 cos7𝑡 104212 𝐷 sin7𝑡 29320 sin7𝑡 104212 𝐶 0 𝐶 0 104212 𝐷 29320 𝐷 02813 Substituindo as constantes encontradas na solução particular 𝑥𝑝𝑡 0 cos7 𝑡 02813 sin7 𝑡 𝑥𝑝𝑡 02813 sin7 𝑡 A solução geral é dada pela soma 𝑥𝑡 𝑥ℎ 𝑥𝑝 𝑥𝑡 𝐴 cos62112 𝑡 𝐵 sin62112 𝑡 02813 sin7 𝑡 Derivando 𝑥𝑡 62112 𝐴 sin62112 𝑡 62112 𝐵 cos62112 𝑡 028137 cos62112 𝑡 𝑥𝑡 62112 𝐴 sin62112 𝑡 62112 𝐵 cos62112 𝑡 19691 cos62112 𝑡 Esperamos que em uma via plana não ocorram vibrações no sistema logo as condições iniciais são nulas 𝑥0 0 𝐴 cos0 𝐵 sin0 02813 sin0 0 𝑥0 0 62112 𝐴 sin0 62112 𝐵 cos0 19691 cos0 0 𝐴 0 0 0 62112 𝐵 19691 0 𝐴 0 𝐵 03170 Substituindo na solução 𝑥𝑡 𝐴 cos62112 𝑡 𝐵 sin62112 𝑡 02813 sin7 𝑡 𝑥𝑡 0 cos62112 𝑡 03170 sin62112 𝑡 02813 sin7 𝑡 𝑥𝑡 03170 sin62112 𝑡 02813 sin7 𝑡 Apresentando o gráfico da solução não amortecida 𝜁 0 Solução do Forçamento Não Amortecido Subcrítico Voltando a equação de movimento obtida 𝑥 2𝜁 62112 𝑥 385788 𝑥 66087 𝜁 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 Considerando um amortecimento subcrítico 𝜁 05 𝑥 2𝜁 62112 𝑥 385788 𝑥 66087 𝜁 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 𝑥 20562112 𝑥 385788 𝑥 6608705 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 𝑥 62112 𝑥 385788 𝑥 33043 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 Obtendo a solução homogênea 𝑥 62112 𝑥 385788 𝑥 0 𝜁2 62112 𝜁 385788 0 𝜁 62112 621122 4385788 2 𝜁 62112 107581 𝑖 2 𝜁 31056 53790 𝑖 Os autovalores são complexos que indica que a solução homogênea é harmônica amortecida 𝑥ℎ 𝐴 𝑒31056𝑡 cos62112 𝑡 𝐵 𝑒31056𝑡 sin62112 𝑡 Obtendo a solução particular 𝑥𝑝𝑡 𝐶 cos7 𝑡 𝐷 sin7 𝑡 Derivando 𝑥𝑝𝑡 7 𝐶 sin7 𝑡 7 𝐷 cos7 𝑡 𝑥𝑝𝑡 49 𝐶 cos7 𝑡 49 𝐷 sin7 𝑡 Substituindo na equação do problema 𝑥 62112 𝑥 385788 𝑥 33043 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 49 𝐶 cos7 𝑡 49 𝐷 sin7 𝑡 62112 7 𝐶 sin7 𝑡 7 𝐷 cos7 𝑡 385788 𝐶 cos7 𝑡 𝐷 sin7 𝑡 33043 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 49 𝐶 cos7 𝑡 49 𝐷 sin7 𝑡 434787 𝐶 sin7 𝑡 434787 𝐷 cos7 𝑡 385788 𝐶 cos7 𝑡 385788 𝐷 sin7 𝑡 33043 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 49𝐶 434787𝐷 385788𝐶 cos7 𝑡 49𝐷 434787𝐶 385788𝐷 sin7 𝑡 33043 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 104212𝐶 434787𝐷 cos7𝑡 104212𝐷 434787𝐶 sin7𝑡 33043 cos7𝑡 29320 sin7𝑡 104212𝐶 434787𝐷 33043 104212𝐷 434787𝐶 29320 𝐶 0081 𝐷 0057 Substituindo as constantes encontradas na solução particular 𝑥𝑝𝑡 0081 cos7 𝑡 0057 sin7 𝑡 A solução geral é dada pela soma 𝑥𝑡 𝑥ℎ 𝑥𝑝 𝑥𝑡 𝐴 𝑒31056𝑡cos62112 𝑡 𝐵 𝑒31056𝑡sin62112 𝑡 0081 cos7 𝑡 0057 sin7 𝑡 Derivando 𝑥𝑡 31056 𝐴 𝑒31056𝑡cos62112 𝑡 31056 𝐵 𝑒31056𝑡sin62112 𝑡 62112 𝐴 𝑒31056𝑡sin62112 𝑡 62112 𝐵 𝑒31056𝑡cos62112 𝑡 05670 sin7 𝑡 03990 cos7 𝑡 Esperamos que em uma via plana não ocorram vibrações no sistema logo as condições iniciais são nulas 𝑥0 0 0 𝐴 𝑒0 cos0 𝐵 𝑒0 sin0 0081 cos0 0057 sin0 0 𝐴 0081 𝐴 0081 𝑥0 0 0 31056 𝐴 𝑒0 cos0 31056 𝐵 𝑒0 sin0 62112 𝐴 𝑒0 sin0 62112 𝐵 𝑒0 cos0 05670 sin0 03990 cos0 0 310560081 62112 𝐵 03990 𝐵 0024 Substituindo na solução 𝑥𝑡 𝐴 𝑒31056𝑡cos62112 𝑡 𝐵 𝑒31056𝑡sin62112 𝑡 0081 cos7 𝑡 0057 sin7 𝑡 𝑥𝑡 0081 𝑒31056𝑡 cos62112 𝑡 0024 𝑒31056𝑡sin62112 𝑡 0081 cos7 𝑡 0057 sin7 𝑡 Apresentando o gráfico da solução sub amortecida 𝜁 05 Solução do Forçamento Criticamente Amortecido