Análise de risco e Teoria das Carteiras: Markowitz e VaR

59 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 4 Análise de risco VaR II A análise de risco de uma carteira demonstra as chances de um investimento de trazer prejuízos ao investidor ou algum retorno abaixo do esperado Existem vários fatores que podem influenciar no risco da carteira como inflação crises econômicas crises políticas guerras pandemias etc Neste capítulo trabalharemos os conceitos da teoria das carteiras Markowitz VaR e a diversificação de uma carteira de investimentos cálculo do VaR de uma carteira de investimentos retorno esperado e o risco de uma carteira com dois ativos matricial retorno esperado e o risco de uma carteira com n ativos matricial e fronteira eficiente 60 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Teoria das carteiras Markowitz De acordo com Bodie Kane e Marcus 2014 a teoria de Markowitz ou teoria da carteira é uma metodologia utilizada no mercado financei ro que permite encontrar o equilíbrio entre maximizar o retorno e mini mizar o risco de uma carteira de investimentos Dessa forma consegui mos selecionar os ativos investimentos permitindo a diversificação dos riscos e mantendo o retorno esperado Com a teoria da carteira buscase utilizar o conceito do risco para formar carteiras tendo sempre em vista o perfil do investidor Desse modo é possível definir o retorno esperado como meta desejada e o risco variância do retorno como não desejável Para Markowitz 1952 quando trabalhamos com um retorno de uma carteira heterogênea que se aproxima da média ponderada dos retornos dos ativos individuais a variância da carteira será menor que a variação média dos títulos da carteira Assim quando os investidores escolhem a montagem de uma carteira não devem se basear somente no desem penho individual dos ativos é preciso levar em conta como os títulos interagem na carteira Temos que variar os tipos de ativos envolvendo empresas diferentes e setores também diferentes sempre levando em consideração a correlação entre os ativos da carteira O risco variância da carteira depende da interferência de um ativo no outro ou seja da covariância entre os ativos utilizando o retorno calculado em pares Assim temos a correlação entre os ativos quanto maior essa correlação maior o risco para a carteira 11 Caso prático Para efetuar o cálculo de retorno e risco conforme a teoria de Markowitz utilizamos os retornos dos ativos Petrobras PETR4 Itaú Unibanco ITUB4 Vale VALE3 e o ativo livre de risco SELIC 61 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRA COM MARKOWITZ ATUALIZADO RETORNOS DOS ATIVOS DAS CARTEIRAS ATIVO LIVRE DE RISCO 04092022 PETR4 ITUB4 VALE3 Selic 2017 984 3079 6667 996 2018 4591 3241 3111 642 2019 3687 1198 685 595 2020 610 1175 7047 275 2021 2276 1737 473 444 2022 7491 2868 1213 493 Média dos retornos 3070 1246 2795 574 Fonte adaptado do site Fundamentus s d Efetuamos o cálculo da matriz de covariância e a variância risco da carteira MATRIZ DE COVARIÂNCIA PETR4 ITUB4 VALE3 Selic PETR4 0081527205667 003525957 00808425720000 00001627202700 ITUB4 0035259593333 004946526 00040789320000 00037767036598 VALE3 00808425720000 000407893 01181591840000 00019363262646 Selic 00001627202700 000377670 00019363262646 00005910629638 Variâncias 00033567988240 000000000 00024372019205 00001668044374 Variância da carteira 060 A covariância de X e Y dois ativos pode ser calculada da seguinte forma covx1 x2 σ12 Ex1 x2 x1 x2 Onde σ12 desviopadrão entre os dois ativos Ex1 x2 valor esperado de x1 e x2 62 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 x valor médio de x1 A fórmula da covariância entre os ativos N RAtivo 1i RAtivo 1RAtivo 2i RAtivo 2 i σ 1 1 2 N1 Onde R retorno do ativo R retorno médio do ativo N tamanho da amostra Para o cálculo da covariância utilizamos a função do Excel COVARIAÇÃOS relacionando cada ativo com o par