Transformada de Laplace em Circuitos RLC

Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 𝑣𝑅 𝑡 𝑅 𝑖𝑡 𝑉𝑅 𝑠 𝑅 𝐼𝑠 𝑣𝐶 𝑡 1 𝐶 න 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑠 𝐼 𝑠 𝐶𝑠 𝑣𝐶 0 𝑠 𝑣𝐿 𝑡 𝐿 𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐿 𝑠 𝐿𝑠𝐼 𝑠 𝑖 0 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 1 A carga instantânea 𝑞 𝑡 no capacitor em um circuito RLC série é dada pela equação diferencial ordinária de segunda ordem 𝐿 𝑑2𝑞𝑡 𝑑𝑡2 𝑅 𝑑𝑞𝑡 𝑑𝑡 1 𝐶 𝑞 𝑡 𝐸𝑡 Use as transformadas de Laplace para determinar a carga 𝑞 𝑡 e a corrente 𝑖 𝑡 em um circuito em série no qual 𝐿 1𝐻 𝑅 20𝛺 𝐶 001𝐹 𝐸 𝑡 120 𝑠𝑒𝑛 10𝑡 𝑞 0 0 𝑒 𝑖 0 0 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 𝑑2𝑞𝑡 𝑑𝑡2 20 𝑑𝑞𝑡 𝑑𝑡 1 001 𝑞 𝑡 120𝑠𝑒𝑛10𝑡 1 𝑠2𝑄 𝑠 𝑠𝑞 0 𝑞 0 20 𝑠𝑄 𝑠 𝑞 0 100𝑄 𝑠 120 10 𝑠2 100 𝑠2𝑄 𝑠 20𝑠𝑄 𝑠 100𝑄 𝑠 1200 𝑠2 100 𝑄 𝑠 𝑠2 20𝑠 100 1200 𝑠2 100 𝑄 𝑠 1200 𝑠2 100 1 𝑠2 20𝑠 100 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 𝑄 𝑠 1200 𝑠2 100 1 𝑠2 20𝑠 100 400 41100 0 𝑠1 𝑠2 𝑏 2𝑎 20 21 10 𝑄 𝑠 1200 𝑠2100 𝑠 10 𝑠 10 1200 𝑠2100 𝑠 102 1200 𝑠2100𝑠 102 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2100 𝐶 𝑠 102 𝐷 𝑠 10 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 1200 𝑠2100𝑠 102 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2100 𝐶 𝑠 102 𝐷 𝑠 10 1200 𝑠 10 2 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2100 𝐶 𝑠2100 𝑠 10𝐷 𝑠2100𝑠 102 1200 𝑠2 20𝑠 100 𝐴𝑠 𝐵 𝐶𝑠2 100𝐶 𝐷𝑠3 10𝐷𝑠2 100𝐷𝑠 1000𝐷 1200 𝐴𝑠3 𝐵𝑠2 20𝐴𝑠2 20𝐵𝑠 100𝐴𝑠 100𝐵 𝐶𝑠2 100𝐶 𝑆𝑠3 10𝐷𝑠2 100𝐷𝑠 1000𝐷 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 1200 𝐴𝑠3 𝐵𝑠2 20𝐴𝑠2 20𝐵𝑠 100𝐴𝑠 100𝐵 𝐶𝑠2 100𝐶 𝐷𝑠3 10𝐷𝑠2 100𝐷𝑠 1000𝐷 0 𝐴 𝐷 0 𝐵 20𝐴 𝐶 10𝐷 0 20𝐵 100𝐴 100𝐷 1200 100𝐵 100𝐶 1000𝐷 𝐴 𝐷 06 ቐ 𝐵 20𝐷 𝐶 10𝐷 0 20𝐵 100𝐷 100𝐷 0 100𝐵 100𝐶 1000𝐷 1200 20𝐵 0 𝐵 0 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE ቐ 𝐵 20𝐷 𝐶 10𝐷 0 20𝐵 100𝐷 100𝐷 0 100𝐵 100𝐶 1000𝐷 1200 20𝐵 0 𝐵 0 ቊ 10𝐷 𝐶 0 100𝐶 1000𝐷 1200 𝐶 10𝐷 1006 6 10010𝐷 1000𝐷 1200 2000𝐷 1200 𝐷 06 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 1200 𝑠2100𝑠 102 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2100 𝐶 𝑠 102 𝐷 𝑠 10 𝑄 𝑠 06𝑠 0 𝑠2100 6 𝑠 102 06 𝑠 10 𝑄 𝑠 06 𝑠 𝑠2100 6 1 𝑠 10 2 06 1 𝑠 10 𝑞 𝑡 06 𝑐𝑜𝑠10𝑡 6 𝑡 𝑒10𝑡 06 𝑒10𝑡 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 20 𝐼 𝑠 𝐼 𝑠 001𝑠 1 𝑠𝐼 𝑠 1200 𝑠2 100 20 𝐼 𝑠 100 𝐼 𝑠 𝑠 𝑠𝐼 𝑠 1200 𝑠2 100 𝐼 𝑠 20 100 𝑠 𝑠 1200 𝑠2 100 𝐼 𝑠 20𝑠 100 𝑠2 