Determinantes de Matrizes: Definição e Exemplos

Determinantes 1 O determinante de uma matriz O determinante de uma matriz quadrada de tamanho n x mn é uma forma direta de veri ficar se ela é naosingular e portanto invertivel Especificamente como veremos a seguir o determinante de uma matriz quadrada é diferente de zero se e somente se essa matriz for naosingular Definiremos o determinante um matriz de forma indutiva Matriz 1 x 1 Uma matriz 1 x 1 é simplesmente um escalar a Podemos inverter a se e somente se a 4 0 Assim é natural definir o determinante dessa matriz como det a a 1 Matriz 2 x 2 Consideremos a matriz 2 x 2 abaixo aj a A mda 2 21 G22 A sua forma escalonada por linha é a seguinte a a B u 12 3 0 Q11422 12421 a1 ay 0 A matriz A tem posto completo se e somente se a41d22 d12d21 0 Assim detA a1 a22 Giz G21 4 we weH Mii Mi2 onde Mi det a22 e Mie det a1 5 Observagao 1 No caso de uma matriz A de tamanho 2 x 2 0 seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal a tais que i j menos o produto dos 1 elementos da diagonal secundaria a tais que 7 7 n 1 11 ai2 A 6 21 G22 det A 411492 41249 7 Exemplo 1 Consideremos a seguinte matriz A de tamanho 2 x 2 1 2 A 8 34 O seu determinante é dado por det A 1423 9 46 10 2 11 Matriz 3 x 3 Consideremos a matriz 3 x 3 abaixo a1 A12 413 A az 22 23 12 431 432 433 Vamos escalonar essa matriz Para simplificar assumimos que nao precisamos trocar a posicao de duas linhas Assim assumindo aj 4 0 primeiramente somamos a segunda linha de A 221a vezes a sua primeira linha e a terceira linha somamos 431a vezes a sua primeira linha Fazendo isso chegamos no seguinte a11 a2 a13 B a21412 a21413 1 1 QO da SE a3 13 431412 431413 QO agg Si 33 So Multiplicando a segunda e a terceira linhas de B por aj encontramos que a11 a12 13 By 0 ayyaa2 agiay2 411423 21413 14 QO 41432 431442 441433 431413 Somando 4 terceira linha de By 411432431412aa29a21a12 Vezes a segunda linha de Bo 2 4122 A112 0 chegamos na forma escalonada de A ai a2 a13 B QO Ay1422 21442 441423 A21413 15 0 0 d onde d a41 41 422433 423032 012 A21433 423031 013 21432 22431 11A22 21412 i i S My M2 Mi3 16 e 22 23 a22 423 M W det 5 17 232 433 32 433 a21 423 a21 423 Mie det e 18 231 433 31 433 a21 a2 a21 M22 M3 det 19 31 432 a31 432 Consequentemente A é naosingular se e somente se a1M11 a12Mj2013Mi3 4 0 Logo det A aM 42M 42 a43M3 20 Observacao 2 No caso de uma matriz A de tamanho 3 x 3 existe uma forma pratica para calculo do determinante chamada de regra de Sarrus Consideremos a matriz abaixo a1 A12 413 A az 22 23 21 431 432 433 Para calcularmos o seu determinante pela regra de Sarrus primeiramente replicamos as duas primeiras colunas como duas colunas adicionais 4 matriz A a11 12 G13 G11 12 A az G22 G23 G21 Ag2 22 431 432 433 431 432 Entao somamos os produtoérios dos elementos das diagonais descendentes Desse total subtraimos a soma dos produtérios dos elementos das diagonais ascendentes Na matriz abaixo as diagonais descendentes estao destacadas com fontes de