Voltando a equação de movimento obtida 𝑥 2𝜁 62112 𝑥 385788 𝑥 66087 𝜁 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 Considerando um amortecimento crítico 𝜁 1 𝑥 2162112 𝑥 385788 𝑥 1064162112 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 𝑥 124224 𝑥 385788 𝑥 66087 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 Obtendo a solução homogênea 𝑥 124224 𝑥 385788 𝑥 0 𝜁2 124224 𝜁 385788 0 𝜁 124224 1242242 4385788 2 𝜁 124224 0 2 𝜁 62112 Os autovalores são reais que indica que a solução homogênea é exponencial decrescente 𝑥ℎ 𝐴 𝑒62112𝑡 𝐵 𝑡 𝑒62112𝑡 Obtendo a solução particular 𝑥𝑝𝑡 𝐶 cos7 𝑡 𝐷 sin7 𝑡 Derivando 𝑥𝑝𝑡 7 𝐶 sin7 𝑡 7 𝐷 cos7 𝑡 𝑥𝑝𝑡 49 𝐶 cos7 𝑡 49 𝐷 sin7 𝑡 Substituindo na equação do problema 𝑥 124224 𝑥 385788 𝑥 66087 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 49 𝐶 cos7 𝑡 49 𝐷 sin7 𝑡 124224 7 𝐶 sin7 𝑡 7 𝐷 cos7 𝑡 385788 𝐶 cos7 𝑡 𝐷 sin7 𝑡 66087 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 49 𝐶 cos7 𝑡 49 𝐷 sin7 𝑡 869568 𝐶 sin7 𝑡 869568 𝐷 cos7 𝑡 385788 𝐶 cos7 𝑡 385788 𝐷 sin7 𝑡 66087 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 49𝐶 869568𝐷 385788𝐶 cos7 𝑡 49𝐷 869568𝐶 385788𝐷 sin7 𝑡 66087 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 104212𝐶 869568𝐷 cos7 𝑡 104212𝐷 869568𝐶 sin7 𝑡 66087 cos7 𝑡 29320 sin7 𝑡 104212𝐶 869568𝐷 66087 104212𝐷 869568𝐶 29320 𝐶 0042 𝐷 0071 Substituindo as constantes encontradas na solução particular 𝑥𝑝𝑡 0042 cos7 𝑡 0071 sin7 𝑡 A solução geral é dada pela soma 𝑥𝑡 𝑥ℎ 𝑥𝑝 𝑥𝑡 𝐴 𝑒62112𝑡 𝐵 𝑡 𝑒62112𝑡 0042 cos7 𝑡 0071 sin7 𝑡 Derivando 𝑥𝑡 62112 𝐴 𝑒62112𝑡 62112 𝐵 𝑡 𝑒62112𝑡 𝐵 𝑒62112𝑡 02940 sin7 𝑡 04970 cos7 𝑡 Esperamos que em uma via plana não ocorram vibrações no sistema logo as condições iniciais são nulas 𝑥0 0 0 𝐴 𝑒0 𝐵 0 𝑒0 0042 cos0 0071 sin0 0 𝐴 0042 𝐴 0042 𝑥0 0 0 62112 𝐴 𝑒0 62112 𝐵 0 𝑒0 𝐵 𝑒0 02940 sin0 04970 cos0 0 621120042 𝐵 04970 𝐵 02361 Substituindo na solução 𝑥𝑡 𝐴 𝑒62112𝑡 𝐵 𝑡 𝑒62112𝑡 0042 cos7 𝑡 0071 sin7 𝑡 𝑥𝑡 0042 𝑒62112𝑡 02361 𝑡 𝑒62112𝑡 0042 cos7 𝑡 0071 sin7 𝑡 Apresentando o gráfico da solução criticamente amortecido 𝜁 1 Conclusão As Leis de Newton da Dinâmica são muito úteis para realizar o modelamento de sistemas mecânicos vibracionais De fato o grau de complexidade do modelamento se reflete nas respostas obtidas modelos com 1 grau de liberdade são limitados pois resultam em apenas 1 frequência natural e poucos casos de amortecimento possíveis O modelamento com 1 grau de liberdade é adequado para uma análise preliminar ao determinar os parâmetros equivalentes e a frequência natural principal do sistema análises posteriores com vários graus de liberdade são também necessárias Referências Vibrações Mecânicas Singiresu Rao Vibrações Mecânicas Balachandran Balakumar Magrab Edward Capa Objetivo O objetivo deste trabalho é demostrar os conceitos de modelamento matemático no contexto de vibrações mecânicas A dinâmica de uma motocicleta em movimento é abordada com diferentes modelamentos e as Leis Dinâmicas de Newton serão aplicadas para obter a equação diferencial e as possíveis soluções serão parametrizadas em função do fator de amortecimento e demostradas graficamente Introdução O modelamento de sistemas vibracionais é uma área de estudo crucial na