L g - Circunferência

23/08/2011\nProf. Cláudio\nNOTAS DE AULA - LUGARES GEOMÉTRICOS\nCláudio J. Bittencourt\nDef: Chama-se lugar geométrico (LG) a um conjunto de pontos tais que todos eles, e só eles, gozam de uma dada propriedade\nDef. Tendo escolhido, ao tendo sido dado, um referencial cartesiano num plano, chamamos \"equação de um LG\" a equação nas incógnitas x e y cujas razões são os pares ordenados (x, y) e LG\nResulta da definição, que a equação de um LG no plano IR² é da forma F(x,y) = 0\nCumpre salientar, que geometricamente o gráfico desta equação F(x,y) = 0, é em geral, uma curva do IR²\n 0 MÉTODO DOS LUGARES GEOMÉTRICOS\nPara obter a equação de um LG, dê os seguintes passos:\n1º Passo: Escolha (se já não tiver sido dada a priori), um referencial cartesiano conveniente (entenda: um \"brom\" e esboce uma figura genérica\n2º Passo: Denote por P = (x,y), o ponto genérico do LG procurado e aplique o e, a propriedade característica do LG em questão simplificada ao máximo e equação obtida\nEXEMPLO: Dados os pontos A = (2,1) e B = (-3,-1), achar a equação do LG dos pontos do plano tais que a distância do ponto genérico do LG ao ponto A seja o triplo de sua distância ao ponto B\nSol: Seja P = (x,y), o ponto genérico do LG procurado. Devemos ter\n|(d(P,A)| = 3|(d(P,B)|\n√((x-2)²+(y-1)²) = 3√((x+3)²+(y+1)²)\nSimplificando, obtemos 8x²+8y²+5x+20y+89 = 0, que é a equação do LG procurado\nEXERCÍCIOS PROPOSTOS\n01. Um triângulo ABC tem área igual a 5. Sabendo-se que A = (1,3) e B = (-2,6), encontre a equação do LG do vértice C. Resp: O LG procurado é formado pelas retas 3x + 2y - 6 = 0\n02. Dados os pontos A = (2,1) e B = (-3,-1), achar a equação do LG dos pontos P tais que a soma dos quadrados das distâncias de P a A e B seja igual à constante quatro\nResp: x²+x²+2x+11 = 0 (uma circunferência) 03. Obtenha a equação do LG dos pontos que distam da reta r: x + y = 0, o dobro do que distam da reta s: x - y = 0 Resp: O LG procurado é formado pelas duas retas -3y = 0 e 3x - y = 0\n04. Determinar a equação do LG dos pontos de um plano cujas distâncias aos pontos fixos A = (-4,0) e B = (2,0), estão numa razão constante igual a 2. Resp: A equação do LG é (x - 4)² + y² = 16\n05. Determinar a equação do LG dos pontos P de um plano tal que a distância de P ao ponto fixo F(1,1), seja igual à distância de P à reta r: x + y - 1 = 0.\n06. Obtenha a equação do LG dos pontos do plano equidistantes dos pontos A = (1,3) e B = (5,1)\nResp: 2x - y - 4 = 0\n07. Obtenha a equação do LG dos pontos do plano que distam 2 unidades da reta r: 8x + 6y - 5 = 0 ou 8x + 6y + 35 = 0\nResp: 8x + 6y - 5 = 0\nESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA\nDef: Chama-se circunferência o LG dos pontos do plano que equidistam R unidades de um ponto fixo C, chamado centro. O número R é dito o raio da circunferência.\nTEOREMA: A equação da circunferência de centro C = (α,β) e raio R é\nx² + y² + ax + by + c = 0, e contém três parâmetros a, b e c\nUMA PERGUNTA NATURAL\nTEOREMA: A equação geral do 2º grau em xe y, Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, representa uma circunferência?\nA resposta é dada pelo seguinte teorema cuja demonstração omite-se TEOREMA: Sejam dados o ponto M = (x₀,y₀) e a circunferência de equação γ: x² + y² + ax + by + c = 0\nSeja f a função de duas variáveis independentes cujo valor no ponto genérico P = (x,y) ∈ IR² é o 1° membro da equação da circunferência, isto é, f(x,y) = x² + y² + ax + by + c\nEntão: • P é exterior a γ ⇔ f(x₀,y₀) > 0\n• P é interior a γ ⇔ f(x₀,y₀) < 0\n• P pertence a γ ⇔ f(x₀,y₀) = 0\nÉ importante que o aluno se recorde dos três resultados seguintes os quais são de uso frequente na resolução de problemas sobre a circunferência\nTEOREMA: A mediana de cada corda de uma circunferência passa pelo seu centro\nTEOREMA: A reta determinada pelo centro de uma circunferência e o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente que passa por esse ponto\nEXERCÍCIOS SOBRE CIRCUNFERÊNCIA\n01 - Determine as coordenadas do centro e raio das circunferências abaixo e faça o esboço das mesmas:\na) x² + y² - 12x - 4y - 60 = 0\nResp: a) C = (6,2), R = 10\nb) 5x² + 5y² - 5x + 5y = ½\nResp: b) C = (√2/2, √2/2), R = √15/5\nc) x² + y² - 4y = 0\nResp: c) C = (2,0), R = 2\nd) x² + y² + 10x + 4y - 7 = 0\nResp: C = (-5,-2), R = 6\ne) 5x² + 5y² + 10y - 30 = 0\nResp: C = (0,-1), R = √7\nf) 5x² + 5y² = 0\nResp: C = (0,0), R = √3/5\n02 - Obtenha o comprimento da corda em que a reta r: x + y = 5 = 0, corta a circunferência x² + y² = 13\nResp: √2 17 Estabeleça a equação da circunferência que passa por A = (0,2), B = (-2,4) e tem seu centro sobre a reta s: x - 2y = 0. Resp.: x² + y² + 16x + 8y - 20 = 0\n18. Escrever a equação da circunferência cujo diâmetro é o segmento da reta de equação 3x - 4y + 12 = 0, compreendido entre os eixos coordenados. Resp.: x² + y² + 4x - 3y = 0\n19. A reta r: 3x + 4y = 0, é tangente a uma circunferência de centro C = (-5,-1). Determine o raio e as coordenadas do centro da circunferência. Resp.: R = 11/5, C = (69/25,207/100)\n20. Estabeleça a equação da tangente à circunferência x² + y² - 2x - 2y - 3 = 0, que é paralela à reta r: 2x - y + 1 = 0. Sug: a condição de tangência é que a dist do centro à reta tangente seja igual ao raio. Resp.: 1; 2x - y - 4 = 0, t: 2x - y - 6 = 0\n21. Faça um esboço da região D ⊂ IR², limitada pelas curvas x² + y² = 4, x² + y² = 9 e situada à direita da reta y = 0\n22. Esboço o gráfico da função f(x) = -2x - x², 0 < x < 2π\n23. Exiba uma parametrização das seguintes circunferências\n24. As equações paramétricas de uma circunferência são: { x = 3cos t, 0 ≤ t < 2π; y = 1 + 3sen t; Determine o centro e o raio dessa circunferência. Resp.: C = (0,1), R = 3