Lei de Ampére e Lei de Faraday: Interações e Cálculos no Magnetismo

LEI DE AMPÉRE E LEI DE FARADAY Hugo de León Carvalho Cedro Lei de Ampére e lei de Faraday 2 Olá aluno a Unifacear Seja bemvindo a à aula Lei de Ampére e lei de Faraday Nesta segunda parte do tema Magnetismo vamos continuar abordando questões sobre a força magnética e as possíveis interações entre força elétrica magnética e gravitacional em situações que podem envolver o equilíbrio de um corpo como a manutenção do equilíbrio de um fio horizontal que contém corrente elétrica quando submetido a força gravitacional e magnética simultaneamente Em seguida vamos determinar como calcular a densidade de fluxo magnética e o campo magnético através da Lei de BiotSavart que de modo semelhante ao campo elétrico nos permite determinar o campo magnético em determinados pontos do espaço Finalizamos a disciplina com a aplicação da lei de Ampère que permite calcular a indução magnética em situações de simetria e a lei de Faraday que permite calcular o fluxo magnético e pode ser associada a lei de Lenz para calcular a diferença de potencial INTRODUÇÃO A interação entre forças de diferentes fontes é um evento comum na física em diversas situações e com origens diferentes identificamos estas interações como é o caso para as forças elétricas forças magnéticas e forças gravitacionais Podemos identificar situações em que a soma vetorial de uma força elétrica com uma força gravitacional ou uma força gravitacional e uma força magnética podem manter um corpo em equilíbrio mas com a retirada de qualquer uma das forças atuantes no par o corpo se move Também podemos identificar que a trajetória de uma partícula carregada em movimento quando submetida a uma força magnética é circular mas quando outras forças atuam pode ocorrer a modificação dessa trajetória Em geral a identificação da força magnética e do campo magnético são importantes quando pensamos em estudar eletromagnetismo a utilização da lei de BiotSavart lei Ampère e lei de Faraday são essenciais para identificação das forças e campos magnéticos de diferentes formas em geral facilitando o método para obter seu módulo direção e sentido de acordo com as aplicações desejadas Ainda é fácil perceber que essas leis possuem uma semelhança matemática com as leis utilizadas para determinação da força e campo elétrico desta forma sua aplicação tornase mais simples pela utilização anterior de modelos matemáticos semelhantes mas que possuem interpretações físicas diferentes Em diversas literaturas os conceitos de campo magnético e indução magnética são utilizados com mesmo significado assim será utilizado nos exercícios Lei de Ampére e lei de Faraday 3 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM FIO A indução magnética também conhecida como densidade de fluxo magnético quando presente em uma região do espaço pode alterar a trajetória de partículas carregadas como vimos até o momento Como esta indução permite a mudança da direção de uma partícula carregada em movimento vemos que existe uma força magnética que atua sobre esta partícula força que está relacionada ao movimento da partícula em uma direção e a densidade de fluxo magnético em determinada direção e sentido como visto anteriormente Agora vamos analisar a força magnética que atua sobre um fio conduzindo corrente elétrica se temos uma região onde existe uma indução magnética esta gera uma força sobre os elétrons como os elétrons não podem sair do fio existe uma força que é exercida sobre o fio Vamos imaginar uma porção de um fio que conduz corrente elétrica se o fio possui comprimento L e uma corrente elétrica i temos que a carga total no fio é 𝑞 𝑖𝑡 6 1 Se os elétrons se movem com uma velocidade vd que é a velocidade de deriva o tempo necessário para percorrer o comprimento L do fio é 𝑡 𝐿 𝑣𝑑 6 2 Podemos levar essas informações para a expressão da força magnética substituindo 62 em 61 temos 𝑞 𝑖 𝐿 𝑣𝑑 6 3 A força magnética é dada por 𝐹𝐵 𝑞𝑣 𝐵 6 4 𝐹 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 6 5 Aplicando 63 na expressão da força magnética 65 temos 𝐹 𝑖 𝐿 𝑣𝑑 𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 Lei de Ampére e lei de Faraday 4 Considerando a situação na qual o ângulo formado entre a direção da corrente e da indução magnética é igual a 90 a força magnética que atua sobre o fio pode ser expressa por 𝐹 𝑖 𝐿 𝑣𝑑 𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹 𝑖𝐿𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 6 6 Quando a indução magnética forma ângulo diferente de 90 em relação a corrente que o fio conduz utilizamos a expressão geral 𝐹𝐵 𝑖𝐿 𝐵 6 7 Figura 1 Movimento de uma partícula carregada em região com indução magnética perpendicular a folha apontando para dentro Fonte Cedro 2022 Com o auxílio da figura 1 podemos observar uma partícula que percorre o interior de um fio em uma região com indução magnética perpendicular a folha apontando para dentro Vemos a direção e sentido da força em função das características apresentadas pelo meio De modo geral podemos considerar de forma mais ampla uma situação na qual o ângulo entre a corrente e a indução magnética variam conforme observamos diferentes regiões do fio assim podemos determinar elementos de força em função dos elementos de corrente como segue 𝑑𝐹𝐵 𝑖𝑑𝐿 𝐵 6 8 Vamos analisar a situação na qual um fio horizontal retilíneo feito de cobre é percorrido por uma corrente i 98 A queremos determinar o módulo e a orientação do menor campo magnético capaz de manter o fio suspenso ou seja equilibrar a força Lei de Ampére e lei de Faraday 5 gravitacional Considerando a densidade linear do fio com valor de 466 gm podemos determinar o campo magnético Para que ocorra o equilíbrio é necessário que a força magnética se iguale a força gravitacional assim temos 𝐹 𝑖𝐿𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚𝑔 𝐵 𝑚𝑔 𝑖𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 Independente do sentido da corrente sabemos que a força magnética tem direção vertical e aponta para cima visto que assim ela equilibra a força gravitacional Nesta situação se o fio é horizontal a indução magnética é necessariamente perpendicular a ele assim o valor do seno é 1 Outro detalhe importante é relativo a densidade linear esta é definida como massa dividida por comprimento ml que podemos identificar na expressão acima então 𝐵 𝑚 𝑙 𝑔 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 Temos que ml é igual a 466 gm e o seno vale 1 aplicando os valores 𝐵 466 98 98 466 𝑇 𝐵 47 102 𝑇 CAMPO MAGNÉTICO LEI DE BIOTSAVART A lei de BiotSavart nos permite calcular a densidade de fluxo magnético assim como o campo magnético em determinada região do espaço De modo semelhante ao campo elétrico identificamos o módulo direção e sentido desse campo em função do ponto do espaço no qual está localizado esse ponto e da distribuição de cargas que contribuem para a geração do campo Com o campo magnético ocorre algo muito semelhante identificamos seu módulo direção e sentido mas agora em função dos elementos de corrente e da localização de um ponto no espaço Então podemos determinar um elemento de densidade de fluxo magnético em função do elemento de corrente e do ponto no qual queremos identificar esse elemento de densidade de fluxo magnético Assim podemos relacionar a densidade de fluxo magnético com o campo magnético através de uma constante chamada de permeabilidade do vácuo em geral representada pela letra µ0 A expressão para determinar a indução magnética foi deduzida Lei de Ampére e lei de Faraday 6 experimentalmente desta forma vamos somente apresentar e aplicar a expressão que representa a lei de BiotSavart como segue 𝑑𝐵 𝜇0 4𝜋 𝑖𝑑𝑠 𝑟 𝑟³ 6 9 A permeabilidade possui o seguinte valor 𝜇0 4𝜋 107 𝑇𝑚𝐴 A partir das expressões apresentadas podemos determinar o campo magnético dentro da expressão da densidade de fluxo magnético como mostrado 𝑑𝐵 𝜇0 4𝜋 𝑖𝑑𝑠 𝑟 𝑟³ 𝜇0𝑑𝐻 6 10 Partindo de 69 vamos calcular o campo magnético para duas situações especiais na primeira para um fio retilíneo a segunda para um fio circular Se temos um fio horizontal paralelo ao eixo x ou de modo semelhante um fio vertical paralelo ao eixo y no qual passa uma corrente i utilizando a primeira situação do fio horizontal vamos calcular o módulo do campo magnético em um ponto qualquer localizado acima desse fio Inicialmente vamos tomar um elemento de corrente idL este gera no ponto que queremos determinado campo magnético se queremos determinar a contribuição do campo elétrico ao longo de todo o fio no ponto em questão considerando um fio infinito devemos integrar de a infinito para determinar toda a contribuição mas como a contribuição de 0 a infinito é idêntica a contribuição de 0 ainfinito podemos simplesmente multiplicar o resultado por 2 assim 𝑑𝐵 𝜇0 4𝜋 𝑖𝑑𝑠 𝑟 𝑟³ 𝜇0𝑖 4𝜋 𝑑𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟² 6 11 Reforçando que estamos calculando o módulo do campo elétrico assim o módulo do vetor unitário 𝑟𝑟 é igual a 1 temos então 𝑖𝑑𝑠 