engenharia automotiva e no design de veículos e motocicletas visando melhorar tanto o desempenho quanto o conforto Este tipo de modelagem envolve a criação de representações matemáticas e físicas dos elementos das forças e movimentos que ocorrem durante a operação considerando as interações complexas entre a motocicleta e o motociclista Essas interações são influenciadas por diversos fatores incluindo a geometria da moto as características da suspensão a postura do motociclista e as condições da estrada Ao entender como essas forças e vibrações afetam a moto e o piloto engenheiros podem projetar soluções para minimizar desconfortos reduzir a fadiga do piloto melhorar a estabilidade do veículo e aumentar a segurança geral Modelos vibracionais podem ser utilizados para simular diferentes cenários permitindo a otimização de componentes e a identificação de potenciais problemas antes da fabricação Assim o modelamento de sistemas vibracionais representa uma ferramenta essencial para a inovação e aprimoramento contínuo na indústria de motocicletas Referencial teórico Um sistema vibratório simples pode ser modelado como um sistema massamola amortecedor A equação de movimento para um sistema massamolaamortecedor submetido a um movimento harmônico da base y tY sin wt é dada por m xc xk xc yk y Onde m é a massa equivalente do sistema c é o coeficiente de amortecimento equivalente do sistema k é o coeficiente de rigidez equivalente do sistema x é o deslocamento absoluto da massa Y é a amplitude do movimento da base w é a frequência angular da excitação harmônica O fator de amortecimento também conhecido como coeficiente de amortecimento é uma medida de quanto o sistema dissipa energia Ele é frequentemente expressado em termos do coeficiente de amortecimento crítico cc onde cc2km Considerando a excitação harmônica da base y tY sin wt a resposta do sistema pode ser determinada substituindo a derivada de y t na equação de movimento original Após resolver a equação diferencial a resposta x t pode ser expressa como a soma da solução homogênea componente transitória e da solução particular componente estacionária x t xh t x p t A componente particular que representa a resposta em regime permanente devido ao movimento harmônico da base pode ser expressa como x p t X sin wtϕ Com base no valor de ζ podemos categorizar o comportamento do sistema em três regimes distintos Subamortecido ζ 1 Quando o sistema é subamortecido ele exibe oscilações amortecidas A solução para o movimento relativo x t pode ser escrita como x t e ζ wnt Acoswdt Bsin wdt X sin wtϕ Onde wnk m é a frequência natural não amortecida wdwn1ζ 2 é a frequência natural amortecida X é a amplitude da resposta estática ϕ é o defasamento estre a excitação e a resposta Criticamente Amortecido ζ 1 Em um sistema criticamente amortecido o retorno à posição de equilíbrio ocorre sem oscilações A solução geral para xt é x t ABt e wntX sin wtϕ Super Amortecido ζ 1 No caso de superamortecimento o sistema retorna à posição de equilíbrio de maneira exponencial mas sem oscilações A solução é dada por x t e ζ wnt Ae wnζ 21tBe wnζ 21t X sin wtϕ Análise Descritiva Para uma representação