Transformada Inversa de Laplace: Exemplos e Análise

Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Uma função contínua 𝑓 𝑡 para 𝑡 0 é unicamente determinada pela sua transformada de Laplace 𝐹 𝑠 Dessa forma podemos escrever 𝑭 𝒔 𝓛𝒇 𝒕 𝒇 𝒕 𝓛𝟏 𝑭 𝒔 em que ℒ1 𝐹 𝑠 é denominada a transformada Laplace inversa Da mesma forma que a transformada de Laplace a transformada inversa também é linear ou seja ℒ1 𝑎𝐹𝑠 𝑏𝐺𝑠 𝑎ℒ1 𝐹𝑠 𝑏ℒ1 𝐺𝑠 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Exemplo 1 Determine a transformada inversa de Laplace das funções a 𝐹 𝑠 3 𝑠216 3 1 𝑠216 3 1 4 14 𝑠242 𝑓 𝑡 3 4 𝑠𝑒𝑛4𝑡 Verificar b 𝐹 𝑠 8 𝑠2𝑆2 Utilize a tabela TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro b 𝐹 𝑠 8 𝑠2𝑆2 8 1 𝑠2𝑆2 8 𝑠2 𝑠1 1 41 2 9 𝑠1 1 3 21 2 𝑠2 1 3 21 1 𝑠2 𝑠 2 𝑠 2 𝑠 1 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro b 𝐹 𝑠 8 𝑠2 𝑠1 267 𝑠2 267 𝑠1 267 1 𝑠2 267 1 𝑠1 8 𝑠 2 𝑠 1 𝐴 𝑠 2 𝐵 𝑠 1 267 𝑠 2 267 𝑠 1 8 𝐴 𝑠 1 𝐵𝑠 2 𝑠 2𝑠 1 8 𝐴𝑠 𝐴 𝐵𝑠 2𝐵 8 𝐴 2𝐵 0 𝐴 𝐵 8 3𝐵 𝐵 8 3 267 𝐴 267 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 𝐹 𝑠 8 𝑠2 𝑠1 267 𝑠2 267 𝑠1 267 1 𝑠2 267 1 𝑠1 𝑓 𝑡 267 𝑒2𝑡 267 𝑒1𝑡 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Exemplo 2 Determine a transformada inversa de Laplace 𝐹 𝑠 3𝑠 5 2𝑠2 3 𝑠 0 𝐹 𝑠 3𝑠 2𝑠23 5 2𝑠23 dividir todos os termos por 2 𝐹 𝑠 15𝑠 𝑠2 15 25 𝑠2 15 15 𝑠 𝑠2 15 25 1 15 1 15 𝑠2 15 𝑓 𝑡 15 𝑐𝑜𝑠 15 𝑡 204 𝑠𝑒𝑛 15 𝑡 15 cos 1225𝑡 204 𝑠𝑒𝑛1225𝑡 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Exemplo 3 Determine a transformada inversa de Laplace 𝐹 𝑠 𝑠 1 𝑠2 𝑠 2 𝑠 2 𝑠 1 𝑠 2𝑠 1 𝐴 𝑠 2 𝐵 𝑠 1 𝑠 1 𝐴 𝑠 1 𝐵𝑠 2 𝑠 2𝑠 1 𝑠 1 𝐴𝑠 𝐴 𝐵𝑠 2𝐵 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 𝑠 1 𝐴𝑠 𝐴 𝐵𝑠 2𝐵 1 𝐴 𝐵 1 𝐴 2𝐵 2 3𝐵 𝐵 2 3 1 𝐴 2 3 𝐴 1 3 𝐹 𝑠 1 3 𝑠 2 2 3 𝑠 1 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 𝐹 𝑠 1 3 𝑠 2 2 3 𝑠 1 𝐹 𝑠 033 1 𝑠 2 067 1 𝑠 1 𝑓 𝑡 033 𝑒2𝑡 067 𝑒1𝑡 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Exercício 1 𝐹 𝑠 2 𝑠 𝑠 3 𝑠2 5𝑠 6 25𝑠 5𝑠2 20 3 𝑠2 9 𝐹1 𝑠 2 1 𝑠 𝑓1 𝑡 2 𝐹2 𝑠 𝑠 3 𝑠2 5𝑠 6 𝑓2 𝑡 1𝑒2𝑡 𝐹3 𝑠 25𝑠 5𝑠2 20 𝑓3 𝑡 5𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝐹4 𝑠 3 𝑠2 9 𝑓4 𝑡 𝑠𝑒𝑛3𝑡 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 𝒇 𝒕 𝟐 𝟏𝒆𝟐𝒕 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 𝐹2 𝑠 𝑠 3 𝑠2 5𝑠 6 𝑓2 𝑡 2𝑒3𝑡 1𝑒2𝑡 𝑠 3 𝑠 2𝑠 3 𝐴 𝑠 2 𝐵 𝑠 3 𝑠 3 𝐴 𝑠 3 𝐵𝑠 2 𝑠 2𝑠 3 𝑠 3 𝐴𝑠 3𝐴 𝐵𝑠 2𝐵 1 𝐴 𝐵 3 3𝐴 2𝐵 𝐴 1 𝐵 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 1 𝐴 𝐵 3 3𝐴 2𝐵 𝐴 1 𝐵 𝐴 1 3 3 1 𝐵 2𝐵 3 3 3𝐵 2𝐵 0 𝐵 𝐵 0 𝐹2 𝑠 1 𝑠 2 0 𝑠 3 1 𝑠 2 𝑓2 𝑡 𝑒2𝑡 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 𝐹3 𝑠 25𝑠 5𝑠2 20 𝑓3 𝑡 5𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝐹3 𝑠 5 𝑠 𝑠2 4 𝑓3 𝑡 5𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝐹4 𝑠 3 𝑠2 9 𝑓4 𝑡 𝑠𝑒𝑛3𝑡 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 𝒇 𝒕 𝟐 𝟐𝒆𝟑𝒕 𝟏𝒆𝟐𝒕 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro A equação diferencial para a carga 𝑞𝑡 em um capacitor em um circuito RC série é dada por 𝑅 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 1 𝐶 𝑞 𝑡 𝐸𝑡 Onde R é a resistência C é a capacitância e Et é a força eletromotriz TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Exemplo 4 Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em série RC se q 0 0 R 25Ω C 008 F e E t é dada pelo gráfico Obs Use a propriedade ℒ1 𝑒𝑎𝑠𝐹𝑠 𝑓 𝑡 𝑎 𝑢𝑡 𝑎 25 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 1 008 𝑞 𝑡 5 𝑢𝑡 3 Dividir todos os termos por 25 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 5 𝑞 𝑡 2 𝑢𝑡 3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 5 𝑞 𝑡 2 𝑢𝑡 3 𝑠1𝑄 𝑠 𝑠0 𝑞 0 𝑞 0 5 𝑄 𝑠 2 𝑒3𝑠 𝑠 𝑠𝑄 𝑠 5𝑄 𝑠 2 𝑒3𝑠 𝑠 𝑄 𝑠 𝑠 5 2 𝑒3𝑠 𝑠 𝑄 𝑠 2 𝑒3𝑠 𝑠 1 𝑠 5 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 𝑄 𝑠 2 𝑒3𝑠 𝑠 1 𝑠 5 𝑄 𝑠 2 𝑒3𝑠 1 𝑠 1 𝑠 5 1 𝑠𝑠 5 𝐴 𝑠 𝐵 𝑠 5 1 𝐴 𝑠 5 𝐵𝑠 𝑠𝑠 5 1 𝐴𝑠 5𝐴 𝐵𝑠 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro 1 𝐴𝑠 5𝐴 𝐵𝑠 1 5𝐴 0 𝐴 𝐵 𝐴 1 5 𝐵 1 5 02 1 𝑠 02 1 𝑠 5 𝑄 𝑠 2 𝑒3𝑠 02 1 𝑠 02 1 𝑠 5 𝑞 𝑡 2 𝑢 𝑡 3 02 02 𝑒5 𝑡3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro DÚVIDAS Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro