Instabilidade e Efeitos de Segunda Ordem em Estruturas de Concreto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Prof Me André Felipe Ap de Mello Estruturas de Concreto I Aula 10 Instabilidade e Efeitos de Segunda Ordem 101 Conceitos iniciais 102 Índice de esbeltez 103 Excentricidades 104 Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem 105 Exemplos 106 Exercícios Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 2 Os edifícios devem ser projetados de modo a apresentarem a necessária estabilidade às ações verticais e horizontais ou seja devem apresentar a chamada estabilidade global Os pilares são os elementos destinados à estabilidade vertical porém é necessário projetar outros elementos mais rígidos que além de também transmitirem as ações verticais deverão garantir a estabilidade horizontal do edifício à ação do vento e de sismos quando existirem Ao mesmo tempo são esses elementos mais rígidos que garantirão a indeslocabilidade dos nós dos pilares menos rígidos Com essas premissas classificamse os elementos verticais dos edifícios em elementos de contraventamento e elementos pilares contraventados CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 3 Sistema de contraventamento É o conjunto de elementos que proporcionarão a estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade ou quaseindeslocabilidade dos pilares contraventados que são aqueles que não fazem parte do sistema de contraventamento Os elementos de contraventamento são constituídos por pilares de grandes dimensões pilaresparede ou simplesmente paredes estruturais por treliças ou pórticos de grande rigidez núcleos de rigidez etc CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 4 CONCEITOS INICIAIS 101 Sistema de contraventamento de um edifício Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 5 Sistema de contraventamento As lajes dos diversos pavimentos do edifício também podem participar da estabilidade horizontal ao atuarem como elementos de rigidez infinita no próprio plano diafragma rígido fazendo a ligação entre elementos de contraventamento formados por pórticos por exemplo A NBR 6118 define o que são para efeito de cálculo estruturas de nós fixos e de nós móveis CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 6 a Estruturas de nós fixos São aquelas em que os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e por decorrência os efeitos globais de 2a ordem são desprezíveis inferiores a 10 dos respectivos esforços de 1a ordem Nessas estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem b Estruturas de nós móveis Aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e em decorrência os efeitos globais de 2a ordem são importantes superiores a 10 dos respectivos esforços de 1a ordem Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2a ordem globais como os locais e localizados CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 7 CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 8 Sistema de contraventamento Para verificar se a estrutura está sujeita ou não a esforços globais de 2ª ordem ou seja se a estrutura pode ser considerada como de nós fixos lançase mão do cálculo do parâmetro de instabilidade α NBR 6118 item 1552 ou do coeficiente γz item 1553 CONCEITOS INICIAIS 101 CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 9 Flambagem Deslocamento lateral na direção de maior esbeltez com força menor do que a de ruptura do material ou instabilidade de peças esbeltas comprimidas A ruína por efeito de flambagem é repentina Para uma barra comprimida de Concreto Armado a flambagem caracteriza um estado