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 Integrando obtemos o campo elétrico como segue 𝐵 2 𝜇0𝑖 4𝜋 𝑑𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟² 0 6 12 Lei de Ampére e lei de Faraday 7 Retirando da integral os valores constantes temos 𝐵 𝜇0𝑖 4𝜋 𝑑𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟² 0 6 13 Se considerarmos que a distância s horizontal é a variável como está na integral e a distância vertical pode ser chamada de R a hipotenusa desse triângulo formado é dado por 𝑠2 𝑅² assim temos para o seno 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅 𝑠2 𝑅² 6 14 Substituindo na integral temos 𝐵 𝜇0𝑖 4𝜋 2 𝑑𝑠 𝑟² 𝑅 𝑠2 𝑅² 0 6 15 Identificamos que r é a mesma distância dada pela hipotenusa assim 𝐵 𝜇0𝑖 4𝜋 2 𝑅𝑑𝑠 𝑠2 𝑅²32 0 6 16 Calculando a integral temos como resultado 𝐵 𝜇0𝑖 2𝜋𝑅 6 17 O mesmo raciocínio é utilizado para a segunda situação na qual temos um arco de circunferência a diferença está no fato que o elemento de corrente é sempre perpendicular ao vetor posição do ponto no qual queremos calcular o campo assim o seno é igual a 1 fazendo a substituição do elemento 𝑑𝑠 por 𝑟𝑑𝜃 restando 𝐵 𝜇0𝑖 4𝜋 𝑟𝑑𝜃 𝑟² 𝜃 0 6 18 Cancelando os termos comuns e integrando temos 𝐵 𝜇0𝑖𝜃 4𝜋𝑟 6 19 Onde o ângulo deve ser substituído em radianos assim se temos metade de uma circunferência o valor do ângulo que deve ser substituído é π Se analisarmos a figura 2 temos uma corrente que passa por um fio e queremos determinar o campo magnético no centro da circunferência se completamos este arco Lei de Ampére e lei de Faraday 8 de círculo podemos determinar onde está o seu centro neste ponto será calculado o campo magnético Figura 2 Fio com três partes com corrente elétrica Fonte Cedro 2022 Vamos calcular o campo magnético no centro da circunferência do fio da figura 2 este é percorrido por uma corrente i e tem a forma de um arco de circunferência de raio R e ângulo central 90º em suas extremidades temos dois trechos retilíneos cujos prolongamentos se interceptam no centro C do arco Determine o campo magnético no ponto C Utilizando a expressão 619 e substituindo as informações apresentadas temos para a região 2 𝐵2 𝜇0𝑖𝜃 4𝜋𝑟 𝜇0𝑖𝜋2 4𝜋𝑟 Observe que o ângulo foi substituído em radianos não em graus é importante conseguir realizar esse tipo de conversão de ângulos 𝐵2 𝜇0𝑖 8𝑟 Para as regiões 1 e 3 temos que o seno vale 0 desta forma B 0 para as contribuições da região 1 e 3 Assim a resposta é 𝐵 𝜇0𝑖 8𝑟 LEI DE AMPÈRE De modo semelhante ao que foi realizado para o cálculo do campo elétrico podemos utilizar uma relação entre uma integral de linha e uma igualdade para que seja possível determinar que é a indução magnética envolvida em determinadas situações Para isto vamos utilizar a seguinte relação 𝐵 𝑑𝑠 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣 6 20 Lei de Ampére e lei de Faraday 9 Assim temos o primeiro termo conhecido a indução magnética o segundo termo é um vetor que nos fornece a direção e sentido da integração que será realizada No lado direito temos a permeabilidade magnética e a corrente envolvida na situação que será analisada A semelhança com a lei de Gauss está relacionada com a presença do campo e da integral de linha É importante perceber que na lei de Gauss temos uma superfície gaussiana esta envolve todas as cargas envolvidas no problema na lei de Ampère temos o laço de Ampère também chamada amperiana que é semelhante a gaussiana O que difere a amperiana da gaussiana é o fato da primeira ser uma curva sua função é envolver um número determinado de correntes que queremos analisar Assim observe a figura 3 Figura 3 Correntes envolvidas pelo laço de Ampère Fonte Cedro 2022 Os círculos com x indicam que a corrente entra na página os círculos com pontos escuros indicam que vemos uma corrente saindo da página Como vimos a lei de Ampère possui a corrente envolvida em sua expressão para computar essa corrente devemos primeiro analisar quais correntes estão envolvidas pelo laço de Ampère em seguida determinar seu sinal Se colocamos o dedo polegar na direção da corrente entrando ou saindo da página supondo que o sentido de integração é antihorário vemos que a corrente do meio possui sinal positivo as correntes laterais sinal negativo Então podemos somar as correntes numerando da esquerda para a direita sendo a corrente fora do laço a número 4 temos 𝑖𝑒𝑛𝑣 𝑖2 𝑖1 𝑖3 O que nos leva a 𝐵 𝑑𝑠 𝜇0𝑖2 𝑖1 𝑖3 Lei de Ampére e lei de Faraday 10 Assim se queremos calcular o campo gerado por um fio retilíneo de raio r podemos