Teoria das Estruturas II - Aula 3: Método dos Deslocamentos

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Prof Me André Felipe Ap de Mello Teoria das Estruturas II Aula 3 Hiperestática Método dos Deslocamentos 31 Introdução 32 Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico 33 Metodologia de análise pelo Método dos Deslocamentos 34 Deslocabilidades interna e externa 35 Aplicações a estruturas sem deslocabilidades externas 36 Aplicações a estruturas com deslocabilidades externas INTRODUÇÃO 31 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 2 O Método dos Deslocamentos pode ser considerado um processo inverso ao Método das Forças A estrutura é resolvida pela seguinte ordem 1 Condições de compatibilidade 2 Leis constitutivas dos materiais 3 Condições de equilíbrio A metodologia de cálculo do método consiste em somar uma série de soluções básicas chamadas de casos básicos que satisfazem as condições de compatibilidade mas que não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original para na superposição restabelecer as condições de equilíbrio INTRODUÇÃO 31 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 3 Esse procedimento é o inverso do que é feito na solução pelo Método das Forças estudado anteriormente Cada caso básico satisfaz isoladamente as condições de compatibilidade continuidade interna e compatibilidade com respeito aos vínculos externos da estrutura Entretanto os casos básicos não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original pois são necessários forças e momentos adicionais para manter o equilíbrio As condições de equilíbrio da estrutura ficam restabelecidas quando se superpõem todas as soluções básicas DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 4 A solução pelo Método dos Deslocamentos pode ser vista como uma superposição de soluções cinematicamente determinadas isto é de configurações deformadas conhecidas conforme ilustra a figura a seguir Essa figura mostra a configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas elementares cada uma associada a um determinado efeito que é isolado DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 5 DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 6 Na figura a configuração deformada elementar do caso 0 isola o efeito da solicitação externa carregamento sendo que essa configuração deformada é tal que os nós extremidades das barras da estrutura apresentam deslocamentos e rotações nulos A configuração deformada nesse caso corresponde à situação de engastamento perfeito da viga barra horizontal devida à carga uniformemente distribuída aplicada As demais configurações deformadas mostradas nessa figura dos casos 1 a 7 correspondem a imposições de deslocamentos e rotações nodais isolados isto é cada caso apresenta uma configuração deformada elementar em que somente uma componente de deslocamento ou rotação nodal tem um valor não nulo DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 7 A superposição de configurações deformadas mostrada na figura indica que a configuração deformada final de uma estrutura reticulada pode ser parametrizada pelas componentes de deslocamentos e rotações dos nós da estrutura Isso é possível porque podese determinar a configuração deformada de uma barra a partir dos deslocamentos e rotações dos nós extremos da barra e do seu carregamento A elástica final da barra é obtida superpondo o efeito da solicitação externa isolado no caso 0 DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 8 Com base nisso a seguinte definição é feita Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres isto é que devem ser conhecidas para determinar a configuração deformada de uma estrutura Dessa forma as deslocabilidades são os parâmetros que definem completamente a configuração deformada de uma estrutura As deslocabilidades são as incógnitas do Método dos Deslocamentos A seguinte notação vai ser utilizada Di deslocabilidade de uma estrutura componente de deslocamento ou rotação livre não restrita por apoio em um nó da estrutura na direção de um dos eixos globais DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 9 A deslocabilidade Di também é chamada de deslocabilidade global para diferenciála de uma deslocabilidade local de uma barra isolada No exemplo D1 e D4 são deslocamentos horizontais dos nós superiores D2 e D5 são deslocamentos verticais dos nós superiores D3 e D6 são rotações dos nós superiores e D7 é a rotação do nó inferior direito As demais