correspondente da matriz Também efetuamos o cálculo das variâncias no qual utilizamos a função do Excel SOMARPRODUTO multiplicando cada covariância da coluna pelo percentual ótimo da carteira multiplicado pelo percentual ótimo do ativo na carteira O cálculo da variância da carteira representa a soma das variâncias das covariâncias Aqui temos o retorno exigido da carteira 2500 aa conforme ne cessidade ou perfil do investidor Retorno da carteira 2500 ALOCAÇÃO ÓTIMA DA CARTEIRA PETR4 4498 ITUB4 000 LEGENDA E GUIA DE USO VALE3 3617 Valores para mudança no Solver Selic 1885 Valor para minimização Total 10000 Restrições 63 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo O retorno da carteira é obtido pela multiplicação da média dos re tornos pelo percentual da alocação ótima da carteira após resultado do cálculo do SOLVER Excel A alocação ótima da carteira ocorre após o cálculo do SOLVER Excel alocando o percentual ideal da carteira por ativo PETR4 4498 ITUB4 000 VALE3 3617 e Selic 1885 atendendo ao retorno espera do da carteira 2500 aa e minimizando o risco 060 Figura 1 Uso de Parâmetros do Solver do Excel Aqui temos os parâmetros do solver utilizados Definir objetivos H9 corresponde à célula do Excel da variância da carteira 64 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Min marcar como mínimo para minimizar os riscos Alterando células variáveis B15B18 corresponde às células da alocação ótima da carteira somente os percentuais não incluir o total Sujeito às restrições B13 025 corresponde à célula do retorno da carteira exigido pelo investidor e B19 1 determina que o total da alocação ótima da carteira seja igual a 100 PARA SABER MAIS Para saber mais sobre o modelo de otimização de carteira de Markowitz procure pelo livro Investimentos BODIE KANE MARCUS 2015 p 193 196 2 VaR e a diversificação de uma carteira de investimentos A diversificação de ativos é um procedimento que busca reduzir o risco da carteira de investimento e os cálculos envolvendo o Value at Risk VaR podem demonstrar a análise e tomada de decisão sobre o risco A correlação1 entre os ativos interfere no risco da carteira Assim se temos correlação positiva os dois ativos oscilam no mesmo sentido por outro lado em uma correlação negativa as variáveis se movem em sentido contrário Já em uma correlação igual a zero não há relação en tre os ativos Lembramos que a correlação não implica em causalidade ou seja não é possível afirmar que há uma relação entre causa e efeito 1 Correlação é uma medida de relação entre duas variáveis que pode ser positiva ou negativa e oscila entre 1 máxima correlação negativa e 1 máxima correlação positiva 65 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Quando utilizamos uma carteira pouco diversificada existe um po tencial de risco por não diversificação Mas em um portfólio com índice de correlação próximo de zero o investidor pode observar que a carteira apresenta pouco risco devido à diversificação já existente na própria carteira A diversificação entre empresas e setores permite que caso um ativo recue muito os outros amorteçam a queda da carteira NA PRÁTICA Efetuemos o cálculo do VaR dos ativos Petrobras PETR4 Vale VALE3 e Gerdau GGBR4 Utilizamos os retornos de 01012022 a 05092022 ou seja 171 pregões dos respectivos ativos obtidos do site Investing com para calcularmos o retorno do portfólio Efetuamos os cálculos do VaR individual dos ativos históricos PETR4 43 VALE3 40 GGBR4 44 e da Carteira 341 Trabalhamos também com os pesos do portfólio PETR4 50 VALE3 20 e GGBR4 30 VAR INDIVIDUAL ATIVOS HISTÓRICO 43 40 44 341 VAR PORTFÓLIO PESOS PORTIFÓLIO 50 20 30 100 DATA ATIVO PETROBRAS PETR4 VALE VALE3 GERDAU GGBR4 RETORNO DO PORTFÓLIO 050922 027 366 145 103 020922 127 152 308 001 010922 187 095 013 078 310822 247 072 093 081 300822 595 290 175 408 290822 250 193 042 074 260822 108 150 247 050 250822 107 194 144 029 240822 060 322 082 059 cont 66 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo DATA ATIVO PETROBRAS PETR4 VALE VALE3 GERDAU GGBR4 RETORNO DO PORTFÓLIO 230822 318 641 596 466 220822 214 146 249 003 190822 506 112 202 336 180822 201 075 198 026 170822 234 246 115 102 160822 091 242 236 023 150822 003 215 414 166 MÉTODO PARAMÉTRICO DISTRIBUIÇÃO NORMAL Média 00 Desviopadrão 20 Intervalo de confiança 95 Value at Risk 322 MÉTODO HISTÓRICO Intervalo de confiança 95 Value at Risk 341 Com os cálculos do VaR pelo método paramétrico de distribuição normal com nível de confiança de 95 obtivemos uma média dos re tornos 00 desviopadrão risco 20 e VaR 322 Quando efetuamos os cálculos do VaR pelo método histórico com nível de confiança de 95 obtemos o VaR 341 Com os valores da tabela anterior o VaR individual de ativos históri cos montamos um gráfico de colunas representando o risco de cada título e do portfólio 45 50 40 35 30 25 20 15 10 05 00 43 44 341 40 Petrobras PETR4 Vale VALE3 Gerdau GGBR4 Retorno do portfólio Value at Risk 67 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo VAR INDIVIDUAL ATIVOS HISTÓRICO 43 40 44 341 VAR PORTFÓLIO PESOS PORTIFÓLIO 50 20 30 100 DATA ATIVO PETROBRAS PETR4 VALE VALE3 GERDAU GGBR4 RETORNO DO PORTFÓLIO 45 50 40 35 30 25 20 15 10 05 00 43 44 341 40 Petrobras PETR4 Vale VALE3 Gerdau GGBR4 Retorno do portfólio Value at Risk Todos esses cálculos demonstram que a diversificação melhora o VaR pois temos um VaR individual PETR4 43 VALE3 40 GGBR4 44 superior ao VaR do portifólio carteira 341 Quando diversificamos ainda mais a carteira temos VAR INDIVIDUAL ATIVOS HISTÓRICO 23 71 27 50 25 43 238 VAR PORTFÓLIO PESOS PORTIFÓLIO 15 10 30 15 20 10 100 cont DATA ATIVO PETROBRAS PETR4 VALE VALE3 GERDAU GGBR4 RETORNO DO PORTFÓLIO 230822 318 641 596 466 220822 214 146 249 003 190822 506 112 202 336 180822 201 075 198 026 170822 234 246 115 102 160822 091 242 236 023 150822 003 215 414 166 MÉTODO PARAMÉTRICO DISTRIBUIÇÃO NORMAL Média 00 Desviopadrão 20 Intervalo de confiança 95 Value at Risk 322 MÉTODO HISTÓRICO Intervalo de confiança 95 Value at Risk 341 Com os cálculos do VaR pelo método paramétrico de distribuição normal com nível de confiança de 95 obtivemos uma média dos re tornos 00 desviopadrão risco 20 e VaR 322 Quando efetuamos os cálculos do VaR pelo método histórico com nível de confiança de 95 obtemos o VaR 341 Com os valores da tabela anterior o VaR individual de ativos históri cos montamos um gráfico de colunas representando o risco de cada título e do portfólio 68 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo DATA ATIVO AMBEV ABEV3 NATURA NTCO3 CEMIG CMIG4 USIMINAS USIM3 BANCO BRASIL BBAS3 PETROBRAS PETR4 RETORNO DO PORTFÓLIO 050922 065 349 016 273 212 027 046 020922 013 312 008 353 047 127 085 010922 105 007 017 456 154 187 139 310822 078 217 168 073 151 247 001 300822 141 212 286 024 028 595 197 290822 038 296 057 520 207 250 064 260822 095 673 245 598 050 108 244 250822 013 400 171 033 238 107 023 240822 233 833 008 243 166 060 052 230822 013 542 047 811 202 318 264 220822 153 318 016 234 085 214 090 190822 213 398 031 055 184 506 177 180822 289 531 146 185 231 201 001 170822 032 252 567 144 090 234 177 160822 052 213 032 089 049 091 028 150822 138 504 089 077 252 003 017 MÉTODO PARAMÉTRICO DISTRIBUIÇÃO NORMAL Média 01 Desviopadrão 14 Intervalo de confiança 95 Value at Risk 222 MÉTODO HISTÓRICO Intervalo de confiança 95 Value at Risk 238 69 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Com os cálculos do VaR pelo método paramétrico de distribuição normal com nível de confiança de 95 obtivemos uma média dos re tornos 01 desviopadrão risco 14 e VaR 222 Quando efetuamos os cálculos do VaR pelo método histórico com nível de confiança de 95 obtemos o VaR 238 80 70 60 50 40 30 20 10 00 71 23 25 238 27 43 50 Ambev Natura Cemig Usiminas Banco do Brasil Petrobrás