Cálculo 4 Esamc

Prof Ferrarezi 19 988133160 rferrarezigmailcom Engenharias Prof FERRAREZI 2 Operador Nabla 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑵𝒂𝒃𝒍𝒂 Prof FERRAREZI 3 O operador nabla tridimensional em CR é 𝑪𝑹 𝒙 𝒂𝒙 𝒚 𝒂𝒚 𝒛 𝒂𝒛 𝑪𝑹 Engenharias 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑵𝒂𝒃𝒍𝒂 Prof FERRAREZI 4 O operador nabla tridimensional em CC é 𝑪𝑪 𝝆 𝒂𝝆 𝟏 𝝆 𝒂 𝒛 𝒂𝒛 𝑪𝑪 Engenharias 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑵𝒂𝒃𝒍𝒂 Prof FERRAREZI 5 O operador nabla tridimensional em CE é 𝑪𝑬 𝒓 𝒂𝒓 𝟏 𝒓 𝜽 𝒂𝜽 𝟏 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒂 𝑪𝑬 Engenharias Prof FERRAREZI 6 Gradiente Engenharias Gradiente Engenharias Prof FERRAREZI 7 Qual é o gradiente de subida até o topo da montanha Gradiente indica o sentido de MAIOR variação Gradiente Engenharias Prof FERRAREZI 8 Gradiente indica o sentido de MAIOR variação Gradiente Engenharias Prof FERRAREZI 9 O gradiente da grandeza A em CR é 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑨 𝑨 𝑨 𝒙 𝒂𝒙 𝑨 𝒚 𝒂𝒚 𝑨 𝒛 𝒂𝒛 𝑪𝑹 Gradiente Engenharias Prof FERRAREZI 10 O gradiente da grandeza A em CC é 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑨 𝑨 𝑨 𝝆 𝒂𝝆 𝟏 𝝆 𝑨 𝒂 𝑨 𝒛 𝒂𝒛 𝑪𝑪 Gradiente Engenharias Prof FERRAREZI 11 O gradiente da grandeza A em CE é 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑨 𝑨 𝑨 𝒓 𝒂𝒓 𝟏 𝒓 𝑨 𝜽 𝒂𝜽 𝟏 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑨 𝒂 𝑪𝑬 Derivadas Parciais Engenharias Prof FERRAREZI 12 E1 Dados a função bidimensional 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝒚 𝟒𝒚𝟐 o versor 𝒖 com ângulo de 𝜽 𝝅𝟔 e o ponto 𝑷𝒙𝒚 𝟏 𝟐 Calcular o gradiente da função 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒇 e a derivada direcional 𝑫𝒖𝒇𝒙 𝒚 na direção do versor 𝒖 Derivadas Parciais Engenharias Prof FERRAREZI 13 SOLUÇÃO 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝒚 𝟒𝒚𝟐 𝒖 para o ângulo 𝜽 𝝅𝟔 𝑷𝒙𝒚 𝟏 𝟐 𝑫𝒖𝒇 𝒙 𝒚 Derivadas Parciais Engenharias Prof FERRAREZI 14 SOLUÇÃO 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝒚 𝟒𝒚𝟐 𝑷𝒙𝒚 𝟏 𝟐 𝒖𝜽𝝅 𝟔𝟑𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎 𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎 𝒂𝒚 𝟑 𝟐 𝒂𝒙 𝟏 𝟐 𝒂𝒚 𝒇 𝒙 𝒙 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝒚 𝟒𝒚𝟐 𝟑𝒙𝟐 𝟑𝒚 𝟎 𝒇 𝒚 𝒚 𝒇 𝒙 𝒚 𝒚 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝒚 𝟒𝒚𝟐 𝟎 𝟑𝒙 𝟖𝒚 Derivadas Parciais Engenharias Prof FERRAREZI 15 SOLUÇÃO 𝒇 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒇 𝒇 𝒙 𝒂𝒙 𝒇 𝒚 𝒂𝒚 𝒇 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 𝟑𝒙𝟐 𝟑𝒚 𝒂𝒙 𝟑𝒙 𝟖𝒚 𝒂𝒚 Derivadas Parciais Engenharias Prof FERRAREZI 16 SOLUÇÃO 𝑫𝒖𝒇 𝒙 𝒚 𝒇 𝒖 𝟑𝒙𝟐 𝟑𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟑𝒙 𝟖𝒚 𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝑫𝒖𝒇 𝒙 𝒚 𝒇 𝒖 𝟑𝒙𝟐 𝟑𝒚 𝟑 𝟐 𝟑𝒙 𝟖𝒚 𝟏 𝟐 𝑫𝒖𝒇 𝒙 𝒚 𝒇 𝒖 𝟑𝒙𝟐 𝟑 𝟐 𝟑𝒙 𝟏 𝟐 𝟖𝒚 𝟏 𝟐 𝟑𝒚 𝟑 𝟐 Derivadas Parciais Engenharias Prof FERRAREZI 17 SOLUÇÃO 𝑫𝒖𝒇 𝒙 𝒚 ቤ𝑷𝟏 𝟐 𝒇 𝒖 ቤ𝑷𝟏 𝟐 𝟑 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟖 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝑫𝒖𝒇 𝒙 𝒚 ቤ𝑷𝟏 𝟐 𝒇 𝒖 ቤ𝑷𝟏 𝟐 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 𝒖 ቤ𝑷𝟏 𝟐 𝟏𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 Nabla e Gradiente Engenharias Prof FERRAREZI 18 NOTOBS N1 Operador tridimensional 𝒙 𝒂𝒙 𝒚 𝒂𝒚 𝒛 𝒂𝒛 N2 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑨 𝑨 N3 O Gradiente é um VETOR Derivadas Parciais Engenharias Prof FERRAREZI 19 Exercícios Propostos E1 Dados a função bidimensional 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝟐𝒚𝟑 𝟒𝒚 o vetor 𝒖 𝟐 Ƹ𝒊 𝟓 Ƹ𝒋 e o ponto 𝑷𝒙𝒚 𝟐 𝟏 Calcular o gradiente da função 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒇 e a derivada direcional 𝑫𝒖𝒇𝒙 𝒚 na direção do versor 𝒖 E2 Dados a função tridimensional 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒚 𝒛 o vetor 𝒗 Ƹ𝒊 𝟐 Ƹ𝒋 𝒌 e o ponto 𝑷𝒙𝒚𝒛 𝟏 𝟑 𝟎 Calcular o gradiente da função 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒇 e a derivada direcional 𝑫𝒗𝒇𝒙 𝒚 𝒛 na direção do versor 𝒗 E3 Dados a função tridimensional 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒍𝒏 𝒚 𝟒𝒙𝒚𝒛 o vetor 𝒗 𝟒𝒊 𝟐 Ƹ𝒋 𝟐𝒌 e o ponto 𝑷𝒙𝒚𝒛 𝟎 𝟏 𝟏 Calcular o gradiente da função 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒇 e a derivada direcional 𝑫𝒗𝒇𝒙 𝒚 𝒛 na direção do versor 𝒗 Obrigado Prof Ferrarezi 19 988133160 rferrarezigmailcom Engenharias Prof FERRAREZI 2 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 3 Exemplo de diferentes caminhos entre dois pontos quaisquer Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 4 Dizse que a integral de linha 𝐶 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 de um campo vetorial Ԧ𝐹 contínuo em D é independente do caminho se e somente se 