limite último Da Resistência dos Materiais com𝑙𝑒 comprimento de flambagem 𝑦 𝑎 sen 𝜋 𝑥 𝑙𝑒 CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 10 Nãolinearidade Física e Geométrica a Nãolinearidade física relativa ao material concreto Ocorre em materiais que não obedecem à Lei de Hooke O concreto simples apresenta comportamento elastoplástico em ensaios de compressão simples com um trecho inicial linear até aproximadamente 03 fc CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 11 Nãolinearidade Física e Geométrica b nãolinearidade geométrica Ocorre quando as deformações provocam esforços adicionais que precisam ser considerados no cálculo gerando os chamados esforços de segunda ordem como o momento fletor 𝑀 𝐹 𝑎 CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 12 Equação da curvatura de elementos fletidos Da Resistência dos Materiais temse a equação aproximada para a curvatura 1 𝑟 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑀 𝐸𝐼 A relação existente entre a curvatura e as deformações nos materiais concreto e aço da barra considerandose a lei de Navier 𝜀 𝑦 1𝑟 é 1 𝑟 𝜀1 𝜀2 ℎ CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 13 Equação da curvatura de elementos fletidos Para o Concreto Armado temse 1 𝑟 𝜀𝑠 𝜀𝑐 𝑑 com 𝜀𝑠 deformação na armadura tracionada 𝜀𝑐 deformação no concreto comprimido 𝑑 altura útil da peça CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 14 Equação da curvatura de elementos fletidos Da Resistência dos Materiais temse a equação simplificada para a curvatura da barra comprimida 𝑦 𝑎 sen 𝜋 𝑥 𝑙𝑒 com 𝑙𝑒 comprimento de flambagem CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 15 Pilarpadrão O pilarpadrão é uma barra engastada na base e livre no topo com uma curvatura conhecida É aplicável somente a pilares de seção transversal constante e armadura constante em todo o comprimento do pilar A verificação da segurança é feita arbitrandose deformações εc e εs tais que não ocorra o estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo na seção mais solicitada da peça CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 16 Pilarpadrão Trabalhando com a equação da linha elástica para o pilar padrão chegase ao máximo deslocamento no topo 𝑒2 𝑙𝑒2 𝜋2 1 𝑟 Aproximando 𝜋2 10 𝑒2 𝑙𝑒2 10 1 𝑟 CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 17 Pilarpadrão O deslocamento máximo e2 é chamado excentricidade de 2a ordem e será considerado no dimensionamento dos pilares Devido à excentricidade local e2 surge o momento fletor de segunda ordem 𝑀2𝑑 𝑁𝑑 𝑒2 𝑁𝑑 𝑙𝑒2 10 1 𝑟 base CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 18 Pilarpadrão A NBR 6118 item 158332 toma uma expressão aproximada para a curvatura na base como 1 𝑟 0005 ℎ 𝜈 05 0005 ℎ Sendo 𝜈 a força normal adimensional dada por 𝜈 𝑁𝑑 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 Onde ℎ altura da seção na direção considerada 𝐴𝑐 área da seção transversal 𝑓𝑐𝑑 resistência de cálculo do concreto à compressão CONCEITOS INICIAIS 101 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 19 Pilarpadrão Assim temse o máximo momento fletor de segunda ordem local a ser aplicado no dimensionamento de pilares pelo método do pilarpadrão com curvatura aproximada 𝑀2𝑑 𝑁𝑑 𝑒2 𝑁𝑑 𝑙𝑒2 10 0005 ℎ 𝜈 05 ÍNDICE DE ESBELTEZ 102 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 20 O índice de esbeltez 𝜆 é a razão entre o comprimento de flambagem 𝑙𝑒 e o raio de giração 𝑖 nas direções a serem consideradas NBR 6118 1582 𝜆 𝑙𝑒 𝑖 Com 𝑖 𝐼 𝐴 Onde 𝐼 momento de inércia da seção na direção considerada 𝐴 área da seção transversal ÍNDICE DE ESBELTEZ 102 