Vibrações Mecânicas em Sistemas de 1 GDL - Guia Completo

VIBRAÇÕES MECÂNICAS SISTEMAS COM 1 GDL Prof Marcelo Eurípedes PORQUE OCORREM AS VIBRAÇÕES MECÂNICAS Nas aulas anteriores quando se analisou os movimentos dependentes fezse a suposição que os pontos materiais eram ligados por exemplo por cabos inextensíveis ou seja que não se deformavam Contudo na prática os materiais submetidos a ação de forças sofrem deformações que dependendo do movimento analisado são desprezadas As vibrações mecânicas acontecem justamente por conta dessas deformações Quanto mais deformável maior a flexibilidade e portanto maiores serão as vibrações Mas vamos aprender um pouco mais SISTEMA 1 GDL O sistema vibratório mais simples possível pode ser representado por uma massa ligada a uma mola como mostra a figura abaixo Esse sistema tem um Grau De Liberdade 1 GDL ou seja é necessária apenas uma coordenada para descrever o seu movimento O número de Graus De Liberdades GDL representa a quantidade de coordenadas independentes necessárias para descrever o movimento de um ponto material ou de um sistema de pontos materiais Um corpo livre no espaço tem 6 GDL dos quais 3 são de translação e 3 de rotação No sistema da figura ao lado ao se soltar a mola ela irá deslocar de uma quantidade até atingir o equilíbrio estático Nessa posição a força da mola irá equilibrar o peso da massa m GRAUS DE LIBERDADE GDL X Y Rotação em Z X Z Rotação em Y SISTEMA 1 GDL Se a massa for puxada até uma posição x qualquer a força da mola será superior à força peso e assim quando solto o sistema começara a oscilar Essa oscilação é denominada de vibração livre pois nenhuma força externa está atuando sobre o sistema massamola SISTEMA 1 GDL Considerando como positiva a direção para baixo e ainda Ԧ𝑎 ሷ𝑥 temos 𝑃 𝐾 𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑃 𝐾 𝐾𝑥 𝑚 ሷ𝑥 Do equilíbrio estático temos 𝑃 𝐾 Assim 𝐾 𝐾 𝐾𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝐾𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝒎 ሷ𝒙 𝑲𝒙 𝟎 Para estudar essa vibração livre podese aplicar a 2ª Lei de Newton para o diagrama de corpo livre mais a direita da figura 1 escrevendo assim a equação de movimento σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 𝐾𝑥 𝑥 da equação é o quanto a mola se deformou 𝑥 SISTEMA 1 GDL É importante observar que na equação do slide anterior a escolha de se medir o deslocamento x a partir da posição de equilíbrio estático e não a de mola relaxada eliminouse o efeito do peso o que é conveniente pois conforme dito na revisão de dinâmica o peso não é uma propriedade física do material Assim a equação do slide anterior mostra que o movimento oscilatório de um corpo em vibração livre depende apenas das propriedades físicas do corpo e portanto é inerente ao mesmo não dependendo de nenhum fator externo Além disso como não foi considerando nenhum amortecimento o sistema é conservativo assim a oscilação não