𝐶1 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 𝐶2 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 𝐶3 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 𝐶4 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 5 A integral de linha é usada para calcular por exemplo Mecânica trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula do ponto A ao B Termodinâmica o trabalho e o calor desenvolvidos numa transformação qualquer isotérmica isobárica isocórica adiabática etc Elétrica deteminar o campo elétrico de uma carga o campo magnético de um ímã o campo eletromagnético de um sinal de celular Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 6 Curva fechada C simples não se autointercepta Região simplesmente conexa D não tem buracos nem são separadas em regiões Sim Não Não Integral de Linha Fechada Engenharias Prof FERRAREZI 7 Um exemplo de uma curva fechada C simples ao redor de uma região simplesmente conexa D Integral de Linha Fechada Engenharias Prof FERRAREZI 9 A integral de linha fechada será igual a zero ou seja ׯ𝐶 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 0 somente para campos vetoriais conservativos Integral de Linha Fechada Engenharias Prof FERRAREZI 10 Um campo vetorial conservativo Ԧ𝐹 possui uma função geratriz 𝜑 tal que 𝑭 𝝋 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 11 Condição de Campo Vetorial Conservativo Seja um campo vetorial bidimensional Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 𝑥 𝜑 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 12 Onde 𝑃 𝑥 𝑦 𝑥 𝜑 𝑥 𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 De forma compacta 𝑃 𝜑 𝑥 e Q 𝜑 𝑦 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 13 Fazendo as derivadas cruzadas 𝑃 𝑦 2𝜑 𝑥𝑦 e 𝑄 𝑥 2𝜑 𝑦𝑥 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 14 O campo vetorial é conservativo se 𝑃 𝑦 𝑄 𝑥 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 16 Exemplo E1 Verificar se o campo de forças Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 0 Ƹ𝑗 é conservativo SOLUÇÃO Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 Então 𝑃 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 0 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 17 SOLUÇÃO 𝒚 𝑃 𝑥 𝑦 𝒚 3𝑥 𝑦 1 𝒙 𝑄 𝑥 𝑦 𝒙 0 0 Então 𝑷 𝒚 𝑸 𝒙 𝑵Ã𝑶 é 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 18 Exemplo E2 Verificar se Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑥 2 Ƹ𝑗 é conservativo SOLUÇÃO Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑥 2 Ƹ𝑗 Então 𝑃 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 𝑥 2 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 19 SOLUÇÃO 𝒚 𝑃 𝑥 𝑦 𝒚 𝑥 𝑦 1 𝒙 𝑄 𝑥 𝑦 𝒙 𝑥 2 1 Então 𝑷 𝒚 𝑸 𝒙 𝑵Ã𝑶 é 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 20 Exemplo E3 Verificar se Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 3 2𝑥𝑦 Ƹ𝑖 𝑥2 3𝑦2 Ƹ𝑗 é conservativo SOLUÇÃO Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 Então 𝑃 𝑥 𝑦 3 2𝑥𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 𝑥2 3𝑦2 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 21 SOLUÇÃO 𝑃 𝑥 𝑦 3 2𝑥𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 𝑥2 3𝑦2 𝒚 𝑃 𝑥 𝑦 𝒚 3 2𝑥𝑦 2𝑥 𝒙 𝑄 𝑥 𝑦 𝒙 𝑥2 3𝑦2 2𝑥 Então 𝑷 𝒚 𝑸 𝒙 É 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 22 Exemplo E4 Verificar se o campo de forças Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 0 Ƹ𝑗 é conservativo calculando a integral de linha do ponto 𝑶𝟎 𝟎 até o ponto 𝑷𝟏 𝟏 por 3 caminhos diferentes Ver figura 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 Integral de Linha 𝑪𝟏 𝑶𝑹 𝑹𝑷 𝑪𝟐 𝑶𝑸 𝑸𝑷 𝑪𝟑 𝑶𝑷 Engenharias Prof FERRAREZI 23 SOLUÇÃO Onde 𝑶𝑹 ቊ𝟎 𝒙 𝟏 𝒚 𝟎 𝑹𝑷 ቊ𝒙 𝟏 𝟎 𝒚 𝟏 𝑶𝑸 ቊ𝒙 𝟎 𝟎 𝒚 𝟏 𝑸𝑷 ቊ𝟎 𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 24 SOLUÇÃO 𝑪𝟏 𝑶𝑹 𝑹𝑷 𝑶𝑹 ቊ𝟎 𝒙 𝟏 𝒚 𝟎 Ƹ𝑟 𝑥 Ƹ𝑖 0 Ƹ𝑗 𝑑 Ƹ𝑟 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 3𝑥 0 Ƹ𝑖 3𝑥 Ƹ𝑖 𝑹𝑷 ቊ𝒙 𝟏 𝟎 𝒚 𝟏 Ƹ𝑟 1 Ƹ𝑖 𝑦 Ƹ𝑗 𝑑 Ƹ𝑟 𝑑𝑦 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 31 𝑦 Ƹ𝑖 3 𝑦 Ƹ𝑖 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 25 SOLUÇÃO 𝑪𝟏 𝑶𝑹 𝑹𝑷 𝜑𝑶𝑹 𝑥 𝑦 න 𝑂 𝑅 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑 Ƹ𝑟 න 𝑂 𝑅 3𝑥 Ƹ𝑖 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 න 0 1 3𝑥𝑑𝑥 3 𝑥2 2 ቤ1 0 3 12 2 0 15 𝜑𝑹𝑷 𝑥 𝑦 න 𝑅 𝑃 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑 Ƹ𝑟 න 0 1 3 𝑦 Ƹ𝑖 𝑑𝑦 Ƹ𝑗 0 𝑪𝟏 𝑶𝑹 𝑹𝑷 𝟏 𝟓 𝟎 𝟏 𝟓 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 26 SOLUÇÃO 𝑶𝑸 ቊ𝒙 𝟎 𝟎 𝒚 𝟏 Ƹ𝑟 0 Ƹ𝑖 𝑦 Ƹ𝑗 𝑑 Ƹ𝑟 𝑑𝑦 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 0 𝑦 Ƹ𝑖 𝑦 Ƹ𝑖 𝑸𝑷 ቊ𝟎 𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 Ƹ𝑟 𝑥 Ƹ𝑖 0 Ƹ𝑗 𝑑 Ƹ𝑟 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 3𝑥 1 Ƹ𝑖 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 