Aula 06 - Análise e Simulação das Variáveis de Processo com Método de Euler

Análise e simulação das variáveis de processo Aula 06 Método de Euler Profª Dra Janaina K Andreazza no text present Método de Euler Exemplo 1 Uma junta de termopar que pode ser aproximada por uma esfera é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa O coeficiente convectivo entre a superfície da junta e o gás é igual a h 400 W m2K e as propriedades termofísicas da junta são k 20 WmK c 400 JkgK e p 8500 kgm3 Existe troca de calor por radiação com as paredes do duto que confina a corrente gasosa Com as paredes do duto a 400ºC e a emissividade da junta do termopar de 09 calcule a temperatura da junta no regime estacionário Também determine o tempo para a temperatura da junta aumentar de sua condição inicial a 25ºC até uma temperatura que está a 1ºC do valor no regime estacionário 𝐵𝑖h 𝐷 𝑘 400 20 710 40014 𝐵𝑖 𝑊 𝑚² 𝐾 𝑚 𝑊 𝑚𝐾 Bi 01 APLICAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR REFERÊNCIA PRINCIPAL INCROPERA 5ª EDIÇÃO CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR CAPÍTULO 5 TRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSIENTE Termodinâmica X Transferência de calor Calor e sua propagação Transferência de Calor é a energia térmica em trânsito devido a uma diferença de temperatura entre os corpos Há transferência de calor espontaneamente do corpo mais quente para o corpo mais frio Corpos em desequilíbrio térmico trocam calor para alcançar o equilíbrio 0 3 2 1 Qn Q Q Q Em um sistema isolado a quantidade total de calor trocada entre os corpos é nula ou seja o calor total recebido pelos corpos mais frios é igual ao calor total retirado dos corpos mais quentes Grandeza física que indica a direção e permite o cálculo da intensidade do fluxo de calor trocado entre dois corpos Temperatura Mecanismos de Transferência de Calor Três mecanismos Condução convecção e radiação Condução Transferência de calor unidimensional por condução Taxa de transferência de calor Calcular a quantidade de energia transferida por unidade de tempo LEI DE FOURIER fluxo Unidade de k Convecção Transmissão através da agitação molecular e do movimento do próprio meio ou de partes deste meio httpwwwyoutubecomwatchvdkZaiedRww Na convecção natural ou livre o escoamento do fluido é induzido por forças de empuxo que vem de diferenças de densidade causadas por variação de temperatura do fluido Convecção natural e forçada Transporte natural de fluidos Convecção natural 15 Na convecção forçada o fluido é forçado a circular sobre a superfície por meios externos como uma bomba um ventilador ventos atmosféricos Convecção natural e forçada Convecção forçada Transporte forçado de fluidos 16 Aplicações Conforto ambiental Refrigeração de circuitos elétricos Lei de Newton do Resfriamento T h A T q e T h T q s s q fluxo de calor convectivo Wm2 q taxa de calor convectivo W h coeficiente de transferência de calor por convecção Unidades no SI Wm2K Fluxo de calor convectivo sobre placa aquecida Too 20 C q A q A 10 m² q h Ts Too Lei de Newton de Resfriam q 10 50 20 300 Wm² q 10300 3 kW 19 Coeficiente de transferência de calor por convecção h Processo h Wm2K Convecção natural Gases Líquidos 2 25 50 1000 Convecção forçada Gases Líquidos 25 250 50 20000 Radiação Térmica Radiação térmica é a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura finita É transportada por ondas eletromagnéticas Ex Sol e microondas Poder emissivo Eb Wm2 𝐸𝑏𝝈 𝑻 𝒔 𝟒 𝝈𝟓𝟔𝟏𝟎𝟖𝑾 𝒎𝟐𝑲 𝟒 Poder emissivo real E Wm2 𝐸𝑏𝜺 𝝈 𝑻 𝒔 𝟒 ε Emissividade A radiação também pode ser incidente sobre uma superfície a partir de sua vizinhança Designamos a taxa na qual todo tipo de radiação incide sobre uma unidade de área como irradiação G 𝑞𝑟𝑎𝑑 𝛆𝝈 𝑻 𝒔 𝟒𝑻 𝒗𝒊𝒛 𝟒 Fluxo de Calor Sendo q qconv qrad Irradiação absorvida 𝑮𝒂𝒃𝒔𝜶 𝑮 onde α é a absorvidade Se uma superfície pequena está a Ts e uma superfície