mais realista podese recorrer a modelos de múltiplos graus de liberdade Nestes modelos a motocicleta pode ser decomposta em vários componentes como rodas chassi e suspensões cada um com sua própria massa rigidez e amortecimento Adicionalmente o condutor pode ser modelado como uma massa separada conectada ao sistema da motocicleta através de elementos que representam a interação dinâmica entre o corpo do condutor e a motocicleta A figura a seguir descreve um sistema com 4 graus de liberdade translacionais Podemos incluir também graus de liberdade rotacionais para simular rotações que o chassi da motocicleta realiza no plano da análise A figura a seguir descreve um sistema com 5 graus de liberdade sendo 1 rotacional e os demais translacionais Os modelos mais avançados incluem a análise de sistemas não lineares onde as forças não são proporcionais aos deslocamentos ou velocidades Esses modelos são mais complexos matematicamente mas são capazes de capturar efeitos como amortecimento dependente da velocidade e rigidez variável que ocorrem em situações reais como ao passar por um buraco ou ao fazer curvas em alta velocidade Além disso é possível incorporar fatores como as características da via irregularidades inclinações etc a dinâmica dos pneus incluindo contato com a superfície da estrada e as interações entre diferentes componentes do sistema Esses modelos são frequentemente resolvidos utilizando técnicas de simulação numérica permitindo uma análise detalhada do comportamento do sistema sob diversas condições operacionais Os modelos de sistemas vibratórios podem variar significativamente em sua complexidade Os modelos mais simples conhecidos como sistemas de um grau de liberdade consideram a motocicleta e o condutor como um único corpo em massa sujeita a uma força de restituição e uma força de amortecimento Este modelo básico embora útil para entender os conceitos fundamentais de vibração e amortecimento não captura todas as nuances de um sistema real O modelamento mais simples de qualquer sistema vibratório consiste em apenas 1 grau de liberdade No caso de vibrações forçadas tal sistema contém os elementos de mola e amortecimento em paralelo conectados a uma massa pontual que sobre translação no modelamento de veículos a força externa normalmente é modelada pelo movimento da base como sendo senoidal A representação esquemática da situação é dada a seguir Usando a segunda lei de Newton m x Forças m xc xk xc yk y m xc xk xc yk y x c m x k m x c m y k m y Os termos que contém o coeficiente de amortecimento c podem ser expressos em função do fator de amortecimento c m2ζ wn x2ζ wn x k m x2ζ wn y k m y O movimento da base é harmônico yY sin wt Derivando em relação ao tempo ywY cos wt Substituindo na equação x2ζ wn x k m x2ζ wnwY cos wt k m Y sin wt x2ζ wn x k m x2ζ wnw Y cos w t k m Y sin wt Esta é a equação diferencial do modelamento de vibrações forçadas amortecidas com 1 grau de liberdade Dados do Problema Usando os dados do sistema mecânico x2ζ wn x 18595 482 x2ζ wn70076cos 7t 18595 482 0076sin 7t x2ζ wn x385788 x1064ζ wncos7t 29320sin 7t Solução Homogênea O movimento livre se obtém retirando o forçamento externo do