componentes de deslocamentos e rotação não são deslocabilidades livres pois são restritas por apoios Uma estrutura que tem todas as suas deslocabilidades definidas com valores conhecidos é denominada estrutura cinematicamente determinada DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 10 O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos na forma de apoios fictícios Esse modelo é chamado de Sistema Hipergeométrico SH O SH correspondente à estrutura do exemplo é mostrado a seguir Os apoios fictícios adicionados à estrutura para impedir prender as deslocabilidades são numerados de acordo com a numeração das deslocabilidades Isto é o apoio 1 impede a deslocabilidade D1 o apoio 2 impede a deslocabilidade D2 e assim por diante DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 11 Sistema Hipergeométrico do pórtico plano de exemplo DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 12 Pode parecer estranho criar uma estrutura o SH na qual todos os nós são engastados completamente Na verdade o SH é utilizado para isolar as diversas componentes cinemáticas da estrutura isto é isolar os efeitos de cada uma de suas deslocabilidades Em cada um dos casos básicos da solução pelo Método dos Deslocamentos 0 a 7 no máximo uma deslocabilidade assume um valor não nulo Com base no SH essa deslocabilidade é imposta como um recalque do correspondente apoio fictício inserido na criação do SH enquanto os outros apoios fictícios fixam as demais deslocabilidades DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 32 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 13 Uma observação importante é que enquanto existem vários possíveis Sistemas Principais Método das Forças para uma estrutura existe somente um Sistema Hipergeométrico Método dos Deslocamentos Isso porque para se chegar ao Sistema Principal isostático do Método das Forças existem várias possibilidades para se eliminar vínculos da estrutura e para se chegar ao Sistema Hipergeométrico só existe uma possibilidade que é impedindo todas as deslocabilidades METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 14 Exemplo de análise E 12107 kNm2 A 12102 m2 I 12103 m4 A solicitação externa é uma carga uniformemente distribuída q 5 kNm aplicada na barra horizontal METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 15 Sistema Hipergeométrico SH os casos básicos utilizam esse SH como estrutura auxiliar através da qual os efeitos isolados são impostos No exemplo em estudo existem quatro casos básicos 0 1 2 e 3 METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 16 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH A carga externa é a aplicada no SH com D1 0 D2 0 e D3 0 Nesse caso as forças e os momentos que aparecem nos apoios fictícios do SH são chamados de termos de carga βi0 Um termo de carga é definido formalmente como βi0 reação no apoio fictício associado à deslocabilidade Di para equilibrar o SH quando atua a solicitação externa isoladamente isto é com deslocabilidades com valores nulos METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 17 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH Neste exemplo são três os termos de carga sendo que β10 é a reação horizontal β20 é a reação vertical e β30 é a reação momento nos três apoios fictícios do nó interno Essas reações correspondem à situação de engastamento perfeito do SH e os seus valores são calculados de maneira a equilibrar o nó interno levando em conta o carregamento uniformemente distribuído que atua na barra horizontal METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 18 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Isola o efeito da deslocabilidade D1 mantendo nulos os valores das deslocabilidades D2 e D3 Conforme indicado nessa figura a deslocabilidade D1 é colocada em evidência Considerase um valor unitário para D1 sendo o efeito de D1 1 multiplicado pelo valor final que D1 deverá ter METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 19 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Para impor a configuração deformada onde D1 1 e as demais deslocabilidades são mantidas nulas é necessário aplicar um conjunto de forças e momentos nodais que mantém o SH em equilíbrio nessa configuração As forças e momentos que aparecem nos apoios fictícios do SH são chamados de coeficientes de rigidez globais Kij Kij coeficiente de rigidez global força ou momento que deve atuar na direção de Di para manter a estrutura na verdade o SH em