Lista de Exercicios Resolucao de EDOs e EDPS Calculo V ESAMC

ESAMC Cálculo V 202101 REGIME ESPECIAL Nome Número de matrícula Seção 1 Equações Diferenciais Ordinárias 11 Determine as soluções das EDO de variáveis separáveis a seguir a y y² b xy y c yy x d y 1 y2 y e y ex 2y f yln xdx 1 2ydy 0 g y ety h et yy e2ty 12 Resolva as equações de Bernoulli a y y e3xy4 b y y y³ c y y y² 13 Determine as soluções das EDO de primeira ordem a seguir a y x y x b 2y xy 0 c y y ²2xy x² d y 4 y 3 x 2 x y 14 Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo determinando um fator integrante para as nãoexatas a x ydx xdy 0 b dx cos ydy 0 c 3x² ydx x 4dy 0 d 1 xy xy x²y 0 15 Encontre os fatores integrantes de cada eq a seguir e resolva a t² y²dt 3tydy 0 b tdy ydt t²y4tdy ydt 0 c tydt t² 2y² 2dy 0 d tydt 2t² 2y² 3dy 0 16 Modele as situações a seguir e resolva a A velocidade angular de uma engrenagem é ω 70 20t rads Quantas voltas dará antes de parar b Uma caixa dágua cilíndrica de 50 dm² de base está provida de um orifício de 5 cm² de seção praticado na parede lateral A água escoa com uma velocidade v2gh onde g 98 ms2 e h é a altura do nível da água acima do orifício em metros Quanto tempo levará para que o nível da água baixe de 3 m a 1 m Seção 2 Equações Diferenciais Parciais 21 Resolva as Equações Deferenciais Parciais a seguir a u x y x u x y y 0 b u x y x u x y y u x y c x u x y x y u x y y u x y d ²u x y x ² ²u x y y ² ²u x y z ² 0 Seção 3 Laplace 31 Defina ℒft onde a ft etsent b ft e3tt² c ft t12 d ft t32 32 Calcule ft onde a ℒ 1 2 s 1 s³ bℒ 1 s1³ s 4 c ℒ 1 s s²2s 3 dℒ 1 s s²s20 33 Use a transformada da Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita as condições iniciais indicadas a y 4y e4t y0 2 b y 5y 4y 0 y0 1 y0 0 Seção 4 Fourier 41 Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes a n1 n² 5n²4 b n1 n n²1 c n1 ne n d n1 1 nln n 42 Determine Sf se a fx 2x x 1 1 tal que fx fx 2 b fx 2x 1 x 1 1 tal que fx fx 2 c fx x² x x π π tal que fx fx 2 π d fx ex x 1 1 tal que fx fx 2 43 Determine se a série de Fourier das seguintes funções convergem uniformemente ou não a fx ex x 1 1 b fx senhx x π π c fx senx senx x π π d fx x x x 1 1 Seção 1 EDO 11 a y y² dydx y² dyy² dx Integrando dyy² dx y²dy x C₁ y²¹ 21 x C₁ 1y x C y 1 x C b xy y x dydx y dyy dxx Integrando dyy dxx ln y ln x C y eln x C y C x c y y x y dydx x y dy x dx Integrando y dy x dx y²2 C₁ x²2 C₂ y²2 x²2 C y² x² C y x² C ou y x² C d y 1 y2 y dydx 1 y2 y dy 1 y2 y dx Fração parcial 11 y2 y A1 y B2 y 1 A2 y B1 y 1 2A B Ay By 1 2A B1 A B0 y A B 0 2A B 1 2A A 1 A 1 B 1 Voltando 11 y2 y 11 y 12 y Integrando dy1 y dy2 y dx ln1 y C₁ ln2 y C₂ x C₃ e y ex 2y y ex e2y dydx ex e2y e2y dy ex dx Integrando e2y dy ex dx 12 e2y C₁ ex C₂ 12 e2y ex C e2y 2 ex C 2y ln2 ex C y 12 ln2 ex C ln x dx 1 2y y dy 0 1 2yy dy ln x dx Integrando 1y dy 2 dy ln x dx ln y 2y C₁ x x ln x C ln y 2y x x ln