Retorno do portfólio Value at Risk Nessa carteira também fica claro que a diversificação diminui os ris cos e perdas pois temos um VaR individual ABEV3 23 NTCO3 71 CMIG4 27 USIM3 50 BBAS3 25 PETR4 43 superior ao VaR do portifólio carteira 238 Comparando as duas carteiras temos ÍNDICE CARTEIRA CONCENTRADA CARTEIRA DIVERSIFICADA Volatilidade 20 14 VaR histórico 341 238 Retorno médio 00 01 70 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Com retornos praticamente idênticos a carteira diversificada como era de se esperar apresentou um VaR histórico 103 ponto percentual menor na comparação Também foi constada uma queda na exposição à volatilidade Podemos concluir por meio dessa simulação com preços e retornos históricos que é eficiente para o investidor diversificar sua carteira de ações pois como demonstrado há retornos estatísticos em termos de redução de risco 3 Cálculo do VaR de uma carteira de investimentos Quando efetuamos o cálculo do VaR dos retornos de ações ou de uma carteira assumese que os retornos diários são identica e independente mente distribuídos ou seja apresentam uma distribuição normal O VaR representa o múltiplo do desviopadrão da distribuição multiplicado por um fator de ajuste relacionado diretamente com o intervalo de confiança O cálculo do valor em risco ou VaR é um método de se obter o valor esperado da máxima perda ou pior perda dentro de um horizonte de tempo com um intervalo de confiança Para efetuar o cálculo do VaR precisamos escolher dois fatores quantitativos o horizonte de tempo da amostra e o intervalo de con fiança IC O horizonte de tempo é definido de acordo com a natureza do fundo para o IC deve ser escolhido um valor alto que calcularia uma perda raramente excedida acima de 95 Ao calcularmos o VaR de uma carteira de ações definese W0 como o valor inicial da carteira e R como a taxa de retorno Ao final do horizon te de tempo escolhido o valor da carteira será W W01 R em que R tem média µ e volatilidade σ Definindo o menor valor da carteira dentro 71 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo do IC de nível c como W W01 R o VAR é definido como a perda monetária com relação à média VaR média EW W W0 R µ Caso o VaR seja definido em valores absolutos ou seja em relação a zero será dado por VaR zero W0 W W0 R Em ambos os casos encontrar o VaR é equivalente a identificar o valor mínimo W ou a taxa R 31 Caso prático Vamos efetuar o cálculo do VaR dos ativos Ambev ABEV3 Natura NTCO3 Cemig CMIG4 Usiminas USIM3 Banco do Brasil BBAS3 e Petrobras PETR4 Utilizamos os retornos de 01012022 a 05092022 ou seja 171 pregões dos respectivos ativos obtidos do site Investing com assim calculamos o retorno do portfólio Efetuamos o cálculo do VaR individual ABEV3 23 NTCO3 71 CMIG4 27 USIM3 50 BBAS3 25 PETR4 43 superior ao VaR do portifólio carteira 238 O cálculo do VaR pode ser efetuado conforme equações da unidade 3 ou pelo Excel utilizando a função PERCENTILEXC 72 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo VAR INDIVIDUAL ATIVOS HISTÓRICO 23 71 27 50 25 43 238 VAR PORTFÓLIO PESOS PORTIFÓLIO 15 10 30 15 20 10 100 DATA ATIVO AMBEV ABEV3 NATURA NTCO3 CEMIG CMIG4 USIMINAS USIM3 BANCO BRASIL BBAS3 PETROBRAS PETR4 RETORNO DO PORTFÓLIO 050922 065 349 016 273 212 027 046 020922 013 312 008 353 047 127 085 010922 105 007 017 456 154 187 139 310822 078 217 168 073 151 247 001 300822 141 212 286 024 028 595 197 290822 038 296 057 520 207 250 064 260822 095 673 245 598 050 108 244 250822 013 400 171 033 238 107 023 240822 233 833 008 243 166 060 052 230822 013 542 047 811 202 318 264 220822 153 318 016 234 085 214 090 190822 213 398 031 055 184 506 177 180822 289 531 146 185 231 201 001 170822 032 252 567 144 090 234 177 160822 052 213 032 089 049 091 028 73 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo MÉTODO PARAMÉTRICO DISTRIBUIÇÃO NORMAL Média 01 Desviopadrão 14 Intervalo