Regressão Linear e Coeficiente de Determinação R²

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Prof Dr Guilherme Augusto Pianezzer Podemos obter o coeficiente de determinação 𝑅2 como 𝑅2 𝑆𝑄𝑅 𝑆𝑄𝑇 𝛽 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑥 𝑦𝑖 𝑖1 𝑛 𝑦𝑖 𝑦 2 Outra forma equivalente seria escrever 𝑅2 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑥 𝑦𝑖 2 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑥 2 𝑖1 𝑛 𝑦𝑖 𝑦 2 Podese provar que o valor de 𝑅2 está contido entre 0 e 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Podemos afirmar que quanto mais 𝑅2 1 vide Figura 3 mais forte é o poder explicativo do modelo linear Quanto mais 𝑅2 0 vide Figura 4 menos podemos confiar no modelo visto que os dados não se aproximam de uma reta REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Fonte O autor 2020 Para os dados do exemplo podemos calcular o coeficiente de determinação 𝑅2 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑥 𝑦𝑖 2 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑥 2 𝑖1 𝑛 𝑦𝑖 𝑦 2 645 2 625 7068 09417 O que nos indica que os dados se comportam aproximadamente de forma linear Note que esse já era o resultado esperado quando nos confrontamos com a Figura 2 apresentada no início da aula REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA No caso que discutimos ao longo da aula o modelo físico envolvido se expressa por uma equação linear ie pela Lei de Hooke Entretanto alguns modelos são do tipo 𝑦 𝑎𝑥2 Podemos citar por exemplo o modelo de um objeto partindo do repouso em queda livre no vácuo cuja equação é dada por 𝑦 𝑦0 𝑎𝑡2 2 Nesses casos coletar dados 𝑡𝑖 𝑦𝑖 nos apresentarão dados com comportamento parabólicos de forma que o coeficiente de determinação será próximo de 0 Podemos contornar essa dificuldade realizando uma mudança de variável Nesse caso poderíamos coletar dados do tipo 𝑡𝑖 2 𝑦𝑖 e o modelo se comportaria como uma reta Assim a linearização nesse caso se comporta como uma mudança de variável em que 𝑡 𝑥2 e portanto 𝑦 𝑎𝑡 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA No caso em que o modelo é do tipo 𝒚 𝒂 𝒙𝜶 podemos coletar dados de forma que o experimento analisado se apresente de forma linear Para isso é necessário notar que sendo 𝒚 𝒂 𝒙𝜶 então 𝐥𝐧 𝒚 𝐥𝐧 𝒂 𝒙𝜶 𝐥𝐧 𝒚 𝐥𝐧 𝒂 𝜶 𝐥𝐧 𝒙 Dessa forma devemos coletar dados do tipo 𝐥𝐧 𝒙𝒊 𝐥𝐧 𝒚 e o modelo se comportará como uma reta Note que plotando os dados dessa forma 𝐥𝐧 𝒂 representa o coeficiente linear e 𝜶 representa o coeficiente angular no modelo respectivamente REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA No caso em que o modelo é do tipo 𝒚 𝒂 𝒙 basta realizar uma mudança de variáveis para que se comporte como uma reta Nesse caso chamamos 𝒕 𝟏 𝒙 e portanto 𝒚 𝒂𝒕 Note que os dados que precisam ser coletados nesse cenário são da forma 𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA No caso em que o modelo é do tipo 𝒚 𝒂 𝒙 também basta realizar uma mudança de variáveis de forma que 𝒕 𝒙 Nesse caso também temos 𝒚 𝒂𝒕 Entretanto os dados coletados precisam ser da forma 𝒙𝒊 𝒚𝒊 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 5 NOTA MÁXIMA Muito obrigado Bons estudos UNI BRASIL CENTRO UNIVERSITÁRIO EAD