problema tornando a equação homogênea x2ζ wn x385788 x0 Podemos também considerar o coeficiente de amortecimento nulo para tratar de vibrações livres não amortecias x385788x0 Está equação é conhecida como equação do oscilador harmônico xwn 2 x0 Que para um sistema vibratório mecânico é dada por x k m x0 Logo a frequência natural é dada por wn k m wn385788 wn62112rad s Solução do Forçamento não Amortecido Substituindo a frequência natural na equação diferencial do problema x2ζ 62112 x385788 x1064ζ 62112 cos 7t 29320sin 7t x124224ζ x385788x66087ζ cos 7t 29320sin 7t Considerando um sistema não amortecido ζ 0 x1242240 x385788x660870cos 7t 29320sin 7t x385788x29320sin 7t Obtendo a solução homogênea x385788x0 λ 23857880 λ 2385788 λ385788 λ62112i Os autovalores são complexos que indica que a solução homogênea é harmônica xhAcos62112t Bsin 62112t Obtendo a solução particular x p t C cos7t D sin 7t Derivando x p t 7C sin 7t7 D cos 7t x p t 49Ccos 7t49 Dsin 7t Substituindo na equação do problema x385788x29320sin 7t 49C cos 7t49 D sin 7t 385788 Ccos 7t D sin 7t 29320sin 7t 49C cos 7t49 D sin 7t 385788Ccos 7t 385788 Dsin 7t 29320sin 7t 49C385788C cos 7t 385788 D49 Dsin 7t 29320sin 7t 104212C cos 7t104212 Dsin 7t 29320sin 7t 104212C0C0 104212 D29320 D02813 Substituindo as constantes encontradas na solução particular x p t 0cos 7t 02813sin 7t x p t 02813sin 7t A solução geral é dada pela soma x t xhx p x t Acos 62112tBsin 62112 t02813sin 7t Derivando x t 62112 A sin 62112t 62112 Bcos 62112t 028137cos62112t x t 62112 A sin 62112t 62112 Bcos 62112t 19691cos 62112t Esperamos que em uma via plana não ocorram vibrações no sistema logo as condições iniciais são nulas x 00 Acos 0 Bsin 002813sin 0 0 x 0062112 Asin 062112 Bcos 019691cos 00 A000 62112 B196910 A0 B03170 Substituindo na solução x t Acos 62112tBsin 62112 t02813sin 7t x t 0cos 62112t03170sin 62112t 02813sin 7t x t 03170sin 62112t 02813sin 7t Apresentando o gráfico da solução não amortecida ζ 0 Solução do Forçamento Não Amortecido Subcrítico Voltando a equação de movimento obtida x2ζ 62112 x385788 x66087ζ cos 7t 29320sin 7t Considerando um amortecimento subcrítico ζ 05 x2ζ 62112 x385788 x66087ζ cos 7t 29320sin 7t x20562112 x385788 x6608705cos 7t 29320sin7t x62112 x385788 x33043cos7t 29320sin 7t Obtendo a solução homogênea x62112 x385788 x0 ζ 262112 ζ 3857880 ζ 6211262112 24385788 2 ζ 62112107581i 2 ζ 3105653790i Os autovalores são complexos que indica que a solução homogênea é harmônica amortecida xhAe 31056tcos 62112t Be 31056t sin 62112t Obtendo a solução particular x p t C cos7t D sin 7t Derivando x p t 7C sin 7t7 D cos 7t x p t 49Ccos 7t49 Dsin 7t Substituindo na equação do problema x62112 x385788 x33043cos7t 29320sin 7t 49Ccos 7t 49D sin 7t 62112 7C sin 7t 7D cos 7t 385788 Ccos 7t D sin 7t 33043cos 7t 29320sin 7t 49Ccos 7t 49D sin 7t 434787C sin 7t 434787 Dcos 7t 385788C cos 7t 385788D sin 7t33043cos 7t 29320sin 7t 49C434787 D385788C cos 7t 49 D434787C385788 D sin 7t 33043cos 7t29320sin 7t 104212C434787 Dcos 7t 104212D434787C sin 7t 33043cos 7t 29320sin 7t 104212C434787 D33043 104212 D434787C29320 C0081 D0057 Substituindo as constantes encontradas na solução particular