27 SOLUÇÃO 𝑪𝟐 𝑶𝑸 𝑸𝑷 𝜑𝑶𝑸 𝑥 𝑦 න 𝑂 𝑄 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑 Ƹ𝑟 න 0 1 𝑦 Ƹ𝑖 𝑑𝑦 Ƹ𝑗 0 𝜑𝑸𝑷 𝑥 𝑦 න 𝑄 𝑃 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑 Ƹ𝑟 න 0 1 3𝑥 1 Ƹ𝑖 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 3 𝑥2 2 ቤ1 0 𝑥 ቤ1 0 25 𝑪𝟐 𝑶𝑸 𝑸𝑷 𝟎 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 28 SOLUÇÃO 𝑪𝟑 𝑶𝑷 𝑶𝑷 ቊ𝟎 𝒙 𝟏 𝟎 𝒚 𝟏 Reta 𝑶𝑷 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Ƹ𝑟 𝑥 Ƹ𝑖 𝑦 Ƹ𝑗 𝑥 Ƹ𝑖 𝑥 Ƹ𝑗 𝑑 Ƹ𝑟 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 𝑑𝑥 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 4𝑥 Ƹ𝑖 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 29 SOLUÇÃO 𝑪𝟑 𝑶𝑷 𝜑𝑶𝑷 𝑥 𝑦 න 𝑂 𝑃 𝐹 𝑥 𝑦 𝑑𝑟 න 0 1 4𝑥 Ƹ𝑖 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 𝑑𝑥 Ƹ𝑗 න 0 1 4𝑥𝑑𝑥 4 𝑥2 2 ቤ1 0 2 𝑪𝟑 𝑶𝑷 𝟐 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 30 Exemplo Como 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑵Ã𝑶 é 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒉𝒐 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 31 E5 Determinar a função geratriz 𝜑𝑥 𝑦 do campo de forças Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 3 2𝑥𝑦 Ƹ𝑖 𝑥2 3𝑦2 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 32 SOLUÇÃO Sabese que Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 𝑥 𝜑 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 33 SOLUÇÃO Então existe 𝜑 𝑥 𝑦 cujas derivadas parciais sejam 𝑃 𝜑 𝑥 e 𝑄 𝜑 𝑦 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 34 SOLUÇÃO Desta forma Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 3 2𝑥𝑦 Ƹ𝑖 𝑥2 3𝑦2 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 𝑃 𝑥 𝑦 3 2𝑥𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 𝑥2 3𝑦2 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 35 SOLUÇÃO Desta forma 𝜑 𝑥 𝑦 න 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 Fazendo a integração 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑥 𝑦 න 3 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 3𝑥 𝑥2𝑦 𝐾1 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 36 SOLUÇÃO Mas verificando para saber se 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 Então 𝑄 𝑥 𝑦 𝑠𝑢𝑝 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑦 𝑦 3𝑥 𝑥2𝑦 𝐾1 𝑥2 Mas 𝑄 𝑥 𝑦 𝑠𝑢𝑝 𝑥2 𝑄 𝑥 𝑦 𝑥2 3𝑦2 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 37 SOLUÇÃO Então 𝜑 𝑥 𝑦 está incompleta logo devese adicionar a parcela 𝑓 𝑦 ao 1º membro 𝑄 𝜑 𝑦 𝑥2 𝑓 𝑦 𝑥2 3𝑦2 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 38 SOLUÇÃO Logo 𝐴 න 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 න 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑦3 𝐾2 A geratriz completa fica 𝜑 𝑥 𝑦 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑥 𝑦 𝐴 𝜑 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑥2𝑦 𝐾1 𝑦3 𝐾2 𝜑 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑥2𝑦 𝑦3 𝐾 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 39 SOLUÇÃO Comprovando 𝑥 𝜑 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑥 3𝑥 𝑥2𝑦 𝑦3 𝐾 Ƹ𝑖 3 2𝑥𝑦𝑖 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 𝑦 3𝑥 𝑥2𝑦 𝑦3 𝐾 Ƹ𝑗 𝑥2 3𝑦2𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 40 E6 Verificar se a função descreve um campo conservativo e determinar a função geratriz 𝜑𝑥 𝑦 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 6𝑥𝑦 Ƹ𝑖 3𝑥2 6𝑦 Ƹ𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 41 SOLUÇÃO Verificar se é um campo conservativo Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 Ƹ𝑖 𝜑 𝑦 Ƹ𝑗 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 Então 𝑃 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 6𝑥𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝜑 𝑦 3𝑥2 6𝑦 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 42 SOLUÇÃO Verificando 𝑃 𝑦 𝑦 6𝑥𝑦 6𝑥 𝑄 𝑥 𝑥 3𝑥2 6𝑦 6𝑥 Então Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 é conservativo pois 𝑃 𝑦 𝑄 𝑥 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 43 SOLUÇÃO Determinar a função geratriz 𝜑 𝑥 𝑦 𝑠𝑢𝑝 න 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑃𝑥 𝑦 𝑑𝑥 Integrando 𝜑 𝑥 𝑦 𝑠𝑢𝑝 න 6𝑥𝑦 𝑑𝑥 3𝑥2𝑦 𝐾1 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 44 SOLUÇÃO Mas verificando para saber se 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑠𝑢𝑝 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑦 𝑦 3𝑥2𝑦 𝐾1 3𝑥2 Porém 𝑄 𝑥 𝑦 𝑠𝑢𝑝 3𝑥2 𝑄 𝑥 𝑦 3𝑥2 6𝑦 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 45 SOLUÇÃO Então 𝜑 𝑥 𝑦 está incompleta logo devese adicionar a parcela 𝑓 𝑦 ao 1º membro 𝑄 𝜑 𝑦 3𝑥2 𝑓 𝑦 3𝑥2 6𝑦 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 46 SOLUÇÃO Logo 𝐴 න 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 න 6𝑦 𝑑𝑦 3𝑦2 𝐾2 A geratriz completa fica 𝜑 𝑥 𝑦 