·
Agroecologia ·
Álgebra Linear
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Sistemas de Equações Lineares 1 Introdução A forma geral de um sistema linear de m equações em n incógnitas é a seguinte a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm 1 No sistema de equações 1 aij e bi são parâmetros reais e xj R são variáveis onde i 1 m e j 1 n Uma solução para esse sistema é um vetor x x 1 x n de números reais que satisfaz todas as suas m equações simultaneamente As equações do sistema 1 são lineares porque suas variáveis estão apenas na primeira potência e não há produto entre as variáveis Geometricamente tais equações descrevem objetos como retas planos e hiperplanos Os sistemas de equações lineares constituem o tipo mais simples de sistemas de equações e são frequentemente utilizados em modelos econômicos Três razões para isso são 1 emergem naturalmente em alguns modelos 2 podemos aproximar modelos nãolineares por modelos lineares e com isso aprender sobre as propriedades locais daqueles ao redor de algum ponto de interesse tipicamente um ponto de equilíbrio 3 quando precisamos impor alguma forma funcional às equações de um modelo e não temos motivos para propor uma forma especíca é razoável que trabalhemos com a forma mais simples que é a linear Ao nos depararmos com um sistema de equações lineares estamos interessados em três questões 1 existe solução 2 quantas soluções existem 3 como podemos encontrar as soluções ecientemente caso elas existam 1 Temos três métodos básicos de resolução de um sistema de equações lineares 1 substituição 2 eliminação de variáveis 3 matriciais 2 Substituição O método de resolução por substituição funciona da seguinte maneira Sem perda de gene ralidade começamos resolvendo uma das equações para xn em termos das demais variáveis xn xnx1 xn1 Então substituímos essa expressão nas outras m 1 equações que pas sam então a formar um sistema com n 1 variáveis Agora resolvemos uma dessas m 1 equações para xn1 em termos das outras variáveis xn1 xn1x1 xn2 Ao substituir mos essa expressão nas outras m 2 equações encontramos um sistema reduzido com m 2 equações e n 2 variáveis Prosseguimos dessa maneira até que temos uma única equação Encontrada uma solução para essa equação nós a substituímos recursivamente nas equações do processo de substituição de forma a encontrar os valores de cada variável do sistema original O seguinte exemplo ajuda a entender o funcionamento do método Exemplo 1 Consideremos o seguinte sistema de equações x1 0 4x2 0 3x3 130 2 0 2x1 0 88x2 0 14x3 74 3 0 5x1 0 2x2 0 95x3 95 4 Resolvendo a equação 2 para x1 em termos de x2 e x3 temos que x1 0 4x2 0 3x3 130 5 Substituindo a equação 5 nas equações 3 e 4 chegamos no seguinte sistema reduzido a apenas 2 equações e 2 variáveis 0 20 4x2 0 3x3 130 0 88x2 0 14x3 74 6 0 50 4x2 0 3x3 130 0 2x2 0 95x3 95 7 que simplica para 0 8x2 0 2x3 100 8 0 4x2 0 8x3 160 9 2 Agora resolvendo a equação 8 para x2 em termos de x3 encontramos que x2 125 0 25x3 10 Substituindo a equação 10 na equação 9 chegamos em 0 4 125 0 25x3 0 8x3 160 11 x3 300 12 Substituindo 12 de volta na equação 10 x2 125 0 25 300 13 x2 200 14 Substituindo 12 e 14 na equação 5 x1 0 4 200 0 3 300 130 15 x1 300 16 Chegamos assim à solução do sistema formado pelas equações 2 3 e 4 x1 300 x2 200 e x3 300 Como podemos perceber o método de resolução por substituição é simples embora possa ser trabalhoso particularmente em sistemas maiores com mais equações e variáveis Por vezes ele pode ser uma boa opção do ponto de vista computacional Porém ele possui uma deciência ele é pouco analítico Por esse motivo ele não oferece muita informação sobre a natureza da solução de um sistema genérico Em outras palavras ele não nos permite desenvolver uma teoria geral de sistemas de equações lineares 3 Eliminação de variáveis O método de eliminação de variáveis é o método que nos permitirá desenvolver a desejada teoria geral de sistemas lineares Para resolver um sistema com m equações por esse método usamos o coeciente de x1 na primeira equação para eliminar x1 de todas as outras equações abaixo da primeira equação Para isso somamos a cada uma dessas m1 equações o múltiplo apropriado da primeira equação Então prosseguimos para a segunda variável x2 A exemplo do estágio anterior o nosso objetivo é eliminar x2 das equações abaixo da segunda equação do sistema Para isso somamos a cada uma dessas m 2 equações o múltiplo apropriado da segunda equação Caso a segunda equação não contenha x2 então trocamos a posição dessa equação com outra equação subsequente que tenha x2 Continuamos nesse processo até chegarmos na última equação Encontrada uma solução para essa equação nós a substituímos recursivamente 3 nas equações anteriores de forma a recuperar a solução para cada uma das variáveis contidas nessas equações É mais fácil entender o funcionamento deste método através de um exemplo Exemplo 2 Consideremos o mesmo sistema que resolvemos por substituição x1 0 4x2 0 3x3 130 17 0 2x1 0 88x2 0 14x3 74 18 0 5x1 0 2x2 0 95x3 95 19 Para começar desejamos eliminar x1 das equações 18 e 19 Para isso multiplicamos a equação 17 por 0 2 e somamos à 18 Analogamente multiplicamos a equação 17 por 0 5 e somamos à 19 Dessa forma chegamos ao seguinte sistema x1 0 4x2 0 3x3 130 20 0 8x2 0 2x3 100 21 0 4x2 0 8x3 160 22 O objetivo agora é eliminar x2 da equação 22 Para isso multiplicamos a equação 21 por 12 e somamos à equação 22 o que resulta no seguinte x1 0 4x2 0 3x3 130 23 0 8x2 0 2x3 100 24 0 7x3 210 25 Assim da equação 25 encontramos que x3 300 26 Substituindo 26 para trás em 24 0 8x2 0 2 300 100 27 x2 200 28 Por m substituindo 26 e 28 para trás em 23 temos que x1 0 4 200 0 3 300 130 29 x1 300 30 No exemplo acima a operação que realizamos em cada etapa do processo de eliminação de 4 variáveis somar a uma equação um múltiplo de outra equação é uma operação reversível no sentido em que podemos retornar ao sistema original realizando a operação inversa Por exemplo para voltarmos à equação 18 basta subtrairmos da equação 21 0 2 vezes a equação 17 Da mesma forma para voltarmos à equação 19 basta subtrairmos da equação 22 0 5 vezes a equação 17 Existem três operações reversíveis 1 somar a uma equação um múltiplo de outra equação 2 multiplicar os dois lados de uma equação pelo mesmo escalar diferente de zero 3 trocar a posição de duas equações Essas operações são chamadas de operações elementares de equações Como essas operações são reversíveis elas não afetam o conjunto de soluções de um sistema Assim por exemplo a solução do sistema formado pelas equações 17 18 e 19 é a mesma do sistema formado pelas equações 20 21 e 22 que é idêntica à solução do sistema formado pelas equações 23 24 e 25 Nós dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se