Lista7_ead

b) Determinar o vetor v \\in R^3 tal que T(v) = v.\n\nQuestão 8: Seja a transformação linear T: R^2 -> R^3 tal que\n T = 3 = (-1 e (1,-2) = (0,-1,0).\na) Determine T(x, y).\nb) Determine Nuc(T) e Im(T).\nc) T é injetora? T é sobrejetora?\n\nQuestão 9: Sabendo que a matriz de uma transformação linear T nas bases 1 = {(–1, 3, 0, 1)} do R^3 é\n e [T = 3 5 , e encontre a expressão de T e a matriz T.\n\nQuestão 10: Seja -> R^2 tal que [T]_{B_2} = [ 1 0 -1 ] , com\nB_1 = {(0,1), (1,0),(1,0,1)} e B_2 = {(-1,0),(0,-1)}.\na) Encontre a expressão de T(x,y,z).\nb) Determine Im e uma base para esse subespaço do .\nc) Determine c() uma base para esse subespaço do R^3.\nb) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.\n\nQuestão 11: Considere o operador linear\n\n 2y \n e as bases , ( , e canônica. Determine , e\n\nQuestão 12: Seja R^3 -> R^2, com T(x,y,z) = (2x-y + -2z). Considere as bases B_1 = { 1,1), (0,1,1), (0)\n e 2 = {(2, do e do , respectivamente.\na) Determine B_ .\nb) Se v (coordenadas em relação a base canônica do), calcule utilizando a matriz encontrada.\n\nQuestão 13: Considere as transformações lineares e de em definidas por ) e T(x,y,z) = (x+y-z, y-2z).\na) Determinar o núcleo da transformação linear S.\nb) Encontrar a matriz canônica de\n\nQuestão 14: Para cada transformação linear abaixo, verifique se é invertível e calcule a inversa, T^{-1}, se ela existe.\na) T: R^3 -> R^3 definida por T() = (x + 2y + y + 2z, z).\nb) T: R^3 definida por T(a, c) = (–2a + b + c)\nc) T: R^3 definida por T(a,b,c) = (a + b + c, 2b, 2c)\n\nQuestão 15: Considere S \\in R^3 operadores lineares do R^3 definidos por S( y, z) = (x, 2y, x - y) e T(x,y,z) = (x-z,y,z). Determine: a) [S] b) o S\n\nRespostas\n\n1.\na) Sim b) Não c) Não\n2.\na) -2 = T(3(1,1) - 5(0,1)) = (1,-19)\nb) T(\n3.\na)\nb) , (\nc) 2, dim ) =\nNão,\nd) Não,\ne) O núcleo de é uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor e a imagem de T é o plano que passa pela origem que tem vetores diretores e 1).\n\n4. a) N(T) z \\in R {} b) Im( .\n6.\na) 7 b) 5\n7.\na) -3 b) v = (2z,-z,z) com z \\in R .\n\n8.\na) T(x,y) = (2x+y, 3x+2y,-2x-y).\nb) Nuc(T) = {(x,y,-x) x,y \\in R}.\nc) T é injetora, mas não é sobrejetora.\n\n9. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO\nUniversidade Tecnológica Federal do Paraná\nCampus Curitiba - DAMAT\n\nMA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear - Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto\nLISTA 7 - Transformações Lineares\n\n→ Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que constam no plano de ensino.\n\nQuestão 1: Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.\na) f : R^2 -> R^2 tal que f(x,y) = (x+y, -y)\nb) f : R^2 -> R tal que f(x,y) = xy\nc) f : R -> R tal que f(x) = |x|\n\nQuestão 2: Seja T: R^2 -> R^2 uma transformação linear para a qual sabemos que T(1, 1) = (2, -3) e T(0, 1) = (1, 2).\na) Determine T(3,-2) b) Determine T(a,b)\n\nQuestão 3: Seja T : R^3 -> R^3 uma transformação linear dada por T(x,y,z) = (z, x-y, -z).\na) Encontre uma base para o núcleo de T\nb) Encontre uma base para a imagem de T\nc) Dê a dimensão da imagem e do núcleo de T.\nd) T é sobrejetora? Justifique.\n\nQuestão 4: Seja T: R^3 -> R^2 a transformação linear tal que T(e_1) = (1,2), T(e_2) = (0,1) e T(e_3) = (-1,3) sendo {e_1, e_2} a base canônica de R^3.\na) Determine o Nuc(T) e uma de suas bases. T é injetora?\nb) Determine a Im(T) e uma de suas bases. T é sobrejetora?\n\nQuestão 5: Seja T : V -> W uma transformação linear. Prove que\n\na) T é sobrejetora se, e somente se, dim(Im(T)) = dim(W)\nb) T é injetora se, e somente se, dim(Nuc(T)) = 0\n\nQuestão 6: Seja T : R^n -> R^5 uma transformação linear.\na) Se T é sobrejetiva e dim(Nuc(T)) = 2, qual o valor de n?\nb) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual o valor de n?\n\nQuestão 7: Considere o operador linear T: R^3 -> R^3 definido por T(x,y,z) = (x + 2y + 2z, x + 2y - z, -x + y + 4z).\na) Determinar o vetor u \\in R^3 tal que T(u) = (-1,8, -11). a) T(\n\n8\n\nb)\n\n10.\n\na) y,z) =\n\nc) uc\n\nx,\n\nd) é sobrejetora. não é injeteora.\n\n11.\n\na) [T]B2 =\n\n3 -1\n\n6 -3\n\n[T]c =\n\n1 2\n\n1 -1\n\n12.\n\na) [T]B\n\nb)\n\n13.\n\na) x,0,3\n\nb)\n\n9 -\n\n14.\n\na) (x-2y\n\nb) ) =\n\nc) Não é invertível\n\n15.\n\na) [T] =\n\nb) 1\n\n0