Parábola

1 Pu. CLAUDIO PARÁBOLA - RESUMO DA TEORIA (VERSÃO 0) Ci dade Ci Didóu:j: Frhioury. 7. 1 DEF: Parábola é o conjunto dos pontos (ou o LG dos pontos) de um plano equidistantes de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F é d, chamado foco TEOREMA: A reta s que passa pelo focoé é perpendicular à diretriz é eixo de simetria da parábola ES Sug para a demonstração: por definição, dizemos que P é o simétrico de P em relação à reta FH == FH é a mediatriz do segmento 2P*. Use a propriedade característica da mediatriz como LG DEF: O parâmetro de uma parábola é a constante anotada por p e definida como a semidistância do foco e diretriz d 1 dist(F,ds)= p, visto que F é d Em símbolos, p=- dist(F, d—— Cuidad do consultar a literatura pertinente ao assunto: para alguns autores o parâmetro é definido como a distância do foco e diretriz, ou seja, o dobro do nosso p ELEMENTOS PRINCIPAIS DA PARÁBOLA: FOCO, DIRETRIZ Assim os chamaremos, posto que uma vez conhecidos, podemos chegar prontamente a equação da parábola usando o método dos LG: basta designar por P = (x,y), o ponto genérico da parábola e aplicar-lhe a condição característica da parábola, para obtemos a equação cartesiana da curva Hh ELEMENTOS SECUNDÁRIOS DA PARÁBOLA (i) EIXO DE SIMETRIA: a reta s conduzida pelo foco perpendicularmente à diretriz (1 HH do foco sobre a diretriz. Deduz-se da definição de parábola que o vértice é sempre um ponto pertencente à mesma! OBS: Note que os três pontos F, y, H são sempre alinhados: todos pertencem ao eixo de simetria s da parábola OS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS SOBRE A PARÁBOLA 1º PROBLEMA CLÁSSICO: “Ddados dois dentre os três elementos da parábola P, F, v, d, encontrar sua equação cartesiana' IDÉIA DA SOLUÇÃO: Não há necessidade de memorizar nenhuma equação da parábola. Basta descobrir a partir dos dados, quem são os elementos principais da parábola (foco e diretriz) e aplicar a definição de parábola como um LG EXEMPLO 01: Deduza a equação da parábola de vértice V na origem e foco F = (0, p), onde p > 0 é o parâmetro Sol: O eixo de simetria s = vY contém como dito na observação acima, o ponto H que dö é o simétrico do foco em relação a V = (0, 0), Logo, H = (0, --p) e como a diretriz á perpendicular ao eixo de simetria que passa por H, sua equação é d: y = -p ou d: y+p =0 2 Seja P = (x, y) o ponto genérico da parábola. Da definição de parábola, E é parábola ↔ dist(P,F) = dist(P, d) ⇿ (x--0)² + y-y--p)² yi-p] (⇿ )+1] f2 0] 1² 0 1² 2 2 x + y --2py+p²= x²+2py+p² ⇿4py=x^ y---1 4p OBSERVAÇÃO: Como p >= 0 e o x² ≥ 0, V xe IR, o gráfico desta equação fica todo contido no semiplano de IR² definido por y ≥ 0 EXERCÍCIO PROPOSTO: Mostre que: 1 1 (a) Se V = (0, 0) e F = ( ) a equação da parábola é: y = — x² 4P (b) Se V = (0, 0) e F =(0, --p ) a equação da parábola é: y = x² 1 (c) Se V = (0,0) e F = (p, 0) a equação da parábola é: F x = — y² 4p (d ) Se o foco é F = (xO, yo) e a diretriz tem equação d: y--x == 0, (paralela ao eixo dos x ) A 1 com yo + k, a equação dá parábola tem a forma y= Ax²+Bx+C, onde A 2yo, k ) C = y2--xg, 6k 2yo--k) 2(2yo--k) 2ª PROBLEMA CLÁSSICO: (INVERSO DO PRIMEIRO): “Dada a equação cartesiana de uma curva, reconhecer se ela representa urna parábola, e, em caso afirmativo, determinar seus f k - --dhwe 16 intlectafatos lro Helimen ajndir cconos, elementos