mesma cor vermelho azul e marrom e as diagonais ascendentes com mesma cor de fundo cinza verde e 3 amarelo Q11 G12 G13 A a2 22 a22 23 31 a31 432 Assim o determinante de A é det A 11422433 G1223031 413021032 aizd21433 GERD 413022031 24 De fato se expandirmos a equacao 20 e organizarmos os seus termos encontramos a equacao 24 Exemplo 2 Consideremos a seguinte matriz de tamanho 3 x 3 1 2 83 A4 5 6 25 1 5 38 O seu determinante é dado por det A 1534261434524341654351 26 15 12 60 24 30 15 27 87 69 28 18 29 Matriz 4 x 4 Consideremos a matriz 4 x 4 abaixo a1 G12 G13 14 A qi G22 G23 Gea 30 431 432 433 434 G41 G42 G43 M44 Por analogia com os casos anteriores det A 041My1 d12My2 a13M13 ay4Mia 31 4 onde a22 423 G24 a21 423 A24 Mir a32 a33 a3a Miz agi a33 aa G42 G43 G44 a41 G43 a4 a1 422 Go4 21 G22 a3 Mi3 a31 a32 a3a Mia a31 ago 33 32 G41 G42 G44 A41 G42 M43 Vamos generalizar para uma matriz n x n Entretanto convém antes apresentarmos uma definicao Definigao 1 Sejam A uma matriz nxn e A asubmatriz n 1 xn 1 obtida deletandose a iésima linha e a jésima coluna de A Entao o escalar é chamado de menor i 7 de A e o escalar é o cofator i 7 de A Com base nessa definigaéo podemos escrever a equacao 4 da seguinte maneira det A aC ayoC jo 35 afinal Cy 1 Mi e Cp 1 Myo Da mesma forma podemos escrever a equacao 20 da seguinte maneira detA auiCyr ai2C 2 ai3Ci3 36 afinal Cy 1 Mi Cie 1 Mio e C13 1 Mj3 Definigao 2 O determinante de uma matriz A de tamanho n x n é dado por det A aici a42C 12 o QinCin 37 S ayjC1 38 jl So ary 17 My 39 jl Observagao 3 Em 3739 para cdlculo do determinante de uma matriz A de tamanho n x n foi feita a expansdo de Laplace ao longo da primeira linha de A Porém essa 5 expansao pode ser feita ao longo de qualquer linha ou de qualquer coluna da matriz Assim det A S ai 1 M para todo i 1n Expansao pela linha 40 jl So aij 17 M para todo j 1n Expansao pela coluna j 41 i1 Corolario 1 Para qualquer matriz quadrada A det A det A Exemplo 3 Consideremos a matriz A de tamanho 4 x 4 abaixo 1234 35 1 2 A 42 21441 3 2 1 1 Para cAlculo do determinante dessa matriz podemos escolher qualquer linha ou coluna para fazermos a expansao de Laplace Se houvesse uma linha ou coluna com zeros essa seria a candidata natural Como nao existe zero na matriz faremos a expansao pela primeira linha 5 1 2 3 1 2 det A 11 1 4 14212 4 14 211 3 1 1 35 2 35 1 31 2 1 14412 1 4 43 32 1 32 1 5 1 2 3 1 2 35 2 35 1 11 4 122 4 1432 1 142 1 4 44 211 3 1 1 32 1 32 1 en Mir Miz Mis Mia Apenas como treino vamos fingir que nao conhecemos a regra de Sarrus para calculo de determinante de matriz 3 x 3 e calcular os menores acima pela expansao de Laplace 4 1 1 1 1 4 My 51 11 1 142 42 143 45 w5D YP fea f2cn 45 4 1 1 1 1 4 5 1 2 5311272 46 1 1 2 1 2 1 6 4 1 2 1 24 My 31 11 4 11 142 49 13 47 w3I YP fe ayey f2acyhs oo 47 4 1 2 1 24 3 1 2 331121010 48 1 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2 1 Min 31 11 45 142 49 143 49 w3H fear f4acyis oS 19 1 1 2 1 2 1 3 5 2 3151214 50 2 1 3 1 32 1 4 2 