Dinâmica da Partícula: Equações do Movimento e Força de Arraste

DINÂMICA DA PARTÍCULA 1 INTRODUÇÃO Fenômenos que envolvem o comportamento de 1 partícula no seio de um fluido A equação do movimento de uma partícula sólida A velocidade terminal Casos particulares ou os regimes de escoamento Exercícios 3 Quantidade de movimento F dt ma dt m dv P d 2 A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA SÓLIDA ou mv P logo 𝑚 𝑑𝑣 dt 𝐹 4 dt dv F m dp r eF kF pF rs Partícula caindo no seio de um fluido Fe Empuxo Fk Força resistiva Fp Força peso k e p F F F dt dv m Da quantidade de movimento velocidade v e sendo V volume m Fk V g m g dt dv r Ou seja k s F g V g V dt dv m r r k s F V g dt dv m r r A FORÇA DE ARRASTE Fk Foust229 O somatório de todas as forças que atuam sobre o corpo e que são devido a aceleração e a desaceleração Constitui o arraste exercido sobre o corpo k e p F F F dt dv m Repetindo 𝐶 𝐷 força de arraste area projetada 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎𝐶𝑖𝑛é 𝑡𝑖𝑐𝑎𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Definese coeficiente de arraste CD adimensional A FORÇA DE ARRASTE Fk k s F V g dt dv m r r v2 2 1 r A CD FK Repetindo 21 A FORÇA DE ARRASTE E A VELOCIDADE RELATIVA v2 2 1 r A CD FK v u u velocidade do fluido velocidade da partícula v velocidade relativa v u 2 K D v u 2 1 A F C r A VELOCIDADE RELATIVA 2 2 1 v u A CD r K F 2 2 1 v u AC D r FK E a força de arraste será k s F V g dt dv m r r 9 Substituindo Fk na equação do movimento equação 1 2 2 1 m v u AC V g dt v d D s r r r Equação do movimento de uma partícula sólida k s F V g dt dv m r r 2 2 1 v u AC D r FK 22 A VELOCIDADE TERMINAL O Coeficiente de Arraste CD também é função Rep esfericidade Rep f rdp m esfericidade f onde m r Re v u d p p CD fRep f 2 2 1 m v u AC V g dt v d D s r r r Equação do movimento de uma partícula sólida Repetindo tv e u v m 0 dt v d onde vt velocidade terminal Substituindo na equação do movimento Em um campo gravitacional a medida que a partícula cai a sua velocidade cresce ate que as forças acelerativas e resistivas se igualam Quando isso acontece a velocidade da partícula permanence constante durante o restante da queda A velocidade constante assumida pela partícula é a sua velocidade terminal Logo com vconstante 2 2 1 0 t D s AC v V g r r r 2 2 1 m v u AC V g dt v d D s r r r 2 2 1 m v u AC V g dt v d D s r r r e assim D s t AC g V v r r r 2 Velocidade terminal tv 2 2 1 0 t D s AC v V g r r r 3 OS CASOS PARTICULARES DA DINÂMICA DA PARTÍCULA SÓLIDA p D 24 C Re 0 Rep 04 m r t p p d v Re onde Substituindo na expressão de vt Caso 1 Escoamento lento de uma esfera caindo em um fluido em repouso Regime de Stokes equações para o cálculo da velocidade terminal D s t AC g V v r r r 2 15 m r r 18 g d v s 2 p t D s t AC g V v r r r 2 p D 24 C Re m r t p p d v Re 16 Caso 2 Região Intermediária Klyachko Langmuir 04 Rep 500 dp 225 g 4 v 13 2 2 s t rm r r Caso 3 Região de Newton 500 Rep 2 x 105 0 44 CD m r t p p d v Re 17 D s t AC g V v r r r 2 0 44 CD 2 1 s t g 13 dp v r r r Onde vt velocidade terminal 18 Rep CD Stokes Interm Newton esfera turbulento 1 500 2105 24Rep 044 020 Regimes característicos de escoamento ao redor de uma esfera isolada Cremasco pg 164 19 12 Tipos de problemas 1o Tipo dados dp rs e r para calcular vt CD Re 24 3 𝜌 𝑠𝜌 𝑑𝑝 3𝜌 𝑔 𝜇 2 Gráfico KuniiLevenspiel pg 77 Segundo KuniiLevenspiel m r t p p d v Re 𝐶 𝐷𝑅𝑒𝑝 2 20 CD Re 24 3 𝜌 𝑠𝜌 𝑑𝑝 3𝜌 𝑔 𝜇 2 Figure 8 Chart for calculating the terminal velocity of particles falling