Curvas de Nível: Definições e Exemplos

22 CURVAS DE NIVEL Graficos nos fornecem uma maneira de visualizarmos funcgdes de duas varidveis Uma outra maneira de visualizarmos tais fungdes é desenhar as suas curvas de nivel as quais serao definidas abaixo Definigao 22 Seja fxy uma funcdo de duas varidveis e k um ntimero real O conjunto dos pontos xy no dominio de f para os quais fxy k chamado de uma curva de nivel de f Ela contém os pontos do dominio de f para os quais o grafico de f tem altura k Ao esbocarmos a curva de nivel no plano xy devemos associar a ela 0 seu correspondente valor de k Exemplo 25 As curvas de nivel da fungao fxy x y séo as curvas x2 y k onde k 0 Devemos ter k 0 pois x2 y 0 As curvas de niveis sao circunferéncias concéntricas na origem de raios Vk Quando k 0a curva de nivel degenerase no ponto 00 Sugerimos que o aluno leitor esboce as curvas de niveis parak 0k 1k 2ek 3 Ao tomarmos as seccées do grafico de fxy pelo plano z k fatiamos o grafico de fxy em curvas cujas projecdes no plano xy nos dao as curvas de nivel de f A partir destas podemos fazer 0 processo inverso ou seja podemos esbocar o grafico de f Isto é feito da seguinte maneira para cada k elevamos a curva de nivel fxy k até o plano z k obtendo assim o que denominamos traco horizontal do grafico de f no plano z k O gra fico de fxy é a unido de todos os tracos assim obtidos Também a partir das curvas de niveis de uma funcgdo podemos estimar os seus valores Exercicio 22 A partir das curvas de nivel obtidas no Exemplo 25 esboce 0 grafico da superficie zxry Em cartografia uma curva de nivel normalmente chamada de contorno une pontos de mesma elevacao altura relativamente ao nivel do mar Se a funcao fxy for a temperatura entdo as curvas de nivel ligarao pontos que tém a mesma temperatura e elas sio chamadas de isotérmicas Exemplo 26 Seja fxy 2x 3y 3 entao as suas curvas de nivel sao as retas 2x 3y3k as quais tém coeficientes angulares iguais a 23 Nas Figuras 21 e 22 mostramos as curvas de nivel de fxy e 0 esbogo do seu grafico a partir das mesmas i i cap2 20091015 2227 page 6 6 i i i i i i 6 CAPÍTULO 2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Figura 21 As curvas de nível de f x y 2x 3y 3 Figura 22 O gráfico de f x y 2x 3y 3 Exemplo 27 Seja f x y 2x2 y2 então as curvas de nível de f x y são dadas por 2x2 y2 k onde k 0 Para k 0 a curva de nível degenera ao ponto 0 0 enquanto que para valores positivos de k temos as elipses x2 k22 y2 k2 1 Na Figura 23 mostramos as curvas de nível de 2x2 y2 e na Figura 24 mostramos o esboço do seu gráfico a partir das mesmas Figura 23 As curvas de nível de f x y 2x2 y2 Figura 24 O gráfico de f x y 2x2 y2 Figura 21 As curvas de nível de 2 3 3 f x y x y Figura 23 As curvas de nível de 2 2 2 f x y x y Figura 22 O gráfico de 2 3 3 f x y x y Figura 24 O gráfico de 2 2 2 f x y x y 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 5 0 5 10 2 1 0 1 2 2 0 2 0 1 2 3 4 i i cap2 20091015 2227 page 6 6 i i i i i i 6 CAPÍTULO 2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Figura 21 As curvas de nível de f x y 2x 3y 3 Figura 22 O gráfico de f x y 2x 3y 3 Exemplo 27 Seja f x y 2x2 y2 então as curvas de nível de f x y são dadas por 2x2 y2 k onde k 0 Para k 0 a curva de nível degenera ao ponto 0 0 enquanto que para valores positivos de k temos as elipses x2 k22 y2 k2 1 Na Figura 23 mostramos as curvas de nível de 2x2 y2 e na Figura 24 mostramos o esboço do seu gráfico a partir das mesmas Figura 23 As curvas de nível de f x y 2x2 y2 Figura 24 O gráfico de f x y 2x2 y2 i i cap2 20091015 2227 page 7 7 i i i i i i 22 CURVAS DE NÍVEL 7 Exemplo 28 Seja f x y x2 y2 As suas curvas de nível são as curvas x2 