eles possuem o mesmo conjunto de soluções Fato 1 Se um sistema de equações lineares é obtido a partir de outro sistema de equações line ares via operações elementares então os dois sistemas são equivalentes ou seja possuem as mesmas soluções Esse método de eliminação de variáveis de cima para baixo através de operações elementares até chegar em um sistema como o formado pelas equações 23 24 e 25 para então resolver por substituição para trás é chamado de eliminação Gaussiana Uma variação desse método é chamada de eliminação de GaussJordan Segundo esse método após completarmos o processo de eliminação de variáveis de cima para baixo via operações elementares nós multiplicamos as equações obtidas por um escalar de forma que o primeiro coeciente diferente de zero de cada uma delas que igual a 1 Então realizamos o mesmo procedimento da eliminação Gaussiana porém agora de baixo para cima Vejamos no nosso exemplo Exemplo 2 Continuação Após realizarmos as operações elementares do processo de eliminação Gaussiana sobre o sistema formado pelas equações 17 18 e 19 chegamos no seguinte x1 0 4x2 0 3x3 130 31 0 8x2 0 2x3 100 32 0 7x3 210 33 O próximo passo é fazer com que o primeiro coeciente de cada equação que igual a 1 Para isso multiplicamos a equação 32 por 108 e a equação 33 por 107 Ao fazermos 5 isso chegamos no seguinte sistema x1 0 4x2 0 3x3 130 34 x2 0 25x3 125 35 x3 300 36 Agora procedemos como na eliminação Gaussiana porém de baixo para cima Assim multiplicamos a equação 36 por 0 25 e somamos o resultado à equação 35 À equação 34 somamos 0 3 vezes a equação 36 Com isso obtemos x1 0 4x20x3 220 37 x20x3 200 38 x3 300 39 Por m precisamos eliminar x2 da equação 37 Para isso multiplicamos a equação 38 por 0 4 e somamos o resultado à equação 37 chegando a x10x2 0x3 300 40 x20x3 200 41 x3 300 42 4 Métodos matriciais Os métodos matriciais para resolução de um sistema de equações lineares nós estudaremos mais adiante no curso quando aprendermos determinantes e inversão de matrizes 5 Operações elementares de linha Ao realizarmos as operações de eliminação de GaussJordan embora o nosso foco concentrava se sobre os coecientes das equações nós escrevíamos os sinais de mais de menos e de igual Escrevíamos também as variáveis Fazer isso é ineciente Por esse motivo a m de nos concentrarmos apenas nos coecientes é útil agrupálos em matrizes da seguinte maneira A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn e ˆA a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm onde A é a matriz de coecientes do sistema 1 e ˆA é a sua matriz aumentada O tracejado vertical entre a penúltima e a última coluna de ˆA é utilizado para efeito de visualização 6 Para resolvermos um sistema de equacoes lineares podemos entao representalo através da sua matriz aumentada A e realizar as mesmas operacées elementares sobre as suas linhas 1 somar a uma linha um miltiplo de outra linha 2 multiplicar uma linha por um escalar escalar diferente de zero 3 trocar a posicao de duas linhas Ao fazermos essas operacées transformamos a matriz A em uma nova matriz B e consequen temente a matriz A em uma nova matriz B Como B é obtida por uma sequéncia de operacoes reversiveis o sistema de equacoes que ela representa possui as mesmas solucoes que o sistema representado por A Portanto os dois sistemas sao equivalentes No sistema de equagoes 2 3 e 4 que utilizamos como exemplo temos que 1 04 03 1 04 03 130 A A 02 088 014 e A 02 088 014 74 05 02 095 05 02 095 95 1 04 03 1 04 03 130 A B10 08 02 e B0 08 02100 0 0 07 0 0 07 210 Definigao 1 A linha de uma matriz tem k zeroslideres se todos os seus primeiros k elementos sao iguais a zero e o elemento na posigao k 1 é diferente de zero Definigao 2 O pivé de uma linha é 0 seu primeiro elemento diferente de zero Definigao 3 Uma matriz esta na forma escalonada por linha se cada uma das suas linhas tem pelo menos 0 mesmo ntiimero de zeroslideres que a linha anterior sendo 0 nimero de zeroslideres estritamente maior no caso de linhas diferentes de zero Mais precisamente 1 as linhas compostas apenas de zeros estao na parte de baixo da matriz e 2 o pivd de uma linha diferente de zero esta estritamente a direita do pivé da linha anterior Exemplo 3 As matrizes abaixo estao na forma escalonada por linha 1 2 3 2 3 0 3 2 00 4 13 4 0 6 e 00 7 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 Exemplo 4 As matrizes abaixo nao estao na forma escalonada por linha 0 7 0 3 2 0 3 2 15 2 9 0 0 0 0 e 00 4 20 1 0 2 0 0 7 0 0 7 Exemplo 5 A matriz identidade a 1 parai 1ne a 0 parai J esta na forma escalonada por linha 1 0 0 0 1 0 I 00 1 Exemplo 6 A matriz zero composta apenas por zeros esta na forma escalonada por linha 00 0 00 0 Z 00 0 Ao aplicarmos o processo de eliminagao Gaussiana operagées elementares de cima para baixo sobre as linhas de uma matriz obtemos a sua forma escalonada por linha Podemos ir além e aplicar o método de GaussJordan Para isso primeiro multiplicamos cada linha da matriz escalonada pelo inverso do seu piv de forma a igualélo a 1 Entao usamos esses pivés para zerar os elementos acima dele na mesma coluna somando a cada linha um miultiplo da linha daquele pivé No sistema de equacoes 2 3 e 4 que utilizamos como exemplo ao aplicarmos o método de GaussJordan chegamos no seguinte 1 0 0 300 R0 1 0 200 0 0 1800 Definigao 4 Uma matriz escalonada por linha esta na forma reduzida se 1 o pivé de toda linha diferente de zero é igual a 1 e 2 na coluna de cada piv6é todos os demais elementos sao iguais a zero 8 6 Sistemas com infinitas solucoes ou sem solucao Fato 2 Todo sistema de m equacoes lineares e n varidveis possui 1 nenhuma solucao ou 2 exatamente uma solucao ou 3 infinitas solucoes Mais adiante estudaremos esses casos do ponto de vista geométrico e aprenderemos como de terminar em qual caso um sistema de equacoes lineares se enquadra a partir da andlise da sua matriz de coeficientes e da sua matriz aumentada Vamos analisar alguns exemplos Exemplo 7 Infinitas solug6es Seja o seguinte sistema de equacoes lineares pi 2p 3p3 1 43 3p1 2p2 p3 1 44 A sua matriz aumentada é a seguinte 12 31 A if 45 32 11 Apliquemos o método de GaussJordan Multiplicando a primeira linha por 3 e somando a segunda linha encontramos que 1 2 31 B 46 0 4 8 2 A matriz B esta na forma escalonada por linha Queremos colocéla na forma reduzida Para isso primeiramente precisamos que os seus pivés sejam iguais 1 Multiplicando a segunda linha por 14 ns 1 2 3 1 By 47 0 1 205 O pr6ximo passo é zerar os coeficientes acima de cada pivé Multiplicando a segunda linha por 2 e somando a primeira encontramos que 10 1 0 R 48 0 1 2 05 9 que corresponde ao seguinte sistema p10p2 p3 0 49 p2 2p3 0 5 50 Reorganizando os termos das equações do sistema acima temos que p1 p3 