iria acabar nunca isso teoricamente claro SISTEMAS 1 GDL 𝑚 ሷ𝑥 𝐾𝑥 0 Dividindo ambos os termos da equação por 𝑚 temos 𝑚 ሷ𝑥 𝑚 𝐾𝑥 𝑚 0 𝑚 ሷ𝑥 𝐾 𝑚 𝑥 0 Posso denominar 𝜔𝑛2 𝐾 𝑚 ሷ𝑥 𝜔𝑛2𝑥 0 SISTEMAS 1GDL Dos princípios do cálculo diferencial a solução para a equação acima é 𝒙 𝒕 𝑨𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝒕 𝑩𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒏𝒕 Gráfico gerado no Excel arquivo Graficos1gdlgeralxlsx SISTEMAS 1GDL O movimento de vibração é movimento periódico ou seja é um movimento que se repete com o tempo Sensitivity Internal Movimento Oscilatório M 0 05 10 05 10 F M 0 05 10 05 10 M 0 05 10 05 10 Posição de equilíbrio Imagine uma massa M atrelada a uma mola na posição de equilíbrio ou seja na posição na qual a mola está relaxada Puxase essa massa com uma determinada força F até a posição 10 e soltase a massa Ela começa a descrever um movimento de vai e vem ou seja um movimento oscilatório Sensitivity Internal 05 10 05 10 Y X P M 0 05 10 05 10 X Posição de equilíbrio Tempo Posição X Massa M Posição X Ponto P 0 10 10 t1 075 075 t2 05 05 t3 025 025 t4 00 00 t5 025 025 t6 05 05 t7 075 075 t8 10 10 t9 075 075 t10 05 05 t11 025 025 t12 0 0 t13 025 025 t14 05 05 t15 075 075 t16 10 10 w O movimento oscilatório da massa M em torno de sua posição de equilíbrio é matematicamente equivalente ao movimento de rotação de um ponto P em um círculo Sensitivity Internal Tempo Posição X Massa M Posição X Ponto P 0 10 10 t1 075 075 t2 05 05 t3 025 025 t4 00 00 t5 025 025 t6 05 05 t7 075 075 t8 10 10 t9 075 075 t10 05 05 t11 025 025 t12 0 0 t13 025 025 t14 05 05 t15 075 075 t16 10 10 Y X P w q O x Triângulo OPB OB x Rcos q Assim x Bcos wt R O raio R do círculo corresponde à máxima amplitude de movimento da massa M Podemos denominar a amplitude de B Ou seja R B E ainda q wt B Suponha que a volta completa seja feita em um tempo T T 2p q t q 2ptT w 2pT q wt Sensitivity Internal Y X P w q O x R 15 1 05 0 05 1 15 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 Amplitude tempo s Simulação no Excel Sensitivity Internal Considerações O deslocamento de um corpo devido às vibrações mecânicas pode ser representado graficamente por ondas As ondas tem dois parâmetros característicos Período Intervalo de tempo no qual cada ciclo se repete Imagine a massa indo e voltando para a mesma posição Amplitude valor máximo do deslocamento Sensitivity Internal Parâmetros de uma onda Observando o comportamento do gráfico de onda podemos definir outro parâmetro denominado frequência que determina quantas vezes o corpo oscila em 1 segundo A frequência é dada por No SI a frequência é medida em Hz 𝑓 1 𝑇 Sensitivity Internal Frequência da onda Voltando a nossa massa oscilatória isso significa que quando a frequência é 1 Hz a massa sai da posição 10 e volta à posição 10 em 10 segundo Se a frequência é de 10 Hz a massa vai e volta 10 vezes à posição 10 em 10 segundo Vamos comprovar Basta