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑥 𝑦 𝐴 𝜑 𝑥 𝑦 3𝑥2𝑦 𝐾1 3𝑦2 𝐾2 𝜑 𝑥 𝑦 3𝑥2𝑦 3𝑦2 𝐾 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 47 SOLUÇÃO Comprovando 𝑥 𝜑 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑥 3𝑥2𝑦 3𝑦2 𝐾 Ƹ𝑖 6𝑥𝑦𝑖 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 𝑦 3𝑥2𝑦 3𝑦2 𝐾 Ƹ𝑗 3𝑥2 6𝑦𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 48 E7 Determinar a integral de linha fechada ׯ𝐶 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑 Ԧ𝑟 𝑡 de um circuito fechado com as seguintes condições Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 Ƹ𝑖 2𝑥𝑦 Ƹ𝑗 Com caminho C dado por ቐ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡 0 𝑡 2𝜋 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 49 SOLUÇÃO ර 𝐶 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑 Ԧ𝑟 𝑡 ර 0 2𝜋 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑 Ԧ𝑟 𝑡 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 Ƹ𝑖 2𝑥𝑦 Ƹ𝑗 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 Ԧ𝑟 𝑡 𝑥 𝑡 Ƹ𝑖 𝑦 𝑡 Ƹ𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Ƹ𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Ƹ𝑗 𝑑Ԧ𝑟 𝑡 𝑑𝑥 𝑡 Ƹ𝑖 𝑑𝑦 𝑡 Ƹ𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 Ƹ𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 Ƹ𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 50 SOLUÇÃO Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑 Ԧ𝑟 𝑡 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥 𝑡 2𝑥𝑦𝑑𝑦𝑡 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑Ԧ𝑟 𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 Sendo Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑Ԧ𝑟 𝑡 𝑃𝑥𝑑𝑥 𝑡 𝑄𝑥𝑑𝑦𝑡 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 51 SOLUÇÃO Mas antes verificando se Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 é conservativo Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 𝜑 𝑥 Ƹ𝑖 𝜑 𝑦 Ƹ𝑗 𝑃 𝑦 𝑦 𝑥2 𝑦2 2𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑥 2𝑥𝑦 2𝑦 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 52 SOLUÇÃO É conservativo pois 𝑃 𝑦 𝑄 𝑥 Logo como o campo é conservativo então não precisa calcular a integral pois ර 0 2𝜋 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑Ԧ𝑟 𝑡 0 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 53 E8 Determinar a geratriz de Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 Ƹ𝑖 2𝑥𝑦 Ƹ𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 54 SOLUÇÃO Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ƹ𝑖 𝑄𝑥 𝑦 Ƹ𝑗 𝜑 𝑥 Ƹ𝑖 𝜑 𝑦 Ƹ𝑗 Inicialmente 𝜑𝑠𝑢𝑝 න 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥 𝑥3 3 𝑥𝑦2 𝐾1 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 55 SOLUÇÃO Mas verificando para saber se 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑠𝑢𝑝 𝜑𝑠𝑢𝑝 𝑦 𝑦 𝑥3 3 𝑥𝑦2 𝐾1 2𝑥𝑦 Mas 𝑄 𝑥 𝑦 𝑠𝑢𝑝 2𝑥𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 56 SOLUÇÃO Então 𝜑 𝑥 𝑦 está completa 𝜑 𝑥 𝑦 𝑥3 3 𝑥𝑦2 𝐾 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 57 E8 Considerando o campo de forças Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 Ƹ𝑖 𝑥2 Ƹ𝑗 calcular a integral de linha do ponto 𝑷𝟏 𝟏 até o ponto 𝑸𝟐 𝟐 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 58 SOLUÇÃO 𝑑Ԧ𝑟 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 𝑑𝑦 Ƹ𝑗 න 𝑷 𝑸 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑Ԧ𝑟 න 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑦 Ƹ𝑖 𝑥2 Ƹ𝑗 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 𝑑𝑦 Ƹ𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 59 SOLUÇÃO න 𝟏𝟏 𝟐𝟐 Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑑Ԧ𝑟 න 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑦𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑦 𝑦2 2 𝑥3 3 ቮ 22 11 22 2 13 3 22 2 13 3 23 6 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 63 Exercício Proposto E2 Verificar se Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 Ƹ𝑖 𝑥2 Ƹ𝑗 é conservativo e calcular a integral de linha do ponto M12 ao ponto N32 E3 Verificar se Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 Ƹ𝑖 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 Ƹ𝑗 é conservativo e determinar a função geratriz Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 64 Exercício Proposto E4 Calcular a integral de linha fechada da região mostrada na página seguinte sabendose que Ԧ𝐹 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦2 Ƹ𝑗 Integral de Linha Engenharias Prof FERRAREZI 65 Exercício Proposto Integral de Linha A D C B Prof Ferrarezi 19 988133160 rferrarezigmailcom Produto Escalar PE Prof FERRAREZI 2 𝑪 𝑨 𝑩 𝑩 𝑨 𝑨 𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Onde 𝑨 𝑨𝒙𝒂𝒙 𝑨𝒚𝒂𝒚 𝑨𝒛𝒂𝒛 𝒆 𝑩 𝑩𝒙𝒂𝒙 𝑩𝒚𝒂𝒚 𝑩𝒛𝒂𝒛 Então 𝑪 𝑨 𝑩 𝑨 𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑨𝒙𝑩𝒙 𝑨𝒚𝑩𝒚 𝑨𝒛𝑩𝒛 Ԧ𝐴 𝐵 𝜃 𝐶 Engenharias Produto Escalar PE Prof FERRAREZI 3 Componente de um vetor numa dada direção 𝑫 𝑩 𝒂 𝑩 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑫 𝑫𝒂 Onde 𝒂 vetor unitário ou versor 𝑫 é um número 𝒂 𝐵 𝜽 𝑫 𝐷 Engenharias Produto Escalar PE Prof FERRAREZI 5 SOLUÇÃO a Substituindo Q em 𝑮 𝑸𝟒 𝟓 𝟐 e 𝑮 𝒚𝒂𝒙 𝟐 𝟓𝒙𝒂𝒚 𝟑𝒂𝒛 𝑮𝑸 𝟓𝒂𝒙 𝟐 𝟓 𝟒𝒂𝒚 𝟑𝒂𝒛 𝑮𝑸 𝟓𝒂𝒙 𝟏𝟎𝒂𝒚 𝟑𝒂𝒛 Engenharias Produto Escalar PE Prof FERRAREZI 6 SOLUÇÃO b Componente Escalar Normalizar o vetor para ficar um vetor unitário ou versor 𝒂 𝒂 𝒂 𝟐𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝟐𝒂𝒛 𝟐𝟐 𝟏𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝟐𝒂𝒛 𝟑 𝑮𝑸 𝒂 𝟓𝒂𝒙 𝟏𝟎𝒂𝒚 𝟑𝒂𝒛 𝟐𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝟐𝒂𝒛 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟔 𝟐 Engenharias Produto Escalar PE Prof FERRAREZI 7 SOLUÇÃO c Componente do vetor 𝑮 𝑮𝑸 𝒂 𝒂 𝟐 𝟐𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝟐𝒂𝒛 𝟑 𝟏 ഥ𝟑𝒂𝒙 𝟎 ഥ𝟔𝒂𝒚 𝟏 ഥ𝟑𝒂𝒛 Engenharias Produto Vetorial PV Prof FERRAREZI 9 Módulo 𝑬 𝑨 𝑩 𝑩 𝑨 𝑨 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Ԧ𝐴 𝐵 𝜃 𝐶 Engenharias Produto Vetorial PV Prof FERRAREZI 10 Resultante Vetorial 𝑬 𝑨 𝑩 𝑩 𝑨 𝒂 𝑨 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Onde 𝑨 𝑩 𝐯𝐚𝐢 𝐝𝐞 𝑨 para 𝑩 Ԧ𝐴 𝐵 𝜽 𝐶 𝐸 Engenharias Produto Vetorial PV Prof FERRAREZI 11 Onde 𝑨 𝑨𝒙𝒂𝒙 𝑨𝒚𝒂𝒚 𝑨𝒛𝒂𝒛 𝒆 𝑩 𝑩𝒙𝒂𝒙 𝑩𝒚𝒂𝒚 𝑩𝒛𝒂𝒛 Então 𝑨 𝑩 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛 𝑨𝒙 𝑨𝒚 𝑨𝒛 𝑩𝒙 𝑩𝒚 𝑩𝒛 𝑨 𝑩 𝑨𝒚𝑩𝒛 𝑨𝒛𝑩𝒚𝒂𝒙 𝑨𝒛𝑩𝒙 𝑨𝒙𝑩𝒛𝒂𝒚 𝑨𝒙𝑩𝒚 𝑨𝒚𝑩𝒙𝒂𝒛 Engenharias Produto Vetorial PV Prof FERRAREZI 12 Exercícios E1 Sejam 𝑨 𝟐𝒂𝒙 𝟑𝒂𝒚 𝒂𝐳 e 𝑩 𝟒𝒂𝒙 𝟐𝒂𝒚 𝟓𝒂𝐳 Calcular 𝑨 𝑩 SOLUÇÃO Determinante de outra forma 𝑨 𝑩 อ 𝒊 𝒋 𝒌 𝟐 𝟑 𝟏 𝟒 𝟐 𝟓 𝒊 𝒋 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝑨 𝑩 𝟑 𝟓 𝟐 𝟏 𝒊 𝟏 𝟒 𝟐𝟓 𝒋 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝒌 𝑨 𝑩 𝟏𝟑𝒂𝒙 𝟏𝟒𝒂𝒚 𝟏𝟔𝒂𝒛 Engenharias Coordenadas Retangulares CR Prof FERRAREZI 13 𝑷 𝒓 𝑃𝑥𝒂𝑥 𝑃𝑦𝒂𝑦 𝑃𝑧𝒂𝑧 𝑃𝑥 Ƹ𝒊 𝑃𝑦 Ƹ𝒋 𝑃𝑧𝒌 Engenharias Coordenadas Cilíndricas CC Prof FERRAREZI 14 Relação entre CC e CR 𝜌 𝑥2 𝑦2 Φ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑥 𝑧 𝑧 𝑥 𝜌cos Φ 𝑦 𝜌sen Φ 𝑧 𝑧 Engenharias Coordenadas Esféricas CE Prof FERRAREZI 15 Relação entre CE e CR 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑧 𝑟 Φ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑥 𝑥 𝑟sen𝜃cosΦ 𝑦 𝑟sen𝜃senΦ 𝑧 𝑟cos𝜃 Engenharias Coordenadas Espaciais Prof FERRAREZI 16 CR 𝑷𝐶𝑅 𝑃𝑥𝒂𝑥 𝑃𝑦𝒂𝑦 𝑃𝑧𝒂𝑧 CC 𝑷𝐶𝐶 𝑃𝜌𝒂𝜌 𝑃Φ𝒂Φ 𝑃𝑧𝒂𝑧 CE 𝑷𝐶𝐸 𝑃𝑟𝒂𝑟 𝑃𝜃𝒂θ 𝑃Φ𝒂Φ Engenharias Coordenadas Espaciais Prof FERRAREZI 17 Exercícios E1 PCR 1 2 2 PCC 𝜌 𝑥2 𝑦2 12 22 5 Φ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 1 29634 6343 𝑧 𝑧 2 𝑷𝐶𝐶 𝑃𝜌𝒂𝜌 𝑃Φ𝒂Φ 𝑃𝑧𝒂𝑧 𝑷𝐶𝐶 5𝒂𝜌 6343𝒂Φ 2𝒂𝑧 𝑷𝐶𝐶 5 6343 2 Engenharias Coordenadas Espaciais Prof FERRAREZI 18 Exercícios E2 PCR 1 2 2 PCE 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 12 2222 3 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑧 𝑟 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 3 4819 Φ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 1 29634 6343 𝑷𝐶𝐸 𝑃𝑟𝒂𝑟 𝑃𝜃𝒂𝜃 𝑃Φ𝒂Φ 𝑷𝐶𝐸 3𝒂𝑟 4819𝒂𝜃 6343𝒂Φ 𝑷𝐶𝐸 3 4819 6343 Engenharias Coordenadas Espaciais Prof FERRAREZI 19 Exercícios E3 PCC 6 120º 2 PCR 𝑥 𝜌 cos Φ 6 cos 120 6 1 2 3 𝑦 𝜌 sen Φ 6 3 2 3 3 𝑧 𝑧 2 𝑷𝐶𝑅 𝑃𝑥𝒂𝑥 𝑃y𝒂y 𝑃𝑧𝒂𝑧 𝑷𝐶𝑅 3𝒂𝑥 3 3𝒂y 2𝒂𝑧 𝑷𝐶𝑅 3 3 3 2 Engenharias Coordenadas Espaciais Prof FERRAREZI 20 Exercícios E4 PCE 4 3045º PCR 𝑷𝐶𝑅 𝑃𝑥𝒂𝑥 𝑃y𝒂y 𝑃𝑧𝒂𝑧 𝑷𝐶𝑅 2𝒂𝑥 2𝒂y 2 3𝒂𝑧 𝑷𝐶𝑅 2 2 2 3 𝑥 𝑟sen 𝜃 cos Φ 4𝑠𝑒𝑛 30 cos 45 4 1 2 2 2 2 𝑦 𝑟sen 𝜃 sen Φ 4𝑠𝑒𝑛 30 sen 45 4 1 2 2 2 2 𝑧 𝑟cos 𝜃 4 cos 30 4 3 2 2 3 Engenharias Produto Escalar PE Prof FERRAREZI 21 Exercícios Propostos E1 Seja 𝑮 𝟑𝒚𝒙𝒂𝒙 𝟐𝒙𝒛𝒂𝒚 𝟒𝒚𝒛𝒂𝒛 e 𝑸 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏𝟏 Determinar a 𝑮 em Q b a componente escalar de 𝑮 em Q na direção do vetor unitário de 𝒂 𝟑𝒂𝒙 𝟕𝒂𝒚 𝟒 𝟑 𝒂𝒛 c a componente do vetor 𝑮 em Q na direção do vetor unitário de 𝒂 Engenharias Produto Escalar PE Prof FERRAREZI 22 Exercícios Propostos E2 Sejam 𝑨 𝟓 𝟕𝒂𝒙 𝟕𝝅𝒂𝒚 log𝟐 𝟏𝟔 𝒂𝐳 e 𝑩 𝟒 𝟖𝟏𝟒𝒂𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝟏𝟎 𝒂𝒚 𝒆𝟏𝟓𝟓𝒂𝐳 Calcular 𝑩 𝑨 E3 Transformar os vetores fornecidos nas outras 2 Coordenadas a PCR 𝟑 𝟑 𝟑 𝟔 PCC e PCE b PCE 𝟔 𝝅 𝟑 𝟑𝝅 𝟒 PCC e PCR c PCC 𝟑 𝝅 𝟐 𝟓 PCR e PCE Engenharias Obrigado Prof Ferrarezi 19 988133160 rferrarezigmailcom Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 2 Seja𝒇 𝒙 Pontos Críticos 1 Raízes 𝒇 𝒙 𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟏 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 3 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 2a Pontos de Máximo e de mínimo 𝒇 𝒙 𝟎 𝒙𝑴𝒎 𝒇 𝒙 𝟎 𝒇 𝒙 é 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇 𝒙 𝟎 𝒇 𝒙 é 