Revisao de cinematica e cinetica - conceitos fisicos e dinamica

REVISÃO DOS CONCEITOS FÍSICOS PROF MARCELO EURÍPEDES SEQUÊNCIA DO CURSO REVISÃO DE CINEMÁTICA E CINÉTICA Os conceitos físicos são a base da formulação das equações de vibrações Sistemas Vibratórios Equações Matemáticas e Comportamento Físico dos Sistemas Vibratórios Aplicações e Medição Onde usar ESTUDO DA DINÂMICA DE SISTEMAS MECÂNICOS Didaticamente o estudo da Dinâmica é divididos em duas áreas Cinemática consiste no estudo do movimento de um corpo sem se preocupar com as forças que atuam sobre o mesmo Dinâmica consiste no estudo do movimento de um corpo analisando as forças que atuam sobre o mesmo CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL Ԧ𝑥 5 𝑚 Lembrete Ponto Material corpo cujas dimensões não são importantes para a análise do movimento 𝑣𝑚 Ԧ𝑥 𝑡 Ԧ𝑥 2 𝑚 Ԧ𝑣 lim 𝑡0 Ԧ𝑥 𝑡 𝑑 Ԧ𝑥 𝑑𝑡 x posição do ponto material m vm velocidade média do ponto material ms v velocidade instantânea do ponto material ms t instante analisado s t intervalo de tempo s Não se esqueça são grandezas vetoriais CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL 𝑎𝑚 Ԧ𝑣 𝑡 Ԧ𝑎 lim 𝑡0 Ԧ𝑣 𝑡 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 v velocidade instantânea do ponto material ms v variação da velocidade do ponto material ms am aceleração média do ponto material ms2 a aceleração instantânea do ponto material ms2 Não se esqueça são grandezas vetoriais 𝑉 0 indica que o ponto material se movimenta no mesmo sentido do eixo coordenado 𝑉 0 indica que o ponto material se movimenta no mesmo sentido do contrário ao eixo coordenado Ԧ𝑎 𝑑2 Ԧ𝑥 𝑑𝑡2 CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL Apesar da velocidade e da aceleração serem grandezas vetoriais geralmente se trabalha com valores escalares Assim é atribuído um sinal à aceleração Porém é preciso tomar cuidado Nem sempre um valor positivo para a aceleração significa que o ponto material está acelerando e um valor negativo que o ponto material está desacelerando a 0 Na figura a esquerda o ponto material está acelerando na direita ele está desacelerando a 0 Na figura a esquerda o ponto material está desacelerando na direita ele está acelerando EXERCÍCIO 1 A posição de um ponto material que se desloca em linha reta é definida pela relação 𝑥 𝑡3 6𝑡2 15𝑡 40 onde x é expresso em metros e t em segundos e t 0 Determinar a O instante em que a velocidade será nula b A posição e a distância percorrida pelo ponto até esse instante c A aceleração do ponto nesse instante d A distância percorrida pelo ponto de 4s a 6s EXERCÍCIO 1 SOLUÇÃO As equações que determinam o movimento são 𝑥 𝑡3 6𝑡2 15𝑡 40 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 3𝑡2 12𝑡 15 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 6𝑡 12 As equações podem ser colocadas no Excel e os resultados obtidos a partir dos gráficos EXERCÍCIO 2 O mecanismo amortecimento usado para reduzir o recuo em certos tipos de armas consiste essencialmente em um pistão que está preso a um cano e pode moverse num cilindro fixo cheio de óleo Quando o cano recua com uma velocidade 𝑣0 o pistão movimentase e o óleo é forçado através de orifícios do pistão provocando uma desaceleração do pistão e do cano proporcional a sua velocidade isto é 𝑎 𝑘𝑣 Escreva a a velocidade em função do tempo b o deslocamento em função do tempo e c a velocidade em função