Aula 8: Cisalhamento em Vigas

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Prof Me André Felipe Ap de Mello Estruturas de Concreto I Aula 8 Cisalhamento em vigas 81 Comportamento resistente 82 Modelo de Treliça 83 Modos de Ruína 84 Treliça Generalizada 85 Modelos de Cálculo 86 Exemplos Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 2 COMPORTAMENTO RESISTENTE 81 Considerando uma viga biapoiada submetida a duas forças F iguais e equidistantes dos apoios armada com barras longitudinais tracionadas e com estribos para resistir os esforços de flexão e de cisalhamento respectivamente Para pequenos valores da força F enquanto a tensão de tração for inferior à resistência do concreto à tração na flexão a viga não apresenta fissuras ou seja as suas seções permanecem no Estádio I Nessa fase originase um sistema de tensões principais de tração e de compressão Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 3 COMPORTAMENTO RESISTENTE 81 Com o aumento do carregamento no trecho de momento máximo entre as forças a resistência do concreto à tração é ultrapassada e surgem as primeiras fissuras de flexão verticais Nas seções fissuradas a viga encontra se no Estádio II e a resultante de tração é resistida exclusivamente pelas barras longitudinais No início da fissuração da região central os trechos junto aos apoios sem fissuras ainda se encontram no Estádio I Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 4 COMPORTAMENTO RESISTENTE 81 Continuando o aumento do carregamento surgem fissuras nos trechos entre as forças e os apoios as quais são inclinadas por causa da inclinação das tensões principais de tração σ1 fissuras de cisalhamento A inclinação das fissuras corresponde aproximadamente à inclinação das trajetórias das tensões principais isto é aproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 5 COMPORTAMENTO RESISTENTE 81 Com carregamento elevado a viga em quase toda sua extensão encontra se no Estádio II Em geral apenas as regiões dos apoios permanecem isentas de fissuras até a ocorrência de ruptura Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 6 MODELO DE TRELIÇA 82 O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e Mörsch no início do século XX e se baseia na analogia entre uma viga fissurada e uma treliça Considerando uma viga biapoiada de seção retangular Mörsch admitiu que após a fissuração seu comportamento é similar ao de uma treliça formada pelos elementos banzo superior cordão de concreto comprimido banzo inferior armadura longitudinal de tração diagonais comprimidas bielas de concreto entre as fissuras diagonais tracionadas armadura transversal de cisalhamento Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 7 MODELO DE TRELIÇA 82 Analogia de treliça Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 8 MODELO DE TRELIÇA 82 Atuação do estribo no modelo de treliça Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 9 MODELO DE TRELIÇA 82 Essa analogia de treliça clássica considera as seguintes hipóteses básicas fissuras e portanto as bielas de compressão com inclinação de 45 banzos paralelos treliça isostática portanto não há engastamento nos nós ou seja nas ligações entre os banzos e as diagonais armadura de cisalhamento com inclinação entre 45 e 90 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 10 MODELO DE TRELIÇA 82 Porém resultados de ensaios comprovam que há imperfeições na analogia de treliça clássica Isso se deve principalmente a três fatores a inclinação das fissuras é menor que 45 os banzos não são paralelos há o arqueamento do banzo comprimido principalmente nas regiões dos apoios a treliça é altamente hiperestática ocorre engastamento das bielas no banzo comprimido e esses elementos comprimidos possuem rigidez muito maior que a das barras tracionadas Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 11 MODELO DE TRELIÇA 82 Para um cálculo mais refinado tornamse necessários modelos que considerem melhor a realidade do problema Por esta razão como modelo teórico padrão adotase a analogia de treliça mas a este modelo são introduzidas correções para levar em conta as imprecisões verificadas Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 12 MODOS DE RUÍNA 83 Ruínas por flexão Nas vigas dimensionadas nos domínios 