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 4 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 3a Concavidade 𝒇 𝒙 𝟎 𝒇 𝒙 é 𝒄ô𝒏𝒄𝒂𝒗𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒎𝒂 𝒇 𝒙 𝟎 𝒇 𝒙 é 𝒄ô𝒏𝒄𝒂𝒗𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒃𝒂𝒊𝒙𝒐 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 5 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 3b Pontos de Inflexão 𝒇 𝒙 𝟎 𝒙𝑰𝑵 𝒇 𝒙 𝟎 𝒔𝒆 𝒙 𝒙𝑰𝑵 E 𝒇 𝒙 𝟎 𝒔𝒆 𝒙 𝒙𝑰𝑵 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 6 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 3b Pontos de Inflexão 𝒇 𝒙 𝟎 𝒙𝑰𝑵 𝒇 𝒙 𝟎 𝒔𝒆 𝒙 𝒙𝑰𝑵 E 𝒇 𝒙 𝟎 𝒔𝒆 𝒙 𝒙𝑰𝑵 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 7 Seja 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙 Pontos Críticos 4a Zeros da função 𝒈𝒙 𝟎 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 8 Seja 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙 Pontos Críticos 4b Polos de função 𝒉𝒙 𝟎 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 9 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 5a Existência de Limite em 𝒙 𝒕 lim 𝒙𝒕 𝒇 𝒙 𝒔𝒆 lim 𝒙𝒕 𝒇 𝒙 lim 𝒙𝒕 𝒇 𝒙 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 10 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 5b Continuidade de função em 𝒙 𝒕 𝒇 𝒙 é 𝒄𝒐𝒏𝒕í𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒎 𝒙 𝒕 𝒔𝒆 lim 𝒙𝒕 𝒇 𝒙 𝒇𝒕 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 11 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 6a Verificar os Limites nos polos lim 𝒙𝒑𝒐𝒍𝒐𝒔 𝒇𝒙 e lim 𝒙𝒑𝒐𝒍𝒐𝒔 𝒇𝒙 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 12 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 6b Verificar os Limites tendendo aos infinitos lim 𝒙 𝒇𝒙 e lim 𝒙 𝒇𝒙 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 13 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 6c Limites particulares para funções racionais lim 𝒙𝒕 𝒇𝒙 lim 𝒙𝒕 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙 Quando resultam indeterminações do tipo 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 14 Seja 𝒇 𝒙 Pontos Críticos 6d Limites particulares para funções racionais Aplicase a Regra de LHôpital lim 𝒙𝒕 𝒇𝒙 lim 𝒙𝒕 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙 lim 𝒙𝒕 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 15 Seja a parábola 𝒇 𝒙 𝑨𝒙𝟐 𝑩𝒙 𝑪 Pontos Críticos 7a Ponto de Vértice de Parábola 𝑷𝒙𝑽 𝒙𝑽 𝒚𝑽 𝒙𝑽 𝑩 𝟐𝑨 𝒆 𝒚𝑽 𝟒𝑨 Onde 𝑩𝟐 𝟒𝑨𝑪 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 16 Exercícios E1 Determinar os pontos críticos da função e esboçála 𝒇 𝒙 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟑 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 17 SOLUÇÃO 𝑷𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒇 𝒙 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟑 𝑨 𝟏 𝑩 𝟐 𝑪 𝟑 A 1 concavidade para CIMA Raízes 𝒙 𝟏 𝒆 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝟎𝒙 Vértice 𝒙𝑽 𝑩 𝟐𝑨 𝟏 𝒆 𝒚𝑽 𝟒𝑨 𝟒 Mín da parábola 𝒇 𝒙 𝟎 𝟐𝒙 𝟐 𝟎 𝒙 𝟏 Concavidade 𝒇 𝒙 𝟎 𝟐 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒎𝒂 Inflexão 𝒇 𝒙 𝟎 𝟐 𝒄𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙ã𝒐 C 3 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝟎𝒚 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 18 SOLUÇÃO Valoes de x 𝒇 𝒙 𝒇 𝒙 𝒇 𝒙 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔ã𝒐 𝒙 fx é decrescente 𝑨 𝟎 fx é côncavo para cima 𝒙𝟏 𝟏 raiz 𝒚 𝟎 fx corta 0x 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 𝒙𝑽 𝟏 𝒙𝑽 𝟏 Ponto mínimo de fx 𝒙𝟐 𝟑 raiz 𝒚 𝟎 fx corta 0x 𝑪 𝟑 𝒙 𝟎 Corta 0y 𝒙 fx é crescente Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 19 SOLUÇÃO 𝟑 𝟎 𝟎 𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 𝟒 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 20 Exercícios Propostos E1 Verificar se as funções possuem limites testar as tendências laterais nos valores de x e se são contínuas nesse valor a lim 𝒙𝟏 𝒇 𝒙 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒇 𝒙 𝟓𝒙𝟐𝟑 𝒙𝟓𝟑 b lim 𝒙𝟐 𝒇 𝒙 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒇 𝒙 ൞ 𝟏 𝒙 𝒔𝒆 𝟎 𝒙 𝟐 𝟏 𝟏 𝟒 𝒙 𝒔𝒆 𝒙 𝟐 a lim 𝒙𝟏 𝒇 𝒙 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒇 𝒙 ቊ 𝒙𝟑 𝒔𝒆 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 𝟏 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 21 Exercícios Propostos E1 Continuação d lim 𝒙𝟏 𝟏𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒙𝟑𝟑𝒙𝟐 d lim 𝒙𝟒 𝒙𝟐𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟐𝟑𝒙𝟒 f lim 𝒙𝟎 𝟐𝟐𝟑𝟐 𝒙 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 22 Exercícios Propostos E1 Continuação g lim 𝒙𝝅 𝟏𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟏𝒔𝒆𝒏𝒙 h lim 𝒙𝟎 𝟐𝟐𝟑𝟐 𝒙 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 23 Exercícios Propostos