Álgebra Matricial: Operações e Exemplos

Álgebra Matricial Uma matriz A com m linhas e n colunas é dita de ordem ou tamanho m n Denotamos o elemento da iésima linha e da jésima coluna por aij A a11 a12 a1j a1n1 a1n a21 a22 a2j a2n1 a2n ai1 ai2 aij ain1 ain am11 am12 am1j am1n1 am1n am1 am2 amj amn1 amn 1 Álgebra matricial 11 Adição Sejam A e B duas matrizes de mesmo tamanho mn Então denimos a soma dessas matrizes da seguinte forma C A B a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmn a11 b11 a12 b12 a1n b1n a21 b21 a22 b22 a2n b2n am1 bm1 am2 bm2 amn bmn Ou seja a soma de duas matrizes Amn e Bmn é obtida pela soma dos seus elementos corres pondentes de forma que um elemento genérico da matriz resultante Cmn é cij aij bij onde i 1 m e j 1 n 1 Exemplo 1 3 4 1 1 0 7 2 4 8 6 7 0 6 5 1 12 12 1 1 3 8 1 7 0 2 10 8 Exemplo 2 a at 107 6 7 0 Indefinido 6 5 1 1 3 8 A matriz zero denotada 0 é 0 elemento neutro da adicao ou seja A0 A Qy1 Q12 Ain 00 0 Q41 ajQg Ain a1 a22 Aan 0 0 O a21 a22 QAan Am1l Am2 Amn 00 0 Am1l Am2 Amn 12 Multiplicacao por escalar Sejam A uma matriz m x ner R um escalar Entao definimos 0 produto por escalar rA da seguinte forma Q41 aj2 Atn Tat Ta12 TAtin Cardr 1 2 on me me Mn Gm1 Gm2 Amn TAm1 TAm2 TAmn Ou seja ao multiplicarmos uma matriz Am por um escalar r multiplicamos cada elemento de A por r de forma que um elemento genérico da matriz obtida Cmxn 6 Ci Traij onde t1me7 1n Exemplo 3 9 1 03 2 0 6 241 4 8 2 2 13 Subtracao de matrizes Sejam Ae B duas matrizes de mesmo tamanho m xn Entao definimos a subtracao C AB da seguinte forma Qy1 Q142 Ain bi big wee bin a a Le Gon b b L bon caapa te beh Ami GOm2 Omn bmi Ome Omn ay diy ay2by2 Ain Din a1 bay 22 bog Gan ban ami Dna Am2 bm2 ses Amn binn Ou seja a subtragao de duas matrizes Amyn Bmyn obtida pela subtracao dos seus elementos correspondentes de forma que um elemento genérico da matriz resultante Cmxn é Cij aij b onde i 1 mej 1n Equivalentemente C A B A 1B Exemplo 4 34 1 1 07 4 4 6 6 7 0 6 5 10 2 1 1 3 8 1 7 0 0 4 8 Exemplo 5 34 1 107 6 7 0 Indefinido 6 5 1 1 3 8 14 Maultiplicagao de matrizes Seja A uma matriz m x ne B uma matriz n x k Entao o produto entre elas é uma matriz C de tamanho m x k Q11 412 s Qin bit big es Dae C11 6Ci2iw ss Ck a a Le Gon b b 2 OD Cc Cc 1 eC ca apa e te tm ba tae ae fan en an Qm1 Am2 Amn Ont bro wae Onk Cm1 Cm2 Cmk 3 onde bi bo Cij Qj Aig Ain 0 bij aiid digbaj dinbn S aindn h1 paraz 1mej1k Exemplo 6 a b B aabn aBb0 ayba c d 9 cadn c0d0 cyd e f eat fn eBf0 eyfr Exemplo 7 a b a B yi aa Bet ye ab bdr7f C 7 O xX f nac Ae nb6d Af e Exemplo 8 3 5 a b oP c d Indefinido 7 OX pb e f Observagao Na multiplicagao de matrizes a ordem do produto importa ou sejai AB 4 BA em geral mesmo quando ambos os produtos estao definidos Exemplo 9 211 1 2 0 11ifo 2 fad enquanto que 1 121 10 0 2 11 2 2 4 A matriz identidade de tamando n x n é definida da seguinte maneira 1 0 0 0 1 0 I 00 1 Ou seja a matriz identidade de tamanho n x n é uma matriz em que os n elementos da diagonal principal sao iguais a 1 e todos os demais sao iguais a