de confiança 95 Value at Risk 222 MÉTODO HISTÓRICO Intervalo de confiança 95 Value at Risk 238 Esses cálculos precisam ser acompanhados diariamente back tes ting para identificar o que está acontecendo com o VaR e se está den tro dos parâmetros contratados perda máxima INTERVALO DE CONFIANÇA 95 DATA ATÉ VAR 05092022 234 02092022 234 01092022 234 31082022 234 30082022 234 29082022 234 26082022 234 25082022 234 24082022 234 23082022 234 Quando o VaR aumenta ou seja está fora dos parâmetros contrata dos acionamos o stop loss que é uma ferramenta utilizada para reduzir as perdas causadas pelo VaR Nesse caso alteramos a carteira para minimizar os efeitos do VaR 74 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo VAR INDIVIDUAL ATIVOS HISTÓRICO 23 16 27 00 25 00 095 VAR PORTFÓLIO PESOS PORTIFÓLIO 15 30 10 15 20 10 100 DATA ATIVO AMBEV ABEV3 TESOURO PREFIXADO COM JUROS SEMESTRAIS VENCIMENTO EM 01012029 NTF010129 CEMIG CMIG4 TESOURO SELIC VENCIMENTO EM 01032027 LFT030127 BANCO BRASIL BBAS3 BTG PACTUAL CDB I FIC FI RENDA FIXA CRÉDITO PRIVADO 0P0000WU1Z RETORNO DO PORTFÓLIO 050922 065 025 016 005 212 005 026 020922 013 072 008 005 047 005 035 010922 105 042 017 005 154 005 062 310822 078 065 168 005 151 005 004 300822 141 035 286 005 028 005 065 290822 038 026 057 005 207 005 039 260822 095 018 245 006 050 005 053 250822 013 029 171 006 238 005 025 240822 233 019 008 006 166 005 003 230822 013 072 047 005 202 006 070 220822 153 007 016 005 085 005 038 190822 213 084 031 006 184 005 096 180822 289 019 146 005 231 005 022 170822 032 082 567 005 090 005 020 160822 052 043 032 005 049 005 035 75 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo MÉTODO PARAMÉTRICO DISTRIBUIÇÃO NORMAL Média 01 Desviopadrão 07 Intervalo de confiança 95 Value at Risk 106 MÉTODO HISTÓRICO Intervalo de confiança 95 Value at Risk 095 Substituímos as ações com maior VaR por renda fixa Tesouro Direto Préfixado Tesouro Selic e CDB do Banco BTG Pactual Observamos uma melhora significativa nas perdas do VaR Nessa carteira também efetuamos o back testing INTERVALO DE CONFIANÇA 95 DATA ATÉ VAR 05092022 095 02092022 095 01092022 095 31082022 095 30082022 095 29082022 095 26082022 095 25082022 095 24082022 095 23082022 096 76 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Mostramos a estabilidade do VaR com a inclusão de novos ativos e retiradas de outros Também podemos utilizar o stress test que presenta os 5 não pre vistos no cálculo do VaR utilizando parâmetros bem acima de mercado para identificar a parte ruim desse mercado descobrindo o tamanho a perda além do VaR 4 Retorno esperado e o risco de uma carteira com dois ativos matricial Conforme a tabela 1 a seguir temos dois ativos A e B com os respectivos estado da economia a probabilidade de ocorrer e o retorno dos ativos A e B assim como o retorno esperado dos ativos A e B Os retornos esperados de A e de B são conseguidos multiplicando a proba bilidade pelo retorno de cada ativo 10 x 5 050 Tabela 1 Retorno esperado ESTADO DA ECONOMIA PROBABILIDADE RETORNO DO ATIVO A RETORNO DO ATIVO B RETORNO ESPERADO A RETORNO ESPERADO B Recessão 10 5 13 050 130 Médio 35 10 5 350 175 Bom 45 25 25 1125 1125 Excelente 10 50 14 500 140 Retorno esperado 1925 1220 O risco de cada ativo é medido pelo desviopadrão e pode ser deter minados da seguinte forma os riscos dos ativos A e B são calculados utilizando o retorno do ativo de cada estado da economia e subtrain do dele o retorno esperado total do ativo tudo isso ao quadrado em seguida multiplicase esse valor pela respectiva probabilidade 5 1925² x 10 0005881 77 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Tabela 2 Risco do ativo ESTADO DA ECONOMIA PROBABI LIDADE RETORNO DO ATIVO A RETORNO DO ATIVO B RETORNO ESPERADO A RETORNO ESPERADO B RISCO DO ATIVO A RISCO DO ATIVO B Recessão 10 5 13 050 130 0005881 000001 Médio 35 10 5 350 175 0002995 0010354 