51 p2 0 5 2p3 52 Claramente esse sistema admite innitas soluções Anal para qualquer valor que esco lhamos para p3 encontramos um valor correspondente para p1 e para p2 que satisfazem as duas equações simultaneamente Exemplo 8 Nenhuma solução Seja o seguinte sistema de equações lineares p1 3p2 1 53 3p1 p2 1 54 2p1 3p2 1 55 A sua matriz aumentada é a seguinte ˆA 1 3 1 3 1 1 2 3 1 56 Apliquemos o método de GaussJordan Multipliquemos a primeira linha por 3 e so memos à segunda linha Multipliquemos a primeira linha por 2 e somemos à terceira linha Assim encontramos que ˆA1 1 3 1 0 8 2 0 3 1 57 Multipliquemos segunda linha de ˆA1 por 38 e somemos à terceira linha encontramos que ˆB 1 3 1 0 8 2 0 0 0 25 58 10 Não precisamos nem prosseguir com a eliminação de GaussJordan para perceber que o nosso sistema não possui solução pois a última linha da matriz ˆB representa a seguinte equação 0p1 0p2 0 25 59 que evidentemente não pode ser respeitada pois o seu lado esquerdo é sempre igual a zero Em breve desenvolveremos um critério que nos permitirá responder as seguintes questões 1 Quando um sistema de equações lineares particular possui solução 2 Quantas soluções esse sistema particular possui Como podemos computálas 3 Quais condições na matriz de coecientes de um sistema garantem a existência de pelo menos uma solução para qualquer escolha de b b1 b2 bm 4 Quais condições na matriz de coecientes de um sistema garantem a existência de no máximo uma solução para qualquer escolha de b b1 b2 bm 5 Quais condições na matriz de coecientes de um sistema garantem a existência de uma única solução para qualquer escolha de b b1 b2 bm A m de xarmos o funcionamento do método de GaussJordan e introduzirmos mais alguns conceitos convém antes analisarmos mais um exemplo Exemplo 9 Innitas soluções Seja o seguinte sistema de equações lineares p1 4p2 17p3 4p4 38 60 2p1 12p2 46p3 10p4 98 61 3p1 18p2 69p3 17p4 153 62 A sua matriz aumentada é a seguinte ˆA 1 4 17 4 38 2 12 46 10 98 3 18 69 17 153 63 Apliquemos o método de GaussJordan Multipliquemos a primeira linha por 2 e so memos à segunda linha Multipliquemos a primeira linha por 3 e somemos à terceira linha ˆA1 1 4 17 4 38 0 4 12 2 22 0 6 18 5 39 64 11 Agora multipliquemos segunda linha de ˆA1 por 32 e somemos à terceira linha ˆB 1 4 17 4 38 0 4 12 2 22 0 0 0 2 6 65 A matriz ˆB já está na forma escalonada por linha Para colocála na forma reduzida aplicamos as operações elementares de baixo para cima Para isso a m de tornar os pivôs de ˆB iguais a 1 primeiramente multiplicamos a segunda linha por 14 e a terceira por 12 o que resulta no seguinte ˆB1 1 4 17 4 38 0 1 3 0 5 5 5 0 0 0 1 3 66 O passo seguinte é zerar todos os elementos acima de cada pivô na mesma coluna Para isso multiplicamos a terceira linha de ˆB1 por 12 e somamos à sua segunda linha Também multiplicamos a terceira linha de ˆB1 por 4 e somamos à sua primeira linha ˆB2 1 4 17 0 26 0 1 3 0 4 0 0 0 1 3 67 Por m multiplicamos a segunda linha de ˆB2 por 4 e somamos à sua primeira linha R 1 0 5 0 10 0 1 3 0 4 0 0 0 1 3 68 A matriz R que acabamos de encontrar está na forma reduzida Ela corresponde ao seguinte sistema de equações lineares p10p2 5p30p4 10 69 0p1p2 3p30p4 4 70 0p1 0p2 0p3p4 3 71 Esse sistema admite innitas soluções De fato embora p4 3 p3 é livre para assumir qualquer valor Uma vez escolhido um valor para p3 determinamos p1 e p2 pelas equações 69 e 70 respectivamente Denição 5 Se a jésima coluna de uma matriz escalonada por linha possui um pivô dizemos que xj é uma variável básica Caso contrário dizemos que xj é uma variável livre ou uma 12 variável nãobásica As variáveis livres de um sistema de equações lineares podem assumir qualquer valor Já o valor de uma variável básica é unicamente determinado ou é expresso como uma função linear das variáveis livres Exemplo 10 Suponhamos que a forma reduzida da matriz aumentada de um sistema de equações lineares seja a seguinte R 1 r12 r13 0 0 r16 0 w1 0 0 0 1 0 r26 0 w2 0 0 0 0 1 r36 0 w3 0 0 0 0 0 0 1 w4 72 onde os ws e os rs são escalares quaisquer Percebemos que x7 é uma variável básica e que seu valor é unicamente determinado igual a w4 Existem outras variáveis básicas x1 x4 e x5 Porém os valores dessas variáveis não podem ser unicamente determinados pois dependem dos valores escolhidos para as variáveis livres que são x2 x3 e x6 Uma vez escolhidos os valores dessas três variáveis livres os valores das outras três variáveis básicas são automaticamente determinados Observação Os conjuntos de variáveis básicas e de variáveis livres de um sistema de equa ções lineares podem depender da ordem com que realizamos as operações da eliminação Gaussiana 7 O critério fundamental posto ou rank Na discussão a seguir será útil expressarmos um sistema de equações lineares genérico como o 1 da seguinte maneira Ax b onde A é a matriz de coecientes x x1 xn é o vetor de variáveis e b b1 bm é o vetor de constantes do lado direito das equações Em breve quando estudarmos álgebra matricial essa notação cará mais clara Sejam A a matriz de coecientes de um sistema de equações lineares e ˆA a sua matriz aumentada Sejam B a forma escalonada por linha de A e ˆB a forma escalonada por linha de ˆA Denotemos por nlinM o número de linhas de uma matriz M qualquer e por ncolM o número de colunas dessa matriz Denição 6 O posto ou rank de uma matriz M qualquer denotado por rankM é o número de linhas diferentes de zero em sua forma escalonada por linha Proposição 1 Seja A a matriz de coecientes de um sistema de equações lineares Então 1 rankA nlinA 13 2 rankA ncolA Prova 1 Pela proria definigao de rank de uma matriz nao é possivel que o nimero de linhas diferentes de zero na sua forma escalonada seja maior do que o numero de linhas da matriz 2 Pela propria definigaéo o rank de uma matriz é igual ao nimero de pivés na sua forma escalonada Como existe no maximo um pivo6 por coluna segue que o rank de uma matriz é menor ou igual do que o nimero de colunas 0 Corolario 1 Seja A uma matriz Entaéo rankA minnlinA ncolA Prova Se rankA nlinA e rankA ncolA entao rankA minnlinA ncolA O Proposigdo 2 Sejam A uma matriz de coeficientes e A a sua matriz aumentada Entao rankA rankA Prova A matriz A adiciona uma coluna a matriz A ou seja ncolA ncolA 1 Ao es calonarmos as linhas de A escalonamos as linhas de A Portanto se uma linha de Bé composta exclusivamente por zeros essa mesma linha de B também é Ou seja nao é possivel que B tenha mais linhas diferentes de zero do que B O Proposigao 3 Um sistema de equagdes lineares com matriz de coeficientes A e matriz au mentada A tem solucao se e somente se rankA rankA Prova Precisamos provar que i se rankA rankA entao existe solucio e ii se existe solugao entao rankA rankA i Se rankA rankA entéo todas as linhas