x p t 0081cos 7t 0057sin 7t A solução geral é dada pela soma x t xhx p x t Ae 31056tcos62112t Be 31056tsin 62112t0081cos 7t 0057sin 7t Derivando x t 31056 Ae 31056tcos 62112t 31056Be 31056t sin 62112t 62112 Ae 31056tsin 62112t62112 Be 31056tcos 62112t05670sin 7t03990cos7t Esperamos que em uma via plana não ocorram vibrações no sistema logo as condições iniciais são nulas x 00 0A e 0cos 0Be 0sin 00081cos 00057sin 0 0A0081 A0081 x 00 031056 A e 0cos031056 Be 0sin 062112 Ae 0sin 0 62112Be 0cos 005670sin 003990cos0 031056008162112 B03990 B0024 Substituindo na solução x t Ae 31056tcos62112t Be 31056tsin 62112t0081cos 7t 0057sin 7t x t 0081e 31056tcos62112t 0024e 31056tsin 62112t0081cos7t 0057sin 7t Apresentando o gráfico da solução sub amortecida ζ 05 Solução do Forçamento Criticamente Amortecido Voltando a equação de movimento obtida x2ζ 62112 x385788 x66087ζ cos 7t 29320sin 7t Considerando um amortecimento crítico ζ 1 x2162112 x385788 x1064162112cos 7t 29320sin 7t x124224 x385788 x66087cos 7t 29320sin 7t Obtendo a solução homogênea x124224 x385788 x0 ζ 2124224 ζ 3857880 ζ 124224 124224 24385788 2 ζ 124224 0 2 ζ 62112 Os autovalores são reais que indica que a solução homogênea é exponencial decrescente xhAe 62112tBt e 62112t Obtendo a solução particular x p t C cos7t D sin 7t Derivando x p t 7C sin 7t7 D cos 7t x p t 49Ccos 7t49 Dsin 7t Substituindo na equação do problema x124224 x385788 x66087cos 7t 29320sin 7t 49Ccos 7t 49D sin 7t 1242247C sin7t 7D cos 7t 385788 Ccos 7t D sin 7t66087cos 7t 29320sin 7t 49Ccos 7t 49D sin 7t 869568Csin 7t 869568 D cos 7t 385788C cos 7t 385788D sin 7t66087cos 7t 29320sin 7t 49C869568 D385788C cos 7t49 D869568C385788 D sin 7t 66087cos7t 29320sin 7t 104212C869568 D cos 7t 104212D869568C sin 7t 66087 cos 7t 29320sin7t 104212C869568 D66087 104212 D869568C29320 C0042 D0071 Substituindo as constantes encontradas na solução particular x p t 0042cos 7t 0071sin 7t A solução geral é dada pela soma x t xhx p x t Ae 62112 tBt e 62112 t0042cos 7t 0071sin 7t Derivando x t 62112 A e 62112 t62112Bt e 62112tBe 62112t02940sin 7t 04970cos 7t Esperamos que em uma via plana não ocorram vibrações no sistema logo as condições iniciais são nulas x 00 0A e 0B0e 00042cos 00071sin 0 0A0042 A0042 x 00 062112 Ae 062112 B0e 0Be 002940sin 004970cos 0 0621120042B04970 B02361 Substituindo na solução x t Ae 62112 tBt e 62112 t0042cos 7t 0071sin 7t x t 0042e 62112 t02361t e 62112 t0042cos 7t 0071sin 7t Apresentando o gráfico da solução criticamente amortecido ζ 1 Conclusão As Leis de Newton da Dinâmica são muito úteis para realizar o modelamento de sistemas mecânicos vibracionais De fato o grau de complexidade do modelamento se reflete nas respostas obtidas modelos com 1 grau de liberdade são limitados pois resultam em apenas 1 frequência natural e poucos casos de amortecimento possíveis O modelamento com 1 grau de liberdade é adequado para uma análise preliminar ao determinar os parâmetros equivalentes e a frequência natural principal do sistema análises posteriores com vários graus de liberdade são também necessárias Referências Vibrações Mecânicas Singiresu Rao Vibrações Mecânicas Balachandran Balakumar Magrab Edward