zero A matriz identidade é 0 elemento neutro da multiplicagao de matrizes Isso significa que sendo I de tamanho n x n entao para qualquer A de tamanho x n e para qualquer B de tamanho n x k AIA IBB Exemplo 10 a b 10 alb0 a0bl a b c d F cld0 cOd1 Jcd e f elf0 e0f1 e f Exemplo 11 10 0 a b la0c0e 1b60d0f a b 0 1 0 c d 0a1c0e 0b1d0f cd 001 e f Oa0cle 0b0d1f e f Propriedades da Algebra matricial 1 Associativas e Adigao A BCABC e Multiplicagao ABC ABC 2 Comutativa da adigao A B B A Como vimos a propriedade comutativa nao vale para multiplicagao de matrizes mesmo quando ambos os produtos AB e BA estao definidos 3 Distributivas e ABCAB AC e A BC AC BC 5 15 Transposicao de matrizes Seja A uma matriz m x n A sua transposta denotada por A ou por A é uma matriz n x m obtida trocandose as linhas pelas colunas Qy1 a4Qg Ain Q14 Ga Ami A 1 22 en AT uP 2 om Qm1 Am2 Amn Qin Gan Amn Exemplo 12 t2 1 3 5 A3 4 At 2 4 6 5 6 Teorema 1 Sejam Ae B duas matrizes m x n Entao 1 AB ATH B 2 ATT A 3 rA rA Prova Para comecar sera Util escrevermos as duas matrizes e as suas transpostas Qi a42 Ain bu bye sae bin A 1 22 2m B Pat Poa Pan Ami Am2 Amn bmi Oma Omn Q4 Agi es Ami bi bay ee Om AT Q12 a22 GAm2 Bre big bog bm Qin Gan Amn bin bon tee bmn 6 1 AB é T ay ot bi a42 ot big wae Ain ot bin a3 boy a2 boo oe 9 by Tv n n AB Am ot Omni Am2 ot Ome Amn ot Onn ay by agi bo Ami bmi a42 ot bia a2 ot boa Am ot Ome Ain bin Q2n bon s Amn bmn Q41 Qa Ami bi boy sae Om Qa12 G22 Am2 bie boa wae bm as Ain Qn Amn bin ban Omn AT Br 2 AT é T Q4 Qa Ami Q41 aj2 Ain T a12 G22 GAm2 G21 422 Gn 47 0 A Ain Aan Amn Ami Am2 Amn 3 rA é T Tay Taj2 es TQAtn Tai 1TQAgq Tami Ta Tage oe TQA2n TQ12 TQA292 TAm2 T rA r At TAm1 TAm2 TAmn TQAin TA TAmn 7 Teorema 2 Seja A uma matriz m x ne B uma matriz n x k Entaéo AB BTA Prova T Q41 442 Ain bir big ae AB 1 2 on Pat Pos Pak Qmi Gm2 Amn bt bn2 te nk n n n T pel an Ont nl Ainbn2 hel a1nOnk et aon Ont an A2nbp2 ier donOnk et AmnOnt an Amnon2 ret AmnOnk pet ayn0ni pet Gondpi het AmnhOnt et ain one et Aonbn2 et Amn One Soret aindnk Soret aonDnk Shea AmhOnk an bri din et bridan net bnidmh et bn2Gih et Dnod2n et Dn2Qmh net Drrin net DrrGon het Drkmh bit baw Ont Q11 G21 Amli big ba ne Q12 G22 Am2 biz box te bnk Qin Gan Amn BTA O 2 Sistemas de equacoes lineares na forma matricial Como vimos um sistema de m equacoes lineares e n variaveis tem o seguinte formato A1121 Ay2Q Aintn by a2X1 a222 b Any by Am1L1 Am22 Amnkn Om 8 Em notacao matricial esse sistema pode ser expresso da seguinte maneira Q41 4 412 Ain Ly by G21 422 Gan XQ by Gmi GAm2 Amn Ln bn ees A x b ou de forma mais compacta Aw b 3 Tipos especiais de matrizes Seja A uma matriz de tamanho m x n Matriz quadrada matriz com 0 mesmo numero de linhas e de colunas m n a1 QajQ Ain A 1 22 2m Qn1 QAn2 Ann Matriz coluna matriz com apenas uma coluna n 1 Q11 a A Qm1 Matriz linha matriz com apenas uma linha m 1 A an aj42 Ain Matriz diagonal matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal sao iguais a Zero i 0 para i A 7 ay 0 sae 0 0 22 0 A 0 QO Qnn Matriz triangular superior matriz