iguais a zero de B e B coincidem Sendo assim ao concluirmos o processo de eliminacao Gaussiana nao encontramos uma linha em que 02 02 w onde w 40 Portanto existe solucgao para o sistema ii Por contraposicao Suponhamos que rankA 4 rankA 0 que implica que rankA rankA pela proposicéo 2 Ento existe uma linha em B igual a zero que nao igual a zero em B Sendo assim essa linha prevé que 02 Ox w onde w 0 0 que nao tem solugao O 14 Proposigao 4 Um sistema de equagoes lineares i nao tem solucao ou ii tem exatamente uma solugao ou iii tem infinitas solugdes Prova Ja sabemos que rankA rankA e que um sistema possui solugéo se e somente se rankA rankA Isso implica que se rankA rankA entéo um sistema de equacoes lineares nado possui solugao o que cobre a possibilidade i do enunciado Caso rankA rankA o que significa que ha solucao pode haver ou nao variavel livre em B Caso nao haja variavel livre entao como existe um piv6 em cada coluna de B o valor de cada varidvel esté unicamente determinado 0 que cobre a possibilidade ii do enunciado Por outro lado caso exista alguma variavel livre ela pode assumir qualquer valor logo o sistema de equagoes lineares admite infinitas solugdes o que resulta na possibilidade iii do enunciado O Proposicao 5 Se um sistema de equacoes lineares tem exatamente uma solucao entao a matriz de coeficientes A tem pelo menos 0 mesmo nimero de linhas que de colunas Em outras palavras um sistema com uma tnica solugao tem pelo menos 0 mesmo nimero de equacoes que de variaveis Prova Por contraposicao Para que um sistema tenha solucao tinica é necessdrio que exista um pivé em cada coluna de B Pelo corolario 1 temos que rankA minnlinA ncolA Se nlinA ncolA entao rankA ncolA e portanto existe coluna em B sem pivo Consequentemente existe varidvel livre e portanto o sistema nao tem solucao unica 0 Colorolario 2 Se um sistema de equacoes lineares tem mais varidveis do que equagoes entao ele i nao tem solugao ou ii tem infinitas solucées Prova Se um sistema de equagoes lineares tem mais varidveis do que equacoes entao ncolA nlinA Nessas condigées pela proposigao 5 esse sistema nao tem solucao tinica Por tanto existem duas possibilidades i nao existe solugao ou ii existem infinitas solugoes O Um sistema em que b bm 0 b 0 como abaixo é dito homogéneo 1101 Ay22 GinIn 0 A91X1 A292q Aon Ln 0 73 Ami L1 Am22 AmnXy 0 15 Proposigao 6 Todo sistema de equacoes lineares homogéneo possui solugao Prova Evidentemente todo sistema de equacgoes lineares homogéneo admite zj 7 0 a 0 como solugao 0 Proposigao 7 Um sistema de equacoes lineares homogéneo com mais varidveis do que equa coes tem infinitas solugoes Prova Se um sistema de equacoes lineares possui mais varidveis do que equacoes a forma esca lonada da sua matriz de coeficientes possui varidvel livre Se esse sistema homogéneo entao ele possui solucao Consequentemente ele possui infinitas solucoes O Proposicao 8 Um sistema de equacoes lineares com matriz de coeficientes A tem solucao para todo b se e somente se rankA nlinA Prova Precisamos provar que i se rankA nlinA entao existe solucao para todo 5 e ii se existe solucgao para todo b entao rankA nlinA i Se rankA nlinA entaéo B tem todas as suas linhas diferentes de zero Seja b um vetor qualquer de constantes do lado direito do sistema de equacoes lineares Como vimos B é a matriz aumentada de B Logo todas as linhas de B também sao diferentes de zero Consequentemente rankA nlinA nlinA rankA Portanto pela proposigao 3 concluimos que se rankA nlinA entao existe solucao para todo b ii Por contraposigéo Suponhamos que rankA 4 nlinA o que implica que rankA nlinA pela proposicgéo 1 Entao a tltima linha de B contém apenas zeros Por tanto existe b tal que o tltimo elemento de B chamemos de b 6 diferente de zero Nesses casos 0 sistema nao admite solugao O Corolario 3 Se um sistema de equacoes lineares tem mais equacoes do que variaveis entao existe b para o qual o sistema nao tem solucao Prova Se um sistema de equacoes lineares possui mais equagdes do que varidveis nlinA ncolA Segue do corolario 1 que nlinA rankA e portanto pela proposicao 8 existe b para o qual o sistema de equacoes lineares nao possui solucao 0 16 Proposicao 9 Qualquer sistema de equacoes lineares com matriz de coeficientes A tem no maximo uma solucao para todo b se e somente se rankA ncolA Prova Precisamos provar que i se rankA ncolA entaéo existe no méximo uma solucao para todo 5 e ii se existe no méximo uma solugao para todo b entao rankA ncolA i Se rankA ncolA entao existe um pivé em cada coluna de B Portanto nao existe varidvel livre Sendo assim caso exista solucao para o sistema ela é unicamente determinada ii Por contraposigaéo Suponhamos que rankA ncolA 0 que implica que rankA ncolA pela proposigao 1 Entao existe coluna em B sem piv6 Portanto existe varidvel livre no sistema Sendo assim caso exista solucao ela nao é tnica O Corolario 4 Um sistema de equacoes lineares com matriz de coeficientes A tem exatamente uma solucao para todo b se e somente se rankA nlinA ncolA Prova Pela proposicao 8 um sistema de equacoes lineares possui solugao para todo b se e somente se rankA nlinA Pela proposigaéo 9 um sistema de equacoes lineares possui no maximo uma solucao para todo b se e somente se rankA ncolA Combinando os dois resultados concluimos que um sistema de equacoes lineares possui solucao tnica para todo b se e somente se rankA nlinA ncolA O Definicgao 7 Seja A uma matriz Se nlinA ncolA rankA dizemos que A é nao singular Resumindo os resultados anteriores temos o seguinte Resumo Seja um sistema de equacoes lineares Ax b a Se o ntimero de equacdes menor do que o ntimero de variaveis entao Ax 0 tem infinitas solucoes Para b qualquer Ax b i nao tem solugao ou ii tem infinitas solugdes Se rankA for igual ao nimero de equagoes Ax 6 tem infinitas solugdes para todo b b Se o ntimero de equacoes é maior do que o nimero de varidveis entao Ax 0 i tem exatamente uma solugao ou ii tem infinitas solucoes 17 Para b qualquer Ax b i não tem solução ou ii tem exatamente uma solução ou iii tem innitas soluções Se rankA for igual ao número de variáveis Ax b i não tem solução ou ii tem exatamente uma solução c Se o número de equações é igual ao número de variáveis então Ax 0 i tem exatamente uma solução ou ii tem innitas soluções Para b qualquer Ax b i não tem solução ou ii tem exatamente uma solução ou iii tem innitas soluções Se rankA for igual ao número de equações e de variáveis Ax b tem exatamente 1 solução para todo b Estas notas de aula têm o propósito de explicar o conteúdo do capítulo 7 de Simon e Blume 1994 que é seguido de perto Alguns pequenos ajustes naquele material são realizados para efeito didático Referências 1 SIMON Carl P BLUME Lawrence Mathematics for Economists Nova Iorque Norton Company 1994 Cap 7 18