e esboçar seu gráfico” IDÉIA DA SOLUÇÃO: Como aplicação do conceito de derivada visto no Cálculo, podemos mostrar o seguinte resultado, o único que terá interesse para nós neste Curso TEOREMA: O gráfico de uma função do 2ª grau da forma y=f(x)=ax²+bx+c, com a#0 é uma parábola com as seguintes características: (i) seu eixo de simetria é a reta que se obtém igualando-se a zero a derivada de f em relação a x, isto é, s: 2ax+b=0 (uma reta paralela ao eixo da variável do 1º grau y) (ii) seu vértice é o ponto de s de coordenadas V= (-bi2a, f(-b/2 Ia)) (iii) seu foco é o ponto de s cujas coordenadas podem ser achadas por translação ou de acordo com a seguinte abordagem: (a ) fabriqum e ponto T da parábola diferente de seu foco (b) usando o fato que T pertence à parábola em questão, achamos as duas incógnitas necessárias para determinarmos as coordenadas do foco (iv) A parábola é côncava para cima (CPC ) se a > 0 e se CPD se a < 0 Com esses fundamentos podemos prontamente traçar o gráfico da parábola Multitas nutimos, resolvemos o problema para parábolas de equação x = g(y) = ay ²+by+ c 3º PROBLEMA CLÁSSICO: “Dada a equação de urn a parábola com eixo paralelo a um dos eixos coordenados, parametrizá-la” 3 Lembramos que por definição, parametrizar a equação de uma curva, significa expressar cada uma das coordenadas do seu ponto genérico P = (x,y), como função de uma única variável independente t, chamada parâmetro(nada a ver com o conceito de parâmetro de uma parábola), a qual toma valores num certo intervalo I C R, de tal forma que a aplicação t→ (x(t),y(t))E IR², vista sobre sua imagem seja bijetiva IDÉIA DA SOLUÇÃO: Ponha a base da potência quadrática igual a t e expressa a outra variável em termos de t, isto estabelece a bijeção pedida EXEMPLO: Dê uma parametrização da parábola da equação 4x-y²-8=0 Sol: Pondo a base da potência quadrática igual a t obtemos 1 y² 1 y = —---t + 2, 4 e t E R TEOREMA:(PARÁBOLA COM EIXO DE SIMETRIA NÃO PARALELO A NENHUM DOS EIXOS COORDENADOS): Se o eixo de simetria de uma parábola não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados, sua equação cartesiana é da forma Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 Omitimos a demonstração desse resultado TEOREMA (DE RECONHECIMENTO): A curva representada pela equação geral do 2º grau em x y F(x, y) == Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F =0, representa uma parábola se, e somente se, A = B²-4AC=0 Omitimos a demonstração desse resultado, noticiando que sua abordagem pode ser feita com simplificação elegantes à custa do diagonalização de matrizes simétricas no Curso de Álgebra Linear DUAS PROPRIEDADES IMPORTANTES DA PARÁBOLA TEOREMA (Poncelet - Geómetra Francês 1788-1867): A reta normal n em qualquer ponto P de uma parábola é bissetriz do ângulo de vértice P formado pela reta que liga P ao foco e a reta traçada por P paralelamente ao eixo de simetria + * Uma consequência imediata desse teorema é que pela lei de Reflexão da Ótica Geométrica, todo raio dirigido do foco à parábola é refletido paralelamente ao seu eixo de simetria. Este fato é largamente explorado na construção de radares, telescópios, antenas parabólicas, faróis de automóveis, holofotes e lanternas TEOREMA: O ponto de uma parábola mais próximo do seu foco é o seu vértice A demonstração desse fato como do anterior pode ser feita