Convolução em Sinais e Sistemas

Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Um sinal de entrada ao passar por um sistema vai sofrer uma modificação transformação Sempre que existirem transformações lineares e invariantes no tempo de um determinado sinal podese falar em convolução A convolução é a representação matemática de como um sistema linear opera um sinal É uma operação matemática formal assim como a soma A soma toma dois números e gera um terceiro enquanto que a convolução toma dois sinais para gerar um terceiro Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Notação 𝑦 𝑛 𝑥 𝑛 ℎ𝑛 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Conhecendose a resposta de um SLIT saída do sistema a uma entrada xt podese prever sua saída a outras entradas formadas por combinações lineares de xt Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Qualquer sinal pode ser descrito como uma soma de sinais do tipo impulso unitário 𝛿 𝑛 𝑥 𝑛 𝑘 𝑛 𝑥 𝑘 ℎ𝑛 𝑘 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro RESUMINDO Qualquer sinal pode ser descrito como uma soma de sinais do tipo impulso unitário 𝛿 𝑛 Assim conhecendose a resposta do SLIT a uma entrada 𝛿 𝑛 sabese calcular sua resposta saída para qualquer entrada Os SLITs são caracterizados pela sua resposta ao impulso A saída de um SLIT pode ser determinada pela soma de convolução entre o sinal de entrada e a resposta ao impulso do sistema Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro RESUMINDO Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Função delta ou impulso unitário Resposta a impulso saída de um sistema quando aplicamos um impulso na entrada Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO A resposta de um sistema hn a este sinal de entrada será então 𝑦 𝑛 3ℎ𝑛 8 Concluise então que se conhecermos a resposta a impulso de um sistema temos condições de calcular a resposta deste a qualquer impulso na entrada Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO A convolução é a representação matemática de como um sistema linear opera sobre um sinal O sinal de saída é o resultado da convolução do sinal de entrada xn com a resposta a impulso do sistema hn hn pode ter outros nomes dependendo da aplicação Filtragem kernel do filtro ou simplesmente kernel Processamento de imagem função de espalhamento de ponto point spread function Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro EXEMPLO 𝑥𝑛 N 81 amostras ℎ𝑛 M 31 amostras NM1111 amostras 𝑦𝑛 NM1111 amostras Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Podemos estudar a convolução sob dois pontos de vista distintos 1 do sinal de entrada como cada ponto do sinal de entrada contribui para vários pontos do sinal de saída 2 do sinal de saída como cada ponto do sinal de saída recebeu contribuições de vários pontos do sinal de entrada Estas duas perspectivas são formas diferentes de analisar a mesma operação matemática e portanto são equivalentes A primeira fornece uma ideia conceitual da convolução enquanto que a segunda descreve a matemática da convolução Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Algoritmo do lado da entrada Exemplo 1 Dados os sinais xn 1232 e hn 21 calcule xnyn utilizando o algoritmo do lado da entrada 𝑥 𝑛 𝑥 0 𝛿 𝑛 𝑥1 𝛿 𝑛 1 𝑥2 𝛿 𝑛 2 𝑥3 𝛿 𝑛 3 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 2 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Algoritmo do lado da saída Exemplo 2 Dados os sinais xn 1232 e hn 21 calcule xnyn utilizando o algoritmo do lado da saída ℎ 𝑘 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Exemplo 2 Dados os sinais xn 1232 e hn 21 calcule xnyn utilizando o algoritmo do lado da saída Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Exemplo 2 Dados os sinais xn 1232 e hn 21 calcule xnyn utilizando o algoritmo do lado da saída Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Exemplo 3 2 1 1 1 0 2 5 3 3 2 0 𝑥𝑘 ℎ𝑘 𝑛 𝑦𝑛 2 1 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Exemplo 3 𝑥𝑛 ℎ𝑛 𝑦 𝑛 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Em forma matemática o algoritmo do lado da saída pode ser descrito como 𝑦 𝑖 𝑗0 𝑀1 ℎ 𝑗 𝑥𝑖 𝑗 Equação da Soma de Convolução Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Soma de convolução Exemplo 4 Dados os sinais xn 1232 e hn 21 calcule xnyn utilizando a soma de convolução 𝑁 4 𝑀 2 𝑦 0 ℎ 0 𝑥 0 0 ℎ 1 𝑥 0 1 21 10 2 𝑦 1 ℎ 0 𝑥 1 0 ℎ 1 𝑥 1 1 22 11 5 𝑦 2 ℎ 0 𝑥 2 0 ℎ 1 𝑥 2 1 23 12 8 𝑦 3 ℎ 0 𝑥 3 0 ℎ 1 𝑥 3 1 22 13 7 𝑦 4 ℎ 0 𝑥 4 0 ℎ 1 𝑥 4 1 20 12 2 𝑦 𝑖 𝑗0 𝑀1 ℎ 𝑗 𝑥𝑖 𝑗 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Tabela Exemplo 5 Dados os sinais xn 1232 e hn 21 calcule xnyn utilizando a Tabela Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Problema nas extremidades Na filtragem de sinais através da convolução podese esperar um comportamento errôneo no início e no final dos sinais Se o filtro tem comprimento de M amostras as M1 amostras iniciais e as M1 amostras finais estarão erradas e devem ser descartadas Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro CONVOLUÇÃO Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Então Se xn um sinal de 200 amostras é passado por um filtro cuja resposta a impulso hn tem 31 amostras quais amostras devem ser descartadas 𝑁 200 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑀 31 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑁 𝑀 1 231 1 230 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑟 30 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜 𝑒 𝑛𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 170 amostras relevantes Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Exercício 𝑥 𝑛 213021 ℎ 𝑛 124 N 6 M 3 NM1 8 amostras Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro DÚVIDAS Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro