Segunda Lei de Newton: Conceitos e Aplicações - Resumo Completo

SEGUNDA LEI DE NEWTON Prof Marcelo Eurípedes SEGUNDA LEI DE NEWTON A base da mecânica clássica consiste no estudo das três leis de Newton que são 1ª Lei inércia um ponto material permanecerá em repouso ou movimento retilíneo uniforme caso nenhuma força atue sobre ele 2ª Lei um ponto material submetido a uma força não nula adquire uma aceleração com módulo proporcional ao módulo da força e na mesma direção e sentido desta 3ª Lei a toda ação corresponde uma reação de mesmo módulo mesma direção e sentidos opostos SEGUNDA LEI DE NEWTON A primeira e a terceira leis são mais aplicadas em estática ou em dinâmica quando estudamos os movimentos dos corpos que não tem aceleração A segunda lei é mais aplicável no estudo de dinâmica que é o objetivo dessa disciplina A segunda Lei de Newton pode ser representada através da equação Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 Onde Ԧ𝐹 representa a força atuante no ponto material 𝑚 é a massa e Ԧ𝑎 é a aceleração SEGUNDA LEI DE NEWTON Os módulos de Ԧ𝐹 e Ԧ𝑎 são proporcionais sendo 𝑚 a relação de proporcionalidade Também a força e a aceleração tem mesma direção e sentido Se o corpo está sujeito a várias forças temos σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 Onde σ Ԧ𝐹 representa a soma ou resultante de todas as forças que atuam sobre o ponto material SEGUNDA LEI DE NEWTON É importante notar também que a força e aceleração devem ser referenciadas em relação a um referencial inercial ou Newtoniano ou seja que esteja em repouso ou em translação uniforme Assim dependendo do problema considerado a terra não pode ser usada como um referencial Newtoniano Entretanto para muitos problemas de mecânica onde a análise é feita em uma escala bem reduzida em relação às dimensões da terra ela é usada como referencial inercial A equação da segunda lei de Newton é denominada de equação do movimento e pode ser aplicada para cada ponto material quando se analisa um conjunto de pontos materiais SEGUNDA LEI DE NEWTON Outro ponto importante referese a massa Ela é uma propriedade da matéria ou seja permanece constante em qualquer posição do planeta em que o ponto material se encontre Já o peso varia conforme a posição no globo terrestre e por isso não pode ser considerado uma propriedade Essa variação do peso se deve à variação da gravidade ao longo do globo SEGUNDA LEI DE NEWTON Do mesmo modo que foi feito para as velocidades e acelerações a equação do movimento também pode ser dividida em suas componentes cartesianas analisandose cada direção de forma independente Assim σ 𝐹𝑋 𝑚𝑎𝑋 σ 𝐹𝑦 𝑚𝑎𝑦 σ 𝐹𝑧 𝑚𝑎𝑧 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE Para análise de problemas de cinética é interessante seguir os seguintes passos 1 Selecione um referencial inercial 2 Desenhe o diagrama de corpo livre que representa todas as forças atuantes no ponto material Não esquecer a força da gravidade e a força de atrito quando aplicáveis 3 Escreva as equações do movimento 4 Use as equações da cinemática quando o problema pedir EXERCÍCIO 8 Abandonase a partir do