E1 Verificar se as funções possuem limites testar as tendências laterais nos valores d lim 𝒙𝟏 𝟏𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒙𝟑𝟑𝒙𝟐 e lim 𝒙𝟒 𝒙𝟐𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟐𝟑𝒙𝟒 f lim 𝒙𝟎 𝟐𝟐𝟑𝟐 𝒙 Pontos Críticos de Função Engenharias Prof Ferrarezi 24 Exercícios Propostos E2 Determinar os pontos críticos das funções montar a tabela de valores e limites e esboçálas a 𝒇 𝒙 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝟑 b 𝒇 𝒙 𝒙𝟐𝟏 𝒙𝟐𝟏 onde 𝒇 𝒙 𝟖𝒙 𝒙𝟐𝟒𝟐 e 𝒇 𝒙 𝟐𝟒𝒙𝟐𝟑𝟐 𝒙𝟐𝟒𝟑 c 𝒇 𝒙 𝒙𝟒 𝟑𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝟏 Obrigado Prof Ferrarezi 19 988133160 rferrarezigmailcom Engenharias Prof FERRAREZI 2 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 3 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 5 Seja uma superfície fechada contendo carga Q Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 7 Valem as contribuições de linhas de campo que saem Q da superfície fechada entram Q na superfície fechada Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 8 Lei de Gauss na Forma Pontual Divergente A densidade de campo elétrico 𝑫 é um VETOR Seja uma superfície fechada contendo carga então em CR ර 𝒔 𝑫 𝒅𝒔 𝑸𝒆𝒏𝒗 Onde 𝑫 𝜺𝑬 Engenharias Prof FERRAREZI 9 Utilizando o conceito de divergência 𝒙 𝒂𝒙 𝒚 𝒂𝒚 𝒛 𝒂𝒛 𝑫 𝑫𝒙𝒂𝒙 𝑫𝒚𝒂𝒚 𝑫𝒛𝒂𝒛 Logo o divergente é dado por 𝒅𝒊𝒗 𝑫 𝑫 𝝆𝒗 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 10 𝒅𝒊𝒗 𝑫 𝑫 𝑫𝒙 𝒙 𝑫𝒚 𝒚 𝑫𝒛 𝒛 𝝆𝒗 Mas න 𝑽 𝑫𝒅𝒗 𝑸𝒆𝒏𝒗 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 11 Lei de Gauss na Forma Pontual Divergente Então ර 𝒔 𝑫 𝒅𝒔 න 𝑽 𝑫𝒅𝒗 𝑸𝒆𝒏𝒗 ර 𝒔 𝑫 𝒅𝒔 න 𝑽 𝑫𝒙 𝒙 𝑫𝒚 𝒚 𝑫𝒛 𝒛 𝒅𝒗 𝑸𝒆𝒏𝒗 Engenharias Prof FERRAREZI 12 NOTOBS N1 Divergente fluxo líquido pela superfície fechada e por unidade de volume quando o volume tende a zero Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 13 NOTOBS N2 O nome divergente vem do fato de que para cargas positivas as linhas de fluxo saem pela superfície mangueira Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 14 NOTOBS N3 Em campos magnéticos 𝒅𝒊𝒗𝑩 𝑩 𝟎 monopólio magnético isolado Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 15 NOTOBS N4 Divergente é um escalar Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 16 Exercício E1 Calcular o divergente de 𝑫 na origem se 𝑫 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒚 𝒂𝒙 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒂𝒚 𝟐𝒛𝒂𝒛 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 17 SOLUÇÃO 𝒙 𝒂𝒙 𝒚 𝒂𝒚 𝒛 𝒂𝒛 𝑫 𝑫𝒙𝒂𝒙 𝑫𝒚𝒂𝒚 𝑫𝒛𝒂𝒛 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 20 SOLUÇÃO 𝑫 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒚 𝒙 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒚 𝟐𝒛 𝒛 𝑫 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒚 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒚 𝟐 𝟐 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 21 SOLUÇÃO Na origem P000 𝒅𝒊𝒗 𝑫 𝑫 ቤ𝑷 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 22 Exercício E2 Calcular o divergente de 𝑭 no ponto 211 se 𝑭 𝒙𝟑𝒚𝟐𝒛𝒂𝒙 𝒙𝟐𝒛𝒂𝒚 𝒙𝟐𝒚𝒂𝒛 𝑭 𝑭𝒙𝒂𝒙 𝑭𝒚𝒂𝒚 𝑭𝒛𝒂𝒛 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 23 SOLUÇÃO 𝑭 𝑭𝒙 𝒙 𝑭𝒚 𝒚 𝑭𝒛 𝒛 𝑭 𝒙 𝒙𝟑𝒚𝟐𝒛 𝒚 𝒙𝟐𝒛 𝒛 𝒙𝟐𝒚 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 24 SOLUÇÃO 𝑭 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐𝒛 𝟎 𝟎 No ponto 211 𝑭 𝟑 𝟐𝟐 𝟏𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏𝟐 Divergente Engenharias Prof FERRAREZI 31 Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 32 Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 33 Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 34 𝑭 𝑭𝒙𝒂𝒙 𝑭𝒚𝒂𝒚 𝑭𝒛𝒂𝒛 𝑭 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛 𝒙 𝒚 𝒛 𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒙 𝒚 𝑭𝒙 𝑭𝒚 Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 35 𝑭 𝑭𝒛 𝒚 𝑭𝒚 𝒛 𝒂𝒙 𝑭𝒙 𝒛 𝑭𝒛 𝒙 𝒂𝒚 𝑭𝒚 𝒙 𝑭𝒙 𝒚 𝒂𝒛 Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 36 Exercício E3 Calcular o rotacional e o divergente de 𝑭 no ponto 111 se 𝑭 𝒙𝒛𝒂𝒙 𝒙𝒚𝒛𝒂𝒚 𝒚𝟐𝒂𝒛 𝑭𝒙 𝒙𝒛 𝑭𝒚 𝒙𝒚𝒛 𝑭𝒛 𝒚𝟐 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 37 Solução Rotacional 𝑭𝒙 𝒚 𝟎 𝑭𝒙 𝒛 𝒙 𝑭𝒚 𝒙 𝒚𝒛 𝑭𝒚 𝒛 𝒙𝒚 𝑭𝒛 𝒙 𝟎 𝑭𝒛 𝒚 𝟐𝒚 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 38 Solução Rotacional 𝒓𝒐𝒕 𝑭 𝑭 𝟐𝒚 𝒙𝒚 𝒂𝒙 𝒙𝒂𝒚 𝒚𝒛𝒂𝒛 No ponto 111 𝒓𝒐𝒕 𝑭 𝑭 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒂𝒙 𝟏𝒂𝒚 𝟏 𝟏𝒂𝒛 𝒓𝒐𝒕 𝑭 𝑭 𝟑𝒂𝒙 𝟏𝒂𝒚 𝟏𝒂𝒛 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 39 Solução Divergente 𝒅𝒊𝒗 𝑭 𝑭 𝑭𝒙 𝒙 𝑭𝒚 𝒚 𝑭𝒛 𝒛 Onde 𝑭𝒙 𝒙𝒛 𝑭𝒚 𝒙𝒚𝒛 𝑭𝒛 𝒚𝟐 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 40 Solução Divergente 𝑭𝒙 𝒙 𝒛 𝑭𝒚 𝒚 𝒙𝒛 𝑭𝒛 𝒛 𝟎 𝒅𝒊𝒗 𝑭 𝑭 𝐳 𝐱𝐳 𝟎 No ponto 111 𝒅𝒊𝒗 𝑭 𝑭 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 41 Exercício E4 Calcular