Bom 45 25 25 1125 1125 0001488 0007373 Excelente 10 50 14 500 140 0009456 000003 Retorno esperado 1925 1220 0019819 0017766 Desviopadrão risco 1408 1333 Retorno esperado e risco para diferentes composições de carteiras Tabela 3 Retorno e risco da carteira com dois ativos Ativo Retorno Risco Correlação RISCO MÍNIMO Risco Retorno Proporção Carteira A 1925 1408 000 96934 157250 5000 6 B 1220 1333 5000 CONJUNTO DE OPORTUNIDADES DE INVESTIMENTOS CARTEIRA PARTICIPAÇÃO RETORNO RISCO A B 1 10000 000 192500 140779 2 9000 1000 185450 127400 3 8000 2000 178400 115735 4 7000 3000 171350 106349 5 6000 4000 164300 99886 6 5000 5000 157250 96934 7 4000 6000 150200 97810 8 3000 7000 143150 102416 9 2000 8000 136100 110286 10 1000 9000 129050 120783 11 000 10000 122000 133289 78 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo As composições sugeridas na tabela anterior são algumas das possíveis carteiras que poderiam ser formadas com os ativos A e B A carteira 1 composta exclusivamente do ativo A apresenta ao mesmo tempo o maior retorno esperado e também o risco mais elevado maior desviopadrão Por outro lado a carteira 6 apresenta o menor risco O risco de uma carteira pode representar o potencial de perda ou ganho que uma determinada cesta de ativos demonstra e pode ser me dido com diversas métricas desviopadrão Ao calcularmos o desviopadrão de uma carteira deve ser levado em conta o grau de correlação que existe entre os ativos Utilizamos o modelo de Markowitz modelo portfólio podemos con siderar o risco de uma carteira de dois ativos A e B σp w2 2 2 2 A σA wB σB 2 wA wB COVA B Onde σp desviopadrão da carteira w peso de um determinado ativo na carteira σ² variância do ativo COV covariância de um ativo com outro ativo 5 Retorno esperado e o risco de uma carteira com N ativos matricial Ao calcularmos o retorno esperado e o risco de uma carteira com vários ativos chegamos ao retorno e risco individual dos ativos 79 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Tabela 4 Retorno esperado e risco por ativo ESTADO DA ECONOMIA Recessão Médio Bom Excelente Retorno esperado Desviopadrão risco do ativo PROBABILIDADE 10 35 45 10 ATIVO A 5 10 25 50 1925 1408 ATIVO B 13 5 25 14 1220 1333 ATIVO C 15 10 25 8 1705 738 ATIVO D 8 35 20 10 2145 1285 ATIVO E 12 15 30 2 1975 1042 ATIVO F 10 20 15 40 1875 773 Calculando e analisando o retorno e o risco da carteira ponderamos os valores da carteira conforme a participação pesos dos ativos Tabela 5 Retorno e risco da carteira PESOS PORTIFÓLIO 15 30 10 15 20 10 100 ATIVO A B C D E F RETORNO ESPERADO 1925 1220 1705 2145 1975 1875 1730 Retorno do portfólio DESVIO PADRÃO RISCO 1408 1333 738 1285 1042 773 1163 Risco do portfólio O retorno do portfólio 1730 e o risco do portfólio 1163 foram calculados de forma ponderada ou seja utilizando os pesos de partici pação de cada ativo PARA SABER MAIS Para saber mais sobre risco e retorno de uma carteira procure pela obra Mercado financeiro ASSAF NETO 2021 p 287292 80 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 6 Fronteira eficiente De acordo com Assaf Neto 2021 o investidor deve escolher uma carteira de investimento avaliando a relação riscoretorno em suas de cisões conforme combinações disponíveis no trecho MW da linha de combinações descrita na figura 1 Nesse segmento temos a fronteira eficiente em que identificamos todas as carteiras possíveis de serem construídas Dessa forma a escolha da melhor carteira é definida con forme a postura do investidor em relação ao dilema riscoretorno pre sente na avaliação de investimentos ou seja seu perfil de investidor Figura 2 Fronteira eficiente E RpRp Retorno esperado M W A 1 2 4 3 5 6 7 Desviopadrão σP Fonte adaptado de Assaf Neto 2021 Na fronteira eficiente conseguimos selecionar uma carteira com um determinado retorno e menor risco possível Na figura 2 temos uma fronteira eficiente em que cada ponto