normalmente quadrada cujos elementos abaixo da di 9 agonal principal sao iguais a zero a 0 parai j Q11 G12 An A om on 0 QO Ann Matriz triangular inferior matriz normalmente quadrada cujos elementos acima da dia gonal principal sao iguais a zero aj 0 para 2 j Qi 0 sae 0 a2 Qa22 0 A Qn1 QAn2 Ann Matriz simétrica matriz quadrada tal que a aj e portanto A A Q11 G12 Gin A ue 22 en Ain Aan Ann Matriz idempotente matriz quadrada tal que AA A Q141 412 Ain Q11 G12 Gin Q41 412 Gin Q21 422 Gan Q21 22 Aan Q21 422 Gan Qn1 An2 Ann Qn1 An2 Ann Qni An2 Ann eee ee ee A A A Matriz de permutacao matriz quadrada de uns e zeros tal que cada linha e cada coluna tem exatamente um 1 0 1 0 1 0 0 00 1 Matriz naosingular matriz quadrada cujo posto é igual ao nimero de linhas e de colunas 4 Matrizes elementares Ao premultiplicarmos uma matriz A pelas matrizes elementares que veremos a seguir realiza mos as trés operacoes elementares que estudamos anteriormente quais sejam 10 1 somar a uma linha um múltiplo de outra linha 2 multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero 3 trocar a posição de duas linhas Lema 1 Forme a matriz de permutação Eij trocando a posição da iésima e da jésima linhas da matriz identidade Ao premultiplicarmos uma matriz A por Eij trocamos a posição da iésima e da jésima linhas da matriz A Prova Consideremos a matriz A de tamanho mn e a matriz identidade I de tamanho mm abaixo A a11 a1i a1j a1n ai1 aii aij ain aj1 aji ajj ajn am1 ami amj amn I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Formemos a matriz Eij trocando a posição da iésima e da jésima linhas de I Eij 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Premultiplicando A por Eij temos que 11 1 O O O ay wee aii wee ay see Ain 0 wo OO 1 O Ail wee Ai wee Qi vee Ain ByAioce tote bet ee O Lo O 1 0 aj see Aji see aj5 see Ain O O O 1 1 Ami Ami vs Omg Amn Qy1 see ay see ay j wee Ain aj see Asi see a4 see Ajn Poe Ete Ee o Ail vee Ai vee aij wee Qin Ami oes Ami wee amj wee Amn Exemplo 12 Consideremos a matriz A de tamanho 3x4 e a matriz identidade J de tamanho 3 x 3 abaixo 1234 1 00 A23 41 J01 0 35 7 5 00 1 Formemos a matriz F3 trocando a posicgao da segunda e da terceira linhas de I 1 00 foug30 0 1 0 1 0 Premultiplicando A por F3 temos que 1 00 1234 Ex3A0 0 1 23 41 0 1 0 35 7 5 1234 3 5 7 5 23 4 1 12 Lema 2 Forme a matriz Er multiplicando a iésima linha da matriz identidade pelo escalar r Ao premultiplicarmos uma matriz A por Er multiplicamos a 7ésima linha de A por r Prova Consideremos a matriz A de tamanho m xn e a matriz identidade J de tamanho m xm abaixo Qi wee aii see Qin 1 wee O 0 A Ai see Ai cee Qin I O 1 0 Am o Ami Omn 0 O 1 Formemos a matriz Fr multiplicando a iésima linha da matriz identidade pelo escalar r 1 OO 1 0 EjrO0 2 row OO 0 O 1 Premultiplicando A por Er temos que 1 O 0 ay1 wee aii wee Qin EjrA Ow ro O Ail see Ait see Qin 0 O 1 Am o Ami Omn ay see ayy see Qin Tray Tay TAin O Aml1 see Ami ss Amn 13 Exemplo 13 Consideremos a matriz A de tamanho 42 e a matriz identidade I de tamanho 4 4 abaixo A 3 5 2 3 1 2 0 1 