y2 k onde k é real Note que para k 0 temos as retas y x e y x Para valores de k 0 temos as hipérboles x2 y2 k cujas assíntotas são as retas y x Os eixos de simetria das hipérboles serão o eixo dos x se k 0 e o eixo dos y se k 0 Os vértices das hipérboles se afastam da origem à medida que k aumenta veja a Figura 25 A superfície cor respondente ao gráfico de f é o paraboloide hiperbólico esboçado a partir das curvas de nível de f x y x2 y2 veja a Figura 26 Figura 25 As curvas de nível de f x y x2 y2 Figura 26 O gráfico de f x y x2 y2 Exemplo 29 Esboce a superfície z x2 y a partir das suas curvas de nível Solução As curvas de nível de z x2 y são as parábolas y x2 k onde k é real O traço horizontal do gráfico de f no plano z k é a parábola y x2 k z k 21 e o seu vértice é o ponto 0 k k Por outro lado o conjunto de pontos da forma 0 k k com k real representa uma parametrização da reta x 0 z y Portanto para esboçarmos a superfície basta desenharmos esta reta e para cada ponto dela desenhamos a parábola com vértice no mesmo a qual é descrita pela equação 21 A superfície assemelhase a uma telha colonial veja a Figura 27 2 Figura 25 As curvas de nível de 2 2 f x y x y Figura 26 O gráfico de 2 2 f x y x y 3 3 2 2 1 1 0 0 0 1 1 2 2 3 3 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 4 2 0 2 4 i i cap2 20091015 2227 page 7 7 i i i i i i 22 CURVAS DE NÍVEL 7 Exemplo 28 Seja f x y x2 y2 As suas curvas de nível são as curvas x2 y2 k onde k é real Note que para k 0 temos as retas y x e y x Para valores de k 0 temos as hipérboles x2 y2 k cujas assíntotas são as retas y x Os eixos de simetria das hipérboles serão o eixo dos x se k 0 e o eixo dos y se k 0 Os vértices das hipérboles se afastam da origem à medida que k aumenta veja a Figura 25 A superfície cor respondente ao gráfico de f é o paraboloide hiperbólico esboçado a partir das curvas de nível de f x y x2 y2 veja a Figura 26 Figura 25 As curvas de nível de f x y x2 y2 Figura 26 O gráfico de f x y x2 y2 Exemplo 29 Esboce a superfície z x2 y a partir das suas curvas de nível Solução As curvas de nível de z x2 y são as parábolas y x2 k onde k é real O traço horizontal do gráfico de f no plano z k é a parábola y x2 k z k 21 e o seu vértice é o ponto 0 k k Por outro lado o conjunto de pontos da forma 0 k k com k real representa uma parametrização da reta x 0 z y Portanto para esboçarmos a superfície basta desenharmos esta reta e para cada ponto dela desenhamos a parábola com vértice no mesmo a qual é descrita pela equação 21 A superfície assemelhase a uma telha colonial veja a Figura 27 2 0 2 4 10 We ys Figura 27 A superficie dada pela equacao fxy xy Exercicio 23 Seja fxy Za Mostre que uma das suas curvas de nivel é uma reta e as demais sao circulos veja a Figura 28 Alguns softwares como 0 Maple e o Mathematica nos permitem encontrar as curvas de nivel de uma fungao Veja o exemplo seguinte 2 T TT Tr Tt TT TT 3 T 1 Vi 2 Cy 2 1 0 1 2 Figura 28 As curvas de nivel de fxy x ty tl Exercicio 24 Encontre algumas curvas de nivel das fung6es abaixo e tente visualizar as superfi cies correspondentes a partir das mesmas a fny b fxy xy fxyxy d fxy Vx e fny x Nfxyery 8 fxy xy h fxy sen x y i fxy InVx 9 fluy vx y1 i i cap2 20091015 2227 page 9 9 i i i i i i 22 CURVAS DE NÍVEL 9 Figura 29 Curvas de nível da função f x y x3 y3 3x 3y foram obtidas com auxílio do programa Mathematica Exercício 25 Com auxílio de um computador obtenha as curvas de nível das funções abaixo a f x y xy2 x3 b f x y xy3 yx3 c f x y x3 y3 d f x y senyex Figura 29 Curvas de nível da função 3 3 3 3 f x y x y x y foram obtidas com auxílio do programa Mathematica 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2