da curva demonstra o retorno esperado e o desviopadrão risco das pos síveis alternativas de investimento Desse modo se considerarmos três ativos A B e C conseguimos formar três tipos de carteiras uma seria 81 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo constituída com um só ativo cada A B e C três carteiras de dois ativos cada AB AC e BC e uma carteira com os três ativos ABC Figura 3 Conjunto de combinações de ativos na formação da carteira E RpRp Retorno esperado σP Desviopadrão dos retornos 22 12 20 36 Carteira de variância mínima Carteira ótima A B M C D E F Hipérbole de Markowitz Fonte adaptado de Assaf Neto 2021 No gráfico anterior o portfólio carteira M é o de menor risco variân cia e de menor desviopadrão O ponto M apresenta menor risco para um retorno esperado mais elevado assim as oportunidades de inves timentos devem ser consideradas sobre a curva MF que representa o conjunto ou fronteira eficiente Também devemos observar que nas carteiras com mais de um ati vo podemos ter diferentes proporções de cada ativo permitindo um grande número de carteiras possíveis de serem formadas Quando buscamos reduzir o risco de um investimento e obter o máxi mo de return on investment ROI ou retorno de investimento podemos utilizar a fronteira eficiente conceito apresentado por Harry Markowitz que mostra que o risco de uma carteira não é dado simplesmente pela 82 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo média dos ativos individuais mas pela diversificação da carteira de inves timento como um todo Para trabalhar esse conceito de fronteira eficiente precisamos nos atentar para três grandes fases Análise dos títulos analisamos cada ativo principalmente o va lor intrínseco e a taxa de atratividade dele Análise da carteira precisamos avaliar o retorno esperado e o risco de uma combinação de ativos Seleção da carteira avaliamos a melhor combinação dos ativos analisados permitindo a melhor alocação de ativos em uma car teira que maximize a satisfação do investidor investidor racional Para Markowitz a maximização da satisfação do investidor investi dor racional acontece quando o investidor obtém a maior rentabilidade e o menor risco nos títulos de renda variável Figura 4 Fronteira eficiente linha de mercado de capitais M Q S Portfólio de mercado Taxa livre de risco Fronteira eficiente Linha de mercado de capitais Risco desviopadrão Retorno esperado Fonte adaptado de Reis 2020 83 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Na fronteira eficiente encontramos as melhores combinações de carteiras otimizadas O ponto S representa uma carteira com menor eficiente de mercado ou seja risco elevado e pouco retorno O ponto Q representa uma combinação quase impossível de se conseguir tendo em vista a linha ou reta de mercado de capitais CML capital market line que limita o retorno esperado A linha vermelha da fronteira efi ciente não deve ser utilizada pois teríamos combinações melhores na parte azul A linha azul representa as possíveis combinações eficientes de mercado O ponto M representa a carteira eficiente com menor risco possível Graficamente a linha de mercado de capitais CML Capital Market Line demonstra a partir da linha de um ativo livre de risco Risk Free Selic 1375 aa em 070922 uma função da distribuição da taxa de retorno de um ativo livre de risco e da taxa de retorno de um portfólio com ris co de mercado permitindo que o investidor alcance o máximo retorno possível de qualquer ativo considerando níveis de risco aceitáveis Na CML temos diversificação com uma carteira de mercado mais um ativo livre de risco O ponto T representa o portfólio carteira de mercado com 100 comprado em ativos do mercado e 0 de ativo livre de risco Percorrendo a CML abaixo do ponto T temos uma maior participação de ativo livre de risco menor risco na carteira e menor retorno esperado a partir do ponto T estamos alavancados