Espaços Euclidianos e Vetores

Espaços Euclidianos 1 Vetores Um vetor no Rn é uma nupla ordenada de números reais Um vetor é uma matriz coluna x x1 x2 xn Contudo em geral é mais conveniente escrever um vetor horizontalmente x x1 x2 xn Do ponto de vista geométrico um vetor pode ser interpretado de duas maneiras 1 como uma localização um ponto no Rn ou 2 como um deslocamento Embora os conceitos de localização e deslocamento sejam diferentes eles podem ser represen tados da mesma forma de vetor A interpreção mais apropriada depende do contexto Exemplo 1 O vetor v 1 2 pode ser visto como o ponto destacado no plano cartesiano abaixo ou como o deslocamento de 1 unidade para a direita e duas unidades para cima a partir da localização atual Na gura os vetores representados pelas echas indicam o mesmo deslocamento 1 2 pois são paralelos apontam na mesma direção e possuem o mesmo comprimento 1 5 3 1 1 3 v1 5 3 1 1 3 v2 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v Figura 1 Vetor como um deslocamento 2 Álgebra vetorial 21 Adição Sejam v e u dois vetores no Rn Então denimos a soma desses vetores da seguinte forma w v u v1 v2 vn u1 u2 un v1 u1 v2 u2 vn un Ou seja a soma de dois vetores v e u é obtida pela soma dos seus elementos correspondentes de forma que um elemento genérico do vetor resultante w é wi vi ui onde i 1 n Exemplo 2 3 6 1 1 6 1 2 12 2 2 Exemplo 3 3 2 6 Indefinido l ER2 ER Geometricamente a soma de vetores é ilustrada na figura abaixo x2 3 utvvtu U Vv 1 y u XI 5 3 l 1 3 1 3 5 Figura 2 Soma de vetores A soma de vetores atende as seguintes propriedades 1 Comutativa vuutv 2 Associativa v uw vuw 3 Elemento neutro existe um vetor zero 0 000 tal que v 0 v 4 Elemento oposto existe um vetor v tal que v v 0 22 Multiplicagao por escalar Sejam v R um vetor e r R um escalar Entao definimos o produto por escalar rv da seguinte forma U1 TU V2 TV92 rvr Un TUn 3 Ou seja a multiplicação de um vetor v por um escalar r é obtida pela multiplicação de cada elemento do vetor pelo escalar r de forma que um elemento genérico do vetor resultante w é wi rvi onde i 1 n Exemplo 4 2 1 6 0 2 12 0 Geometricamente ao multiplicarmos um vetor por um escalar nós o esticamos ou o encolhemos podendo manter a sua direção no caso do escalar ser positivo ou inverter a sua direção no caso do escalar ser negativo Porém essa operação não rotaciona o vetor 5 3 1 1 3 x1 5 3 1 1 3 x2 v 4 3 v 1 3 v v 1 2 v Figura 3 Multiplicação por escalar A multiplicação por escalar atende às seguintes propriedades 1 Distributiva a r sv rv sv para todo r s R e para todo vetor v b rv u rv ru para todo r R e para todos vetores v e u 2 Associativa rsv rsv 3 Elemento neutro existe um número 1 tal que 1v v 4 23 Subtracao de vetores Sejam ve u dois vetores no mesmo espaco Entao definimos a subtracao desses vetores da seguinte forma U1 U1 v2 U2 wvu Un Un Uy U4 U2 U2 Un Un Ou seja a subtracao de dois vetores v e u é obtida pela subtracgao dos seus elementos corres pondentes de forma que um elemento genérico do vetor resultante w w v u onde i 1n Equivalentemente w v u v lu Medimos o deslocamento entre um ponto inicial uw uy Ue2Un e um ponto