Exercícios G a Resolvidos-2023 1

Assinale a alternativa que corresponde ao raio R e ao centro C (em coordenadas polares (r, \(\theta\) )) da circunferência de equação polar \( 1 = r^2 - 5r \cos(\theta) \). Considere a parametrização da hipérbole \(49x^2 - 16y^2 = 784 \). Assinale a alternativa que contém o valor da abscissa de um ponto sobre a hipérbole com parâmetro \( t = 2 \). Um arco tem a forma de uma parábola com 9 metros de altura e uma largura de 4 metros na base. Se o vértice dessa parábola estiver no topo do arco, a que altura acima da base o arco terá 2 metros de largura? Assinale a alternativa que contém a equação reduzida da hipérbole de excentricidade e = 4 que tem como vértices os focos da elipse 4x^2 + 25y^2 = 100. Um arco tem a forma de uma parábola com 9 metros de altura e uma largura de 4 metros na base. Se o vértice dessa parábola estiver no topo do arco, a que altura acima da base o arco terá 2 metros de largura? Considere os eixos coordenados de modo que o eixo y passe pelo vértice da parábola: A parábola tem como raízes os pontos x = -2 e x = 2. Logo a expressão da parábola é: y = a(x - (-2))(x - 2) = a(x + 2)(x - 2) = a(x^2 - 4) = ax^2 - 4a onde a é um número real a ser determinado. A parábola passa pelo vértice V(0,9). Substituindo: y = ax^2 - 4a 9 = a.0^2 - 4.a 9 = -4a => a = -9/4 Logo y = -9/4 x^2 - 4.( -9/4 ) => y = -9/4 x^2 + 9 Como a parábola é simétrica ao eixo y, temos O arco terá 2 metros de largura quando x = 1 ou x = -1. Substituíndo qualquer um desses valores na expressão da parábola, obtemos a altura: y = -9/4.1^2 + 9 => y = 6,75 m Assinale a alternativa que contém a equação reduzida da hipérbole de excentricidade e = 4 que tem como vértices os focos da elipse 4x^2 + 25y^2 = 100. Da equação da elipse obtemos 4x^2 + 25y^2 = 100 (dividindo por 100) (4x^2)/100 + (25y^2)/100 = 100/100 x^2/25 + y^2/4 = 1 (eixo maior sobre o eixo x) Logo {a = √25 = 5 b = √4 = 2 Semi-distância focal: 5^2 = a^2 + c^2 25 = 4 + c^2 => 25 - 4 = c^2 21 = c^2 c = √21 Como o eixo maior esta sobre o eixo x. Os focos sao F1: (-√21, 0) e F2 (√21, 0) Buscamos uma hipérbole com os vértices acima e e=4 Assim c=√21 e = c/a mas devemos ter e=4, logo: 4=√21/a ⇒ a=√21/4 Além disso: c²=a²+b² (√21)² = (√21/4)² + b² ⇒ 21 = 21/16 + b² ⇒ b² = 21 - 21/16 ⇒ b² = 315/16 Logo a equação reduzida da hipérbole é: x²/a² - y²/b² = 1 ⇒ x²/(21/4) - y²/(315/16) = 1 Considere a parametrização da hipérbole 49x²-16y²=784. Assinale a alternativa que contém o valor da abscissa de um ponto sobre a hipérbole com parâmetro t=2. Da equação da hipérbole: 49x²/784 - 16y²/784 = 784/784 (dividindo por 784) x²/16 - y²/49 = 1 eixo real sobre o eixo y b²: 16 ⇒ b=√16=4 a²: 49 ⇒ a=√49=7 A parametrização dessa hipérbole é dada por: x = 4 tg t y = 7 sec t Quando t=2 o ponto sobre a parábola é: x=4 tg 2 y=7 sec 2 ⇒ P(4 tg 2, 7 sec 2) Assinale a alternativa que corresponde ao raio R e ao centro C (em coordenadas polares (r, θ)) da circunferência de equação polar 1 = r² - 5r cos(θ). Em coordenadas polares r=√x²+y² e cos θ = x/r= x/√x²+y² Substituindo: 1=r²-5rcos θ 1 = (x²+y²) - 5 √x²+y²· x/√x²+y² 1 = x²+y²-5x 1 = x²-5x+y² (complemento de quadrado) 1+(5/2)² = x²-5x+(5/2)²+y² 1+25/4 = x²-5x+25/4 + y² = 29/4 = (x-5/2)²+y² 29/4 = (x-5/2)² + y² Logo: R² = 29/4 ⇒ R=√29/4 ⇒ √29/2 E o centro é o ponto: P(5/2, 0)