isotérmica muito maior que envolve completamente a menor está a Tviz o fluxo líquido de transferência de calor por radiação a partir da superfície é 𝑞𝑟𝑎𝑑 𝑞 𝐴𝛆 𝑬 𝒃 𝜶 𝑮 Se CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Acúmulo Entra Sai GeradoConsumido Exemplo 15 4 Considerações Liste todas as considerações simplificadoras pertinentes 5 Propriedades Compile valores das propriedades físicas necessárias para a execução dos cálculos subseqüentes identificando a fonte na qual elas foram obtidas 6 Análise Comece sua análise aplicando as leis de conservação apropriadas e introduza as equações das taxas na medida em que elas sejam necessárias Desenvolva a análise da forma mais completa possível antes de substituir os valores numéricos Execute os cálculos necessários para obter os resultados desejados 7 Comentários Discuta os seus resultados METODOLOGIA DE ANÁLISE DE PROBLEMAS 1 Dados Após uma leitura cuidadosa do problema escreva sucinta e objetivamente o que se conhece a respeito do problema Não repita o enunciado do problema 2 Achar Escreva sucinta e objetivamente o que deve ser determinado 3 Esquema Desenhe um esquema do sistema físico Se é previsto que as leis da conservação serão aplicadas represente no esquema a superfície ou superfícies de controle necessárias através de linhas tracejadas Identifique no esquema os processos de transferência de calor relevantes por meio de setas apropriadamente identificadas TABELA 13 Unidades SI derivadas para grandezas selecionadas Grandeza Nome e Símbolo Fórmula Expressao em Unidades SI básicas Força newton N m³kgs² m³kgs² Pressão e tensão pascal Pa Nm² kgms² Energia joule J Nm m²kgs² Potência watt W Js m²kgs³ Método de Euler Exemplo 1 Uma junta de termopar que pode ser aproximada por uma esfera é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa O coeficiente convectivo entre a superfície da junta e o gás é igual a h 400 W m2K e as propriedades termofísicas da junta são k 20 WmK c 400 JkgK e p 8500 kgm3 Existe troca de calor por radiação com as paredes do duto que confina a corrente gasosa Com as paredes do duto a 400ºC e a emissividade da junta do termopar de 09 calcule a temperatura da junta no regime estacionário Também determine o tempo para a temperatura da junta aumentar de sua condição inicial a 25ºC até uma temperatura que está a 1ºC do valor no regime estacionário 𝐵𝑖h 𝐷 𝑘 400 20 710 40014 𝐵𝑖 𝑊 𝑚² 𝐾 𝑚 𝑊 𝑚𝐾 Bi 01 𝐵𝑖h 𝐷 𝑘 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã 𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢çã𝑜 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 ê 𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑒𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝐶𝑂𝑁𝐷𝑈 ÇÃ𝑂 𝑅𝑒𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴𝑎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 ê 𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑒𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã 𝑜 Fluxo convectivo Fluxo condutivo dentro da esfera F Convectivo Fluxo difusivo h𝑇𝑘 𝑇 𝐷 𝐵𝑖 h 𝑘 𝐷 Como o valores de Bi 01 o fluxo de calor por condução na esfera pode ser desprezado Acumulo entra sai gerado consumido Acumulo Taxa de calor por convecção Taxa de calor por radiação 𝑑𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑡 𝐴𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎 𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎 çã𝑜 𝑑𝜌 𝐶𝑝 𝑉 𝑇 𝑑𝑡 𝐴𝑡 h 𝑇 𝑇 𝐴𝑡 𝜀𝜎𝑇𝑣𝑖𝑧 4 𝑇 4 Lei de Newton Resfriamento Lei de Stefanboltazmann 𝜌 𝐶𝑝 4 3 𝜋 𝑅 3 𝑑𝑇 𝑑𝑡 4 𝜋 𝑅 2h 𝑇 𝑇 𝜀𝜎 𝑇𝑣𝑖𝑧 4 𝑇 4 𝜌 𝐶𝑝 4 3 𝜋 𝑅 3 𝑑𝑇 𝑑𝑡 4 𝜋 𝑅 2h 𝑇 𝑇 𝜀𝜎 𝑇𝑣𝑖𝑧 4 𝑇 4 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã 𝑜𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑡0𝑇 025𝐶 𝜌 𝐶𝑝 4 3 𝜋 𝑅 3 𝑑𝑇 𝑑𝑡 4 𝜋 𝑅 2h 𝑇 𝑇 𝜀𝜎 𝑇𝑣𝑖𝑧 4 𝑇 4 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã 𝑜𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑡0𝑇 025𝐶 𝑦 𝑡 𝑦𝑛 