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 21 Para seção retangular 𝜆 346 𝑙𝑒 ℎ Com ℎ altura da seção na direção considerada ÍNDICE DE ESBELTEZ 102 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 22 Em função do índice de esbeltez máximo os pilares podem ser classificados como a Curto se 𝜆 35 b Médio se 35 𝜆 90 c Medianamente esbelto se 90 𝜆 140 d Esbelto se 140 𝜆 200 Os pilares curtos e médios representam a grande maioria dos pilares das edificações Os pilares medianamente esbeltos e esbeltos são muito menos frequentes ÍNDICE DE ESBELTEZ 102 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 23 Nas estruturas de nós fixos o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem NBR 6118 156 EXCENTRICIDADES 103 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 24 a Excentricidade de 1a Ordem A excentricidade de 1a ordem e1 é devida à possibilidade de ocorrência de momentos fletores externos solicitantes que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar ou devido ao ponto teórico de aplicação da força normal não estar localizado no centro de gravidade da seção transversal EXCENTRICIDADES 103 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 25 b Excentricidade Acidental No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar dever ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar Admitese que nos casos usuais de estruturas reticuladas a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja suficiente NBR 6118 113342 EXCENTRICIDADES 103 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 26 b Excentricidade Acidental EXCENTRICIDADES 103 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 27 c Excentricidade de 2ª Ordem Conforme a NBR 6118 1582 Os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valorlimite 𝜆1 O valor de 𝜆1 depende de diversos fatores mas os preponderantes são a excentricidade relativa de 1ª ordem e1h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1ª ordem de maior valor absoluto a vinculação dos extremos da coluna isolada a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem EXCENTRICIDADES 103 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 28 c Excentricidade de 2ª Ordem O valorlimite 𝜆1 é 𝜆1 25 125 𝑒1 ℎ 𝛼𝑏 Com 35 𝜆1 90 No item 1581 da NBR 6118 encontrase que o pilar deve ser do tipo isolado e de seção e armadura constantes ao longo do eixo longitudinal submetidos à flexocompressão EXCENTRICIDADES 103 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 29 c Excentricidade de 2ª Ordem a para pilares biapoiados sem cargas transversais 𝛼𝑏 06 04 𝑀𝐵 𝑀𝐴 04 04 𝛼𝑏 10 MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar sendo MA o maior momento absoluto e MB com sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário EXCENTRICIDADES 103 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 30 c Excentricidade de 2ª Ordem 𝑀𝐴 𝑀𝐵 a para pilares biapoiados sem cargas transversais b para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura 𝛼𝑏 10 EXCENTRICIDADES 103 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 31 c Excentricidade de 2ª Ordem De acordo com a NBR 6118 1582 c para pilares em balanço 𝛼𝑏 08 02 𝑀𝐶 𝑀𝐴 085 085 𝛼𝑏 10 Sendo 𝑀𝐴 momento de 1ª ordem no engaste 𝑀𝐶 momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço d para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo 𝑀1𝑑𝑚𝑖𝑛 𝛼𝑏 10 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 32 De acordo com a NBR 6118 1583 o cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem pode ser feito pelo Método Geral ou por métodos aproximados O Método Geral é obrigatório para elementos