4 2 1 M 31 141 45 142 4 11 143 51 was espe ys feacps 51 1 4 24 2 1 3 5 1 375101130 52 2 1 3 1 32 Plugando 46 48 50 e 52 em 44 encontramos que det A 1221034430 53 86 54 O exemplo acima mostra como o calculo de um determinante pode ser trabalhoso E nos nem expandimos os determinantes dos menores de segunda ordem Ao invés disso usamos o nosso conhecimento prévio sobre determinantes de matrizes 2 x 2 De uma maneira geral o calculo de um determinante envolve n termos Porém se algum coeficiente for igual a zero ao selecionarmos para expansao de Laplace a linha ou a coluna convenientemente podemos evitar o trabalho de calcular alguns desses termos A boa noticia é que alguns tipos de matrizes possuem uma forma simples de calculo de determinante Teorema 1 O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior e de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal Prova Provaremos pelo principio da indugao matematica e Matriz triangular inferior Primeiro estabelecemos a base que é uma matriz de tamanho 2 x 2 ay 0 det A2x2 041422 Vag a11022 55 a21 22 7 Agora suponhamos que a proposicgao seja verdadeira para uma matriz de tamanho n1 x n1 Verificaremos que entéo a proposigéo também vale para uma matriz de tamanho n x n ayy 0 0 Lee 0 0 a21 22 0 Lee 0 0 det Amin ARB Qn11 An12 An13 An1n1 9 Ant An2 An3 Ann1 Ann 22 0 vee 0 0 a32 33 wes 0 0 an1 Dot f Qn12 An13 An1n1 0 On2 Gn3 ss Ann1 Ann 21 0 Lee 0 0 a31 a33 wes 0 0 017 Dots Dol Qn11 An13 An1n1 0 Ant Gn3 Ann1 Ann a1 a22 0 vee 0 31 039 033 we 0 wAO1I Dots 56 An11 Un12 Un13 Un1n1 Ant An2 Gng3 ss Ann1 8 Portanto Q41 0 0 vee 0 0 a3 a2 0 wee 0 0 a3 a32 33 see 0 0 An11 An12 An13 An1n1 9 Ani An2 An3 te Qnn1 Ann a292 0 wee 0 0 a32 33 vee 0 0 A11 my 58 An12 An13 An1n1 9 An2 An3 te Qnn1 Ann a det A n1xn1 Pela hipotese da indugao det An1xn1 jLs az Consequentemente det Anxn Tins ai e Matriz triangular superior A transposta de uma matriz triangular inferior 6 uma matriz triangular superior A transposta de uma matriz quadrada nao altera a diagonal principal Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta concluimos que o determinante de uma matriz triangular superior também é igual ao produto dos elementos da diagonal principal e Matriz diagonal Primeiro estabelecemos a base que é uma matriz de tamanho 2 x 2 Q41 0 det Aox2 411422 00 11492 59 0 age Agora suponhamos que a proposicgao seja verdadeira para uma matriz de tamanho n1 x n1 Verificaremos que entéo a proposigéo também vale para uma 9 matriz de tamanho n x n ay 0 0 wee 0 0 0 a22 0 vee 0 0 0 O a vee 0 0 det Anxn 0 0 QO Am1n1O 0 O OO 0 Gnn a22 0 wee 0 0 0 33 ee 0 0 a1 1 Dos en 0 O Am1yn1O 0 O 0 Ann 0 O 0 0 0 33 e 0 0 01 2 bo Dol 0 0 see Qn1n1 0 0 O 0 Ann 0 a22 0 vee 0 0 0 A330 0 we AOD EE os 60 0 0 0 see Qn1n1 0 0 O 0 Portanto Qi 0 0 vee 0 0 0 a22 0 vee 0 0 0 0 A330 0 0 0 0 0 wee Qn1n1 0 0 O OO 0 GQnn a22 0 wee 0 0 0 A330 0 0 A11 Doe 62 0 0 wee Qn1n1 0 0 O4 0 Ann ey det An1xn1 10 Pela hipotese da indugao det An1xn1 jLs az Consequentemente det Anxn I Ay