I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Formemos a matriz E33 multiplicando a terceira linha da matriz identidade por 3 E33 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 Premultiplicando A por E33 temos que E33A 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 3 5 2 3 1 2 0 1 3 5 2 3 3 6 0 1 Lema 3 Forme a matriz Eijr somando à jésima linha da matriz identidade um múltiplo r da sua iésima linha Ao premultiplicarmos uma matriz A por Eijr somamos à jésima linha de A o múltiplo r da iésima linha de A Prova Consideremos a matriz A de tamanho mn e a matriz identidade I de tamanho mm abaixo A a11 a1i a1j a1n ai1 aii aij ain aj1 aji ajj ajn am1 ami amj amn I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 14 Formemos a matriz Er somando a jésima linha da matriz identidade um miltiplo r da sua 7ésima linha 1 we 0 we 0 we 0 1 OO 1 O 1 0 0 we 1 we 0 we 0 O L O 0 Eigr Doe EE 00 r0 O1 040 Ow row Lo 0 0 we 0 we 0 we 1 O O O 1 Premultiplicando A por Er temos que 1 wee O O 0 Qi wee ai wee aij wee Ain 0 1 wo OO 0 Ail vee Ai wee aij wee Qin EBxrA ic bo bon Dot Et Ett O OO OO 1 Amit Ami Amy Amn ai1 wee ai wee aij wee Ain Ail vee Ai wee aij see Qin ms ms ms o TAjjG TAA AGR TAG O TAintAjn Am see Ami wee mj see Qmn Exemplo 14 Consideremos a matriz A de tamanho 3x3 e a matriz identidade J de tamanho 3 x 3 abaixo 15 2 1 0 0 A23 1 J01 0 0 1 4 001 Formemos a matriz E2 somando a segunda linha da matriz identidade miltiplo 2 15 da sua primeira linha 1 0 0 0 01 Premultiplicando A por Fj22 temos que 1 0 0 1 5 2 Ey2A 2 1 0 23 1 0 01 0 1 4 1 5 2 0 7 3 0 1 4 Definigao 1 As matrizes E Er e Er obtidas por operagées elementares nas linhas da matriz identidade sao chamadas de matrizes elementares Teorema 3 Seja uma matriz elementar m xm obtida por uma operagao elementar na matriz identidade de mesmo tamanho Entao para qualquer matriz A de tamanho m x n EA realiza a mesma operacao elementar em A Prova Pelos lemas 1 2e3 0 Corolario 1 Para qualquer matriz A de tamanho mxn existem matrizes elementares E 2 Ex1 Ex tais que o produto FFy12A R onde R é a forma escalonada por linha re duzida de A Prova Ao transformarmos A em sua forma escalonada reduzida R realizamos uma sequéncia de operagoes elementares 91 92 9 De acordo com o teorema 3 essas operacdes podem ser realizadas pela premultiplicacao das matrizes elementares na mesma sequéncia ou seja Ey Ex1 pF A RO Exemplo 15 No capitulo sobre sistemas de equacoes lineares no exemplo 10 nds escalonamos a seguinte matriz 1234 23441 A 35 7 5 1 13 2 Para isso realizamos as seguintes operacoes 16 1 primeiramente multiplicamos a primeira linha de A por 2 e somamos o resultado à segunda linha multiplicamos a primeira linha por 3 e somando o resultado à terceira linha e multiplicamos primeira linha por 1 e somamos o resultado o à quarta linha Com isso encontramos A1 1 2 3 4 0 1 2 7 0 1 2 7 0 1 0 2 2 Então multiplicamos a segunda linha de A1 por 1 e somamos o resultado à terceira linha e multiplicamos a segunda linha por 1 e somamos o resultado à quarta linha Assim encontramos A2 