com λ 140 A norma apresenta diferentes métodos aproximados sendo eles método do pilarpadrão com curvatura aproximada item 158332 método do pilar padrão com rigidez κ aproximada 158333 método do pilarpadrão acoplado a diagramas M N 1r 158334 e método do pilarpadrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua 158335 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 33 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada Conforme a NBR 6118 158332 o método pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ 90 com seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo A nãolinearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondose que a deformação da barra seja senoidal A nãolinearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 34 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada O momento fletor total máximo no pilar deve ser calculado com a expressão 𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡 𝛼𝑏 𝑀1𝑑𝐴 𝑁𝑑 𝑙𝑒2 10 1 𝑟 𝑀1𝑑𝐴 Onde 𝛼𝑏 parâmetro definido anteriormente 𝑀1𝑑𝐴 valor de cálculo do momento 𝑀𝐴 𝑁𝑑 força normal solicitante de cálculo Curvatura aproximada 1 𝑟 0005 ℎ 𝜈 05 0005 ℎ Normal adimensional 𝜈 𝑁𝑑 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 35 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada Devese considerar que 𝑀1𝑑𝐴 𝑀1𝑑𝑚𝑖𝑛 𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡 𝑀1𝑑𝑚𝑖𝑛 O momento mínimo de 1ª ordem é dado por 𝑀1𝑑𝑚𝑖𝑛 𝑁𝑑 0015 003 ℎ Com ℎ altura total da seção transversal na direção considerada em metro DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 36 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada Nas estruturas reticuladas usuais admitese que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2ª ordem Portanto ao se considerar o momento fletor mínimo podese desconsiderar a excentricidade acidental ou o efeito das imperfeições locais DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 37 Método do PilarPadrão com Rigidez κ aproximada Assim como o método da curvatura aproximada este método deve ser usado em pilares com λ 90 A nãolinearidade física deve ser considerada através de uma expressão aproximada da rigidez O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão 𝑀𝑆𝑑𝑡𝑜𝑡 𝛼𝑏 𝑀1𝑑𝐴 1 𝜆2 120 𝜅𝜈 𝑀1𝑑𝐴 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 38 Método do PilarPadrão com Rigidez κ aproximada Sendo o valor da rigidez adimensional κ dado aproximadamente pela expressão 𝜅𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 32 1 5 𝑀𝑅𝑑𝑡𝑜𝑡 ℎ 𝑁𝑑 𝜈 Em um processo de dimensionamento tomase 𝑀𝑅𝑑𝑡𝑜𝑡 𝑀𝑆𝑑𝑡𝑜𝑡 Em um processo de verificação onde a armadura é conhecida 𝑀𝑅𝑑𝑡𝑜𝑡 é o momento resistente calculado com essa armadura e com 𝑁𝑑 𝑁𝑆𝑑 𝑁𝑅𝑑 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 39 Método do PilarPadrão com Rigidez κ aproximada Substituindo a equação da rigidez adimensional na equação de 𝑀𝑆𝑑𝑡𝑜𝑡 tem se a seguinte equação 𝑎 𝑀𝑆𝑑𝑡𝑜𝑡 2 𝑏 𝑀𝑆𝑑𝑡𝑜𝑡 𝑐 0 𝑎 5ℎ 𝑏 ℎ2 𝑁𝑑 𝑁𝑑 𝑙𝑒2 320 5ℎ 𝛼𝑏 𝑀1𝑑𝐴 𝑐 𝑁𝑑 ℎ2 𝛼𝑏 𝑀1𝑑𝐴 𝑀𝑆𝑑𝑡𝑜𝑡 𝑏 𝑏2 4 𝑎 𝑐 2𝑎 Serão estudados somente pilares com esbeltez inferior a 90 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 40 Determinação da seção sob o máximo momento fletor Sendo constante a força normal Nd ao longo da altura do pilar no dimensionamento deve ser analisada qual seção do pilar ao longo de sua altura estará submetida ao maior momento fletor total segundo as direções principais do pilar Normalmente basta verificar as seções de extremidade A e B topo e base e uma seção intermediária C que é aquela correspondente ao máximo momento fletor de 2ª ordem M2d DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 