Aula 9: Flexão Composta em Estruturas de Concreto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Prof Me André Felipe Ap de Mello Estruturas de Concreto I Aula 9 Flexão Composta 91 Introdução 92 Equações de equilíbrio 93 Equações de compatibilidade 94 Diagramas de interação momentonormal Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 2 INTRODUÇÃO 91 Flexão composta é o caso de solicitação normal em que atuam momento fletor e força normal simultaneamente Flexão normal composta é aquela em que o plano de flexão contém um dos eixos principais de inércia da seção transversal da peça Os esforços solicitantes são referidos convencionalmente ao eixo geométrico da peça EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 92 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 3 Considerandose as resultantes internas e referindose os momentos dessas resultantes ao centro de gravidade da armadura As as equações de equilíbrio no estado limite último são escritas na forma genérica Equilíbrio de forças normais 𝑁𝑢 𝑅𝑐 𝑅𝑠 𝑅𝑠 Equilíbrio de momentos em As 𝑁𝑢𝑒𝑠 𝑅𝑐𝑧𝑐 𝑅𝑠 𝑑 𝑑 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 93 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 4 Flexão Composta com grande excentricidade ou flexotração Domínios 2 3 ou 4 Ocorre quando a força normal se encontra fora da seção fazendo com que a LN esteja dentro da seção 𝜀𝑐 𝑥 𝜀𝑠 𝑑 𝑥 𝜀𝑠 𝑥 𝑑 Com 𝛽𝑥 𝑥𝑑 e 𝜂 𝑑𝑑 𝜀𝑐 𝛽𝑥 𝜀𝑠 1 𝛽𝑥 𝜀𝑠 𝛽𝑥 𝜂 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 93 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 5 Flexão Composta com pequena excentricidade Domínio 4a Ocorre quando a força normal se encontra dentro da seção fazendo com que a armadura As seja comprimida Domínio 4a 1 𝛽𝑥 1 𝜂 𝜀𝑐 𝑥 𝜀𝑠 𝑥 𝑑 𝜀𝑠 𝑥 𝑑 𝜀𝑐 𝛽𝑥 𝜀𝑠 𝛽𝑥 1 𝜀𝑠 𝛽𝑥 𝜂 No domínio 4a temse 𝜀𝑐 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐 𝜀𝑐𝑢 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 93 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 6 Compressão nãouniforme Domínio 5 Ocorre quando a força normal se encontra dentro da seção fazendo com que toda a seção seja comprimida Domínio 5 1 𝜂 𝛽𝑥 𝜀𝑐2 𝑥 𝜅ℎ 𝜀𝑠 𝑥 𝑑 𝜀𝑠 𝑥 𝑑 𝜀𝑐2 𝛽𝑥 𝜅 1 𝜂 𝜀𝑠 𝛽𝑥 1 𝜀𝑠 𝛽𝑥 𝜂 No domínio 5 temse 𝜀𝑐 𝜀𝑐2 numa distância 𝜅ℎ a partir da borda mais comprimida da seção 𝜅 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐2 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐2 𝜀𝑐 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐2 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 93 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 7 Tração nãouniforme Domínio 1 Ocorre quando a força normal se encontra dentro da seção fazendo com que toda a seção seja tracionada Domínio 1 𝛽𝑥 0 𝜀𝑐 𝑥 𝜀𝑠 𝑥 𝑑 𝜀𝑠 𝑥 𝑑 𝜀𝑐 𝛽𝑥 𝜀𝑠 𝛽𝑥 1 𝜀𝑠 𝛽𝑥 𝜂 ቊ 𝜀𝑐 0 𝜀𝑠 𝜀𝑠𝑢 εcu εc Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 8 DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO MOMENTONORMAL 94 Diagramas de interação momentonormal são úteis para se determinar graficamente se uma seção de concreto armado resiste a uma dada solicitação O diagrama é traçado determinando os pares Mu e Nu para a seção de concreto armado passando por todos os domínios inclusive nos casos de tração e compressão pura Qualquer combinação de Nd e Md que se situar dentro do traçado do diagrama pode ser resistida pela seção transversal Na literatura existem vários ábacos para seções genéricas com diferentes taxas de armaduras Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 9 DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO MOMENTONORMAL 94 Exemplo de diagrama de interação Ponto βx Nu kN Msu kNm Mu kNm A 777527 202157 000 G 1339 774373 202451 1114 F 1071 619599 199391 38296 E 1000 578030 195475 45187 J 0814 469243 179167 57164 D 0628 358898 154021 60708 I 0444 253493 120308 54400 C 0259 148089 77881 39378 H 01295 69421 40462 22413 B 0026 000 3870 3870 A G F E J D I C H B 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 Normal Nu kN Momento Mu kNm Interação momentonormal CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 10 No dimensionamento das seções pela utilização de ábacos não há necessidade de aplicar as equações teóricas da Flexão Composta Normal ou Oblíqua Serão aplicados os ábacos de VENTURINI 1987 para a Flexão Composta Normal e de PINHEIRO 1994 para a Flexão Composta Oblíqua Esses ábacos devem ser aplicados apenas no dimensionamento de pilares com concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa porque foram desenvolvidos com parâmetros numéricos que não se aplicam aos concretos do Grupo II Para cada caso de solicitação ábacos diferentes podem ser utilizados no entanto o ábaco deve ser escolhido de modo a resultar na menor armadura e assim a mais econômica CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 11 Flexão composta normal A seção ao lado mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos de VENTURINI 1987 para a Flexão Composta Normal ou Reta A distância d é paralela à excentricidade e entre a face da seção e o centro da barra do canto Obs A altura da seção h se refere à dimensão paralela à excentricidade e podendo em certos casos ser a largura da seção b CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 12 Flexão composta normal As equações para a construção dos ábacos foram apresentadas na publicação de VENTURINI 1987 A determinação da armadura longitudinal é iniciada pelo cálculo dos esforços adimensionais 𝜈 e 𝜇 𝜈 𝑁𝑑 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝜇 𝑀𝑑 ℎ 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝜈 𝑒 ℎ Escolhida uma disposição construtiva para a armadura no pilar determinase o ábaco a ser utilizado em função do tipo de aço e do valor da relação dh No ábaco com o par 𝜈 e 𝜇 obtémse a taxa mecânica 𝜔 Sendo a armadura 𝐴𝑠 𝜔 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 13 Exemplo 1 Dimensionar as armaduras da seção transversal submetida a 𝑁𝑘 150 kN compressão 𝑀𝑘 50 kNm Considere concreto C30 d 5 cm e aço CA50 60 cm 20 cm CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 14 Exemplo 2 Dimensionar as armaduras da seção transversal submetida a 𝑁𝑘 250 kN compressão 𝑒 60 cm Considere concreto C30 d 5 cm e aço CA50 20 cm 60 cm CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 15 Exemplo 3 Verificar se a seção a seguir resiste a seguinte solicitação 𝑁𝑘 280 kN compressão 𝑒 30 cm Considere concreto C30 d 5 cm e aço CA50 A armadura disposta na seção é 𝐴𝑠 12 𝜙10 mm 60 cm 20 cm CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 16 Flexão composta oblíqua A Figura ao lado mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos de PINHEIRO et al 1994 para a Flexão Composta Oblíqua As distâncias dx e dy têm o mesmo significado de d porém cada uma em uma direção da seção Obs hx se refere à menor dimensão b e hy à maior h CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 17 Flexão composta oblíqua A determinação da armadura é iniciada pelo cálculo dos esforços adimensionais 𝜈 e 𝜇 para as duas direções principais do pilar 𝜈 𝑁𝑑 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝜇𝑥 𝑀𝑥𝑑 ℎ𝑥 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝜈 𝑒𝑥 ℎ𝑥 𝜇𝑦 𝑀𝑦𝑑 ℎ𝑦 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝜈 𝑒𝑦 ℎ𝑦 Escolhida uma disposição construtiva para a armadura no pilar determinase o ábaco a ser utilizado em função do tipo de aço e dos valores das relações 𝑑𝑥ℎ𝑥 e 𝑑𝑦ℎ𝑦 No ábaco com o trio 𝜈 𝜇𝑥 𝜇𝑦 obtémse a taxa mecânica 𝜔 𝐴𝑠 𝜔 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 18 Exemplo 4 Dimensionar as armaduras da seção transversal submetida a 𝑁𝑘 350 kN compressão 𝑀𝑥𝑘 50 kNm 𝑀𝑦𝑘 75 kNm Considere concreto C30 d 5 cm e aço CA50 20 cm 60 cm CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 95 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 19 Exemplo 5 Dimensionar as armaduras da seção transversal submetida a 𝑁𝑘 420 kN compressão 𝑒𝑥 15 cm 𝑒𝑦 20 cm Considere concreto C30 d 5 cm e aço CA50 20 cm 60 cm EXERCÍCIOS PROPOSTOS 96 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 20 Exercício 1 Dimensionar as armaduras da seção transversal submetida a 𝑁𝑘 600 kN compressão 𝑒 5 cm Considere concreto C20 d 5 cm e aço CA50 40 cm 20 cm Resposta 𝐴𝑠 171 cm2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 96 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 21 Exercício 2 Dimensionar as armaduras da seção transversal submetida a 𝑁𝑘 200 kN tração 𝑒 10 cm Considere concreto C20 d 5 cm e aço CA50 Resposta 𝐴𝑠 92 cm2 20 cm 40 cm EXERCÍCIOS PROPOSTOS 96 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 22 Resposta A seção resiste Exercício 3 Verificar se a seção a seguir resiste a seguinte solicitação 𝑁𝑘 250 kN compressão 𝑒 5 cm Considere concreto C20 d 5 cm e aço CA50 A armadura disposta na seção é 𝐴𝑠 6 𝜙125 mm 40 cm 20 cm EXERCÍCIOS PROPOSTOS 96 Engenharia Civil Estruturas de Concreto II p 23 Resposta 𝐴𝑠 4 𝜙25 mm Exercício 4 Dimensionar as armaduras da seção transversal submetida a 𝑁𝑘 420 kN compressão 𝑒𝑥 15 cm 𝑒𝑦 20 cm Considere concreto C30 d 5 cm e aço CA50 20 cm 60 cm REFERÊNCIAS Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 24 ASSOCIAÇAO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento Rio de Janeiro 2014 CARVALHO R C FIGUEIREDO FILHO J R Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado 4 ed EDUFSCAR São Carlos 2016 FERNANDES G B Notas de aula de Concreto Armado I Solicitações Normais Cálculo no Estado Limite Último Campinas Universidade Estadual de Campinas 2006 FUSCO P B Estruturas de Concreto Solicitações Normais 1 ed São Paulo LTC 1982 PINHEIRO L M MUZARDO C D SANTOS S P Fundamentos do concreto e projeto de edifícios São Carlos Universidade de São Paulo 2007