𝑠 1200 𝑠2 100 𝐼 𝑠 1200 𝑠2 100 𝑠 20𝑠 100 𝑠2 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 𝐼 𝑠 1200 𝑠2 100 𝑠 20𝑠 100 𝑠2 1200𝑠 𝑠2100𝑠 102 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2100 𝐶 𝑠 102 𝐷 𝑠 10 1200𝑠 𝐴𝑠3 𝐵𝑠2 20𝐴𝑠2 20𝐵𝑠 100𝐴𝑠 100𝐵 𝐶𝑠2 100𝐶 𝐷𝑠3 10𝐷𝑠2 100𝐷𝑠 1000𝐷 𝐴 𝐷 0 𝐵 20𝐴 10𝐷 0 20𝐵 100𝐴 100𝐷 1200 100𝐵 100𝐶 1000𝐷 0 𝐴 𝐷 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 𝐴 𝐷 0 𝐵 20𝐴 10𝐷 0 20𝐵 100𝐴 100𝐷 1200 100𝐵 100𝐶 1000𝐷 0 𝐴 𝐷 6 ቐ 𝐵 20𝐷 10𝐷 0 20𝐵 100𝐷 100𝐷 1200 100𝐵 100𝐶 1000𝐷 0 20𝐵 1200 𝐵 60 10𝐷 𝐵 0 𝐵 10𝐷 𝐷 6 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE 100𝐵 100𝐶 1000𝐷 0 10060 100𝐶 10006 0 100𝐶 12000 𝐶 120 𝐼𝑠 6𝑠 60 𝑠2100 120 𝑠 102 6 𝑠 10 𝐼 𝑠 6 𝑠 𝑠2100 60 1 10 110 𝑠2100 120 1 𝑠 10 2 6 1 𝑠 10 𝑖 𝑡 6 𝑐𝑜𝑠10𝑡 6𝑠𝑒𝑛10𝑡 120 𝑡 𝑒10𝑡 6 𝑒10𝑡 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 2 Um indutor de 3H está em série com um resistor de 30Ω e com uma tensão de 150 𝑠𝑒𝑛20𝑡 Sabendo que em 𝑡 0 a corrente é nula use as transformadas de Laplace para determinar a corrente num tempo qualquer 150 𝑠𝑒𝑛20𝑡 30 𝛺 3 𝐻 𝑣𝑅 𝑡 𝑅 𝑖𝑡 𝑉𝑅 𝑠 𝑅 𝐼𝑠 𝑣𝐿 𝑡 𝐿 𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐿 𝑠 𝐿𝑠𝐼 𝑠 𝑖 0 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 3 Um capacitor 001 F está em série com um resistor de 100 Ω e com uma tensão de 100 cos5𝑡 Sabendo que em t 0 a carga é nula use as transformadas de Laplace para determinar a corrente num tempo qualquer R dQt dt 1 C Q t Et Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 3 Um indutor de 15H está em série com um resistor de 30Ω e com uma tensão de 100 𝑐𝑜𝑠15𝑡 Sabendo que em 𝑡 0 a corrente é nula use as transformadas de Laplace para determinar a carga num tempo qualquer 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑅 𝑖 𝑡 𝐸𝑡 100 𝑐𝑜𝑠15𝑡 45 𝛺 15𝐻 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE A carga instantânea 𝑞 𝑡 no capacitor em um circuito RLC série é dada pela equação diferencial ordinária de segunda ordem 𝐿 𝑑2𝑞𝑡 𝑑𝑡2 𝑅 𝑑𝑞𝑡 𝑑𝑡 1 𝐶 𝑞 𝑡 𝐸𝑡 Use as transformadas de Laplace para determinar a carga 𝑞 𝑡 e a corrente 𝑖 𝑡 em um circuito em série no qual 𝐿 1𝐻 𝑅 20𝛺 𝐶 001𝐹 𝐸 𝑡 120 𝑠𝑒𝑛 10𝑡 𝑞 0 0 𝑒 𝑖 0 0 Qual é a corrente estacionária Resposta 𝑞 𝑡 3 5 𝑒10𝑡 6𝑡𝑒10𝑡 3 5 𝑐𝑜𝑠 10𝑡 Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro DÚVIDAS Análise de Sinais e Sistemas digital Profª Adriana Izidoro