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Sistemas de Equações Lineares 1 Introdução A forma geral de um sistema linear de m equações em n incógnitas é a seguinte a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm 1 No sistema de equações 1 aij e bi são parâmetros reais e xj R são variáveis onde i 1 m e j 1 n Uma solução para esse sistema é um vetor x x 1 x n de números reais que satisfaz todas as suas m equações simultaneamente As equações do sistema 1 são lineares porque suas variáveis estão apenas na primeira potência e não há produto entre as variáveis Geometricamente tais equações descrevem objetos como retas planos e hiperplanos Os sistemas de equações lineares constituem o tipo mais simples de sistemas de equações e são frequentemente utilizados em modelos econômicos Três razões para isso são 1 emergem naturalmente em alguns modelos 2 podemos aproximar modelos nãolineares por modelos lineares e com isso aprender sobre as propriedades locais daqueles ao redor de algum ponto de interesse tipicamente um ponto de equilíbrio 3 quando precisamos impor alguma forma funcional às equações de um modelo e não temos motivos para propor uma forma especíca é razoável que trabalhemos com a forma mais simples que é a linear Ao nos depararmos com um sistema de equações lineares estamos interessados em três questões 1 existe solução 2 quantas soluções existem 3 como podemos encontrar as soluções ecientemente caso elas existam 1 Temos três métodos básicos de resolução de um sistema de equações lineares 1 substituição 2 eliminação de variáveis 3 matriciais 2 Substituição O método de resolução por substituição funciona da seguinte maneira Sem perda de gene ralidade começamos resolvendo uma das equações para xn em termos das demais variáveis xn xnx1 xn1 Então substituímos essa expressão nas outras m 1 equações que pas sam então a formar um sistema com n 1 variáveis Agora resolvemos uma dessas m 1 equações para xn1 em termos das outras variáveis xn1 xn1x1 xn2 Ao substituir mos essa expressão nas outras m 2 equações encontramos um sistema reduzido com m 2 equações e n 2 variáveis Prosseguimos dessa maneira até que temos uma única equação Encontrada uma solução para essa equação nós a substituímos recursivamente nas equações do processo de substituição de forma a encontrar os valores de cada variável do sistema original O seguinte exemplo ajuda a entender o funcionamento do método Exemplo 1 Consideremos o seguinte sistema de equações x1 0 4x2 0 3x3 130 2 0 2x1 0 88x2 0 14x3 74 3 0 5x1 0 2x2 0 95x3 95 4 Resolvendo a equação 2 para x1 em termos de x2 e x3 temos que x1 0 4x2 0 3x3 130 5 Substituindo a equação 5 nas equações 3 e 4 chegamos no seguinte sistema reduzido a apenas 2 equações e 2 variáveis 0 20 4x2 0 3x3 130 0 88x2 0 14x3 74 6 0 50 4x2 0 3x3 130 0 2x2 0 95x3 95 7 que simplica para 0 8x2 0 2x3 100 8 0 4x2 0 8x3 160 9 2 Agora resolvendo a equação 8 para x2 em termos de x3 encontramos que x2 125 0 25x3 10 Substituindo a equação 10 na equação 9 chegamos em 0 4 125 0 25x3 0 8x3 160 11 x3 300 12 Substituindo 12 de volta na equação 10 x2 125 0 25 300 13 x2 200 14 Substituindo 12 e 14 na equação 5 x1 0 4 200 0 3 300 130 15 x1 300 16 Chegamos assim à solução do sistema formado pelas equações 2 3 e 4 x1 300 x2 200 e x3 300 Como podemos perceber o método de resolução por substituição é simples embora possa ser trabalhoso particularmente em sistemas maiores com mais equações e variáveis Por vezes ele pode ser uma boa opção do ponto de vista computacional Porém ele possui uma deciência ele é pouco analítico Por esse motivo ele não oferece muita informação sobre a natureza da solução de um sistema genérico Em outras palavras ele não nos permite desenvolver uma teoria geral de sistemas de equações lineares 3 Eliminação de variáveis O método de eliminação de variáveis é o método que nos permitirá desenvolver a desejada teoria geral de sistemas lineares Para resolver um sistema com m equações por esse método usamos o coeciente de x1 na primeira equação para eliminar x1 de todas as outras equações abaixo da primeira equação Para isso somamos a cada uma dessas m1 equações o múltiplo apropriado da primeira equação Então prosseguimos para a segunda variável x2 A exemplo do estágio anterior o nosso objetivo é eliminar x2 das equações abaixo da segunda equação do sistema Para isso somamos a cada uma dessas m 2 equações o múltiplo apropriado da segunda equação Caso a segunda equação não contenha x2 então trocamos a posição dessa equação com outra equação subsequente que tenha x2 Continuamos nesse processo até chegarmos na última equação Encontrada uma solução para essa equação nós a substituímos recursivamente 3 nas equações anteriores de forma a recuperar a solução para cada uma das variáveis contidas nessas equações É mais fácil entender o funcionamento deste método através de um exemplo Exemplo 2 Consideremos o mesmo sistema que resolvemos por substituição x1 0 4x2 0 3x3 130 17 0 2x1 0 88x2 0 14x3 74 18 0 5x1 0 2x2 0 95x3 95 19 Para começar desejamos eliminar x1 das equações 18 e 19 Para isso multiplicamos a equação 17 por 0 2 e somamos à 18 Analogamente multiplicamos a equação 17 por 0 5 e somamos à 19 Dessa forma chegamos ao seguinte sistema x1 0 4x2 0 3x3 130 20 0 8x2 0 2x3 100 21 0 4x2 0 8x3 160 22 O objetivo agora é eliminar x2 da equação 22 Para isso multiplicamos a equação 21 por 12 e somamos à equação 22 o que resulta no seguinte x1 0 4x2 0 3x3 130 23 0 8x2 0 2x3 100 24 0 7x3 210 25 Assim da equação 25 encontramos que x3 300 26 Substituindo 26 para trás em 24 0 8x2 0 2 300 100 27 x2 200 28 Por m substituindo 26 e 28 para trás em 23 temos que x1 0 4 200 0 3 300 130 29 x1 300 30 No exemplo acima a operação que realizamos em cada etapa do processo de eliminação de 4 variáveis somar a uma equação um múltiplo de outra equação é uma operação reversível no sentido em que podemos retornar ao sistema original realizando a operação inversa Por exemplo para voltarmos à equação 18 basta subtrairmos da equação 21 0 2 vezes a equação 17 Da mesma forma para voltarmos à equação 19 basta subtrairmos da equação 22 0 5 vezes a equação 17 Existem três operações reversíveis 1 somar a uma equação um múltiplo de outra equação 2 multiplicar os dois lados de uma equação pelo mesmo escalar diferente de zero 3 trocar a posição de duas equações Essas operações são chamadas de operações elementares de equações Como essas operações são reversíveis elas não afetam o conjunto de soluções de um sistema Assim por exemplo a solução do sistema formado pelas equações 17 18 e 19 é a mesma do sistema formado pelas equações 20 21 e 22 que é idêntica à solução do sistema formado pelas equações 23 24 e 25 Nós dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se