Independência Linear: Conceitos e Definições

Independência Linear 1 Independência linear A reta gerada por um vetor v Rn é descrita pelo seguinte conjunto L v rv r R 1 A gura abaixo ilustra a reta gerada pelo vetor v 1 2 Sejam dois vetores v1 e v2 o conjunto gerado por esses vetores é formado por todas as combi nações lineares deles ou seja L v1 v2 c1v1 c2v2 c1 c2 R 2 Se v1 e v2 são múltiplos então um pode ser obtido a partir do outro já que são colineares Nesse caso dizemos que v1 e v2 são linearmente dependentes e o conjunto gerado por eles é uma reta Caso contrário v1 e v2 são linearmente independentes e geram um plano A gura abaixo ilustra as duas situações 1 Linearmente Dependentes Linearmente Independentes Dizer que v1 e v2 são múltiplos e portanto linearmente dependentes signica que v1 r2v2 ou v2 r1v1 ou ambos 3 A armação 3 pode ser captada pela seguinte equação c1v1 c2v2 0 4 sem que c1 e c2 sejam ambos iguais a zero Naturalmente v1 e v2 são linearmente independentes se e somente se c1v1 c2v2 0 c1 c2 0 5 2 Sejam três vetores v1 v2 e v3 o conjunto gerado por esses vetores é formado por todas as combinações lineares deles ou seja L v1 v2 v3 c1v1 c2v2 c3v3 c1 c2 c3 R 6 Se nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois por exemplo v3 r1v1 r2v2 então v1 v2 e v3 são linearmente independentes e geram um espaço tridimensional L v1 v2 v3 Caso um dos vetores possa ser obtido através de uma combinação linear dos demais por exemplo v3 r1v1 r2v2 enquanto os outros dois são linearmente independentes então o espaço gerado por eles é um plano L v1 v2 v3 L v1 v2 e v3 pertence a esse plano Nesse caso dizemos que v1 v2 e v3 são linearmente dependentes Linearmente Dependentes Linearmente Independentes 3 Assim dizemos que v1 V2 U3 sao linearmente dependentes se e somente se existem escalares C1 C2 C3 nao todos iguais a zero tais que Cy V1 CoV2 C3U3 0 7 Por outro lado dizemos que v1 V2 v3 sao linearmente independentes se e somente se CyV V2 603 OS cq H c 0 8 Podemos agora generalizar o conceito de independéncia linear Definigao 1 Os vetores v1 V2v no R sao linearmente dependentes se e somente se existem escalares C1 C2 c IR nao todos iguais a zero tais que CyV1 CQVo CLEVE 0 9 Os vetores V1 VoUz no R sao linearmente independentes se e somente se CU Cova CORU O SC O c 0 10 Exemplo 1 Consideremos os vetores 1 0 0 0 1 0 ex eo en 11 0 0 1 no R Eles sao linearmente independentes pois ce C22 Chen O Cy O Cy 0 Vejamos nos queremos determinar c C1 C2Cn tal que 1 0 0 0 0 1 0 0 Cy Co Cy 12 0 0 1 0 CTZ TO el e2 en 0 Abrindo essa equacao nds temos que 1q 00c0 Oq tlt0c 0 13 Oc 0e410 4 Esse sistema pode ser escrito matricialmente da seguinte maneira 10 0 Cy 0 O01 O C2 0 So f i 14 00 1 Cn 0 el errr 0 AI c Temos portanto um sistema homogéneo em que a matriz de coeficientes é a matriz identidade que tem posto completo igual a n Sendo assim a tinica solugao para o sistema acima é a solugao trivial c 0 o que significa que os vetores 1 2En Sao linearmente independentes e geram o R Exemplo 2 Os vetores 1 4 7 Vzi 2 vg 5 e U3 8 15 3 6 9 sao linearmente dependentes Como no exemplo anterior nds queremos determinar c c1 C2 c3 tal que 1 4 7 0 a 24ea5e8 0 16 3 6 9 0 Abrindo essa equacao temos o seguinte 1q447c0 2 58c 0 17 36m9c30 Esse sistema pode ser escrito matricialmente da seguinte maneira 14 7 Cl 0 25 8leaq 0 18 36 9 C3 0 Sees Ne A c 0 Temos portanto um sistema homogéneo cuja matriz de coeficientes tem posto menor do que o nimero de colunas jA que seu determinante é igual a zero Portanto existe c 4 0 tal que cv Co2 0303 0 Por exemplo cy 1 cp 2 e cz 1 resolvem o sistema Abaixo sao enunciados dois teoremas cujas provas sao omitidas porque decorrem