x C ln y ln e2y x x ln x C ln y e2y x x ln x C y e2y ex C ln xx y e2y ex C ln xx conceito novo necessário Função W de Lambert É a função que resolve y ey x y Wx com propriedade temos y ey a y Wa ez 2 logo temos a solução y 12 W exC ln xx 2 y W2 ex C xx2 ey c1 et c2 ey et c y ln et c h ety y e2t y et ey dy dt e2t ey e2y dy et dt Integrando e2y dy et dt 12 e2y c1 et c2 12 e2y et c e2y 2et c 2y ln 2et c y ln 2et c 2 12 Relembrando Equação Diferencial de Bernoulli dydx Px y Qx yN Método z y1N a y y e3x y4 dydx 1Px y e3xQx y4 N Método z y14 y3 y z13 dydx 13 z13 1 dzdx dydx 13 z43 dzdx 13 z13 3x e z43 dzdx 13 z13 3x Multiplicando por z43 13 dzdx z e3x dzdx 3z 3 e3x fator de integração e3 dx e3 x Daí dzdx e3x 3z e3x 3 e3x e3x dzdx e3x 3z e3x 3 z e3x 3 z e3x 3 dx z e3x 3x C z 3x Ce3x voltando para y y 3x Ce3x43 b y y y3 dydx 1Px y 1 y3 Qx N Método z y13 y2 y z12 dydx 12 z32 dzdx dydx 12 z32 dzdx z12 32 Multiplicando por z32 12 dzdx z 1 12 dzdx z1 1 dzdx 2z 2 dz2 2z dx Integrando dz2 2z dx 12 ln 2 2z x C ln2 2z 2x C 2 2z e2x C 2z 2 e2x C z 1 e2x C2 Daí y 1 e2x C2 12 e y y y2 dydx 1y y2 z y12 y1 y z1 dydx z2 dzdx z2 dzdx z1 z2 Multiplicando por z2 dzdx z 1 dzdx 1 z dz1 z dx Integrando dz1 z dx ln1 z x c ln1 z x c 1 z ex c z 1 ex c Daí y 11 ex c 13 a y x yx dydx 1 yx dydx 1xy 1 Fator de integração e 1x dx eln x eln1x 1x dydx x xy fx 1x dydx yx2 1x yx 1x Integrando yx 1x dx yx ln x c y x lnx xc b 2y xy 0 xy 2y x dydx 2y dy2y 1x dx Integrando 12 lny lnx c lny 2 lnx c y e2 lnx c y elnx2 ec y x2c e y y2 2xyx2 Reescrevendo y 2x y 1x2 y2 Vamos usar EDO de Bernoulli z y1 2 y1 y z1 dydx 1z2 dzdx 1z2 dzdx 2x 1z 1x2 1z2 dzdx 2x z 1x2 fator integração 2x dx e2 ln x x2 x2 dzdx 2x z 1 z x2 1 Integrando z x2 x c z 1x cx2 x cx2 y x2 x c d y 4y 3x2x y Não sai com recursos comuns A solução é as raízzes da equação 14 lnyx 1 54 lnyx 3 lnx c 14 a x y dx x dy 0 x y x dydx 0 y 1x y 1 fator integrante 12 dx μ e 12 dx x x y y x y x x y x dx x dx y x x22 c y x2 cz b dx cos y dy 0 1 cos y y 0 dydx 1cos y dy cos y dx sen y C1 x C2 y arc sen x c c 3x2 y dx x 4 dy 0 3x2 y x 4 y 0 y 1x4 y 3x2x4 fator integrante µ e 1x4 dx x 4 x 4 y y 3x2 yx4 3x2 yx4 x33 c y x3 cx 4 d 1 xy xy x2 y 0 1 xy dx xy x2 dy 0 M N My x Nx y 2x EDO Não exata Transformando Razão 1 My NxN x y 2xxy x2 x yxy x 1x Razão 2 Nx MyM y 2x x1 xy y 2x x1 xy y x1 xy depende de x e y logo não pode ser usado Fator integrande α e 1x dx α eln x eln x1 α 1x Daí 1 xy dx xy x2 dy 0 1x y dx y x dy 0 M N My 1 Nx 1 EDO exata Achar Fxy tal que Fx Fy Fx 1x y Fxy x33 yx Fy y x Fxy y22 xy cx Objetivo Achar Fxy c tal que Fx M 1x y Fy N y x Achar Fxy c tal que Fx M 1x y I Fy N y x II Daí I Fx 1x y Fxy ln x yx cy II Fy y x Fxy yx x22 cx Fxy ln x yx cy Fy 0 x cy y x x cy cy y cy y22 Daí Fxy ln x yx y22 Fxy ln x yx y22 c y22 x y ln x c 0 Δ x2 4 12 ln x c Δ x2 2 ln x c Δ x2 2 ln x c y x x2 2 ln x c 15 a t2 y2 dt 3t y dy 0 M N