oO Teorema 2 Se formarmos uma matriz B trocando a posicao de duas linhas ou de duas colunas de uma matriz quadrada A entao det B det A Prova Provaremos pelo principio da inducgao matematica Primeiro estabelecemos a base que é uma matriz de tamanho 2 x 2 ai G12 det Aox2 041022 412021 63 a21 G22 a21 G22 det Box 21012 222411 64 aii Ay2 Agora suponhamos que a proposigao seja verdadeira para uma matriz de tamanho n1 x n1 Verificaremos que entao a proposicéo também vale para uma ma triz de tamanho n x n Abaixo temos a matriz Any e a matriz Bryn que troca a posicao da 7ésima e da jésima linhas de A Qi wee ayy wee aij wee Ain ai1 wee ai wee aij wee Ain Qh1 wee Qhi wee any wee Qhn Qhi1 wee Qhi cee Qhj wee Qhn A Ai see Ai cee Qi see Qin B A514 vee Gi aes G5 vs Ain A514 see 54 see a5 see Ain Ai see Ai see ij see Qin Anl1 wee Ani wee Qnj ss Ann Anil wee Ani wee Qnj wee Ann 65 Fazendo a expansao de Laplace pela hésima linha de A e de B n det A ang 1 det Ans 66 k1 n det B S ang 1 det Bre 67 k1 onde A Bry sao as submatrizes de A e B respectivamente obtidas removendose a h ésima linha e a késima coluna As submatrizes Aj e By sao de tamanho n 1 xn 1 e diferem apenas pela posicao das linhas i e 7 Pela hipétese de indugao det Anx 11 det Brx Assim det B S ang 1 det Ang 68 k1 hk Se ayy 1 det Ang 69 k1 detAO 70 Teorema 3 Se duas linhas ou duas colunas de A sao iguais det A 0 Prova Suponhamos que a 7ésima e a jésima linhas de A sejam iguais Pelo teorema 2 se tro carmos a posicao dessas linhas o sinal do determinante muda Porém a matriz resultante da troca de posigao das linhas de A é igual a A Sendo assim det A det A e portanto det A 0 0 Teorema 4 Se formarmos uma matriz B multiplicando uma linha ou coluna de A por um escalar r entao det B r det A Prova Suponhamos que a 7ésima linha de A seja multiplicada pelo escalar r para formar B Para calcular det B podemos fazer a expansao de Laplace por qualquer linha Fazendo essa expansao pela iésima linha de B temos que Q11 see aii see Qin det B TQ TAY TAin 71 Ant see Ani see Ann jal SS det Ajj jl rdet AO 74 Teorema 5 Se uma matriz A possui uma linha ou uma coluna toda de zeros entao det A 0 Prova Suponhamos que a 7ésima linha de A seja igual a zero Para calcular det A podemos fazer a expansao de Laplace por qualquer linha Fazendo essa expansao pela 7ésima linha 12 temos que Ay se AG wee An A0 0 0 75 QAn1 wee Ani o Ann S701 M 76 jl 00 77 Teorema 6 Sejam Ae B duas matrizes n x n que diferem apenas na 7ésima linha Seja C a matriz cuja 7ésima linha a soma da 7ésima linha de A e B e as demais linhas sao iguais a Ae B Entao det C det A det B 78 Prova Para ajudar a visualizar abaixo escrevemos as trés matrizes Q11 a12 te 1n1 Q1n a21 a22 te 2n1 aan A ail ai2 te Qin1 Qin 79 Gn11 Gn12 An1n1 n1n Ant An2 te Qnn1 Ann Q11 12 tee Q1n1 Qin 21 22 te 2n1 Q2n B bi biz oo Din1 Din 80 Qn11 n12 n1n1 n1n Anil An2 tee Gnn1 Ann 13 Q11 a12 te 1n1 Qin a21 a22 te 2n1 a2n C aatbia aiotbig Gifn1in1 Gin tbin 81 GQn11 Gn12 Qn1n1 Qn1n An1 An2 te Qnn1 