Exercícios Resolvidos de Vibrações Mecânicas - Engenharia Mecânica

Eng Mecânica Vibrações Mecânicas Prof Marcelo Eurípedes Exercícios Resolvidos 01 EXERCÍCIOS 01 Se a extremidade do cabo em A é puxada para baixo com velocidade de 2ms determine a velocidade com que o bloco B sobe 02 Sabendose que o bloco B abaixo se move para cima com velocidade de 15 ms determine a velocidade do bloco A 03 O elevador E mostrado na figura parte do repouso e sobe com aceleração constante Se o contrapeso W se desloca 10m em 40s determinar a a aceleração do elevador b a aceleração do cabo C e c a velocidade do elevador depois de 6s Eng Mecânica Vibrações Mecânicas Prof Marcelo Eurípedes Exercícios Resolvidos 01 04 Os dois blocos mostrados na figura abaixo estão inicialmente em repouso Despreze as massas das polias e os atritos entre as diversas partes do sistema Obtenha a a aceleração de cada bloco e b a tensão no cabo Eng Mecânica Vibrações Mecânicas Prof Marcelo Eurípedes Exercícios Resolvidos 01 05 Uma mola AB é presa no suporte A e no cursor B O comprimento não deformado da mola é 𝑙 Sabendo que o cursor é solto do repouso em 𝑥 𝑥0 e que a aceleração é definida pela fórmula 𝑎 100 𝑥 𝑙𝑥 𝑙2𝑥2 determine a velocidade do cursor quando ela passa pelo ponto C Eng Mecânica Vibrações Mecânicas Prof Marcelo Eurípedes Exercícios Resolvidos 01 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 01 Nesse exercício é importante prestar atenção pois a corda que movimenta as polias D e C é diferente da corda que movimenta o bloco B Adotanto o sentido positivo para cima e usando a regra dada em sala de aula na primeira corda percebese que o ponto A está na tangente e a polia C tem corda dos dois lados assim 𝑣𝐴 2𝑣𝐶 0 2𝑣𝐶 𝑣𝐴 𝑣𝐶 1 𝑚𝑠 Usando novamente a regra na segunda corda percebese que ela sai do centro da polia C e está na tangente da polia que segura o bloco B já o bloco B está no centro assim 𝑣𝐶 2𝑣𝐵 0 2𝑣𝐵 𝑣𝐶 𝒗𝑩 𝟎 𝟓 𝒎𝒔 EXERCÍCIO 02 Da figura 𝑋𝐴 3𝑋𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐴 3𝑣𝐵 0 𝑣𝐴 3𝑣𝐵 3 15 45 𝑚𝑠 𝒗𝑨 𝟒 𝟓 𝒎 𝒔 Eng Mecânica Vibrações Mecânicas Prof Marcelo Eurípedes Exercícios Resolvidos 01 EXERCÍCIO 03 1º passo Adotar o referencial 2º Passo Analisar o problema É importante observar que existem dois cabos diferentes Como o comprimento do cabo que liga E a W é constante podese dizer que 𝑥𝐸 𝑥𝑊 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐸 𝑣𝑊 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐸 𝑣𝑊 1 𝑎𝐸 𝑎𝑊 2 a Do enunciado são conhecidos o deslocamento e o tempo gasto para o contrapeso assim podese aplicar a equação 𝑥 𝑥0 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑥 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑥 10 𝑚 dado no enunciado percebam que é positivo porque W se desloca no sentido positivo de x 𝑣0 0 parte do repuso T 40 s enunciado 𝑎 𝑎𝑊 estamos calculando a aceleração do contrapeso Assim 10 0 40 1 2 𝑎𝑊402 𝑎𝑊 00125 𝑚 𝑠2 00125 𝑚 𝑠2 b Do desenho 𝑥𝐶 𝑙1 𝑥𝐸 𝑙1 𝑙2 𝑥𝐸 𝑙2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥𝐶 2𝑥𝐸 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Eng Mecânica Vibrações Mecânicas Prof Marcelo Eurípedes Exercícios Resolvidos 01 𝑣𝐶 2𝑣𝐸 3 𝑎𝐶 2𝑎𝐸 4 𝑎𝐶 0025 𝑚 𝑠2 4 c Usase a equação da velocidade 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 0 𝑣𝐸 0 00125 6 𝒗𝑬 𝟎 𝟎𝟕𝟓 𝒎 𝒔 𝟎 𝟎𝟕𝟓 𝒎 𝒔 EXERCÍCIO 04 1 passo adotar o referencial os referenciais adotados estão mostrados na figura abaixo 2 passo diagrama de corpo livre nos corpos A e B Para simplificar podemos adotar dois referenciais um para o movimento de A e outro para o movimento de B Assim no bloco A evitase projetar as forças normal e tração o que poderia complicar o problema 3 passo Equações do movimento coordenadas cartesianas Para o corpo A em relação ao referencial 1 𝑇 𝑃𝐴𝑥 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑥 𝑇 890 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑥 Através de relações geométricas sei que 𝑃𝐴𝑥 𝑃𝐴 sin30 e 𝑃𝐴𝑦 𝑃𝐴 cos30 Assim 𝑇 𝑃𝐴𝑥 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑥 𝑇 890 sin30 890 981𝑎𝐴𝑥 𝑇 445 9072𝑎𝐴𝑥 1 Não é necessário fazer a equação do movimento para A no eixo y pois como não existem atritos não é necessário conhecer a normal Para o corpo B em relação ao referencial 2 2𝑇 𝑃𝐵 𝑚𝐵𝑎𝐵 2𝑇 1557 1557 981 𝑎𝐵 2𝑇 1557 15872𝑎𝐵 2 Eng Mecânica Vibrações Mecânicas Prof Marcelo Eurípedes Exercícios Resolvidos 01 4 passo equações da cinemática Até o momento temos duas equações e três incógnitas T aA e aB A terceira equação deve ser deduzida através da relação entre as acelerações dos blocos A e B Entretanto é preciso estar atento para o fato de que o referencial adotado para o corpo A e o referencial adotado são diferentes Assim devese projetar aAx no referencial 2 como mostrado abaixo Considerando a relação geométrica mostrada na figura acima podemos escrever 𝑎𝐴𝑦 𝑎𝐴𝑥𝑠𝑒𝑛30 𝑎𝐴𝑦 05𝑎𝐴𝑥 Como o quanto A sobe B desce 𝑎𝐵 𝑎𝐴𝑦 𝑎𝐵 05𝑎𝐴𝑥 3 Substituindo 3 em 2 temse 2𝑇 1557 1587205𝑎𝐴𝑥 2𝑇 1557 7936𝑎𝐴𝑥 4 Colocando as equações 1 e 4 lado a lado 𝑇 445 9072𝑎𝐴𝑥 2𝑇 1557 7936𝑎𝐴𝑥 Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda equação 2𝑇 890 2𝑇 1557 18144𝑎𝐴𝑥 7936𝑎𝐴𝑥 667 2608𝑎𝐴𝑥 𝒂𝑨𝒙 𝟐 𝟓𝟔𝒎𝒔𝟐 Substituindo o resultado acima em 4 temos 2𝑇 1557 7936 256 𝑻 𝟔𝟕𝟕𝑵 EXERCÍCIO 05 O referencial adotado é mostrado na figura referente ao enunciado do exercício Escrevendo a aceleração com função de 𝑥 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑎 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑣 Eng Mecânica Vibrações Mecânicas Prof Marcelo Eurípedes Exercícios Resolvidos 01 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 𝑎 𝑎𝑑𝑥 𝑣𝑑𝑣 1 Substituindo a equação do enunciado do exercício em 1 temos 100 𝑥 𝑙𝑥 2𝑙2 𝑥2 𝑑𝑥 𝑣𝑑𝑣 Integrando 𝑣𝑑𝑣 𝑣𝐶 𝑣0 100 𝑥 𝑙𝑥 𝑙2 𝑥2 𝑑𝑥 0 𝑥0 𝑣𝑑𝑣 𝑣𝐶 𝑣0 100 𝑥 𝑙𝑥 𝑙2 𝑥2 𝑑𝑥 0 𝑥0 𝑣𝐶 2 2 𝑣0 2 2 100 𝑥2 2 𝑙𝑙2 𝑥2 0 𝑥0 𝑣𝐶 2 2 0 100 𝑥0 2 2 𝑙2 𝑙𝑙2 𝑥0 2 𝑣𝐶 2 2 100 𝑥0 2 2𝑙2 2𝑙𝑙2 𝑥0 2 2 𝑣𝐶 2 2 100 𝑙2 𝑥0 2 𝑙2 2𝑙𝑙2 𝑥0 2 2 𝑣𝐶 2 2 100 𝑙2 𝑥0 2 𝑙2 2𝑙𝑙2 𝑥0 2 2 𝑣𝐶 2 2 100 2 𝑙2 𝑥0 2 𝑙2 2𝑙𝑙2 𝑥0 2 𝑣𝐶 2 100 𝑙2 𝑥0 2 𝑙 2 𝒗𝑪 𝟏𝟎 𝒍𝟐 𝒙𝟎 𝟐 𝒍