through fluids calculated from information in Brown et al 7 22 EXEMPLO Calcular a velocidade terminal para partículas esféricas de quartzo caindo em água sabendo que dp 5mm rs 26gcm3 rágua 1 gcm3 24 Oprações Unitárias em sistemas particulados e fluidodinâmicos Cremasco MA 2009 2o Tipo dados vt rs r e m para calcular dp m r t p p d v Re Re 𝐶 𝐷 𝑅𝑒 4 3 𝑔 𝜌𝑠𝜌 𝜇 𝑣𝑡 3 27 𝐶 𝐷 𝑅𝑒 4 3 𝑔 𝜌𝑠𝜌 𝜇 𝜌 2𝑣𝑡 3 D s t AC g V v r r r 2 m r t p p d v Re 28 Exemplo Calcular o diâmetro de uma partícula esférica de galena que cai em um leito de água com velocidade terminal de 40cms sabendo que vgalena 40cms rgalena 75gcm3 rágua 1 gcm3 mágua 001 gcm3 32 Partículas pequenas e leves Partículas grandes e pesadas água alimentação As partículas grandes que caem a uma velocidade maior que a de ascenção do fluido são coletados na parte inferior da coluna enquanto que as partículas menores são carregadas para o topo da coluna com o fluido Um elutriador é um tubo vertical através do qual ascende um fluido a uma determinada velocidade enquanto a mistura sólida que se quer separar é alimentada no topo da coluna O ELUTRIADOR Exercício Determinar a velocidade de queda de uma partícula rs 38gcm3 com diâmetro de 75 mm com esfericidade 08 em um elutriador operando com velocidade ascendente de líquido água a 025cms Exercício Geankoplis846 Determinar a velocidade terminal de uma partícula com diâmetro de 60mm em ar a 2943K e 1013KPa As partículas podem ser consideradas esféricas e com densidade de 1280kgm3 Exercício Em uma moagem foram obtidas partículas com dimensões variando entre 28 e 100 mesh A massa específica do sólido que foi moído é de 30 gcm3 e a esfericidade 08 Diante destes dados calcule a A vazão de água que se deve ter em um elutriador de 4in de diâmetro para separar partículas menores que 150mm b Como se deve efetuar a operação quando com a mesma vazão de água se empregar um líquido muito viscoso 37 Exercício Uma mistura de galena e calcário é submetida a elutriação com uma corrente ascendente de água com velocidade de 05cms A distribuição de tamanhos dos materiais é a mesma sendo ela a seguinte dpmm 20 30 40 50 60 70 80 100 dp 15 28 48 54 64 72 78 88 Calcule a de galena no material arrastado e no produto de fundo Considere o regime de Stokes e esfericidade igual a 10 rgalena 75 gcm3 rcalcáreo 27 gcm3 mágua 001 gcms Qual a velocidade do elutriador que se deve utilizer para arrastar todo o calcáreo presente na mistura 40 Calcule também para Delutriador 4in a Vazão de água necessária para retirar toda a galena sai calcáreo junto Quanto b Vazão de água para retirar todo o calcáreo sai galena junto Quanto 41 Exercício Quartzo e pirita FeSO2 com massas específicas 265 e 51 gcm3 respectivamemente devem ser separadas em um elutriador A corrente de alimentação contêm partículas cm esfericidade 08 e tamanhos que variam entre 100 e 300mm Diante destes dados calcule a A velocidade da água no elutriador de modo que se obtenha no fundo um produto que só contenha pirita b A velocidade da água no elutriador de modo a se obter no topo um produto que só contenha quartzo 43 Exercício Necessitase separar 25g de um pó industrial rs 18gcm3 utilizandose uma bateria de 4 elutriadores em série com água a uma vazão de 37cm3min Os diâmetros e as massas retidas em cada elutriador da bateria foram as seguintes Elutriador diâmetro cm massa retida g 1 30 462 2 40 675 3 60 775 4 120 442 Determine a distribuição granulométrica dp versus X que pode ser obtida nesta operação mágua 001 gcms ragua 10 gcm3