Cálculo IV - Curvas no Espaço, Divergente, Rotacional e Integrais

ESAMC Regime especial 202301 Cálculo IV Prof Diogo Cirulli Parte 01 Curvas no espaço R³ 1 Obtenha uma parametrização das seguintes curvas determinando I 2 Elimine o parâmetro de 3 Determine o vetor tangente às seguinte curvas 4 Determine as equações da reta tangente às seguintes curvas 5 Determine o comprimento de arco das seguinte curvas Parte 02 Divergente e Rotacional 1 Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores 2 Determine se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo ache seu potencial Parte 03 Integrais Parte 04 Teorema de Green Parte 1 1 a y 2x 7 xt t yt 2t 7 I b y x 2 0 y x 2 xt t yt t 2 I c x2 y2 16 xt 4 cos t yt 4 sen t I 0 2π d x2 y 1 x2 1 y x 1 y 1 y 0 y 1 xt 1 t yt t I 1 e x 12 y 12 4 x 12 4 y 12 4 1 x 122 y 122 1 x 12 cos t y 12 sen t xt 2 cos t 1 yt 2 sen t 1 I 0 2π f 9x2 4y2 36 9x2 36 4y2 36 1 x2 4 y2 9 1 x22 y32 1 x2 cos t y3 sen t x 2 cos t y 3 sen t xt 2 cos t yt 3 sen t I 0 2π 2 a xt a 1 t yt b t xt a a t yt b t t yb x a a yb a yb a x y ba a x y b ba x b xt a sec t yt a tg t sec t xa tg t ya sec2 t 1 tg2 t xa2 1 ya2 x2 a2 1 y2 a2 x2 a2 y2 a2 1 x2 y2 a2 c xt2 tg t yt3 cotg t tg t x2 cotg t y3 cotg t 1tg t y3 1x2 y3 2x x y 6 d xt2t2 yt2t²4t x2t1 x22t tx22 y2x22² 4 x22 y2x2²4 2x2 yx2²2 2x 4 y x² 4x 42 2x 4 yx²2 2 e xt2 2 cos t yt2 sen t sen t y2 cos t x22 sen² t cos² t 1 y²4 x2²4 1 x2² y² 4 f xt sen⁴ t yt cos⁴ t sen t ⁴x cos t ⁴y sen² t cos² t 1 ⁴x² ⁴y² 1 ⁴x² ⁴y² 1 x y 1 3 a xtaat ytbt xta ytb 1 b xta sect yta tg t xta tg² t sect yta sec² t c xt2 tg t yt3 cotg t xt2 sec² t yt3 cosec² t d xt2t2 yt2t²4t xt2 yt4t4 e xt22 cos t yt2 sen t xt2 sen t yt2 cos t 1 xt sin4 t yt cos4 t xt 4 sin3 t cos t yt 4 cos 3 t sin t 4 cos 3 t sin t 4 a yt t 1t2 2 0 1 2 yt 1 2 t 0 y0 0 1 2 y0 1 0 0 x 0 1 2 λ 1 0 0 λ R x λ y 1 z 2 b yt 2 t3 1 3 5 t2 8 t 2 1 2 10 yt 6 t2 10 t 8 y1 1 2 10 y1 6 10 8 x 1 2 10 λ 6 10 8 9 x 1 6 λ y 2 10 λ z 10 8 λ c βt et t et t 4 1 0 4 βt et et t et 1 β0 1 0 4 β0 1 1 1 x 1 0 4 λ 1 1 1 x 1 λ y 0 λ z 4 λ 5 a xt 2 2 sin t yt 2 2 cos t xt 2 cos t yt 2 sin t 0π 2 cos t2 2 sin t2 dt 0π 4 cos2 t 4 sin2 t dt 10 0π 4 cos2 t sin2 t dt 0π 4 dt 2 0π dt 2π b xt t cos t 0 t π yt t sin t xt cos t t sin t yt sin t t cos t xt2 yt2 cos t t sin t2 sin t t cos t2 cos2 t 2 t sin t cos t t2 sin2 t t2 cos2 t 2 t sin t cos t t2 cos2 t 1 t2 0π 1 t2 dt c divF x x2 y3 z4 y x y z z x y z 2x x z x y 3x x y y rotF i j k x y z x2 y3 z4 x y z x y z 3y2 k x y i z y j rotF z x y 4y3 3x y z 3y2 d divF x x y z2 y x y3 z z x y z3 y z2 3x y2 z 3x y z2 rotF i j k x y z x y z2 x y3 z x y z3 x z2 k x y3 i y z3 j x z2 i 2x y z j y3 z3 k x z3 x y3 4 y3 2 x y z y3 z x z2 a Fxyz 2xz y2 2xy3 ez x2 P Q R Py 2y Qx 12y2 O campo não é conservativo b Fxyz xy ex ez Py x Qx ex O campo não é conservativo c Fxyz ex 2ey 3ez Py 0 Qx 0 Qz 0 Ry 0 Pz 0 Rx 0 Como Py Qx Qz Ry Pz Rx 0 o campo é conservativo Encontramos a função potencial fxyz fxyz ex dx qyz ex qyz fy qyzy 2ey Parte 2 1 a divF x xy2 y zx2 z x y2 0 0 y2 rotF i j k x y z xy² zx² x 2xy k 2xz i 1 j 2xzy k rotF 2xy 1 2xz 2xy b divF x x y z y x2 z yz 1 0 y y 1 rotF i j k x y z x y z x2 yz 1 k 0 0 y j 1 i 0 k rotF 3 1 1 gxyz 2 ez dy hz 2 ez hz fxyz ex 2 ez hz dhdz hz 3 ez hz 3 ez dz 3 ez fxyz ex 2 ez 3 ez Parte 4 I a 4 y dx 7 x dy y 4 x I t0 0 t 4 dx dt dy 0 04 40dt 7t0 04 0 0 II t 4t 42 44t dt 7t dt 42 16 4 t 7 t dt 42 16 11 t dt 24 16 11 t 16 t 11 t2224 164 11162 162 1142 34 34 III tt dx dt dy dt 20 4t dt 7t dt 20 11 t dt 02 11 t dt 11 t22 02 22 O valor da integral é 0 34 22 12 b Aplicando o Teorema de Green 4 y dx 7 x dy Qx Py dA Py 4 Qx 7 R 3 dA 3 dA dx dy 0 y 2 y x 4 y 3 02 y4 y dx dy 3 02 4 2y dy 3 4y y202 3 8 4 3 4 12 2 a 01 eyx dx ey ln x 2x dy P Q Qx ey x 2 Py ey x R Qx Py dA R 2 dA 2 R dA 2 11 y41 1 dx dy 2 11 1 y4 dy 2 y y5511 2 1 15 1 15 2 85 165 b cos x 5y dx 4x y4 dy P Q Qx 4 Py 5 R Qx Py dA R 4 5 dA 9 R dA 9 22 9x29x2 dy dx 9 22 4 x2 dx 9 4x x3322 9 323 96