eles possuem o mesmo conjunto de soluções Fato 1 Se um sistema de equações lineares é obtido a partir de outro sistema de equações line ares via operações elementares então os dois sistemas são equivalentes ou seja possuem as mesmas soluções Esse método de eliminação de variáveis de cima para baixo através de operações elementares até chegar em um sistema como o formado pelas equações 23 24 e 25 para então resolver por substituição para trás é chamado de eliminação Gaussiana Uma variação desse método é chamada de eliminação de GaussJordan Segundo esse método após completarmos o processo de eliminação de variáveis de cima para baixo via operações elementares nós multiplicamos as equações obtidas por um escalar de forma que o primeiro coeciente diferente de zero de cada uma delas que igual a 1 Então realizamos o mesmo procedimento da eliminação Gaussiana porém agora de baixo para cima Vejamos no nosso exemplo Exemplo 2 Continuação Após realizarmos as operações elementares do processo de eliminação Gaussiana sobre o sistema formado pelas equações 17 18 e 19 chegamos no seguinte x1 0 4x2 0 3x3 130 31 0 8x2 0 2x3 100 32 0 7x3 210 33 O próximo passo é fazer com que o primeiro coeciente de cada equação que igual a 1 Para isso multiplicamos a equação 32 por 108 e a equação 33 por 107 Ao fazermos 5 isso chegamos no seguinte sistema x1 0 4x2 0 3x3 130 34 x2 0 25x3 125 35 x3 300 36 Agora procedemos como na eliminação Gaussiana porém de baixo para cima Assim multiplicamos a equação 36 por 0 25 e somamos o resultado à equação 35 À equação 34 somamos 0 3 vezes a equação 36 Com isso obtemos x1 0 4x20x3 220 37 x20x3 200 38 x3 300 39 Por m precisamos eliminar x2 da equação 37 Para isso multiplicamos a equação 38 por 0 4 e somamos o resultado à equação 37 chegando a x10x2 0x3 300 40 x20x3 200 41 x3 300 42 4 Métodos matriciais Os métodos matriciais para resolução de um sistema de equações lineares nós estudaremos mais adiante no curso quando aprendermos determinantes e inversão de matrizes 5 Operações elementares de linha Ao realizarmos as operações de eliminação de GaussJordan embora o nosso foco concentrava se sobre os coecientes das equações nós escrevíamos os sinais de mais de menos e de igual Escrevíamos também as variáveis Fazer isso é ineciente Por esse motivo a m de nos concentrarmos apenas nos coecientes é útil agrupálos em matrizes da seguinte maneira A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn e ˆA a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm onde A é a matriz de coecientes do sistema 1 e ˆA é a sua matriz aumentada O tracejado vertical entre a penúltima e a última coluna de ˆA é utilizado para efeito de visualização 6 Para resolvermos um sistema de equacoes lineares podemos entao representalo através da sua matriz aumentada A e realizar as mesmas operacées elementares sobre as suas linhas 1 somar a uma linha um miltiplo de outra linha 2 multiplicar uma linha por um escalar escalar diferente de zero 3 trocar a posicao de duas linhas Ao fazermos essas operacées transformamos a matriz A em uma nova matriz B e consequen temente a matriz A em uma nova matriz B Como B é obtida por uma sequéncia de operacoes reversiveis o sistema de equacoes que ela representa possui as mesmas solucoes que o sistema representado por A Portanto os dois sistemas sao equivalentes No sistema de equagoes 2 3 e 4 que utilizamos como exemplo temos que 1 04 03 1 04 03 130 A A 02 088 014 e A 02 088 014 74 05 02 095 05 02 095 95 1 04 03 1 04 03 130 A B10 08 02 e B0 08 02100 0 0 07 0 0 07 210 Definigao 1 A linha de uma matriz tem k zeroslideres se todos os seus primeiros k elementos sao iguais a zero e o elemento na posigao k 1 é diferente de zero Definigao 2 O pivé de uma linha é 0 seu primeiro elemento diferente de zero Definigao 3 Uma matriz esta na forma escalonada por linha se cada uma das suas linhas tem pelo menos 0 mesmo ntiimero de zeroslideres que a linha anterior sendo 0 nimero de zeroslideres estritamente maior no caso de linhas diferentes de zero Mais precisamente 1 as linhas compostas apenas de zeros estao na parte de baixo da matriz e 2 o pivd de uma linha diferente de zero esta estritamente a direita do pivé da linha anterior Exemplo 3 As matrizes abaixo estao na forma escalonada por linha 1 2 3 2 3 0 3 2 00 4 13 4 0 6 e 00 7 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 Exemplo 4 As matrizes abaixo nao estao na forma escalonada por linha 0 7 0 3 2 0 3 2 15 2 9 0 0 0 0 e 00 4 20 1 0 2 0 0 7 0 0 7 Exemplo 5 A matriz identidade a 1 parai 1ne a 0 parai J esta na forma escalonada por linha 1 0 0 0 1 0 I 00 1 Exemplo 6 A matriz zero composta apenas por zeros esta na forma escalonada por linha 00 0 00 0 Z 00 0 Ao aplicarmos o processo de eliminagao Gaussiana operagées elementares de cima para baixo sobre as linhas de uma matriz obtemos a sua forma escalonada por linha Podemos ir além e aplicar o método de GaussJordan Para isso primeiro multiplicamos cada linha da matriz escalonada pelo inverso do seu piv de forma a igualélo a 1 Entao usamos esses pivés para zerar os elementos acima dele na mesma coluna somando a cada linha um miultiplo da linha daquele pivé No sistema de equacoes 2 3 e 4 que utilizamos como exemplo ao aplicarmos o método de GaussJordan chegamos no seguinte 1 0 0 300 R0 1 0 200 0 0 1800 Definigao 4 Uma matriz escalonada por linha esta na forma reduzida se 1 o pivé de toda linha diferente de zero é igual a 1 e 2 na coluna de cada piv6é todos os demais elementos sao iguais a zero 8 6 Sistemas com infinitas solucoes ou sem solucao Fato 2 Todo sistema de m equacoes lineares e n varidveis possui 1 nenhuma solucao ou 2 exatamente uma solucao ou 3 infinitas solucoes Mais adiante estudaremos esses casos do ponto de vista geométrico e aprenderemos como de terminar em qual caso um sistema de equacoes lineares se enquadra a partir da andlise da sua matriz de coeficientes e da sua matriz aumentada Vamos analisar alguns exemplos Exemplo 7 Infinitas solug6es Seja o seguinte sistema de equacoes lineares pi 2p 3p3 1 43 3p1 2p2 p3 1 44 A sua matriz aumentada é a seguinte 12 31 A if 45 32 11 Apliquemos o método de GaussJordan Multiplicando a primeira linha por 3 e somando a segunda linha encontramos que 1 2 31 B 46 0 4 8 2 A matriz B esta na forma escalonada por linha Queremos colocéla na forma reduzida Para isso primeiramente precisamos que os seus pivés sejam iguais 1 Multiplicando a segunda linha por 14 ns 1 2 3 1 By 47 0 1 205 O pr6ximo passo é zerar os coeficientes acima de cada pivé Multiplicando a segunda linha por 2 e somando a primeira encontramos que 10 1 0 R 48 0 1 2 05 9 que corresponde ao seguinte sistema p10p2 p3 0 49 p2 2p3 0 5 50 Reorganizando os termos das equações do sistema acima temos que p1 p3 51 p2 0 5 2p3 52 