2 ou 3 a ruína ocorre após o escoamento da armadura ocorrendo abertura de fissuras e deslocamentos excessivos flechas que servem como aviso da ruína Nas vigas dimensionadas no Domínio 4 a ruína se dá pelo esmagamento do concreto comprimido não ocorrendo escoamento da armadura nem grandes deslocamentos o que caracteriza uma ruína sem aviso Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 13 MODOS DE RUÍNA 83 Ruptura por falha de ancoragem no apoio A armadura longitudinal é altamente solicitada no apoio em decorrência do efeito de arco No caso de ancoragem insuficiente pode ocorrer o colapso na junção da diagonal comprimida com o banzo tracionado junto ao apoio Essa ruptura ocorre bruscamente usualmente se propagando e provocando também uma ruptura ao longo da altura útil da viga Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 14 MODOS DE RUÍNA 83 Ruptura por falha de ancoragem no apoio Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 15 MODOS DE RUÍNA 83 Ruptura por esmagamento da biela No caso de seções muito pequenas para as solicitações atuantes as tensões principais de compressão podem atingir valores elevados incompatíveis com a resistência do concreto à compressão com tração perpendicular estado duplo Temse então uma ruptura por esmagamento do concreto A ruptura da diagonal comprimida determina o limite superior da capacidade resistente da viga à força cortante limite esse que depende portanto da resistência do concreto à compressão Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 16 MODOS DE RUÍNA 83 Ruptura por esmagamento da biela Tensões principais no concreto Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 17 MODOS DE RUÍNA 83 Ruptura da armadura transversal Corresponde a uma ruína por cisalhamento decorrente da ruptura da armadura transversal É o tipo mais comum de ruptura por cisalhamento resultante da deficiência da armadura transversal para resistir às tensões de tração devidas à força cortante o que faz com que a peça tenha a tendência de se dividir em duas partes A deficiência de armadura transversal pode acarretar outros tipos de ruína Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 18 MODOS DE RUÍNA 83 Ruptura da armadura transversal Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 19 MODOS DE RUÍNA 83 Ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento No caso de armadura de cisalhamento insuficiente essa armadura pode entrar em escoamento provocando intensa fissuração fissuras inclinadas com as fissuras invadindo a região comprimida pela flexão Isto diminui a altura dessa região comprimida e sobrecarrega o concreto que pode sofrer esmagamento mesmo com momento fletor inferior àquele que provocaria a ruptura do concreto por flexão Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 20 MODOS DE RUÍNA 83 Ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 21 MODOS DE RUÍNA 83 Ruína por flexão localizada da armadura longitudinal A deformação exagerada da armadura transversal pode provocar grandes aberturas das fissuras de cisalhamento O deslocamento relativo das seções adjacentes pode acarretar na flexão localizada da armadura longitudinal levando a viga a um tipo de ruína que também decorre do cisalhamento Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 22 TRELIÇA GENERALIZADA 84 A dedução da formulação utilizada leva em consideração uma treliça genérica com as diagonais comprimidas de concreto inclinadas num ângulo 𝜃 e os estribos inclinados num ângulo 𝛼 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 23 TRELIÇA GENERALIZADA 84 A força de compressão atuante na diagonal de concreto é 𝑅𝑐𝑏 𝑉 sen 𝜃 A área de concreto em que esta força atua é 𝐴𝑐𝑏 𝑏𝑤 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 sen 𝜃 Portanto a tensão na diagonal comprimida será 𝜎𝑐𝑏 𝑅𝑐𝑏 𝐴𝑐𝑏 𝑉 𝑏𝑤 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 sen2 𝜃 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 24 TRELIÇA GENERALIZADA 84 A força de tração atuante na armadura será 𝑅𝑠𝛼 𝑉 sen 𝛼 Cada diagonal de tração com força 𝑅𝑠𝛼 é relativa a um comprimento da viga 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 e deve ser resistida por uma armadura transversal composta por estribos espaçados num comprimento s e inclinadas de um ângulo 𝛼 