fazer o gráfico da onda para as duas frequências e comparar o resultado Ver próximo slide Sensitivity Internal Comparação entre duas ondas com F 1 Hz e F 10 Hz Sensitivity Internal Vibrações livres 01 GDL 𝑚 ሷ𝑥 𝐾𝑥 0 Cuja solução é 𝑥 𝑡 𝐴 sin 𝜔𝑛𝑡 Bcos 𝜔𝑛𝑡 Onde 𝜔𝑛2 𝐾 𝑚 e também 𝜔𝑛 2𝜋𝑓 𝑓 1 𝑇 VIBRAÇÕES LIVRES 01 GDL 𝑥 𝑡 𝐴 sin 𝜔𝑛𝑡 Bcos 𝜔𝑛𝑡 Para 𝑡 0 𝑥0 Digite a equação aqui 𝑥 0 𝐴 sin 𝜔𝑛 0 Bcos 𝜔𝑛 0 𝑥0 0 𝐵 1 𝐵 𝑥0 Derivando a equação de 𝑥𝑡 em relação ao tempo ሶ𝑥 𝑡 𝐴𝜔𝑛 cos 𝜔𝑛𝑡 𝐵𝜔𝑛 sin 𝜔𝑛𝑡 VIBRAÇÕES LIVRES 01 GDL ሶ𝑥 𝑡 𝐴𝜔𝑛 cos 𝜔𝑛𝑡 𝐵𝜔𝑛 sin 𝜔𝑛𝑡 Para 𝑡 0 ሶ𝑥 0 𝑣0 ሶ𝑥 0 𝐴𝜔𝑛 cos 𝜔𝑛 0 𝐵𝜔𝑛 sin 𝜔𝑛𝑡 0 𝑣0 𝐴𝜔𝑛 1 0 𝐴 𝑣0 𝜔𝑛 Voltando na equação de deslocamento e substituindo os valores de A e B 𝑥 𝑡 𝑣0 𝜔𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝑥0𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL Inserindo agora um amortecedor no sistema lembrando que a força de amortecimento viscoso é 𝐹𝑑 𝐶 ሶ𝑥 𝐾 𝑥 𝐶 ሶ𝑥 𝑃 𝐹 𝑡 𝑚 ሷ𝑥 𝐾𝑥 𝐾 𝐶 ሶ𝑥 𝑃 𝐹 𝑡 𝑚 ሷ𝑥 𝒎 ሷ𝒙 𝑪 ሶ𝒙 𝑲𝒙 𝑭 𝒕 Se 𝐹 𝑡 0 as vibrações são livres e a equação fica 𝒎 ሷ𝒙 𝑪 ሶ𝒙 𝑲𝒙 𝟎 VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL A teoria de cálculo nos dá uma solução da seguinte forma 𝑥 𝑡 𝑒𝑠𝑡 Calculando a primeira e segunda derivadas da solução temos ሶ𝑥 𝑡 𝑠𝑒𝑠𝑡 ሷ𝑥 𝑡 𝑠2𝑒𝑠𝑡 Substituindo os valores acima na equação diferencial temos m𝑠2𝑒𝑠𝑡 C𝑠𝑒𝑠𝑡 K𝑒𝑠𝑡 0 m𝑠2 C𝑠 K𝑒𝑠𝑡 0 VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL A solução não trivial é dada quando m𝑠2 C𝑠 K 0 𝒔𝟐 𝐂 𝐦 𝒔 𝐊 𝐦 𝟎 A equação acima é conhecida como equação característica Sua solução pode ser encontrada pela fórmula de Bhaskara e é dada como sendo 𝑠12 𝐶 2𝑚 𝐶 2𝑚 2 𝐾 𝑚 VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL Desse modo a equação geral é dada por 𝑥𝑡 𝐴𝑒𝑠1𝑡 𝐵𝑒𝑠2𝑡 Onde A e B são constantes determinadas a partir das condições iniciais x0 e v0 Substituindo 𝑠1 e 𝑠2 na equação acima temos 𝒙 𝒕 𝒆 𝒄 𝟐𝒎 𝒕 𝑨𝒆 𝒄 𝟐𝒎 𝟐𝑲 𝒎𝒕 𝑩𝒆 𝒄 𝟐𝒎 𝟐𝑲 𝒎𝒕 O termo 𝑒 𝑐 2𝑚 𝑡 é exponencialmente decrescente ou seja isso significa que para o sistema amortecido como era de se esperar a oscilação é decrescente com o tempo VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL A raiz quadrada 𝑐 2𝑚 2 𝐾 𝑚 envolve a subtração entre dois termos Assim duas situações são possíveis Elas são descritas a seguir Se 𝑐 2𝑚 2 𝐾 𝑚 os expoentes são números reais assim não há oscilação Nesse caso o sistema é denominado de superamortecido Se 𝑐 2𝑚 2 𝐾 𝑚 os expoentes são números imaginários Desse modo o radical pode ser rescrito da seguinte forma 𝑖 𝐾 𝑚 𝑐 2𝑚 2 𝑡 Nota 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 1 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL Utilizando a fórmula de Euler temse 𝒆 𝒊 𝑲 𝒎 𝒄 𝟐𝒎 𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝑲 𝒎 𝒄 𝟐𝒎 𝟐 𝒕 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝑲 𝒎 𝒄 𝟐𝒎 𝟐 𝒕 A partir da equação acima podese concluir que o termo dentro do parêntesis da equação 416 é oscilatório se 𝑐 2𝑚 2 𝐾 𝑚 Assim o sistema é chamado de subamortecido VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL Se 𝑐 2𝑚 2 𝐾 𝑚 o radical se reduz a zero e assim o sistema é definido como sendo amortecido criticamente O amortecimento crítico é denominado de Cc podemos escrever a equação do mesmo da seguinte forma 𝐶𝑐 2𝑚 2 𝐾 𝑚 Mas sabemos que 𝐾 𝑚 𝜔𝑛2 Assim 𝐶𝑐 2𝑚 2 𝜔𝑛2 𝐶𝑐2 2𝑚 2𝜔𝑛2 𝑪𝒄 𝟐𝒎𝝎𝒏 𝟐 𝑲𝒎 VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL Como foi visto acima um sistema amortecido pode se comportar de diversas formas Desse modo para simplificar e padronizar a análise foi definido um fator não dimensional denominado de fator de amortecimento conforme a equação abaixo 𝑪 𝑪𝒄 As raízes da equação podem ser agora escritas em termos do fator de amortecimento da seguinte forma 𝒔𝟏𝟐 𝟐 𝟏 𝝎𝒏 VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL Se 1 o sistema é subamortecido e a excitação das vibrações irá resultar em uma onda que diminui de amplitude com o tempo 𝒙𝒕 𝒆𝒘𝒏𝒕 𝒗𝟎𝒘𝒏𝒙𝟎 𝒘𝒏 𝟏𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝟐𝝎𝒏𝒕 𝒙𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐𝝎𝒏𝒕 Analisando a equação acima é possível concluir que o sistema oscila em uma frequência um pouco diferente da frequência natural Essa frequência é denominada de frequência natural amortecida e é dada pela equação 𝝎𝒅 𝟏 𝟐𝝎𝒏 𝟐𝝅 𝑻𝒅 VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 01 GDL Amplitude tempo s Xeζωn t Sensitivity Internal Sistema sem amortecimento X amortecido Sensitivity Internal Vibrações livres amortecidas 01 GDL Para 𝐹 𝑡 0 ou seja vibrações livres 𝑥𝑡 𝑒𝑤𝑛𝑡 𝑣0 𝑤𝑛𝑥0 𝑤𝑛 1 2 𝑠𝑒𝑛 1 2𝜔𝑛𝑡 𝑥0𝑐𝑜𝑠 1 2𝜔𝑛𝑡 Sistema Subamortecido 𝜁 1 Sistema Superamortecido 𝜁 1 Sistema amortecido criticamente 𝜁 1 𝑚 ሷ𝑥 𝐶 ሶ𝑥 𝐾𝑥 𝐹 𝑡 Sensitivity Internal Vibrações livres amortecidas 01 GDL Sensitivity Internal Decremento logarítmico Sensitivity Internal Amortecimento de Coulomb Nesse caso o decaimento é linear e não exponencial Sensitivity Internal Vibrações forçadas amortecidas 01 GDL Amplitude nãodimensional de vibração 0 10 20 30 40 50 60 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 22 wwn X1K1Fo 001 0027 004 𝑚 ሷ𝑥 𝐶 ሶ𝑥 𝐾𝑥 𝐹 𝑡 𝐹 𝑡 𝐴 sin 𝜔𝑡 Sensitivity Internal Vibrações forçadas 1GDL 𝑿𝑲 𝑭𝟎 𝟏 𝟏 𝝎 𝝎𝒏 𝟐 𝟐 𝟐 𝝎 𝝎𝒏 𝟐 Sensitivity Internal E em estruturas reais complexas As estruturas reais são compostas por materiais tais como aço ferro fundido alumínio etc Devemos nos lembrar que os materiais metálicos tem uma região elástica dentro da qual o material volta ao seu estado normal depois de deformado conforme mostra o gráfico ao lado Nessa região elástica o material se comporta como uma mola A relação entre tensão e deformação é dada pela lei de Hooke Sensitivity Internal Vibração em flexão de uma viga Sensitivity Internal Estrutura complexa Vibração lateral de uma viga Uma estrutura complexa como uma viga por exemplo é composta por diversas moléculas que estão ligadas entre si similarmente a um sistema massamola Sensitivity Internal Vibração torsional de uma viga