Claramente esse sistema admite innitas soluções Anal para qualquer valor que esco lhamos para p3 encontramos um valor correspondente para p1 e para p2 que satisfazem as duas equações simultaneamente Exemplo 8 Nenhuma solução Seja o seguinte sistema de equações lineares p1 3p2 1 53 3p1 p2 1 54 2p1 3p2 1 55 A sua matriz aumentada é a seguinte ˆA 1 3 1 3 1 1 2 3 1 56 Apliquemos o método de GaussJordan Multipliquemos a primeira linha por 3 e so memos à segunda linha Multipliquemos a primeira linha por 2 e somemos à terceira linha Assim encontramos que ˆA1 1 3 1 0 8 2 0 3 1 57 Multipliquemos segunda linha de ˆA1 por 38 e somemos à terceira linha encontramos que ˆB 1 3 1 0 8 2 0 0 0 25 58 10 Não precisamos nem prosseguir com a eliminação de GaussJordan para perceber que o nosso sistema não possui solução pois a última linha da matriz ˆB representa a seguinte equação 0p1 0p2 0 25 59 que evidentemente não pode ser respeitada pois o seu lado esquerdo é sempre igual a zero Em breve desenvolveremos um critério que nos permitirá responder as seguintes questões 1 Quando um sistema de equações lineares particular possui solução 2 Quantas soluções esse sistema particular possui Como podemos computálas 3 Quais condições na matriz de coecientes de um sistema garantem a existência de pelo menos uma solução para qualquer escolha de b b1 b2 bm 4 Quais condições na matriz de coecientes de um sistema garantem a existência de no máximo uma solução para qualquer escolha de b b1 b2 bm 5 Quais condições na matriz de coecientes de um sistema garantem a existência de uma única solução para qualquer escolha de b b1 b2 bm A m de xarmos o funcionamento do método de GaussJordan e introduzirmos mais alguns conceitos convém antes analisarmos mais um exemplo Exemplo 9 Innitas soluções Seja o seguinte sistema de equações lineares p1 4p2 17p3 4p4 38 60 2p1 12p2 46p3 10p4 98 61 3p1 18p2 69p3 17p4 153 62 A sua matriz aumentada é a seguinte ˆA 1 4 17 4 38 2 12 46 10 98 3 18 69 17 153 63 Apliquemos o método de GaussJordan Multipliquemos a primeira linha por 2 e so memos à segunda linha Multipliquemos a primeira linha por 3 e somemos à terceira linha ˆA1 1 4 17 4 38 0 4 12 2 22 0 6 18 5 39 64 11 Agora multipliquemos segunda linha de ˆA1 por 32 e somemos à terceira linha ˆB 1 4 17 4 38 0 4 12 2 22 0 0 0 2 6 65 A matriz ˆB já está na forma escalonada por linha Para colocála na forma reduzida aplicamos as operações elementares de baixo para cima Para isso a m de tornar os pivôs de ˆB iguais a 1 primeiramente multiplicamos a segunda linha por 14 e a terceira por 12 o que resulta no seguinte ˆB1 1 4 17 4 38 0 1 3 0 5 5 5 0 0 0 1 3 66 O passo seguinte é zerar todos os elementos acima de cada pivô na mesma coluna Para isso multiplicamos a terceira linha de ˆB1 por 12 e somamos à sua segunda linha Também multiplicamos a terceira linha de ˆB1 por 4 e somamos à sua primeira linha ˆB2 1 4 17 0 26 0 1 3 0 4 0 0 0 1 3 67 Por m multiplicamos a segunda linha de ˆB2 por 4 e somamos à sua primeira linha R 1 0 5 0 10 0 1 3 0 4 0 0 0 1 3 68 A matriz R que acabamos de encontrar está na forma reduzida Ela corresponde ao seguinte sistema de equações lineares p10p2 5p30p4 10 69 0p1p2 3p30p4 4 70 0p1 0p2 0p3p4 3 71 Esse sistema admite innitas soluções De fato embora p4 3 p3 é livre para assumir qualquer valor Uma vez escolhido um valor para p3 determinamos p1 e p2 pelas equações 69 e 70 respectivamente Denição 5 Se a jésima coluna de uma matriz escalonada por linha possui um pivô dizemos que xj é uma variável básica Caso contrário dizemos que xj é uma variável livre ou uma 12 variável nãobásica As variáveis livres de um sistema de equações lineares podem assumir qualquer valor Já o valor de uma variável básica é unicamente determinado ou é expresso como uma função linear das variáveis livres Exemplo 10 Suponhamos que a forma reduzida da matriz aumentada de um sistema de equações lineares seja a seguinte R 1 r12 r13 0 0 r16 0 w1 0 0 0 1 0 r26 0 w2 0 0 0 0 1 r36 0 w3 0 0 0 0 0 0 1 w4 72 onde os ws e os rs são escalares quaisquer Percebemos que x7 é uma variável básica e que seu valor é unicamente determinado igual a w4 Existem outras variáveis básicas x1 x4 e x5 Porém os valores dessas variáveis não podem ser unicamente determinados pois dependem dos valores escolhidos para as variáveis livres que são x2 x3 e x6 Uma vez escolhidos os valores dessas três variáveis livres os valores das outras três variáveis básicas são automaticamente determinados Observação Os conjuntos de variáveis básicas e de variáveis livres de um sistema de equa ções lineares podem depender da ordem com que realizamos as operações da eliminação Gaussiana 7 O critério fundamental posto ou rank Na discussão a seguir será útil expressarmos um sistema de equações lineares genérico como o 1 da seguinte maneira Ax b onde A é a matriz de coecientes x x1 xn é o vetor de variáveis e b b1 bm é o vetor de constantes do lado direito das equações Em breve quando estudarmos álgebra matricial essa notação cará mais clara Sejam A a matriz de coecientes de um sistema de equações lineares e ˆA a sua matriz aumentada Sejam B a forma escalonada por linha de A e ˆB a forma escalonada por linha de ˆA Denotemos por nlinM o número de linhas de uma matriz M qualquer e por ncolM o número de colunas dessa matriz Denição 6 O posto ou rank de uma matriz M qualquer denotado por rankM é o número de linhas diferentes de zero em sua forma escalonada por linha Proposição 1 Seja A a matriz de coecientes de um sistema de equações lineares Então 1 rankA nlinA 13 2 rankA ncolA Prova 1 Pela proria definigao de rank de uma matriz nao é possivel que o nimero de linhas diferentes de zero na sua forma escalonada seja maior do que o numero de linhas da matriz 2 Pela propria definigaéo o rank de uma matriz é igual ao nimero de pivés na sua forma escalonada Como existe no maximo um pivo6 por coluna segue que o rank de uma matriz é menor ou igual do que o nimero de colunas 0 Corolario 1 Seja A uma matriz Entaéo rankA minnlinA ncolA Prova Se rankA nlinA e rankA ncolA entao rankA minnlinA ncolA O Proposigdo 2 Sejam A uma matriz de coeficientes e A a sua matriz aumentada Entao rankA rankA Prova A matriz A adiciona uma coluna a matriz A ou seja ncolA ncolA 1 Ao es calonarmos as linhas de A escalonamos as linhas de A Portanto se uma linha de Bé composta exclusivamente por zeros essa mesma linha de B também é Ou seja nao é possivel que B tenha mais linhas diferentes de zero do que B O Proposigao 3 Um sistema de equagdes lineares com matriz de coeficientes A e matriz au mentada A tem solucao se e somente se rankA rankA Prova Precisamos provar que i se rankA rankA entao existe solucio e ii se existe solugao entao rankA rankA i Se rankA rankA entéo todas as linhas iguais a zero de