1 2 3 4 0 1 2 7 0 0 0 0 0 0 2 5 3 Por m trocamos posição da terceira e da quarta linhas de A2 Com isso obtemos B 1 2 3 4 0 1 2 7 0 0 2 5 0 0 0 0 Vamos realizar essas mesmas operações aplicando matrizes elementares 1 Primeiramente multiplicamos a primeira linha de A por 2 e somamos o resultado à segunda linha E122 multiplicamos a primeira linha por 3 e somando o resul tado à terceira linha E133 e multiplicamos primeira linha por 1 e somamos o resultado o à quarta linha E141 Com isso encontramos 17 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1234 4 109 0 1 0 0 2 10 0 23441 0 01 0 3 0 1 0 0 01 0 35 7 5 1 001 0 00 1 0 00 1 1 13 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 6C4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 l 2 7 0 01030103 5 7 5 1 001 0 00 1 1 1 3 2 Ey41 E33 By22A 1 0 0 0 1 2 3 6C4 0 1 0 0 0 l 2 7 0 010 0 1 2 7 1 00 1 1 1 3 2 1 2 3 4 0 1l 2 7 0 1 2 7 0 1 O 2 2 Entao multiplicamos a segunda linha de A por 1 e somamos 0 resultado a terceira linha 231 e multiplicamos a segunda linha por 1 e somamos 0 resultado a quarta linha 41 Assim encontramos 18 1 0 00 1 0 00 1 2 3 4 4 1 0 1 0 0 012 7 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 7 0 1 0 1 0 0 01 0 1 0 2 1 0 00 1 2 3 4 0 1 0 0 0 1 2 7 10 0 100 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 1 2 3 4 0 1l 2 7 0 0 0 0 0 0 2 5 3 Por fim trocamos posicaéo da terceira e da quarta linhas de Ag 34 Com isso obtemos 100 0 1 2 3 4 Be 010 0 0 1 2 7 0001 0 0 0 0 00 1 0 0 0 2 5 E54 Ao 1 2 3 4 0 l1 2 7 10 0 2 5 4 0 0 0 0 E34Ao Assim chegamos a forma escalonada de A realizando as seguintes operagdes com matrizes elementares B E34 F41 Fo31 Fy41 F133 Fy22 A Se quisermos avangar para a obtengao da forma reduzida de A 0 passo seguinte seria fazer com que os pivés em B fiquem iguais a 1 Para isso nds multiplicamos a segunda linha B por 1 e terceira linha por 2 Isso pode ser executado premultiplicando B pelas 19 matrizes E21 e E342 respectivamente 10 0 0 1 0 00 1 2 3 4 p1 9 9 0 1 0 0 0 1 2 7 lo 0o0f0 0 10o0 0 2 5 00 0 1 0 0 01 0 0 0 O SSeS E312 E21 B 10 0 0 123 4 0 1 0 0 012 7 00 If 0 002 5 00 0 1 00 0 0 a E312 Ex1B 123 4 012 7 100 1 I 000 O e5 31221B Como exercicio continue com o processo de eliminacao de GaussJordan via matrizes elementares até chegar a forma reduzida de A 5 Algebra das matrizes quadradas Definigao 2 Seja A uma matriz m x n A matriz B de tamanho n x m é inversa a direita de Ase ABI A matriz C de tamanho n x m é inversa a esquerda de A se CA I Exemplo 16 Seja A a seguinte matriz 1 3 1 A E 1 A matriz B abaixo é inversa a direita de A 0 1 B0 1 1 2 pois 0 1 1 3 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 A I B 20 Exemplo 17 Seja A a seguinte matriz 1 2 A3 11 1 0 A matriz C abaixo é inversa a esquerda de A 0 0 1 C 1 l1 2 pois 1 2 0 0 1 1 0 3 1 1 1 2 0 1 Cc I A Definigao 3 Seja A uma matriz n x n Uma matriz B de mesmo tamanho é inversa de A se AB BAlT Se B existe dizemos que A é invertivel Teorema 4 Se A de tamanho n x n tem inversa a direita B e a esquerda C entao BCe A é invertivel Prova Suponha que