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 25 TRELIÇA GENERALIZADA 84 Considerando 𝐴𝑠𝑤 a área de aço de um estribo a área total de armadura no comprimento 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 é dada por 𝐴𝑠𝑤𝑡 𝐴𝑠𝑤 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 𝑠 Sendo que Τ 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 𝑠 representa o número de estribos nesse comprimento A tensão nos estribos é dada por 𝜎𝑠𝑤 𝑅𝑠𝛼 𝐴𝑠𝑤𝑡 𝑉 𝐴𝑠𝑤 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 𝑠 sen 𝛼 𝑉 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 sen 𝛼 𝑠 𝐴𝑠𝑤 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 26 MODELOS DE CÁLCULO 85 A NBR 61182014 item 1742 admite dois modelos de cálculo que pressupõem analogia com modelo de treliça de banzos paralelos associado a mecanismos resistentes complementares traduzidos por uma parcela adicional Vc O modelo I admite item 17422 bielas com inclinação θ 45º Vc constante independente de VSd VSd é a força cortante de cálculo na seção Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 27 MODELOS DE CÁLCULO 85 O modelo II considera item 17423 bielas com inclinação θ entre 30º e 45º Vc diminui com o aumento de VSd Nos dois modelos devem ser consideradas as etapas de cálculo verificação da compressão na biela cálculo da armadura transversal deslocamento al do diagrama de força no banzo tracionado Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 28 MODELOS DE CÁLCULO 85 Em ambos os casos a tensão limite no concreto deve ser igual a 𝑓𝑐𝑑2 Este atua como um fator redutor da resistência à compressão do concreto quando há tração transversal por efeito de armadura e existem fissuras transversais às tensões de compressão 𝑓𝑐𝑑2 060 𝛼𝑉2 𝑓𝑐𝑑 Sendo 𝛼𝑉2 1 𝑓𝑐𝑘 250 com 𝑓𝑐𝑘 em MPa Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 29 MODELOS DE CÁLCULO 85 Cálculo da resistência A resistência do elemento estrutural em uma determinada seção transversal deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑2 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑3 𝑉𝑐 𝑉𝑠𝑤 𝑉𝑆𝑑 força cortante solicitante de cálculo na seção 𝑉𝑅𝑑2 força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto de acordo com o modelo considerado 𝑉𝑅𝑑3 força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça e Vsw a parcela resistida pela armadura transversal de acordo com o modelo Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 30 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo I O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de 𝜽 𝟒𝟓 em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha valor constante independentemente de VSd Para 𝜃 45 temse cotg 45 1 sen2 45 1 2 Além disso admitese que 𝑧 09 𝑑 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 31 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo I a Verificação da compressão diagonal do concreto 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑2 Igualando a tensão na biela a 𝑓𝑐𝑑2 temse o valor limite da força cortante 𝑉𝑅𝑑2 que pode ser resistido pelo concreto 060 𝛼𝑉2 𝑓𝑐𝑑 𝑉𝑅𝑑2 𝑏𝑤 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 sen2 𝜃 2 𝑉𝑅𝑑2 𝑏𝑤 09 𝑑 1 cotg 𝛼 𝑉𝑅𝑑2 027 𝛼𝑉2 𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1 cotg 𝛼 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 32 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo I b Cálculo da armadura transversal 𝑉𝑅𝑑3 𝑉𝑐 𝑉𝑠𝑤 Sendo 𝑉𝑐 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção 𝑉𝑐 𝑉𝑐0 06 𝑓𝑐𝑡𝑑 𝑏𝑤 𝑑 na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção 𝑓𝑐𝑡𝑑 resistência de cálculo à tração do concreto 𝑓𝑐𝑡𝑑 𝑓𝑐𝑡𝑘𝑖𝑛𝑓 𝛾𝑐 07 𝑓𝑐𝑡𝑚 14 07 03 𝑓𝑐𝑘 23 14 015 𝑓𝑐𝑘 23 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 33 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo I b Cálculo da armadura transversal No dimensionamento fazse 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑3 Portanto 𝑉𝑠𝑤 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑐 A norma limita a tensão na armadura a um valor 𝑓𝑦𝑤𝑑 que no caso de estribos é igual a 𝑓𝑦𝑑 não podendo superar o valor de 435 MPa 𝑓𝑦𝑤𝑑 𝑓𝑦𝑘 𝛾𝑠 435 MPa Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 34 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo I b Cálculo da armadura transversal Substituindo este valor para a tensão temse 