utilizar a lei de Ampère lembrando que Bds é um produto escalar temos 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑠 𝐵 𝑑𝑠 A integral de ds é o comprimento da curva neste caso temos uma circunferência então 𝑑𝑠 2𝜋𝑟 Por fim sendo a corrente do fio de valor i podemos calcular o campo 𝐵 𝑑𝑠 𝐵2𝜋𝑟 𝐵2𝜋𝑟 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣 𝜇0𝑖 𝐵2𝜋𝑟 𝜇0𝑖 𝐵 𝜇0𝑖 2𝜋𝑟 LEI DE FARADAY Para finalizar vamos descrever brevemente a lei de Faraday e fornecer alguns caminhos para sua utilização Esta lei está diretamente relacionada com o fluxo de campo magnético em determinada região Assim podemos calcular de modo semelhante ao fluxo de campo elétrico o fluxo de linhas de campo que atravessam determinada área como segue 𝜙𝐵 𝐵 𝑑𝐴 6 21 Temos do mesmo modo que para o fluxo de campo elétrico um vetor área associado que é perpendicular a área Este fluxo mede a densidade de linhas de campo o que origina a expressão densidade de fluxo magnético Em uma situação na qual conhecemos a área e o módulo da indução magnética podemos simplificar a expressão para 𝜙𝐵 𝐵 𝐴 6 22 A multiplicação de B em T pela área em m² fornece Tm² que gera uma nova unidade o weber de símbolo Wb Podemos associar a taxa de variação desse fluxo magnético com o tempo e a intensidade da diferença de potencial induzida em uma espira da seguinte forma Lei de Ampére e lei de Faraday 11 𝑉 𝑑𝜙𝐵 𝑑𝑡 6 23 Vemos que o sinal negativo indica que a diferença de potencial e a corrente induzida se opõe a variação do fluxo magnético Com esta motivação surge a lei de FaradayLenz como segue 𝑉 𝑁 𝑑𝜙𝐵 𝑑𝑡 6 24 Onde N indica o número de espiras De modo semelhante a lei de Faraday o campo gerado pela corrente induzida se opõe a variação de fluxo magnético agora generalizado para N espiras EXERCÍCIOS E1 Um fio de cobre de comprimento L é atravessado por uma corrente de intensidade i1 A no sentido positivo do eixo x no plano bidimensional Este fio está em uma região onde existe uma indução magnética de intensidade B 1 T perpendicular ao plano bidimensional do fio com sentido de entrada no plano descrito e perpendicular à corrente i Calcule o valor da força que atua no fio E2 Considere o exercício anterior invertendo o sentido da indução magnética E3 Considerando a situação do exercício 1 mas com a direção da indução magnética paralela a da corrente que passa pelo fio determine a força que atua no fio nesta situação E4 Um fio horizontal retilíneo feito de cobre é percorrido por uma corrente i 28 A Determine o módulo e a orientação do menor campo magnético capaz de manter o fio suspenso ou seja equilibrar a força gravitacional Considerando a densidade linear do fio com valor de 466 gm E5 Calcule o campo magnético no centro da circunferência do fio da figura 2 este é percorrido por uma corrente i e tem a forma de um arco de circunferência de raio R e ângulo central 4π6 rad em suas extremidades temos dois trechos retilíneos cujos prolongamentos se interceptam no centro C do arco Determine o campo magnético no ponto C Lei de Ampére e lei de Faraday 12 RESUMO Nesta aula você aprendeu a determinar a força magnética e o campo magnético em diversas situações no primeiro momento foi demonstrado como calcular a força magnética em um fio através da expressão geral para determinação da força magnética Em seguida determinamos o campo magnético na primeira situação onde temos um fio retilíneo percorrido por uma corrente e queremos determinar o campo no exterior do fio na segunda situação na qual temos um fio circular também determinamos o campo magnético em um ponto exterior Posteriormente utilizamos a lei de Ampère para determinar o campo magnético em situações de simetria Respostas E1 L E2 L E3 0 E4 16 102 𝑇 Lei de Ampére e lei de Faraday 13 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FERREIRA F G Princípios básicos de eletromagnetismo e termodinâmica Curitiba Intersaberes 2017 MACIEL E B Fundamentos da física Curitiba Intersaberes 2021 NOTAROS B M Eletromagnetismo São Paulo Pearson education do Brasil 2012 OLIVEIRA I Introdução ao eletromagnetismo São Paulo Blucher 2021 RAMOS A Eletromagnetismo São Paulo Blucher 2016 SILVA E S et al Eletromagnetismo Fundamentos e simulações São Paulo Pearson education do Brasil 2014 TELLES D D NETTO J M Física com aplicação tecnológica eletrostática eletricidade e magnetismo São Paulo Blucher 2018 YOUNG H D FREEDMAN R A Física III Eletromagnetismo Sears e Zemansky Eletromagnetismo 12 Ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2009