B seja inversa a direita de A e C seja inversa 4 esquerda de A entao CCICAB CABIBB Ou seja B C Sendo assim temos que AB BA I e portanto A é invertivel 0 Corolario 2 Seja A uma matriz n x n Entao A tem no maximo uma inversa Prova Suponha que B e C sejam ambas inversas de A Entao pela definigao de matriz inversa sabemos que tanto B quanto C sao inversas a direita e 4 esquerda de A Portanto pelo teorema 4 BC Notacao Se uma matriz A é invertivel entaéo nds denotamos por A a sua tinica inversa 21 Teorema 5 Se uma matriz A de tamanho n x n é invertivel entao ela é naosingular e a tinica solucao para o sistema de equacoes lineares Aw b é x A7D Prova Premultiplicando ambos os lados de Ax b por Atemos que A Ax Ab AA x Ab Ix Ab x Abd Como A é tinica a solugao do sistema é tinica para todo b o que implica que rankA ncolA nlinA ne portanto A é naosingular 0 Teorema 6 Se uma matriz A de tamanho n x n é naosingular entao ela é invertivel Prova Por construgao Suponhamos que A seja naosingular Entao sabemos que o sistema Az 6 possui solucao tinica para todo b Se a matriz X é a inversa a direita de A entao AX I Abrindo essa expressao ai a42 vee Ain U4 2 vee Lyi vee Vin 10 QO 0 a2 492 we Qn 21 22 we LOG ss LAN O11 0 0 Qi a2 vee Qin Lit 2 vee Vii vee Lin 0 0 1 vee 0 Ani GnQ Ann Ent UnQ Uni Lnn 00 0 1 eA A xX I 22 Percebemos que a4 a42 vee Ain 11 1 ai a42 vee Ain 12 0 a2 4922 vee Q2n 21 0 a2 492 vee Q2n 22 1 5 goes Qi aig vee Qin Vil 0 Qi a2 vee Qin Xi2 0 Qn1 QAn2 Ann Int 0 Qn1 QAn2 Ann Ln2 0 ees TN eee TN A Xy ey A X2 e2 a1 a2 vee Ain Li 0 a1 a42 vee Ain Lin 0 a2 492 vee Q2n L245 0 a2 4922 vee Q2n L2n 0 geey Ai aja vee Qin Lit 1 Qi aja vee Qin Lin 0 Qni AnQ Ann Lnj 0 Qn1 Qn2 Gnn Inn 1 a a A Xi ej A Xn En Assim para encontrarmos X podemos proceder resolvendo cada um dos n sistemas do tipo AX e 7 1n Como A é naosingular sabemos que todos esses sistemas possuem solugao tinica X7 7 1n Isso estabelece a existéncia da inversa a direita de A X XfX7 Precisamos agora mostrar a existéncia da inversa a esquerda de A Para isso usamos o corolario 1 que nos diz que para toda matriz A existe E Ey Ey1EoE tal que EA R onde R éa matriz reduzida de A Como no nosso caso A é quadrada e naosingular R é a matriz identidade e portanto FE é a inversa a esquerda de A Concluimos assim que HA AX IequeHXAO Corolario 3 Seja A uma matriz quadrada Essa matriz é invertivel se e somente se ela é naosingular Exemplo 18 A primeira parte da demonstracao do teorema 6 nos oferece uma forma para computarmos a inversa de uma matriz Como treino vale a pena aplicarmos esse método na matriz A abaixo oe A12 2 3 34 1 Queremos encontrar X A ou seja AX I Portanto precisamos resolver o seguinte 23 sistema 1 1 i T1112 13 1 0 0 E 2 7 E L2 1 34 1 U3 32 33 0 0 1 OR Como vimos isso pode ser feito resolvendose a seguinte sequéncia de 3 sistemas 1 1 ii Ly 1 SEI 34 1 X31 0 Soe A Xy e1 1 1 ii L412 0 PELE 34 1 X32 0 Seer A Xo e 1 1 ii X13 0 E 2 Ea 34 41 33 1 Snrs A X3 e3 Podemos resolver esses sistemas separamente Para isso formamos as matrizes aumenta das e usamos 0 método de