repouso o bloco A de 100 kg mostrado na figura ao lado Desprezando o peso das polias e dos cabos determine a velocidade do bloco B de 20kg após 2 segundos Considere também que não há atrito entre polias e cabos EXERCÍCIO 8 RESOLUÇÃO 1 passo Adotar um referencial Mostrado na figura 2 passo Diagramas de corpo livre 3 passo Equações do Movimento Para escrever as equações do movimento adotase um sentido para o movimento No caso como o bloco A é o mais pesado podemos dizer que ele está descendo EXERCÍCIO 8 RESOLUÇÃO Bloco A σ 𝐹𝐴 𝑚𝐴𝑎𝐴 𝑃𝐴 2𝑇 𝑚𝐴𝑎𝐴 100 98 2𝑇 100𝑎𝐴 980 2𝑇 100𝑎𝐴 1 Bloco B σ 𝐹𝐵 𝑚𝐵𝑎𝐵 𝑇 𝑃𝐵 𝑚𝐵𝑎𝐵 𝑇 20 98 20𝑎𝐵 𝑇 196 20𝑎𝐵 𝑇 20𝑎𝐵 196 2 Substituindo 2 em 1 980 2 20𝑎𝐵 196 100𝑎𝐴 588 40𝑎𝐵 100𝑎𝐴 EXERCÍCIO 8 RESOLUÇÃO 100𝑎𝐴 40𝑎𝐵 588 3 4 passo Equações da cinemática 2𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2𝑣𝐴 𝑣𝐵 0 2𝑎𝐴 𝑎𝐵 0 𝑎𝐴 𝑎𝐵 2 4 Substituindo 4 em 3 100 𝑎𝐵 2 40𝑎𝐵 588 90𝑎𝐵 588 𝑎𝐵 653 𝑚𝑠2 O sinal negativo indica que a aceleração de B está apontada para cima 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 𝑣𝐵 0 653 2 𝑣𝐵 1306 𝑚𝑠 O bloco B está subindo EXERCÍCIO 9 Os coeficientes de fricção entre os blocos A e C e a superfície horizontal são s024 e c020 Sabendo que a massa de A é 5kg a massa de B é 10kg e a massa de C é 10kg determine a a tensão na corda b a aceleração de cada bloco EXERCÍCIO 9 RESOLUÇÃO 1 Referencial Mostrado na figura 2 Diagrama de Corpo Livre para os Blocos EXERCÍCIO 9 RESOLUÇÃO 3 Equações do movimento Testando a condição de equilíbrio estático 2𝑇 𝑃𝐵 2𝑇 10 98 2𝑇 98 𝑇 49 𝑁 𝐹𝑎𝑡𝐴 𝜇𝑠𝑁𝐴 024 5 98 𝐹𝑎𝑡𝐴 1176 𝑁 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝐹𝑎𝑡𝐴 𝑇 𝐹𝑎𝑡𝐶 𝜇𝑠𝑁𝐶 024 10 98 𝐹𝑎𝑡𝐶 12352 𝑁 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝐹𝑎𝑡𝐶 𝑇 Ou seja as forças de atrito estático equilibram a tração Desse modo o sistema se movimenta EXERCÍCIO 9 RESOLUÇÃO 𝑇 𝐹𝑎𝑡𝐴 𝑚𝐴𝑎𝐴 𝑇 020 5 98 5𝑎𝐴 𝑇 98 5𝑎𝐴 𝑎𝐴 02𝑇 196 1 2𝑇 𝑃𝐵 𝑚𝐵𝑎𝐵 2𝑇 10 98 10𝑎𝐵 2𝑇 98 10𝑎𝐵 𝑎𝐵 02𝑇 98 2 𝐹𝑎𝑡𝐶 𝑇 𝑚𝐶𝑎𝐶 020 10 98 𝑇 10𝑎𝐶 196 𝑇 10𝑎𝐶 𝑎𝐶 01𝑇 196 3 EXERCÍCIO 9 RESOLUÇÃO 4 Equações da cinemática Considerando o referencial adotado e o comprimento da corda constante temos 𝑙1 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝑙3 𝑦𝐵 𝑙3 ሺ ሻ 𝑥𝐶 𝑙2 0 𝑥𝐴 2𝑦𝐵 𝑥𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Derivando duas vezes 𝑎𝐴 2𝑎𝐵𝑎𝐶 0 4 EXERCÍCIO 9 RESOLUÇÃO Substituindo 1 2 e 3 na equação 4 02𝑇 196 2 02𝑇 98 01𝑇 196 0 02𝑇 196 04𝑇 196 01𝑇 196 0 07𝑇 2352 0 07𝑇 2352 𝑇 336 𝑁 Voltando nas equações 1 2 e 3 𝑎𝐴 02 336 196 𝑎𝐴 476 𝑚𝑠2 𝑎𝐵 02 336 98 𝑎𝐵 308 𝑚𝑠2 𝑎𝐶 01 336 196 𝑎𝐶 14 𝑚𝑠2 𝑎𝐴 02𝑇 196 1 𝑎𝐵 02𝑇 98 2 𝑎𝐶 01𝑇 196 3 𝑎𝐴 2𝑎𝐵𝑎𝐶 0 4 EXERCÍCIO 10 O eixo CA de 2 kg passa através de um mancal radial liso em B Inicialmente as molas que estão montadas justas no eixo não estão deformadas quando não há forças aplicadas a ele Na posição mostrada na figura onde 𝑠 𝑠 250 𝑚𝑚 o eixo está inicialmente em repouso Se uma força horizontal 𝐹 5 𝑘𝑁 é aplicada como mostrado na figura determine a velocidade do eixo no instante em que 𝑠 50 𝑚𝑚 𝑒 𝑠 450 𝑚𝑚 As extremidades da mola estão presas no mancal em B e nas extremidades A e C do eixo EXERCÍCIO 10 RESOLUÇÃO 1 Escolher um