final v v1 v2Un como w vU v1 U1 V2 U2 Un Un Exemplo 5 3 1 4 6 6 0 l 2 3 Exemplo 6 3 2 6 5 Indefinido 1 ER2 eR Geometricamente a subtragao de vetores é ilustrada na figura abaixo 5 X2 3 1 XI 5 3 1 I 3 1 3 5 Figura 4 Subtragao de vetores Definigao 1 Qualquer conjunto de objetos dotado das operacoes de adicao e de multiplicagao por escalar satisfazendo as propriedades enumeradas acima é um espaco vetorial 3 Comprimento distancia e produto interno 31 Comprimento e distancia Denotamos 0 comprimento de um vetor v como v A distancia entre dois vetores é 0 com primento do deslocamento entre eles Mediremos 0 comprimento de um vetor da seguinte maneira Io o7 uF 02 1 Exemplo 7 Na figura abaixo o comprimento do vetor v 12 é u VP P V5 6 X2 3 1 XI 5 3 l 1 3 1 3 5 Figura 5 Comprimento de vetor Teorema 1 Se multiplicamos um vetor v por um escalar 7 0 seu comprimento é multiplicado pelo médulo de r Prova Irw 4 rv rv2 o run 4r2 ui u34 v2 V7r2402 03 v2 r rl 0 2 Exemplo 8 Na figura abaixo o comprimento do vetor v 11 é u VPP VJ11 V2 7 O comprimento do vetor 2v 22 é v VP P V444 8 2V2 2 u Ja o comprimento do vetor v 11 é 2 2 lvl V 2 vVl1l1 2 1 e x2 3 2v 1 Vv XI 5 3 l 1 3 eK 3 5 Figura 6 Comprimento de vetor multiplicado por escalar Como vimos um vetor pode ser interpretado como um deslocamento Logo a sua localizagao nao é relevante desde que 0 seu comprimento e a sua direcao sejam preservadas Sendo assim se o ponto de partida de um vetor v é v vi v5 v eo ponto final é vf of von vf 8 0 seu 0 comprimento é dado por v Jo 0 2 2 2 f vf e vf of wf vf 3 Exemplo 9 Na figura abaixo 0 comprimento do vetor w v ué 2 2 w lv ull y2 21 y1yP vV1l1 V2 X2 3 y Vvu 1 v u XI 5 3 1 I 3 1 3 5 Figura 7 Distancia entre vetores Vetor unitdrio Seja um vetor v R Por vezes sera ttil encontrar o seu vetor unitario ou seja um vetor u que aponta na mesma diregao que v mas que tem comprimento igual a 1 Esse vetor é uUuv 4 v 9 Afinal jul Sree ol o 1 7 Ill 1 Exemplo 10 Seja v 412 O seu vetor unitario u é 1 Yu 4 1 2 4 42 12 92 1 412 Vl614 1 412 my 412 4 1 2 val V21 V21 De fato o comprimento de wu é igual a 1 4 1 2 u l ial a Gar Ga 42 12 2 Var art a fis 1 4 V21 0 21 21 21 V 21 1 32 Produto interno Definigao 2 Sejam ue v dois vetores no R O produto interno euclidiano de u e v denotado por uv também chamado de produtoponto e de produto escalar note que é diferente de produto por escalar é o seguinte nimero UW V UV Ugdg UnUy 5 il Definigao 3 Um espaco vetorial real de dimensao finita com produto interno é denominado espaco euclidiano 10 Exemplo 11 Sejam u 231 e v 361 Entao 0 produto interno de ue v é uv2343641l 23 Vendo um vetor como uma matriz de tamanho n x 1 nds percebemos que w v é equivalente au v U1 U2 Uy Ug Un uur ugdg UnUn Suivi 7 i1 ut Un v Assim premultiplicar uma matriz por um vetor v A equivale a calcular v7A 0 que computa o produto interno de v com cada coluna de A Q11 412s Atm Q21 422 Gam Uy Ua Un yo UjAi1 an UjAj2 ye UjAim 8 T Ani QAn2 Anm A Teorema 2 Sejam u v e w trés vetores no R e seja r R Entao 1 Simetria uv vu 2 Distributiva uvwuvtuu 3 Homogeneidade w rv ruv ru v 4 Positividade uuOeuu0eSu0 5 uvuv uUuut2uvtvuv Prova Imediato Fica