com os recursos do Cálculo Diferencial, constituindo-se num belo exercício sobre as aplicações do conceito de derivada OBS: Observe a título de noticiário: (i) A equação de uma parábola com eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados, apresenta em geral, 03 parâmetros. (ii) No caso do eixo possuir direção qualquer, demonstra-se que são 05 os parâmetros envolvidos. Isto dá origem a um problema clássico: “Achar a equação da parábola que passa por 05 pontos dados” Em tempo: procure no Boulos — Camargos que pode ser encontrado na biblioteca da PUC um artigo sobre como traçar uma parábola e sobre suas aplicações à técnica EXERCICIOS PROPOSTOS 01. Considere a parábola de vértice na origem e diretriz d : y = 4 = 0 . Determine: (i) a equação do seu eixo de simetria s; (ii) seu parâmetro; (iii) seu foco F; (iv) sua equação cartesiana Resp: (i) Sol: Fazendo uma figura vemos que aqui, o foco é F = (0,4). Invocando a definição de parábola e o método dos LG, resulta prontamente =116 02. Encontre a equação da parábola de foco F = (3,- 1) e vértice V = (1,1) Resp: x² +2xy+ y²-20x+12y+4 = 0 03.Escrever a equação da parábola de foco F = (2,3) e diretriz d : y= - 1= 0 Resp: 4y = x²-4x +12 04.Escrever a equação da parábola de foco F = (3, 0) e vértice V = (2,0) Resp: 4x' = 3x – 8 05. Escrever a equação da parábola de vértice V = (- 4,2) e diretriz d: y = 5 Resp: -2xy+y² -8y+16 =0 06. Escrever a equação da parábola F = (2, 2) e diretriz y – x = 0 Resp: x²-2xy+y²-8x+y+16=0 07. Obtenha a equação da parábola que passa pelo ponto P = (0,1), tem vértice V = (0,-2), e cujo eixo de simetria é perpendicular ao eixo dos x. Resp: y=-2x+1 08. Obtenha a equação da parábola que passa pelo ponto Q = (0,2), tem vértice V = (-8,0), e cujo eixo de simetria é perpendicular ao eixo dos x. Resp: x²-2y²-8 09. Encontre a equação da parábola pelo eixo dos yy e que passa pelos pontos A = (0,2), B = (1,0) e C = (2,0) Resp: y = x²- 3x+2 10. (a) Determine todos os elementos das parábolas abaixo e esboce seus gráficos: (i) x = 6y²- y – 1, (ii) 3y = 2x', (iii) y²-4 = 4(2-x) (b) Exiba uma parametrização de cada uma das parábolas acima 11. Determine o vértice, o parâmetro, o foco, a equação do eixo de simetria, a equação da diretriz e esboce o gráfico da parábola x²-6x-y+8=0 12. Considere a curva 4x²-3x +2v – 1 =0 (i) Qual a sua natureza? Resp: parábola (ii) Determine seu vértice Resp: V (3/8,25/32) (iii) Esboce a curva (iv) Exiba uma parametrização da curva Resp: x= ³/3, y=³²/32=²r² 13. Uma parábola tem vértice na origem e foco F = (-2,4). Calcule o valor do seu parâmetro e escreva sua equação. Resp: p=2√5; 4x²+4xy+y²+40x+80y=0 14. Em cada caso, faça um esboço e hachure a região D ⊂ R², limitada pelas curvas indicadas e encontre também os pontos de interseção de cada par de curvas: (i) y=x²e y=8 – x²; (ii) y=x²–6x+9, 3x +4y – 16 =0 e y=0 (ii) y²-x- 2 = 0 e y² +x – 6 = 0. Resp: (ii) as curvas cortam-se em (2,2) e em (2,-2) 15. Mostre que o ponto da parábola 4px=y², mais próximo do seu foco é o seu vértice Faça este exercício após o estudo de derivada! 16. A órbita de um cometa é uma parábola tendo o sol como foco. Quando o cometa está a 100√2 milhões de km do sol, a reta que liga o sol ao cometa faz um ângulo de 45° com o eixo da parábola. Calcule o periólio do cometa, isto é, a menor distância do cometa ao sol Resp:3,33x10⁷km