imediatamente do que jé aprendemos sobre sistemas de equacoes lineares Teorema 1 Os vetores U1 U2VUz no R sao linearmente dependentes se e somente se o 5 sistema de equacoes lineares Ac0 19 possui solugao naotrivial ou seja c 4 0 onde C1 C2 Anxk VU U2 Uk ec 20 Ck Teorema 2 Os vetores Vj V2 U no R sao linearmente independentes se e somente se det A 4 0 21 onde Anxn Uz VQ Un 22 Teorema 3 Sejam os vetores U1 Vo V no R Sek n entao esses vetores sao linearmente dependentes Prova Os vetores sao os seguintes Ui Vy12 Vik U21 U22 U2k v1 U2 pu UR 23 Uni Un2 Unk Formemos 0 sistema U11 Vig Ulk Cy 0 U21 V22 s U2dk C2 0 Sok f i 24 Unt Un2 Unk Ck 0 SS ee ee A c 0 O sistema homogéneo e portanto possui solugao trivial c 0 Além disso ncol A nlinA Como rank A min nlin A ncol A sabemos que o sistema possui va ridvel livre Consequentemente existem outras soluc6es infinitas delas além da solucao trivial O 6 2 Conjuntos gerados Definigao 2 Sejam os vetores v1 V2Vv no R O conjunto gerado por esses vetores é 0 conjunto de todas as combinacoes lineares entre eles L V1 Va VE C1V1 CoVq CRUE 2 C1 C2 5 Ce R 25 Esse é 0 conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como combinacoes lineares de U1 U2 Uk CU CoVo CLEVE b 26 Em outras palavras 0 conjunto gerado por v1 U2Uzx definido como o conjunto de vetores b para os quais o sistema Ui1 Vig Vik C1 by me tee ee aL en Uni Un2 Unk Ck bn esr NS A c b admite solucao Exemplo 3 Os vetores e 10 e e2 01 geram o R pois 1 0 b a 28 0 1 C2 by Seas A c b possui solucao para todo b Exemplo 4 Os vetores e 100 e eg 010 geram o plano x Xx x2 x 0 no R pois 1 0 by C 01 db 29 c2 OO 0 Ty on possui solucao j4 que rankA rankA onde 1 01d A 0 0 0 7 X3 yor xy Teorema 4 Os vetores v1 VoU no R geram o R somente se k n Prova Por contraposigao Os vetores sao os seguintes Vi Ui12 Vik V21 U22 V2k v4 V2 po VE 31 Unl Un2 Unk Formemos 0 sistema Ui Vig ULE Cy by U2 V22 es U2k C2 by Co f 4f 32 Uni Un2 Unk Ck Dn ss NS A c b O sistema admite solugéo para todo b R se e somente se rank A nlinA Como rank A min nlin A ncol A se k ncol A n nlin A entao rank A nlinA e portanto existe b R para o qual o sistema acima nao tem solugao Em outras palavras para algum b R nao existe c C1 C9 cz tal que cyvy C2v2 we F CRUR b O 3 Base e dimensao no R Definigao 3 Seja uma colecao de vetores V1 Vo Vz no espago V Dizemos que j Vo Ug forma uma base de V se 1 v1V2U gera V e 8 2 1 V2 Uz é linearmente independente Exemplo 5 Os vetores 1 0 0 0 1 0 e e 5en 33 0 0 1 formam uma base do R Teorema 5 Toda base do R possui exatamente n vetores Prova Seja uma colecao de vetores v1 V2 U do R Ja sabemos pelo teorema 4 que esses vetores geram 0 R somente se k n Se k n entao o posto da matriz de coefici entes do sistema homogéneo abaixo menor do que o ntimero de colunas da matriz e portanto admite infinitas solucoes além da solugao trivial Isso significa que os vetores sao linearmente dependentes Uy U1Q ss ULE Cl 0 U21 U29Q2 Va C9 0 Coe f 4a 34 Unl Un2 Unk Ck 0 Teorema 6 Seja vj1 V2Un uma colecao de n vetores do R Forme a matriz A cujas colunas correspondem a esses vetores U1 V412 vee Vin Ug VQ V2 A 0 7 35 Uni Un2 Unn Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 V1 V2 Un sao linearmente independentes 2 V1 V2Un geram o R 3 V1 V2Un formam uma base do R e 4 det A 40 Definigao 4 Seja V um espaco vetorial A dimensao de V é dada pelo nimero de vetores em qualquer base de V 9 Estas notas de aula têm o propósito de explicar o conteúdo do capítulo 11 de Simon e Blume 1994 que é seguido de perto Alguns pequenos ajustes naquele material são realizados para efeito didático Referências 1 SIMON Carl P BLUME Lawrence Mathematics for Economists Nova Iorque Norton Company 1994 Cap 11 10