41 Determinação da seção sob o máximo momento fletor a Seções de extremidade topo ou base 𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡 ቊ 𝑀1𝑑𝐴 𝑀1𝑑min b Seção intermediária C 𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡 ቊ 𝑀1𝑑𝐶 𝑀2𝑑 𝑀1𝑑min 𝑀2𝑑 Com o momento de 1ª ordem M1dC avaliado como 𝑀1𝑑𝐶 ቊ06 𝑀1𝑑𝐴 04 𝑀1𝑑𝐵 04 𝑀1𝑑𝐴 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 104 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 42 Determinação da seção sob o máximo momento fletor EXEMPLOS 105 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 43 Exemplo 1 1521 BASTOS Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado sendo conhecidos Nk 7857 kN seção transversal 20 x 50 cm Ac 1000 cm2 com comprimento equivalente de flambagem lex ley 280 cm concreto C20 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 44 Exemplo 2 1621 BASTOS Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C20 EXEMPLOS 105 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 45 Exemplo 3 1624 BASTOS Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C20 EXEMPLOS 105 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 46 Exemplo 4 1721 BASTOS Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C20 EXEMPLOS 105 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 47 Exemplo 5 1722 BASTOS Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C20 EXEMPLOS 105 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 48 Exercício 1 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C30 Dados 𝑁𝑘 1250 kN 𝑙𝑒𝑥 𝑙𝑒𝑦 320 cm 𝑑 5 cm EXERCÍCIOS 106 Respostas Mxdtot 707753kNcm M1dymin 525000kNcm As 2957cm2 ℎ𝑦 50 cm ℎ𝑥 20 cm Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 49 Exercício 2 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C30 Dados 𝑁𝑘 1250 kN 𝑒1𝑥 5 cm 𝑀1𝑘𝑥𝐴 𝑀1𝑘𝑥𝐵 6250 kN cm 𝑙𝑒𝑥 𝑙𝑒𝑦 320 cm 𝑑 5 cm EXERCÍCIOS 106 Respostas Mxdtot 8750kNcm M1dymin 5250kNcm As 3696cm2 ℎ𝑦 50 cm ℎ𝑥 20 cm 𝑒1𝑥 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 50 Exercício 3 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C30 Dados 𝑁𝑘 1250 kN 𝑒1𝑦 25 cm 𝑀1𝑘𝑦𝐴 𝑀1𝑘𝑦𝐵 3125 kN cm 𝑙𝑒𝑥 𝑙𝑒𝑦 320 cm 𝑑 5 cm EXERCÍCIOS 106 ℎ𝑦 50 cm ℎ𝑥 20 cm 𝑒1𝑦 Respostas Mxdtot 707753kNcm M1dymin 525000kNcm As 2957cm2 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 51 Exercício 4 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C30 Dados 𝑁𝑘 1250 kN 𝑒1𝑦 125 cm 𝑀1𝑘𝑦𝐴 𝑀1𝑘𝑦𝐵 15625 kN cm 𝑙𝑒𝑥 𝑙𝑒𝑦 320 cm 𝑑 5 cm EXERCÍCIOS 106 ℎ𝑦 50 cm ℎ𝑥 20 cm 𝑒1𝑦 Respostas Mxdtot 707753kNcm M1dy 21875kNcm As 2957cm2 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 52 Exercício 5 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C30 Dados 𝑁𝑘 650 kN 𝑒1𝑥 5 cm 𝑒1𝑦 10 cm 𝑀1𝑘𝑥𝐴 𝑀1𝑘𝑥𝐵 3250 kN cm 𝑀1𝑘𝑦𝐴 𝑀1𝑘𝑦𝐵 6500 kN cm 𝑙𝑒𝑥 𝑙𝑒𝑦 320 cm 𝑑 5 cm EXERCÍCIOS 106 Respostas M1dx 455000kNcm M1dy 910000kNcm As 1479cm2 ℎ𝑦 50 cm ℎ𝑥 20 cm 𝑒1𝑦 𝑒1𝑥 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 53 Exercício 6 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado em concreto C30 Dados 𝑁𝑘 650 kN 𝑒1𝑥 5 cm 𝑒1𝑦 10 cm 𝑀1𝑘𝑥𝐴 𝑀1𝑘𝑥𝐵 3250 kN cm 𝑀1𝑘𝑦𝐴 𝑀1𝑘𝑦𝐵 6500 kN cm 𝑙𝑒𝑥 𝑙𝑒𝑦 460 cm 𝑑 5 cm EXERCÍCIOS 106 Respostas Mxdtot 663390kNcm M1dyC 364000kNcm As 1725cm2 ℎ𝑦 50 cm ℎ𝑥 20 cm 𝑒1𝑦 𝑒1𝑥 REFERÊNCIAS Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 54 ASSOCIAÇAO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento Rio de Janeiro 2014 BASTOS P S S Notas de aula da disciplina Estruturas de Concreto I Universidade Estadual Paulista 2017 CARVALHO C C FIGUEIREDO FILHO J R Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado segundo a NBR 61182014 4 ed São Carlos EdUFSCar 2014