do deslocamento Esboçar as correspondentes curvas do movimento EXERCÍCIO 2 RESOLUÇÃO Letra a 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑘𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑘𝑑𝑡 1 𝑣 𝑑𝑣 0 𝑡 𝑘𝑑𝑡 𝑣0 𝑣 𝑑𝑣 𝑣 𝑘 0 𝑡 𝑑𝑡 𝑣0 𝑣 𝑑𝑣 𝑣 𝑘𝑡 ln 𝑣 𝑣0 𝑣 𝑘𝑡 ln 𝑣 ln 𝑣0 𝑘𝑡 ln 𝑣 𝑣0 𝑣 𝑣0 𝑒𝑘𝑡 𝑣 𝑣0𝑒𝑘𝑡 Letra b 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑣0𝑒𝑘𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑣0𝑒𝑘𝑡dt 0 𝑥 𝑑𝑥 0 𝑡 𝑣0𝑒𝑘𝑡 0 𝑥 𝑑𝑥 𝑣0 0 𝑡 𝑒𝑘𝑡 𝑥 𝑣0 𝑘 𝑒𝑘𝑡 0 𝑡 𝑥 𝑣0 𝑘 𝑒𝑘𝑡 𝑒𝑘0 𝑥 𝑣0 𝑘 𝑒𝑘𝑡 1 𝑥 𝑣0 𝑘 1 𝑒𝑘𝑡 EXERCÍCIO 2 RESOLUÇÃO C velocidade em função do deslocamento 𝑣 𝑣0𝑒𝑘𝑡 𝑒𝑘𝑡 𝑣 𝑣0 𝑥 𝑣0 𝑘 1 𝑒𝑘𝑡 𝑥 𝑣0 𝑘 1 𝑣 𝑣0 𝑥𝑘 𝑣0 1 𝑣 𝑣0 𝑥𝑘 𝑣0 𝑣0𝑣 𝑣0 𝑥𝑘 𝑣0 𝑣 𝑣 𝑣0 𝑘𝑥 EXERCÍCIO 3 A posição de um ponto material que se desloca em linha reta é definida pela relação 𝑥 6𝑡2 𝑡3 onde x é expresso em metros e t em segundos e t 0 Determinar a O instante em que a velocidade será nula b A posição e a distância percorrida pelo ponto até esse instante c A aceleração do ponto nesse instante d A distância percorrida pelo ponto de 4s a 6s EXERCÍCIO 3 RESOLUÇÃO 𝑥 6𝑡2 𝑡3 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 12𝑡 3𝑡2 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 12 6𝑡 a O instante em que a velocidade será nula Resposta 4s b A posição e a distância percorrida pelo ponto até esse instante 𝒙 𝟑𝟐 𝒎 c A aceleração do ponto nesse instante Resposta 12 ms2 d A distância percorrida pelo ponto de 4s a 6s 𝒙 𝒙 𝒙𝟎 𝟎 𝟑𝟐 𝟑𝟐 𝒎 EXERCÍCIO 4 O movimento vertical da massa A é definido pela equação 𝑥 10 sin 2𝑡 15cos 2𝑡 100 onde x e t são expressos em milímetros e segundos respectivamente Determine a a posição a velocidade e a aceleração quando A 1s e b a máxima velocidade e aceleração de A EXERCÍCIO 4 RESOLUÇÃO 𝑥 10 sin 2𝑡 15 cos 2𝑡 100 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 10 2 cos 2𝑡 15 2 sin 2𝑡 𝑣 20 cos 2𝑡 30 sin 2𝑡 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 20 2 sin 2𝑡 30 2 cos 2𝑡 𝑎 40 sin 2𝑡 60 cos 2𝑡 a a posição a velocidade e a aceleração quando A 1s Resposta 𝒙 𝟏𝟎𝟐 𝟖𝟓 𝒎𝒎 𝒗 𝟑𝟓 𝟔 𝒎𝒎 𝒔 𝒂 𝟏𝟏 𝟒 𝒎𝒎 𝒔𝟐 b a máxima velocidade e aceleração de A 𝒗𝒎𝒂𝒙 𝟑𝟔 𝟎𝟑 𝒎𝒎 𝒔 𝒂𝒎𝒂𝒙 𝟕𝟐 𝟎𝟓 𝒎𝒎 𝒔𝟐 MOVIMENTOS DEPENDENTES Algumas vezes a posição de um ponto material depende da posição de outros pois os mesmos estão interconectados de alguma forma cabos correias barras etc Um exemplo é mostrado na figura ao lado pois as cordas tem comprimentos constantes Assim os movimentos dos blocos são dependentes MOVIMENTOS DEPENDENTES Os comprimentos das cordas que envolvem as polias CD e EF são constantes Além disso como mostra a figura abaixo o comprimento l também não muda Desse modo 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐹𝐺 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐴𝐶 𝑥𝐴 𝑙 𝐷𝐸 𝑥𝐵 2𝑙 𝐹𝐺 𝑥𝐵 𝑙 𝑥𝐴 𝑙 𝑥𝐵 2𝑙 𝑥𝐵 𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 MOVIMENTOS DEPENDENTES 𝑥𝐴 𝑙 𝑥𝐵 2𝑙 𝑥𝐵 𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥𝐴 2𝑥𝐵 4𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥𝐴 2𝑥𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 4𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥𝐴 2𝑥𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Da relação acima é possível inferir que se uma das coordenadas for definida o valor da outra fica automaticamente definido ou seja apenas uma das duas coordenadas poderá ser escolhida arbitrariamente Dizemos assim