equilíbrio quando é imposta uma configuração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 20 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH No caso 1 os coeficientes de rigidez globais são a força horizontal K11 a força vertical K21 e o momento K31 Por definição as unidades dos coeficientes de rigidez correspondem às unidades de força ou momento divididas pela unidade da deslocabilidade em questão Nesse exemplo no caso 1 a unidade de D1 é a de deslocamento em metros Os coeficientes de rigidez globais são obtidos em função de coeficientes de rigidez das barras isoladas que por sua vez são tabelados METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 21 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH A deslocabilidade D2 é colocada em evidência considerando o efeito devido a um valor unitário de D2 multiplicado pelo seu valor final Esse caso isola o efeito da deslocabilidade D2 mantendo nulos os valores das deslocabilidades D1 e D3 METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 22 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH Esse caso isola o efeito da deslocabilidade D3 mantendo nulos os valores das deslocabilidades D1 e D2 A figura também mostra os coeficientes de rigidez globais desse caso As unidades desses coeficientes são unidades de força ou momento divididas por radiano pois a deslocabilidade D3 é uma rotação METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 23 Restabelecimento das condições de equilíbrio Por superposição de efeitos Somatório das forças externas horizontais que atuam no nó interior 𝛽10 𝐾11𝐷1 𝐾12𝐷2 𝐾13𝐷3 0 Somatório das forças externas verticais que atuam no nó interior 𝛽20 𝐾21𝐷1 𝐾22𝐷2 𝐾23𝐷3 0 Somatório dos momentos externos que atuam no nó interior 𝛽30 𝐾31𝐷1 𝐾32𝐷2 𝐾33𝐷3 0 METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 24 Restabelecimento das condições de equilíbrio Podese generalizar esses resultados escrevendo uma equação de equilíbrio na direção da deslocabilidade Di para uma estrutura com n deslocabilidades 𝛽𝑖0 𝑗1 𝑗𝑛 𝐾𝑖𝑗 𝐷𝑗 0 Resolvendo o sistema de equações temse os valores das deslocabilidades Di METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 25 Determinação dos esforços internos Uma vez determinados os valores das deslocabilidades os diagramas finais de esforços da estrutura do exemplo em estudo também podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de cada um dos casos básicos Por exemplo os momentos fletores finais M podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de momentos fletores Mi dos casos básicos 𝑀 𝑀0 𝑀1𝐷1 𝑀2𝐷2 𝑀3𝐷3 Sendo que o diagrama M0 corresponde ao caso 0 e os diagramas M1 M2 e M3 são provocados por valores unitários das deslocabilidades nos casos 1 2 e 3 respectivamente METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 26 Determinação dos esforços internos Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços internos esforços normais finais N esforços cortantes finais V e momentos fletores finais M de uma estrutura com n deslocabilidades 𝑁 𝑁0 𝑗1 𝑗𝑛 𝑁𝑗 𝐷𝑗 𝑉 𝑉0 𝑗1 𝑗𝑛 𝑉𝑗 𝐷𝑗 𝑀 𝑀0 𝑗1 𝑗𝑛 𝑀𝑗 𝐷𝑗 METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 27 Matriz de rigidez global e vetor dos termos de carga Podese reescrever o sistema de equações de equilíbrio do exemplo da anterior de uma forma matricial 𝛽10 𝛽20 𝛽30 𝐾11 𝐾12 𝐾13 𝐾21 𝐾22 𝐾23 𝐾31 𝐾32 𝐾33 𝐷1 𝐷2 𝐷3 0 No caso geral de uma estrutura com n deslocabilidades podese escrever 𝛽0 𝐾 𝐷 0 𝛽0 vetor dos termos de carga 𝐾 matriz de rigidez global 𝐷 vetor das deslocabilidades METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 28 Matriz de rigidez global e vetor dos termos de carga A matriz de rigidez global independe da solicitação externa carregamento que só é considerada no vetor dos termos de carga A matriz K é uma característica da estrutura apenas já que só existe um possível Sistema Hipergeométrico para cada estrutura Uma observação importante é que a matriz K é simétrica 𝐾𝑗𝑖 𝐾𝑖𝑗 METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 29 Convenção de sinais METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 30 Convenção de sinais Exemplo METODOLOGIA DE ANÁLISE PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 33 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 31 Convenção de sinais Outras soluções fundamentais que são necessárias dentro da metodologia do Método dos Deslocamentos são soluções para deslocamentos ou rotações impostos isoladamente em uma das extremidades de uma barra