ou seja pegando dinheiro emprestado para investir em renda variável por exemplo A carteira ótima deve estar na CML e não necessariamente na fronteira eficiente conforme a utilidade do investidor perfil Considerações finais Neste capítulo tratamos da teoria das carteiras Markowitz do VaR e da diversificação de uma carteira de investimentos do cálculo do VaR de uma carteira de investimentos do retorno esperado e do risco de uma carteira com dois ativos matricial do retorno esperado e do risco de uma carteira com N ativos matricial e da fronteira eficiente 84 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Vimos a teoria de Markowitz ou teoria da carteira que representa uma metodologia que permite encontrar o equilíbrio entre maximizar o retorno e minimizar o risco de uma carteira de investimentos Desse modo conseguimos selecionar os ativos investimentos de forma a di versificar seus riscos sem reduzir seu retorno esperado Tratamos também da diversificação de ativos como um procedi mento que busca reduzir o risco da carteira de investimento e dos cál culos envolvendo o VaR que podem demonstrar a análise e tomada de decisão sobre o risco Quando efetuamos o cálculo do VaR dos retornos de ações ou de uma carteira vemos que os retornos diários são identicamente e in dependentemente distribuídos ou seja apresentam uma distribuição normal O VaR representa o múltiplo do desviopadrão da distribuição multiplicado por um fator de ajuste relacionado diretamente com o in tervalo de confiança No retorno esperado e no risco de uma carteira com dois ativos matricial efetuamos os cálculos e demonstramos a aplicação em uma carteira de dois ativos Para o retorno esperado e o risco de uma carteira com N ativos matricial calculamos os retornos esperados de cada ativo e depois montamos a carteira com as proporções de participação de cada ativo mostrando o retorno esperado e o risco do portfólio Na fronteira eficiente demonstramos graficamente a relação risco retorno de uma carteira de investimento com as possíveis combina ções na tomada de decisão conforme o perfil do investidor Conseguimos demonstrar também com gráficos cálculos e matri zes como montar sua carteira de investimento com eficiência sempre respeitando o perfil do investidor por meio de ferramentas que auxiliam a tomada de decisão minimizando os riscos dos investimentos 85 Análise de risco VaR II Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Referências ALLEN F BREALEY R A MYERS S C Princípios de finanças corporativas São Paulo McGrawHill 2008 ASSAF NETO A Finanças corporativas e valor São Paulo Atlas 2014 ASSAF NETO A Mercado financeiro 15 ed Barueri Atlas 2021 BODIE Z B KANE A MARCUS A J Fundamentos de investimentos São Paulo McGrawHill 2014 BODIE Z B KANE A MARCUS A J Investimentos São Paulo McGrawHill 2015 DAMODARAN A Avaliação de investimentos Rio de Janeiro Qualitymark 2010 FUNDAMENTUS Site de informações financeiras e de investimentos Fundamentus s l s d Disponível em httpsfundamentuscombrindex php Acesso em 22 mar 2023 LIMA Fabiano Guasti Análise de riscos 2 ed São Paulo Atlas 2018 MARKOWITZ H Administração financeira Journal of Finance s l 3 ed Portfolio Selection 1952 RAGSDALE C T Modelagem e análise de decisão São Paulo Cengage Learning 2010 REIS T Fronteira eficiente conheça a teoria de risco de Harry Markowitz Suno São Paulo 6 out 2020 Disponível em httpswwwsunocombrartigos fronteiraeficientetextFronteira20Eficiente20C3A920um20 conceitode20investimento20como20um20todo Acesso em 7 set 2022 SECURATO J R Cálculo financeiro das tesourarias São Paulo Saint Paul 2008 VEIGA Rafael Paschoarelli VaR Value At Risk Cálculo do VaR de uma carteira de renda fixa São Paulo Saint Paul Editora 2007 86 Alocação de ativos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo WESTON J F BRIGHAM E F Fundamentos da administração financeira São Paulo Makron 2000 Ebook