Ann Fazendo a expansao de Laplace pela 7ésima de C temos que det C S aig big 1 det Ci 82 jal S det AdetBi Sajj 1 det Ajj S bi 1 det Bis 83 a7 az a a jl jl ee OS detA detB det A det BO 84 Teorema 7 Obtenhaa matriz B fazendo a operacao elementar na matriz A de somar a jésima linha de A um miltiplo r da 7ésima linha de A Entao det A det B 85 Prova Para ajudar a visualizar abaixo escrevemos as duas matrizes G11 12 Aln1 Gin Qji AQ Gin1 Gin A i fo 86 Gj AjQ Qjn1 Ain Qn1 Gn2 Gnn1 Gnn Q11 a12 to 1n1 Q1n Qi1 A42 te Qin1 Qin B m 87 TQi1 Aj TAx2 AjQ2 TAQ Qj n1 Taig Ain Ant An2 see Qnn1 Ann 14 Fazendo a expansao de Laplace pela jésima linha de B temos que det B S rain ajx 1 det Bjx 88 k1 detAjx r aix 1 det Ajx 55 ajx 1 det Ajx 89 k1 k1 ee 0 pelo teorema 3 detA det AO 90 Teorema 8 Seja A uma matriz n x ne seja B a sua forma escalonada por linha Entao det A det B 91 Se nao ha mudanga de posigao de linhas ao computar B entao det A det B Prova O escalonamento de uma matriz envolve apenas dois tipos de operacdes elementares 1 trocar a posicao de duas linhas 2 somar a uma linha um miultiplo de outra linha Pelo teorema 2 sabemos que 0 impacto da primeira operacao é trocar o sinal do determi nante da matriz Pelo teorema 7 a segunda operacao nao afeta o determinante da matriz O Coroldrio 2 Uma forma eficiente de calcularmos o determinante de uma matriz é primei ramente obter a sua forma escalonada por linhas pois essa é triangular superior e o determinante desse tipo de matriz é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal Teorema 9 Uma matriz quadrada é naosingular se e somente se o seu determinante é dife rente de zero Prova Seja B a forma escalonada por linha de A Pelo teorema 8 sabemos que det A detB Se A é naosingular B é uma matriz triangular superior e possui piv6s por definigao nimeros diferentes de zero na diagonal principal Pelo teorema 1 0 determi nante de uma matriz triangular superior ou inferior igual ao produto dos elementos da diagonal principal Como todos os elementos da diagonal principal de B sao diferentes de zero temos que det B 4 0 e portanto det A 4 0 Por outro lado por contraposi cao se A é singular a iltima linha de B é composta apenas por zeros e portanto pelo teorema 5 det B 0 det A sendo a ultima igualdade decorrente do teorema 8 0 15 Lema 1 Sejam EF uma matriz elementar de tamanho n xn e B uma matriz qualquer de mesmo tamanho Entao det EB det EF det B 92 Prova Suponhamos primeiramente que F Entao EB éamatriz B com as linhas 7 e j tro cadas Pelo teorema 2 det B det B Como det 1 ja que E a ma triz identidade com as linhas i e j trocadas concluimos que det B det det B Se EF Er Er B é a matriz B com a sua iésima linha multiplicada por r Logo pelo teorema 4 det FrB rdetB Como det Er r jA que Er é a matriz identidade com a linha 7 multiplicada por r concluimos que det r B det r det B Por fim ErB soma a jésima linha de B r vezes a sua iésima linha Pelo teorema 7 det E r B det B Como det Ej r det 1 1 ja que soma a4 jésima linha