o rotacional e o divergente de 𝑭 no ponto 111 se 𝑭 𝟐𝒙𝒚𝒂𝒙 𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝒂𝒚 𝟐𝒛𝒚𝒂𝒛 𝑭𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝑭𝒚 𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝑭𝒛 𝟐𝒛𝒚 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 42 Solução Rotacional 𝑭𝒙 𝒚 𝟐𝒙 𝑭𝒙 𝒛 𝟎 𝑭𝒚 𝒙 𝟐𝒙 𝑭𝒚 𝒛 𝟐𝒛 𝑭𝒛 𝒙 𝟎 𝑭𝒛 𝒚 𝟐𝒛 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 43 Solução Rotacional 𝒓𝒐𝒕 𝑭 𝑭 𝟎𝒂𝒙 𝟎𝒂𝒙 𝟎𝒂𝒛 𝒓𝒐𝒕 𝑭 𝑭 𝟎 Então o campo 𝑭 é conservativo Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 44 Solução Divergente 𝒅𝒊𝒗 𝑭 𝑭 𝑭𝒙 𝒙 𝑭𝒚 𝒚 𝑭𝒛 𝒛 Onde 𝑭𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝑭𝒚 𝒙𝟐 𝒛𝟐 𝑭𝒛 𝟐𝒛𝒚 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 45 Solução Divergente 𝑭𝒙 𝒙 𝟐𝒚 𝑭𝒚 𝒚 𝟎 𝑭𝒛 𝒛 𝟐𝒚 No ponto 111 𝒅𝒊𝒗 𝑭 𝑭 𝟐𝐲 𝟎 𝟐𝐲 𝟒𝐲 𝟒 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 46 Exercícios Propostos E1 Calcular o divergente e o rotacional de 𝑭 no ponto 𝟏 𝟑 𝟐 se 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒚𝟐𝒂𝒙 𝒙𝟐 𝒛𝟐𝒂𝒚 𝒙 𝟑𝒚𝟐𝒂𝒛 E2 Calcular o divergente e o rotacional de 𝑭 no ponto 𝟏 𝟐 𝟑 𝟓 𝟒 𝟑 se 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝒚 𝟑 𝟐𝒚𝒛 𝟑 𝒂𝒙 𝒛𝟐𝒙𝟒 𝒂𝒚 𝒍𝒏 𝒙𝟐 𝒚𝟒 𝟏 𝒛𝟑 𝒂𝒛 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 47 Exercícios Propostos E3 Calcular o divergente e o rotacional de 𝑭 no ponto 𝝅 𝟑 𝟕𝝅 𝟔 𝟏𝟏𝝅 𝟒 se 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒛 𝒂𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒚𝒂𝒌 E4 Calcular o divergente e o rotacional de 𝑭 no ponto 𝟏 𝟒 𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 se 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝒍𝒏𝒙 𝒂𝒙 𝒍𝒏𝒙𝒚 𝒂𝒚 𝒍𝒏𝒙𝒚𝒙 𝒂𝒛 Divergente e Rotacional Engenharias Prof FERRAREZI 48 Exercícios Propostos E5 Calcular o divergente e o rotacional de 𝑭 no ponto 𝟖 𝟐 𝟔 se 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒚 𝒂𝒙 𝒚 𝒛 𝒂𝒚 𝒛 𝒙 𝒂𝒌 Divergente e Rotacional Obrigado Divergente e Rotacional 1 F x y² x² z² x 3y² Div F 1 0 0 1 Div F132 1 Rot F î ĵ k x y z x y² x² z² x 3y² Rot F 6y 2z 1 2x 2y Rot F132 6 3 22 1 21 2 3 22 1 4 2 F xen¹y 3²a y z 3 x⁴ z² lnx² y⁴ 1 z³ div F 0 0 3z² 3z² div F12 35 43 3 43² 163 Rot F î ĵ k x y z xen¹y 3²a yz 3 x⁴z² lnx² y⁴ 1 z³ 4y³ x² y⁴ 1 2x 4z 1 2x 4x³z² 2z mn¹y 30z y x 45 xn¹y0011 32 y z 3 23 Rot F12 35 43 3803 3102 037069 05869 Pontos críticos 1 a lim 5x34 x53 lim 5x 1 x23 4 u x0 x0 b lim 1x 12 lim 1 14 x 12 lim Fx 12 x0 x0 x0 c lim x3 1 lim x 1 lim Fx x0 x0 d lim 1 x lnxx3 3x 2 lim 1 1x3x2 3 lim 1x26x 116 x0 x1 x0 x1 e lim x2 x 12x2 3x 4 lim x 3x 4x 1x 4 lim x 3x 1 75 x0 x4 x4 x4 f lim x2 5x lim 5x x0 x0 lim 5x lim x2 5x x0 g lim 1 cos2πx1 lnx 1 cos01 ln1 1 11 0 2 x0 h lim x2 32x Repetido x0 2 a fx x3 3x2 3 fx 3x2 6x 0 x3x 6 0 x 0 ou 3x 6 x 2 u fx 6x 6 x 0 o Máximo f0 6 x 2 o Mínimo f2 6 b fx x2 1x2 1 fx 8x x2 42 0 x0 fx 24x2 32 x2 43 f0 3243 05 x 0 o Máximo c Fx x4 9x3 3x2 1 fx 4x3 9x2 6x 0 x4x2 9x 6 0 x 0 ou 4x2 9x 6 0 81 96 15 x 0 f 12x2 18x 6 f0 6 x 0 o Mínimo 3 Produto escalar 1 G 3xy 2x3 47z a G15 15 311 31512 21512 412311 310 15 611 b a 3 7 43 D GQ a 310 13 6113 7 43 910 75 811 07019 u c repetido 2 a 57 7π 4 B 12 12 5e15 B x A i j k 12 12 5e15 57 7π 4 2 35πe15 i 257 e15 48 j 84π 52 7 k 3 a x 33 y 3 z 6 CC p 27 9 6 r 27 9 36 62 33 6cosϕ 6 62 cosθ ϕ 30 θ 45 p ϕ z 6 30 6 u r θ ϕ 62 45 30 u z 62 sinθ sinϕ z 622 sinϕ ϕ 302 b r 78 θ π3 60 ϕ 3π4 135 CR x 78 sin60 cos135 x 32 u y 78 sin60 sin135 y 32 u z 78 cos60 z 782 CC p 94 94 322 32 322 cosϕ ϕ 135 p ϕ z 322 135 782 3 c ϕ 3 ϕ π2 90 z 5 CR x 3 cos90 0 x 0 y 3 sen90 y 3 u z 5 OE r 02 32 52 34 5 34 cosθ θ 3096 0 34 senθ cosϕ cosϕ 0 ϕ 90 r ϕ θ 34 90 3096 u Integral de linha 2 F 2xy x2 P Q Py 2x Qx 2x Py Qx conservativo Função potencial ϕ 2xy dx x2 y Cy ϕ x2 dy x2 y Cx ϕ x2 y C 32 12 2xy dx x2 dy ϕ 32 ϕ 12 92 12 16 u 3 F ex seny ex cosy P Q Py ex cosy Py Qx Qx ex cosy ϕ ex seny dx ex seny Cy ϕ ex cosy dy ex seny Cx ϕ ex seny C u 4 F 0 x y2 AB Vi 1 1 0 2 0 AB F dr 01 0 2 x y2 0 dt 0 x 1 2t dx 2 dt y 1 dy 0 BC V2 0 2 u BC F dr 01 1 1 2t22 dt 01 2 1 1 4t 4t2 dt 2 2t2 4t3301 43 5 CD r3 20 x 1 2t dx 2dt y 1 dy 0 CD F dr 0 1 02 dt 0 DA r4 02 x 1 dx 0 y 1 2t dt 2dt DA F dr 0 1 4 2t 12 2 dt 1 0 2 1 4 t2 4 t 1 d t 2 2t 4 t33 2 t2 0 1 83 F dr 43 83 4 Derivadas parciais 1 f x2 y3 4 y P 2 1 fx 2 x y3 fx21 4 fy 3 x2 y2 4 fy 21 8 f 2 1 4 8 u 25 û 25 425 229 529 Dû f21 f 21 û 4 229 8 529 40 8 29 32 29 n 2 f x sen1 y z fx senx y fx 130 sen0 0 f 130 003 fy x z cos1 y z fy 130 1 0 cos0 0 u 4 2 2 û 4 2 2 16 4 4 fz x y cos1 y z fz 130 3 cos0 3 û 476 276 276 276 176 176 Dû f 130 0 276 0 176 3 16 376 u 3 f lny 4 x y z fx y z lny 4 x y z ln4 fx011 1 ln1 4 ln4 4 Nos ten como calcular