referencial o próprio exercício adota o mancal B estacionário como sendo uma referência para medição das posições dos colares C e A Adotase o sentido positivo para a esquerda 2 Diagrama de corpo livre mostrado na figura ao lado 3 Escrever as equações do movimento 𝐹 𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐶𝐵 𝑚𝑎 A força de uma mola é 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 𝐾𝑚𝑜𝑙𝑎𝑥𝑚𝑜𝑙𝑎 onde 𝐾𝑚𝑜𝑙𝑎 é a constante de rigidez de uma mola Nm 𝑥𝑚𝑜𝑙𝑎 é a deformação da mola medida a partir da posição não deformada A C F 5 kN FAB FCB Quando a força é aplicada C se movimenta da direita para a esquerda E a mola se deforma de x A posição final de C é igual a soma de x com s Ou seja x está sendo medido a partir de um referencial estacionário O mesmo é válido para o lado AB 𝑥 C 𝑥 𝑠 EXERCÍCIO 10 RESOLUÇÃO 𝐹 𝐾𝐴𝐵𝑥 𝐾𝐶𝐵𝑥 𝑚𝑎 1 A C F 5 kN FAB FCB 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑎 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 𝑎 𝑎𝑑𝑥 𝑣𝑑𝑣 𝑎 𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑥 2 4 Equações da cinemática 𝑥 C 𝑥 𝑠 𝑥 𝑥0 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑥 𝑥0 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑥 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑡2 EXERCÍCIO 10 RESOLUÇÃO Substituindo 2 em 1 𝐹 𝐾𝐴𝐵𝑥 𝐾𝐶𝐵𝑥 𝑚 𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝐹 𝐾𝐴𝐵𝑥 𝐾𝐶𝐵𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑣𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑣 𝐹𝐾𝐴𝐵𝑥𝐾𝐶𝐵𝑥 𝑚 𝑑𝑥 Integrando os dois lados da equação 𝑣0 𝑣 𝑣𝑑𝑣 𝑥0 𝑥 𝐹𝐾𝐴𝐵𝑥𝐾𝐶𝐵𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑣0 𝑣 𝑣𝑑𝑣 1 𝑚 𝑥0 𝑥 𝐹 𝐾𝐴𝐵𝑥 𝐾𝐶𝐵𝑥 𝑑𝑥 A C F 5 kN FAB FCB 𝑥 C 𝑥 𝑠 EXERCÍCIO 10 RESOLUÇÃO 𝑣0 𝑣 𝑣𝑑𝑣 1 𝑚 𝑥0 𝑥 𝐹 𝐾𝐴𝐵𝑥 𝐾𝐶𝐵𝑥 𝑑𝑥 𝑣0 𝑣 𝑣𝑑𝑣 1 𝑚 𝑥0 𝑥 𝐹𝑑𝑥 𝐾𝐴𝐵𝑥𝑑𝑥 𝐾𝐶𝐵𝑥𝑑𝑥 𝑣0 𝑣 𝑣𝑑𝑣 1 𝑚 𝑥0 𝑥 𝐹𝑑𝑥 𝑥0 𝑥 𝐾𝐴𝐵𝑥𝑑𝑥 𝑥0 𝑥 𝐾𝐶𝐵𝑥𝑑𝑥 ቚ 𝑣2 2 𝑣 𝑣0 1 𝑚 𝐹 ȁ 𝑥 𝑥 𝑥0 𝐾𝐴𝐵 ቚ 𝑥2 2 𝑥 𝑥0 𝐾𝐶𝐵 ቚ 𝑥2 2 𝑥 𝑥0 𝑣2 2 𝑣02 2 1 𝑚 𝐹 𝑥 𝑥0 𝐾𝐴𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝐾𝐶𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 A C F 5 kN FAB FCB 𝑥 C 𝑥 𝑠 EXERCÍCIO 10 RESOLUÇÃO 𝑣2 2 𝑣02 2 1 𝑚 𝐹 𝑥 𝑥0 𝐾𝐴𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝐾𝐶𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝑚 𝑣2 2 𝑚 𝑣02 2 𝐹 𝑥 𝑥0 𝐾𝐴𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝐾𝐶𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝑚𝑣2 2 𝑚𝑣02 2 𝐹𝑥 𝐹𝑥0 𝐾𝐴𝐵𝑥2 2 𝐾𝐴𝐵𝑥02 2 𝐾𝐶𝐵𝑥2 2 𝐾𝐶𝐵𝑥02 2 Antes de substituir os valores é importante notar que da forma que eu adotei o referencial a posição do colar C em qualquer instante é igual a 𝑥𝑠 Na posição inicial 𝑥0 𝑠 250 𝑥0 250 250 𝑥0 0 Na posição final x 𝑠 450 𝑥 250 450 𝑥 450 250 𝑥 200 𝑚𝑚 A C F 5 kN FAB FCB 𝑥 C 𝑥 𝑠 EXERCÍCIO 10 RESOLUÇÃO 𝑣2 2 𝑣02 2 1 𝑚 𝐹 𝑥 𝑥0 𝐾𝐴𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝐾𝐶𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝑚 𝑣2 2 𝑚 𝑣02 2 𝐹 𝑥 𝑥0 𝐾𝐴𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝐾𝐶𝐵 𝑥2 2 𝑥02 2 𝑚𝑣2 2 𝑚𝑣02 2 𝐹𝑥 𝐹𝑥0 𝐾𝐴𝐵𝑥2 2 𝐾𝐴𝐵𝑥02 2 𝐾𝐶𝐵𝑥2 2 𝐾𝐶𝐵𝑥02 2 2𝑣2 2 202 2 5000 02 5000 0 2000022 2 200002 2 3000022 2 300002 2 𝑣2 0 1000 0 40 0 60 0 𝑣2 900 𝑣 900 𝑣 30 𝑚𝑠 A C F 5 kN FAB FCB 𝑥 C 𝑥 𝑠