Euler simples aproximação linear baseado na ESTaylor 𝑦 𝑛1𝑦 𝑛 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 parâmetros constante p Cp R h Tar e Calculo de constantes deltat tempofinal Nt condição inicial to T0 25C T0 25273 Tar 200273 Tviz 400273 t n 𝑡 0 1 tfinal Nt1 Nt 8 2 T1 To for n 1 Nt end MM Exemplo 52 Incropera da aplicação do método de Euler Equação escoamento sobre placa aquecida convecção radiação solve dTdt AspCpV hT TaresigmaT4 Tviz4 Ci T0 To clc clear all parametros tempofinal 70 Nt 25 número de pontos no tempo T0 29815 Tar 47315 Tviz 67315 raio 035e3 raio coefconvec1 4000 WmK coeficiente de convecção externo coefconvec2 2000 WmK coeficiente de convecção externo para ver a influencia do coeficiente convectivo externo coefconvec3 8000 WmK coeficiente de convecção externo para ver a influencia do coeficiente convectivo externo ro 85000 kgm3 Cp 4000 JkgK Emissividade 09 emissividade cteradiacao 567e8 constante de stefanboltzman calculo das constantes dt tempofinalNt cte1 30raio ro Cp constante de transferência na interface cte2 Emissividadecteradiacao condição inicial primeiro passo no tempo T11 T0 cte3 dt cte1 cte2 cte5 cte3 Tviz4 transformação de unidades de temperatura TC1 1 T11 27315 TC2 1 T11 27315 TC3 1 T11 27315 for n 1Nt equação para o perfil de temperatura no termo par T1n1 T1ndtcte1 coefconvec1T1n Tar cte3 T1n4 cte5 T2n1 T1ndtcte1 coefconvec2T1n Tar cte3 T1n4 cte5 T3n1 T1ndtcte1 coefconvec3T1n Tar cte3 T1n4 cte5 TC1 n1 T1 n1 27315 TC2 n1 T2 n1 27315 para fazer a comparação em Celsius TC3 n1 T3 n1 27315 para fazer a comparação em Celsius end vetor para o plot no tempo t 0010Ntdt plot perfil dinâmico da concentração Ca1 figure1 plot tTC1g xlabeltempo ylabeltemperatura titlePerfil dinamico da temperatura grid on hold on plot tTC2r hold on plot tTC3y hold off resistência Fluxo convectivo Fluxo radiação 039103 Como Bi01 podemos desprezar a condução na através da base de ferro Acumulo entra sai gerado consumido Acumulo Taxa do fluxo térmicoTaxa de calor por convecção Taxa de calor por radiação 𝑑𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑡 𝐴𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑞 𝐴𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎 çã𝑜 𝑑𝜌 𝐶𝑝 𝑉 𝑇 𝑑𝑡 𝐴𝑡 𝑞 𝐴𝑡 h 𝑇 𝑇 𝐴𝑡 𝜀𝜎𝑇 4𝑇𝑣𝑖𝑧 4 Lei de Newton Resfriamento Lei de Stefanboltazmann 𝜌 𝐶𝑝𝐴𝑠 𝐿 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝐴𝑠𝑞 h𝑇 𝑇 𝜀𝜎 𝑇𝑣𝑖𝑧 4 𝑇 4 T0To parâmetros constante p Cp R h Tar e Calculo de constantes deltat tempofinal Nt condição inicial to T0 25C T0 25273 Tar 25273 Tviz 25273 t n 𝑡 0 1 tfinal Nt1 Nt 8 2 T1 To for n 1 Nt end MM T0To Joinville 10032015 modelagem numérica exemplo 58 incropera dTdt convecção radiação geração clc clear all parâmetros E 08 emissividade cterad 56e8 constante de boltzman To 250 27315 temperatura inicial da base do ferro K Tar 250 27315 temperatura do ar K Tp 250 27315 temperatura da parede vizinha K ro 28000 densidade Cp 9000 calor especifico JkgK h 10 coeficiente convectivo Wm2K L 7e3 largura da base do ferro m qg 125e4 fluxo de calor gerado na base do ferro Wm2 Nt 300 número de pontos no tempo tf 180 tempo final dt tf Nt intervalo do tempo ci T1 To T11 To 27315 loop do tempo for n 1 Nt Tn1 Tndt1roCpLhTnTarEcteradTn4Tp4qg T1n1 Tn1 27315 end tempo 281 1dt t 0010Ntdt plottT1 grid on Tempo de 168 s Busca Ativa Exercício 515 Processos em batelada são frequentemente usados em operações químicas e farmacêuticas para obter uma composição química desejada no produto final e tipicamente envolvem uma operação de aquecimento transiente para levar os reagentes da temperatura ambiente para a temperatura necessária no processos Qual é o tempo necessário para a substância ser aquecida de 300 a 400 K com um comprimento de serpentina de 22 m Em um segundo processo caso a substância for aquecida em 60 minutos qual é o comprimento necessário da serpentina submersa