essas soluções resultam em coeficientes de rigidez de barra Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 32 Deslocabilidade interna di O número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de rotações que é necessário conhecer para resolvêla ou seja o número de nós internos rígidos que a estrutura possui não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e os nós internos rotulados Para o caso de estruturas espaciais devese multiplicar esse número por 3 rotações em 3 eixos distintos Para o caso de grelhas devese multiplicar esse número por 2 rotações em 2 eixos distintos DESLOCABILIDADES INTERNA E EXTERNA 34 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 33 Deslocabilidade interna di Por exemplo para o pórtico abaixo existem rotações nos nós B e C já que os engastes em A e D não sofrem deformações Portanto o número de deslocabilidades internas desse problema é 2 DESLOCABILIDADES INTERNA E EXTERNA 34 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 34 Deslocabilidade externa de O número de deslocabilidades externas de uma estrutura é igual ao número de apoios do 1º gênero que a ela é necessário acrescentar para que todos os seus nós fiquem sem deslocamentos lineares DESLOCABILIDADES INTERNA E EXTERNA 34 Por exemplo para o pórtico ao lado em que não existem deslocabilidades internas seria necessário acrescentar dois apoios do 1º gênero para que todos os seus nós tenham deslocamentos impedidos Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 35 Deslocabilidade externa de O apoio 1 impedirá o deslocamento horizontal dos nós D e E O apoio 2 impedirá o deslocamento horizontal do nó G Os deslocamentos do nó F serão impedidos pois os nós E e G são indeslocáveis DESLOCABILIDADES INTERNA E EXTERNA 34 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 36 Número total de deslocabilidades d O número total de deslocabilidades de uma estrutura se traduz como o número de incógnitas para a resolução pelo método dos deslocamentos Esse número é dado pela soma das deslocabilidades interna e externa 𝑑 𝑑𝑖 𝑑𝑒 DESLOCABILIDADES INTERNA E EXTERNA 34 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 37 Exemplo I1 Sussekind vol 3 Obter o número total de deslocabilidades para as estruturas abaixo DESLOCABILIDADES INTERNA E EXTERNA 34 a 𝑑𝑖 3 𝑑𝑒 2 𝑑 5 b 𝑑𝑖 3 𝑑𝑒 2 𝑑 5 c 𝑑𝑖 8 𝑑𝑒 4 𝑑 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 38 Exemplo I1 Sussekind vol 3 Obter o número total de deslocabilidades para as estruturas abaixo DESLOCABILIDADES INTERNA E EXTERNA 34 d 𝑑𝑖 4 𝑑𝑒 3 𝑑 7 e 𝑑𝑖 4 𝑑𝑒 1 𝑑 5 f 𝑑𝑖 3 𝑑𝑒 0 𝑑 3 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 39 Exemplo 1 I5 Sussekind vol 3 Obter os diagramas de esforços internos para a viga de EI constante 35 EXEMPLOS Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 40 Exemplo 2 65 Martha 1 ed Considere a viga contínua mostrada na figura O valor da rigidez à flexão da viga é EI 12 x 104 kNm2 O valor da carga uniformemente distribuída é q 12 kNm 35 EXEMPLOS Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 41 Exemplo 3 661 Martha 1 ed Determinar o diagrama de momentos fletores para o pórtico abaixo As duas barras têm o mesmo material com módulo de elasticidade E e têm a mesma seção transversal 35 EXEMPLOS Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 42 Exemplo 4 I3 Sussekind vol 3 Obter o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio para o pórtico abaixo cujo material tem E 2 107 kNm2 e cujas barras possuem inércia constante e igual a 0024 m4 35 EXEMPLOS Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 43 Exemplo 5 I11 Sussekind vol 3 Obter o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio para o pórtico abaixo Considere EI constante e igual para todas as barras 35 EXEMPLOS Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 44 Exemplo 6 Obter o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio para o pórtico abaixo Considere E constante e igual para todas as barras Os pilares tem inércia I e a viga 2I 35 EXEMPLOS Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 45 Exemplo 7 Obter o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio para o pórtico abaixo Considere E constante e igual para todas as barras Os pilares tem inércia 2I e as vigas I 35 EXEMPLOS REFERÊNCIAS SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1983 v 2 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 46 MARTHA L F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Rio de Janeiro Campus 2010