que o sistema tem apenas um grau de liberdade MOVIMENTOS DEPENDENTES Nota Grau de liberdade é o número de coordenadas independentes que definem o movimento de um corpo Da relação acima podese extrair 𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑡 2 𝑑𝑥𝐵 𝑑𝑡 𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑡 𝑣𝐴 2𝑣𝐵 0 𝑎𝐴 2𝑎𝐵 0 Notase que os sinais da velocidade e aceleração são opostos o que condiz com o fato de que quando a massa A sobe a massa B desce e viceversa EXERCÍCIO 5 Determine a relação entre as posições velocidades e acelerações dos pontos materiais da figura ao lado Quantos graus de liberdade tem o sistema EXERCÍCIO 5 RESOLUÇÃO 𝐷𝐸 𝐹𝐺 𝐻𝐼 𝐽𝐾 𝐿𝑀 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥𝐴 𝑙 𝑥𝐴 2𝑙 𝑥𝐵 2𝑙 𝑥𝐵 2𝑙 𝑥𝐶 𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2𝑥𝐴 8𝑙 2𝑥𝐵 𝑥𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2𝑥𝐴 2𝑥𝐵 𝑥𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 8𝑙 2𝑥𝐴 2𝑥𝐵 𝑥𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑡1 2𝑥𝐴1 2𝑥𝐵1 𝑥𝐶1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑡2 2𝑥𝐴2 2𝑥𝐵2 𝑥𝐶2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2𝑥𝐴2 2𝑥𝐴1 2𝑥𝐵2 2𝑥𝐵1 𝑥𝐶2 𝑥𝐶1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 D E F G H I J K L M l l EXERCÍCIO 5 RESOLUÇÃO 2𝑥𝐴2 2𝑥𝐴1 2𝑥𝐵2 2𝑥𝐵1 𝑥𝐶2 𝑥𝐶1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 𝑥𝐴2 𝑥𝐴1 2𝑥𝐵2𝑥𝐵1 𝑥𝐶2 𝑥𝐶1 0 2𝑥𝐴 2𝑥𝐵 𝑥𝐶 0 𝑑 2𝑥𝐴 𝑑𝑡 𝑑 2𝑥𝐵 𝑑𝑡 𝑑 𝑥𝐶 𝑑𝑡 𝑑0 𝑑𝑡 2 𝑑 𝑥𝐴 𝑑𝑡 2 𝑑 𝑥𝐵 𝑑𝑡 𝑑 𝑥𝐶 𝑑𝑡 𝑑0 𝑑𝑡 2𝑣𝐴 2𝑣𝐵 𝑣𝐶 0 2𝑎𝐴 2𝑎𝐵 𝑎𝐶 0 D E F G H I J K L M l l EXERCÍCIO 6 O elevador mostrado na figura ao lado move para baixo com uma velocidade constate de 4 ms Determine a a velocidade do ponto C b A velocidade do contrapeso W EXERCÍCIO 6 RESOLUÇÃO O elevador mostrado na figura ao lado move para baixo com uma velocidade constate de 4 ms Determine a a velocidade do ponto Ct 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡1 𝑦𝑐1 2𝑦𝐸1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡2 𝑦𝑐2 2𝑦𝐸2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 Subtraindo 2 de 1 𝑦𝑐22𝑦𝐸2 𝑦𝑐1 2𝑦𝐸1 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦𝑐2 𝑦𝐶1 2𝑦𝐸2 2𝑦𝐸1 0 𝑦𝑐2 𝑦𝐶1 2 𝑦𝐸2 𝑦𝐸1 0 𝑦𝐶 2𝑦𝐸 0 𝑦𝐶 𝑡 2 𝑦𝐸 𝑡 0 𝑡 𝑣𝐶 2𝑣𝐸 0 𝑣𝐶 2𝑣𝐸 𝑣𝐶 2 4 8 𝑚𝑠 yC yE EXERCÍCIO 6 RESOLUÇÃO b A velocidade do contrapeso W 𝑦𝐸 𝑦𝑊 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐸 𝑣𝑊 0 𝑣𝐸 𝑣𝑊 4 𝑚𝑠 yC yE EXERCÍCIO 7 O elevador mostrado parte do repouso e move para cima com aceleração constante Se o contrapeso W move 9 metros em 5 segundos determine a a aceleração do elevador e do cabo C b a velocidade do elevador após 5 s EXERCÍCIO 7 RESOLUÇÃO O elevador mostrado parte do repouso e move para cima com aceleração constante Se o contrapeso W move 9 metros em 5 segundos determine a a aceleração do elevador e do cabo C Do exercício 5 temos que 𝑣𝐸 𝑣𝑊 𝑎𝐸 𝑎𝑊 Do enunciado do exercício a aceleração é constante assim o movimento é retilíneo uniformemente variado Desse modo 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑦 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑦 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 9 0 5 1 2 𝑎𝑊 52 9 125𝑎𝑊 yE yC yW EXERCÍCIO 7 RESOLUÇÃO 𝑎𝑊 9 125 𝑎𝑊 072 𝑚𝑠2 𝑎𝐸 𝑎𝑊 𝑎𝐸 072 𝑎𝐸 072 𝑚𝑠2 Do exercício 5 𝑣𝐶 2𝑣𝐸 𝑎𝐶 2𝑎𝐸 𝑎𝐶 2 072 𝑎𝐶 2 072 𝑎𝐶 144 𝑚𝑠2 b a velocidade do elevador após 5 s 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 𝑣𝐸 𝑣𝐸0 𝑎𝐸𝑡 𝑣𝐸 0 072 5 𝑣𝐸 36 𝑚𝑠 yE yC