𝑓𝑦𝑤𝑑 𝑉𝑠𝑤 𝑧 cotg 𝜃 cotg 𝛼 sen 𝛼 𝑠 𝐴𝑠𝑤 𝑉𝑠𝑤 09 𝑑 1 cotg 𝛼 sen 𝛼 𝑠 𝐴𝑠𝑤 Sendo 1 cotg 𝛼 sen 𝛼 sen 𝛼 cos 𝛼 temse 𝐴𝑠𝑤 𝑠 𝑉𝑠𝑤 09 𝑑 𝑓𝑦𝑤𝑑 sen 𝛼 cos 𝛼 s espaçamento dos estribos 𝛼 ângulo de inclinação dos estribos 45 𝛼 90 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 35 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo I b Cálculo da armadura transversal Em geral adotamse estribos verticais 𝛼 90 assim 𝐴𝑠𝑤 𝑠 𝑉𝑠𝑤 09 𝑑 𝑓𝑦𝑤𝑑 Tendo a área de aço de cada estribo 𝐴𝑠𝑤 encontrase o espaçamento 𝑠 𝐴𝑠𝑤 09 𝑑 𝑓𝑦𝑤𝑑 𝑉𝑠𝑤 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 36 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo II O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural com θ variável livremente entre 30 e 45 Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd Potanto temse 30 𝜃 45 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 37 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo II a Verificação da compressão diagonal do concreto 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑2 Analisando a tensão na diagonal de concreto 060 𝛼𝑉2 𝑓𝑐𝑑 𝑉𝑅𝑑2 𝑏𝑤 09 𝑑 cotg 𝜃 cotg 𝛼 sen2 𝜃 𝑉𝑅𝑑2 054 𝛼𝑉2 𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 𝑑 sen2𝜃 cotg 𝛼 cotg 𝜃 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 38 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo II b Cálculo da armadura transversal 𝑉𝑅𝑑3 𝑉𝑐 𝑉𝑠𝑤 Sendo 𝑉𝑐 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção 𝑉𝑐 𝑉𝑐1 na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção 𝑉𝑐1 𝑉𝑐0 06 𝑓𝑐𝑡𝑑 𝑏𝑤 𝑑 quando 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑐0 𝑉𝑐1 0 quando 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑2 interpolandose linearmente para valores intermediários entre 𝑉𝑐0 e 𝑉𝑅𝑑2 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 39 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo II b Cálculo da armadura transversal Graficamente Para 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑐0 𝑉𝑐1 𝑉𝑐0 Para 𝑉𝑐0 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑2 𝑉𝑐1 𝑉𝑐0 𝑉𝑅𝑑2 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑2 𝑉𝑐0 Para 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑2 𝑉𝑐1 0 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 40 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo II b Cálculo da armadura transversal Fazendo 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑅𝑑3 𝑉𝑠𝑤 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑐 Analisando a tensão nos estribos 𝑓𝑦𝑤𝑑 𝑉𝑠𝑤 09 𝑑 cotg 𝜃 cotg 𝛼 sen 𝛼 𝑠 𝐴𝑠𝑤 𝐴𝑠𝑤 𝑠 𝑉𝑠𝑤 09 𝑑 𝑓𝑦𝑤𝑑 cotg 𝜃 cotg 𝛼 sen 𝛼 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 41 MODELOS DE CÁLCULO 85 Modelo de Cálculo II b Cálculo da armadura transversal Para estribos verticais 𝛼 90 𝐴𝑠𝑤 𝑠 𝑉𝑠𝑤 09 𝑑 𝑓𝑦𝑤𝑑 cotg 𝜃 Tendo a área de aço de cada estribo 𝐴𝑠𝑤 encontrase o espaçamento 𝑠 𝐴𝑠𝑤 09 𝑑 𝑓𝑦𝑤𝑑 cotg 𝜃 𝑉𝑠𝑤 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 42 MODELOS DE CÁLCULO 85 Observação 𝐴𝑠𝑤 é a área de todos os ramos verticais do estribo Para estribo de dois ramos que é o tipo aplicado na grande maioria das vigas 𝐴𝑠𝑤 equivale à área dos dois ramos verticais do estribo Para estribos com três ou quatro ramos 𝐴𝑠𝑤 é a área de todos os três ou quatro ramos verticais do estribo Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 43 EXEMPLOS 86 Exemplo 1 Calcular com o modelo de cálculo I a armadura transversal da viga abaixo Dados estribos de 5 mm CA60 concreto C20 bw 25 cm h 90 cm d 80 cm e carga característica de 511 kNm Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 44 Exemplo 1 Diagramas de esforços internos 𝑀𝑘 kNm 𝑉𝑠𝑘 kN EXEMPLOS 86 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 45 Exemplo 2 Calcular o exemplo 1 utilizando o modelo de cálculo II da NBR 6118 utilizando θ 40º EXEMPLOS 86 REFERÊNCIAS Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 46 ASSOCIAÇAO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento Rio de Janeiro 2014 BASTOS P S dos S Notas de aula da disciplina Estruturas de Concreto II Bauru Universidade Estadual Paulista 2017 CARVALHO R C FIGUEIREDO FILHO J R Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado 4 ed EDUFSCAR São Carlos 2016 PINHEIRO L M MUZARDO C D SANTOS S P Fundamentos do concreto e projeto de edifícios São Carlos Universidade de São Paulo 2007