My 2y EDO Não é exata Nt 3y Razão 1 Nt MyM 3y 2yt2 y2 yt2 y2 depende de y e t Razão My Nt N 2y 3y 3ty y 3ty 1 13t Fator integrante α eratzäw α e 13t dt 13 ln t ln t 43 α e e α t 43 Daí multiplicando por α t2 13 y2 t43 dt 3t y dy 0 t53 y2 t13 dt 3t y dy 0 M N M y 2y t23 EDO Exata N t 3y 23 1 t43 2y t43 Fty C F t M t53 y2 t13 F t53 1 53 1 y2 t13 1 F 38 t83 y2 t23 F 38 t83 3 y2 t23 2 Cy F y 38 0 32 t23 2y Cy 3 t23 y 32 t23 y Cy Cy 0 Cy K Daí Fty 38 t83 3 y2 t23 2 C y2 t23 t23 y2 1 3 y2 t23 2 C 38 t83 t23 y2 C 74 t83 t23 y2 C t83 4 y2 C 4 t23 t83 4 t23 y2 C t83 4 t23 y t83 C 2 t13 b t dy y dt t2 y4 t dy y dt 0 t dy 1 t2 y4 y dt 1 t2 y4 0 y t2 y5 dt t t3 y4 dy 0 M N M y 1 t2 5 y4 EDO não exata N t 1 y4 3 t2 Razão 1 My Nt N 1 t5 5 y4 1 3 y4 t2 t t3 y4 2 5 t5 y4 3 y4 t2 t t3 y4 Não pode pois depende de t e y Razão 2 Nt My M 1 3 y4 t2 1 t2 5 y4 y t2 y5 2 2 t2 y4 y 1 t2 y4 2 1 t2 y4 y 1 t2 y4 2 y Fator integrante α eraza e 2y dy α e2 ln y y2 Multiplicando y t2 y3 y2 dt t t3 y4 y2 dy 0 y1 t2 y3 dt ty2 t3 y2 dy 0 M N My y2 t2 3y2 Nt y2 y2 3t2 EDO EXATA Assim Ftyt M 1y t2 y3 Ft 1y t2 y3 Fty 1y t y3 t33 Cy Fy t 1 y2 t33 3 y2 cy t y2 t3 y2 cy t y2 t3 y2 t y2 t3 y2 cy cy 0 cy K Fty 1y t y3 t33 K c 1y t y3 t33 c 46 a ω 70 20t rads quantos voltas até parar Temos que ω ω0 α t Daí ω0 70 rads e α 20 rads2 Usando Torricelli ω2 ω02 2 α Δφ 02 702 2 20 Δφ Δφ 1225 rad 1 volta 2π rad x 1225 rad x 195 voltas 31 Definir Lft onde a ft et sent Na tabela Lsen t 1s2 1 Como temos o fator et ficamos com Let sen t 1s22 1 b ft e3t t2 Na tabela Lt2 2s3 Com o fator e3t Le3t t2 2s33 c ft t12 tabela Lt12 πs d ft t32 tabela Lt32 3π4 s52 32 calcular ft tendo Lft a L1 2s 1s3 L12s L11s3 2 L1 1s 22 L1 2s3 21 12 t2 ft 2 t22 b L1 s13s4 L1 1s 3s2 3s3 1s4 ft L1 1s L1 3s2 L1 3s3 L1 1s4 1 3t 3t22 t36 ft 1 3t 3t22 t36 33 a y 4y e4t y0 2 Ly 4y Le4t Ly 4 Ly Le4t s Ly y0 4 Ly 1 s 4 s L y y 2 4 Ly 1 s 4 s 4 Ly 1 s 4 2 Ly 2 s 9 s 42 1s42 2s4 y 2 e4t e4t t b y 5 y 4 y 0 y0 1 y0 0 Ly 5 Ly 4 Ly 0 s2 Ly s y0 y0 5 s Ly y0 4 Ly 0 Digitalizado com CamScanner s2 Ly s 0 5 s Ly 1 4 Ly 0 s2 Ly s 5 s Ly 5 4 Ly 0 s2 5s 4 Ly s 5 Ly s 5s2 5s 4 y L1 s 5s2 5s 4 y L1 49 3s1 13s4 y 43 et 13 e4t 41 a sumn1 n25n2 4 Pelo teste da divergencia limn n25n2 4 15 0 logo sumn1 fn diverge b sumn1 nn2 1 Pelo teste de comparação no limite sumn1 fn diverge c sumn1 n en pelo teste da razão limn an1an L limn n1 en1 n en limn n1 e1 n limn n1n e limn 1 1ne 1e L 1e 1 série convergente d Σ n2 to 1 n lnn Pelo teste da integral 1 x lnx dx µ lnx dµ 1x dx dµ µ ln µ c 2 to 1 x lnx 0 logo Σ n2 to 1 n lnn diverge 42 a fx 2x 11 Σ n1 to 41n sen π n x π n b fx 2x 1 x 11 A0 121 1 to 1 2x 1 dx A0 1 2 A1 1 1 1 to 1 2x 1 cos Dar o resultado é enorme Sf 1 Σ n1 to cosπ n x 2 cosπ n 2 2 π n sen π n 2 21n π2 n2 21n 2 cosπ n 2 π2 n2 2 sen π n 2 π n Σ n1 to senπ n x 3 π 1n n2 c fx x2 x π π Sf π23 Σ n1 to 41n cosπ n x n2 Σ n1 to 2 1n senπ n x n