da matriz identidade r vezes a sua 7ésima linha concluimos que det E r B det Ej r det B O Teorema 10 Sejam A e B duas matrizes n x n Entao det AB det A det B 93 Prova Pelo 0 que vimos em Algebra matricial podemos decompor A da seguinte maneira A EL EyER onde E HE sao matrizes elementares e R é a forma reduzida de A Sendo assim AB FE Ey E3ERB Aplicando o lema 1 det AB det F Fy E3ERB 94 det F det 2 F3ERB 95 Se A é naosingular R I e portanto det AB det EF Ey E3E det RB 98 det F Ey E3E1 det B 100 det A det B 101 Se A é singular a tltima linha de R é composta apenas de zeros Portanto RB também 16 é singular e portanto det RB det A 0 Consequentemente det F Fy E3E det A 0 103 det A det B 00 104 Teorema 11 Se A é invertivel entao det A 105 det A Prova Por definigao AA I Aplicando o teorema 10 det AA det A det A7 det I 1 Portanto 1 det A 106 4 Tea o 106 2 Usos do determinante Definigao 3 Seja A uma matriz n x n Denote por Ci 0 cofator associado ao elemento aj de Ai1nej7 1n Defina C a matriz dos cofatores de A A matriz adjunta de A a transposta da sua matriz de cofatores ou seja adjA C7 Exemplo 4 Considere a matriz A abaixo 24 5 A0 3 0 107 1 01 Os cofatores de A sao os seguintes 3 0 0 0 0 3 Cy 1 3 Cy 1 0 Cig 1 3 nCD p w 4 4 5 2 5 24 21 0 1 22 11 23 1 0 4 5 2 5 24 C3 1 15 Cy 1 0 Cy3 1 6 a 9 eY G wD 108 17 A matriz de cofatores de A é C Co Co C3 4 3 4 109 C31 C39 C33 15 0 6 Assim a matriz adjunta de A é 3 4 15 adjA 0 3 0 110 3 4 6 Lema 2 Seja A uma matriz quadrada naosingular Entao Aadj A det A I 111 Prova E facil ver que Q141 412 Ain Cy Ca Ci a a a Qn Crp C a CO AadjA nee 112 Qn1 An2 se Ann Cin Con tee Chn det A 0 ve 0 0 det A 0 113 0 0 det A 10 0 0 O01 0 0 detA i io i 114 00 1 0 00 0 1 det A J 115 pois Afi adj7 det A para i 1n e Ali jadjj 0 para i 7 ja que é equivalente a calcular o determinante de uma matriz com linhas 7 e 7 iguais O Teorema 12 Seja A uma matriz quadrada naosingular Entao 1 A inversa de A é 1 Aq adjA 116 det Ay A 116 18 2 Regra de Cramer A tinica solucgao para o sistema de equacgoes lineares Ax b é Se 117 wT Get A 117 onde B a matriz A com a sua 7ésima coluna substituida por b Prova 1 Pelo lema 2 sabemos que Aadj A det A J Prémultiplicando os dois lados por Atemos que A Aadj A A det A I 118 I 1 Tadj A det A AI 119 adjA A adj A det A A7 120 Portanto 1 Aq adjA 121 det ay A 121 2 Pela parte 1 do teorema sabemos que Cu Cx we Cm11 Cn by 1 C2 Co we Cn12 Che by Ap me x det A Crn1 Camn1 ss C1n1 Cnn1 Dn1 Cin Con te Cn1n Can Dn 122 Portanto by Cy beC a3 Bm1Cn18 OnE ni ahai eT ne nei anni 123 det A 123 i 1n Acontece que o numerador da equacao acima corresponde ao det B onde B éa matriz A com a sua iésima coluna substituida por 6b O Exemplo 5 Considere a matriz A abaixo mesma do exemplo 2 acima 24 5 A0 3 0 124 1 01 19 O determinante dessa matriz detA 9 e a sua inversa é 1 3 4 15 At7 0 3 0 125 3 4 6 SS adjA Exemplo 6 Considere o sistema de equacoes lineares geral abaixo A440 AyjXi Ann by Ani XL AnjgXi Ann kn bn Escrevendo esse sistema na forma