B e B coincidem Sendo assim ao concluirmos o processo de eliminacao Gaussiana nao encontramos uma linha em que 02 02 w onde w 40 Portanto existe solucgao para o sistema ii Por contraposicao Suponhamos que rankA 4 rankA 0 que implica que rankA rankA pela proposicéo 2 Ento existe uma linha em B igual a zero que nao igual a zero em B Sendo assim essa linha prevé que 02 Ox w onde w 0 0 que nao tem solugao O 14 Proposigao 4 Um sistema de equagoes lineares i nao tem solucao ou ii tem exatamente uma solugao ou iii tem infinitas solugdes Prova Ja sabemos que rankA rankA e que um sistema possui solugéo se e somente se rankA rankA Isso implica que se rankA rankA entéo um sistema de equacoes lineares nado possui solugao o que cobre a possibilidade i do enunciado Caso rankA rankA o que significa que ha solucao pode haver ou nao variavel livre em B Caso nao haja variavel livre entao como existe um piv6 em cada coluna de B o valor de cada varidvel esté unicamente determinado 0 que cobre a possibilidade ii do enunciado Por outro lado caso exista alguma variavel livre ela pode assumir qualquer valor logo o sistema de equagoes lineares admite infinitas solugdes o que resulta na possibilidade iii do enunciado O Proposicao 5 Se um sistema de equacoes lineares tem exatamente uma solucao entao a matriz de coeficientes A tem pelo menos 0 mesmo nimero de linhas que de colunas Em outras palavras um sistema com uma tnica solugao tem pelo menos 0 mesmo nimero de equacoes que de variaveis Prova Por contraposicao Para que um sistema tenha solucao tinica é necessdrio que exista um pivé em cada coluna de B Pelo corolario 1 temos que rankA minnlinA ncolA Se nlinA ncolA entao rankA ncolA e portanto existe coluna em B sem pivo Consequentemente existe varidvel livre e portanto o sistema nao tem solucao unica 0 Colorolario 2 Se um sistema de equacoes lineares tem mais varidveis do que equagoes entao ele i nao tem solugao ou ii tem infinitas solucées Prova Se um sistema de equagoes lineares tem mais varidveis do que equacoes entao ncolA nlinA Nessas condigées pela proposigao 5 esse sistema nao tem solucao tinica Por tanto existem duas possibilidades i nao existe solugao ou ii existem infinitas solugoes O Um sistema em que b bm 0 b 0 como abaixo é dito homogéneo 1101 Ay22 GinIn 0 A91X1 A292q Aon Ln 0 73 Ami L1 Am22 AmnXy 0 15 Proposigao 6 Todo sistema de equacoes lineares homogéneo possui solugao Prova Evidentemente todo sistema de equacgoes lineares homogéneo admite zj 7 0 a 0 como solugao 0 Proposigao 7 Um sistema de equacoes lineares homogéneo com mais varidveis do que equa coes tem infinitas solugoes Prova Se um sistema de equacoes lineares possui mais varidveis do que equacoes a forma esca lonada da sua matriz de coeficientes possui varidvel livre Se esse sistema homogéneo entao ele possui solucao Consequentemente ele possui infinitas solucoes O Proposicao 8 Um sistema de equacoes lineares com matriz de coeficientes A tem solucao para todo b se e somente se rankA nlinA Prova Precisamos provar que i se rankA nlinA entao existe solucao para todo 5 e ii se existe solucgao para todo b entao rankA nlinA i Se rankA nlinA entaéo B tem todas as suas linhas diferentes de zero Seja b um vetor qualquer de constantes do lado direito do sistema de equacoes lineares Como vimos B é a matriz aumentada de B Logo todas as linhas de B também sao diferentes de zero Consequentemente rankA nlinA nlinA rankA Portanto pela proposigao 3 concluimos que se rankA nlinA entao existe solucao para todo b ii Por contraposigéo Suponhamos que rankA 4 nlinA o que implica que rankA nlinA pela proposicgéo 1 Entao a tltima linha de B contém apenas zeros Por tanto existe b tal que o tltimo elemento de B chamemos de b 6 diferente de zero Nesses casos 0 sistema nao admite solugao O Corolario 3 Se um sistema de equacoes lineares tem mais equacoes do que variaveis entao existe b para o qual o sistema nao tem solucao Prova Se um sistema de equacoes lineares possui mais equagdes do que varidveis nlinA ncolA Segue do corolario 1 que nlinA rankA e portanto pela proposicao 8 existe b para o qual o sistema de equacoes lineares nao possui solucao 0 16 Proposicao 9 Qualquer sistema de equacoes lineares com matriz de coeficientes A tem no maximo uma solucao para todo b se e somente se rankA ncolA Prova Precisamos provar que i se rankA ncolA entaéo existe no méximo uma solucao para todo 5 e ii se existe no méximo uma solugao para todo b entao rankA ncolA i Se rankA ncolA entao existe um pivé em cada coluna de B Portanto nao existe varidvel livre Sendo assim caso exista solucao para o sistema ela é unicamente determinada ii Por contraposigaéo Suponhamos que rankA ncolA 0 que implica que rankA ncolA pela proposigao 1 Entao existe coluna em B sem piv6 Portanto existe varidvel livre no sistema Sendo assim caso exista solucao ela nao é tnica O Corolario 4 Um sistema de equacoes lineares com matriz de coeficientes A tem exatamente uma solucao para todo b se e somente se rankA nlinA ncolA Prova Pela proposicao 8 um sistema de equacoes lineares possui solugao para todo b se e somente se rankA nlinA Pela proposigaéo 9 um sistema de equacoes lineares possui no maximo uma solucao para todo b se e somente se rankA ncolA Combinando os dois resultados concluimos que um sistema de equacoes lineares possui solucao tnica para todo b se e somente se rankA nlinA ncolA O Definicgao 7 Seja A uma matriz Se nlinA ncolA rankA dizemos que A é nao singular Resumindo os resultados anteriores temos o seguinte Resumo Seja um sistema de equacoes lineares Ax b a Se o ntimero de equacdes menor do que o ntimero de variaveis entao Ax 0 tem infinitas solucoes Para b qualquer Ax b i nao tem solugao ou ii tem infinitas solugdes Se rankA for igual ao nimero de equagoes Ax 6 tem infinitas solugdes para todo b b Se o ntimero de equacoes é maior do que o nimero de varidveis entao Ax 0 i tem exatamente uma solugao ou ii tem infinitas solucoes 17 Para b qualquer Ax b i não tem solução ou ii tem exatamente uma solução ou iii tem innitas soluções Se rankA for igual ao número de variáveis Ax b i não tem solução ou ii tem exatamente uma solução c Se o número de equações é igual ao número de variáveis então Ax 0 i tem exatamente uma solução ou ii tem innitas soluções Para b qualquer Ax b i não tem solução ou ii tem exatamente uma solução ou iii tem innitas soluções Se rankA for igual ao número de equações e de variáveis Ax b tem exatamente 1 solução para todo b Estas notas de aula têm o propósito de explicar o conteúdo do capítulo 7 de Simon e Blume 1994 que é seguido de perto Alguns pequenos ajustes naquele material são realizados para efeito didático Referências 1 SIMON Carl P BLUME Lawrence Mathematics for Economists Nova Iorque Norton Company 1994 Cap 7 18