GaussJordan 111 A E 2 ss 34 1 0 11 110 A E 2 i 34 1 0 11 10 A E 2 a 394 111 Como nunca usamos a tiltima coluna de uma matriz aumentada para determinar as ope ragoes do método de GaussJordan nds realizamos as mesmas operagoes elementares para resolvermos os trés sistemas acima ou seja aS mesmas operacoes que reduzem Ale para Zc também reduzem Ale para Ic Sendo assim ao invés de resolvermos os sistemas separadamente podemos ser mais eficientes e os resolvermos simultaneamente Para isso montamos a matriz aumentada gigante AJ abaixo e entao procedemos pelo método de 24 GaussJordan até obtermos IA1 ˆA 1 1 1 1 0 0 12 2 3 0 1 0 3 4 1 0 0 1 Ao fazermos o escalonamento por linha de ˆA chegamos no seguinte ˆB 1 1 1 1 0 0 0 10 15 12 1 0 0 0 3 5 4 2 0 1 1 Concluindo o método de GaussJordan chegamos à matriz reduzida R 1 0 0 25 335 17 0 1 0 35 235 37 0 0 1 65 135 27 Com isso solucionamos os três sistemas que formam a matriz inversa de A Ou seja A1 25 335 17 35 235 37 65 135 27 Podemos resumir o que aprendemos no teorema abaixo Teorema 7 Seja A uma matriz quadrada de tamanho n n As seguintes armações são equivalentes 1 A é invertível 2 A tem inversa à direita 3 A tem inversa à esquerda 4 A inversa à direita de A é igual à inversa à esquerda de A 5 A inversa de A é única 6 Todo sistema Ax b possui pelo menos uma solução para todo b 7 Todo sistema Ax b possui no máximo uma solução para todo b 8 A é nãosingular 9 A tem posto máximo rankA n Teorema 8 Sejam A e B duas matrizes quadradas invertíveis Então 1 A11 A 25 2 AT A 3 AB é invertivel e AB BA7 Prova 1 Sabemos que AA J P6smultiplicando os dois lados por A temos que AATAT 1A1 I AI A AA1 2 Pela definicao de matriz inversa sabemos que AA J Transpondo os dois lados AA1 17 A71 AT I Mas isso siginifica que A1 é inversa a esquerda de A Por outro lado também pela definicdo de matriz inversa sabemos que que AA J Transpondo os dois lados A114 IT AT A1 1 Mas isso siginifica que A é inversa a direita de A Portanto AT A 3 De fato ABB A1AIAAAtTIe BAABBIBBB I 0 que significa que AB BA Teorema 9 Seja A uma matriz quadrada invertivel e defina A AAA m vezes Entao 1 A 6 invertivel para todo inteiro m e A A7 A 2 Para quaisquer inteiros re s AAS ATS 3 Para qualquer escalar r 4 0 rA é invertivel e rA 1r AT Prova 1 Por inducgdo Ja sabemos que AA AA A Suponha que A7 A1 A Entao An 8 ATA AT AM ATA A 26 Portanto para todo inteiro m A A71 A 2 Abrindo a expressao A A AAAA AA A ee r vezes 8 vezes r 8 vezes 3 De fato 1 1 rAAlrAAtlI0 r r Observacao Como as matrizes elementares sao invertiveis podemos escrever qualquer matriz A da seguinte forma A Ey E5 E ER onde R éa forma reduzida de A Como a inversa de uma matriz elementar E também é uma matriz elementar podemos simplicar para A FF wes Pm1limR Estas notas de aula tém o propésito de explicar o contetiido do capitulo 8 de Simon e Blume 1994 que é seguido de perto Alguns pequenos ajustes naquele material sao realizados para efeito didatico Referéncias 1 SIMON Carl P BLUME Lawrence Mathematics for Economists Nova Iorque Norton Company 1994 Cap 8 27