como exercicio O E importante perceber que a medida de comprimento e de distancia que estamos utilizando pode ser expressa da seguinte maneira em termos de produto interno lol vor 9 Logo a distancia entre dois vetores v e u no R é v ul vuv u 10 11 Teorema 3 desigualdade de CauchySchwarz Sejam we v dois vetores no R Entao wv wuvv 11 Prova Seja A R Entao supondo u F Xv uAvutAvuutuAVAvut Mvv uut2duvtrvu0 12 Pela desigualdade 12 sabemos que a equacao uut2uvvv0 13 nao possui raiz real Logo pelo delta da formula de Bhaskara temos que Quv 4vvuu 0 4uv4vvuu 0 14 Consequentemente uv uuvv Caso u Av temos que 2 2 2 Av v v v Av Av vv O Teorema 4 Sejam u e v dois vetores no R Seja o Angulo formado entre eles Entao uv u v cos é 15 Prova Consideremos a figura abaixo 12 x2 u tv 3 U utv tv x1 5 3 1 1 3 4 3 5 Figura 8 Produto interno e 4ngulo entre dois vetores Pela definigao de cosseno sabemos que t cos HO yy lel lll a8 ee Jel lel Pelo teorema de Pitagoras temos que ee tw Je to 2 2 2 Jel EP lel uw te uw tv lel 2 lol uuutytvuttvv ee lol eal 2tuv P Jol ee 24 Jo feel 2te v tu v 2t lull Uv t 17 Substituinto 17 em 16 encontramos que uv v cos x Hel Jol leel uv il cos 9 o lee uv u v cos O 13 Observação 1 Dois vetores u 0 e v 0 são ortogonais se e somente se u v 0 Exemplo 12 Calcular o ângulo formado entre a diagonal de um cubo e uma das suas arestas A diagonal do cubo ver gura abaixo é descrita pelo vetor d c c c Já a sua aresta ao longo do eixo 2 é descrita por h 0 c 0 Aplicando a equação 15 temos que d h c c c 0 c 0 d h cos θ Logo c2 3c2 c2 cos θ c2 3c2 cos θ cos θ 1 3 θ 5444 Figura 9 Ângulo entre diagonal e aresta de um cubo Teorema 5 desigualdade triangular Sejam u e v dois vetores no Rn Então u v u v 18 Podemos ilustrar essa desigualdade geometricamente da seguinte maneira 14 x2 3 uvvtu J y XI 5 3 l 1 3 1 3 5 Figura 10 Desigualdade triangular Prova Pelo teorema 3 sabemos que Uv cos 9 19 Logo uv u lol 20 Multiplicando os dois lados de 20 por 2 e somando dos dois lados u e v encon tramos que 2 2 2 2 uel 2s v ol eel 2 lle e le usut2uvuv lull loll 2 uvuv lull loll 2 2 Ju t oll lel loll jut vl lel lle Teorema 6 Sejam ze y dois vetores no R Entao Nel Ilyll le yl 21 15 Aplicando 0 teorema 5 com uayev y temos que e yyl le yl lly Ile la yl yl x lyl Ila yl 22 Aplicando 0 teorema 5 com uyx2ev2 temos que ly x2l lly 2 le Ilyl la yl lla Il lel la yl 23 Portanto as desigualdades 22 e 23 implicam que Nel lyll la yl O Definicao 4 Qualquer atribuicdo de nimero real a vetores que satisfaz as seguintes trés propriedades é chamada de norma 1 Positividade v 0 e v 0 se somente se v 0 2 Homogeneidade rv r v 3 Desigualdade triangular w v w o Um espaco vetorial munido de uma norma dito um espago normado Como vimos 0 comprimento euclidiano atende as trés propriedades que definem uma norma Por isso 6 chamado de norma euclidiana Estas notas de aula tém o propésito de explicar o contetiido do capitulo 10 de Simon e Blume 1994 que é seguido de perto Alguns pequenos ajustes naquele material sao realizados para efeito didatico Referéncias 1 SIMON Carl P BLUME Lawrence Mathematics for Economists Nova Iorque Norton Company 1994 Cap 10 16