matricial obtemos que Q41 wee AYE wee A Ly by An1 oe Ani ws Ann tn bn ees NS A x b 20 Aplicando a regra de Cramer by wee ayy wee Ain b 4 4 128 t det A wee on vee mn 5 Dy we Ang ee Onn ay wee by wee Ain b 4 129 det A Qn1 wee bn wee Ann Q41 wee ay wee by 4 b 130 det A Ant Anji bn Exemplo 7 Considere o sistema de equacoes lineares abaixo U3 0 131 1274 229 323 5 132 Escrevendo esse sistema na forma matricial obtemos que 1 1 1 Ly 0 12 2 3 ry 5 134 34 1 X3 4 EO esr NS A x b 21 O determinante de A é det A 35 Aplicando a regra de Cramer 1 0 1 1 w 2 31 135 1 Be 5 3 135 4 4 1 1 0O 1 tf 5 3 2 136 XN a 35 34 1 1 1 1 O 12 2 5 J1 137 35 137 34 4 3 Aplicacao Modelo ISLM Um dos modelos mais influentes em macroeconomia é o modelo ISLM proposto por John Hicks 1937 como uma tentativa de formalizagao das ideias desenvolvidas por Keynes 1936 A fim de desenvolver a intuigao do modelo consideremos uma versao linear Seja uma economia fechada que nao negocia com outros paises Nesse caso a renda nacional Y é distribuida entre consumo das familias C investimento J e gastos do governo G ou seja YC1G Suponhamos que o consumo das familias seja dado por C Co bY onde Co 0 é 0 consumo aut6nomo independente da renda e 0 b 1 é a propensao marginal a consumir sendo que a segunda desigualdade segue da lei psicologica fundamental conjecturada por Keynes O investimento é regido pela equagao I Ip at onde Jp é a parte do investimento determinada exogenamente 7 a taxa de juros e a 0 é chamada de eficiéncia marginal do capital Os gastos do governo sao determinados exogenamente Chegamos assim a curva IS que descreve o equilibrio no mercado de bens e servicos YCbY lhbaG 138 A oferta de moeda M é assumida exégena Além disso a demanda por moeda é determi nada por M4 mY hi mh 0 A primeira parte da demanda de moeda devese aos motivos transacional e precaucional que respondem positivamente a aumentos na renda Ja o segundo termo corresponde ao motivo especulativo variando inversamente com a taxa de juros nominal Assim o equilibrio no mercado monetario exige que M mY hi 139 O objetivo entao consiste em determinar a renda e a taxa de juros que equilibram simultanea mente o mercado de bens e servicos e o mercado de monetario Em outras palavras desejamos 22 resolver 0 seguinte sistema 1bY aiCoIoG 140 mY hiM 141 cujas equacoes sao obtidas apés simples manipulacao das equagées 138 e 139 Escrevendo o sistema na forma matricial encontramos que 1b Y Colb G GaP a FY Cotto be 142 m h i M Aplicando a regra de Cramer Co Io G a Y M h hCotloGaM hCotlnGaM 143 7 1b a 7 h16bam 7 hl1bam m h 1b G4hG m M 1 b M mCyo 1 G mCo 1p G 1 b M OO C rE sarOvmOOOO0 SO FT r Cds om 1b a h16bam h1bam m h 144 Estas notas de aula tém o prop6ésito de explicar o contetido dos capitulos 9 e 26 de Simon e Blume 1994 que é seguido de perto Alguns pequenos ajustes naquele material sao realizados para efeito didatico Referéncias 1 SIMON Carl P BLUME Lawrence Mathematics for Economists Nova Iorque Norton Company 1994 Cap 8 e Cap 26 23