Apresentação sobre as Equações de Maxwell e Eletromagnetismo

As equações de Maxwell Apresentação O estudo do eletromagnetismo baseado nas equações de Maxwell vai além da física básica permitindo compreender fenômenos mais complexos envolvendo o comportamento de campos vetoriais variáveis ou não Para explicar muitos desses fenômenos utilizase como base o comportamento dos campos elétrico e magnético uma vez que o eletromagnetismo se baseia na propagação e na interação desses dois campos A explicação reside nas quatro equações de Maxwell As quatro equações de Maxwell que são a Lei de Gauss para a eletricidade a Lei de Gauss para o magnetismo a Lei de Faraday e a Lei de AmpèreMaxwell permitem o estudo do comportamento eletromagnético da matéria Todo o eletromagnetismo se baseia no estudo dos campos magnético e elétrico variantes cujo movimento de um campo implica a variação do outro Nesta Unidade de Aprendizagem você vai ver uma descrição de cada uma das quatro equações de Maxwell bem como a teoria que embasa o comportamento dos campos elétrico e magnético do ponto de vista da eletrostática e da eletrodinâmica Por serem campos que apresentam simetria você vai ver aqui formas de trabalhar conceitos envolvendo os campos elétrico e magnético do ponto de vista de simetria dos referidos campos Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Determinar as equações de Maxwell Conectar a eletrostática com a eletrodinâmica Identificar as diferenças na simetria do campo elétrico e do campo magnético Desafio As bases do eletromagnetismo compõemse de quatro equações ditas equações de Maxwell Nessa teoria cada equação está relacionada com uma situação específica envolvendo os campos elétrico e magnético Por se tratarem de campos variantes um pode interferir no outro Entre as quatro equações existe a chamada Lei de Ampère que permite calcular o campo magnético a partir de uma distribuição de densidade de corrente elétrica Posteriormente a correção de James Clerk Maxwell conferiu a essa equação o nome de Lei de AmpèreMaxwell e evidenciou a existência de ondas eletromagnéticas Existem muitas aplicações das equações de Maxwell A partir da Lei de AmpèreMaxwell é possível calcular a intensidade dos campos vetoriais envolvidos por meio de dispositivos eletrônicos O uso de capacitores é um exemplo Uma proposta do uso de capacitores para calcular a magnitude do campo magnético em diversos pontos é uma forma de conhecer as características do referido campo Com base em conhecimentos teóricos e na descrição feita aqui tente se inserir na situação proposta a seguir Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Medir a eficiência dos dispositivos que compõem um circuito eletrônico é fundamental para garantir a eficiência em todo o processo Considere um capacitor de placas paralelas que contém placas circulares com 100cm de diâmetro separadas por 10mm Considere também que o campo elétrico entre as placas está aumentando à taxa de 106Vms Para esse caso encontre as informações solicitadas a seguir Calcule a intensidade do campo magnético a sobre o eixo b a 30cm do eixo c a 70cm do eixo Infográfico A teoria eletromagnética está fundamentada em quatro equações gerais que dão base a todas as questões envolvendo a interação entre campo elétrico e campo magnético Do ponto de vista do magnetismo um campo elétrico variável pode interferir em um campo magnético e a recíproca também ocorre um campo magnético que varie no espaço em função do tempo pode interferir em um campo elétrico As quatro equações que unificam a teoria eletromagnética são a Lei de Gauss para a eletricidade a Lei de Gauss do magnetismo a Lei de Faraday e a Lei de AmpèreMaxwell Neste Infográfico você vai ver em detalhes na forma integral quais são as quatro equações que regem a teoria eletromagnética bem como a descrição de cada uma delas Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Conteúdo do livro O eletromagnetismo clássico se compõe de quatro equações fundamentais que dão base à compreensão de como campos vetoriais variáveis como é o caso do campo elétrico e do campo magnético podem influenciar um ao outro A presença de cargas elétricas isoladas ou em fluxo corrente elétrica pode criar um campo elétrico ou um campo magnético modificando todo o ambiente no qual o fenômeno ocorre As aplicações devido a esses efeitos são inúmeras o que coloca a teoria eletromagnética e as equações de Maxwell em um patamar elevado no quesito relevância dentro da área da física No trecho selecionado da obra Física uma abordagem estratégica base teórica desta Unidade de Aprendizagem você vai um detalhamento da teoria eletromagnética E uma vez que ela se compõe das quatro equações de Maxwell você terá aqui um detalhamento de cada uma das equações e de sua relevância dentro do eletromagnetismo As bases teóricas para explicar tais equações serão descritas aqui bem como algumas aplicações das Leis de Gauss Faraday e AmpèreMaxwell na forma das quatro equações de Maxwell Boa leitura RANDALL D KNIGHT RANDALL D KNIGHT VOLUME 3 ELETRICIDADE E MAGNETISMO KnightVol IIIIniciaisindd ii KnightVol IIIIniciaisindd ii 050509 162126 050509 162126 K71f Knight Randall Física 3 uma abordagem estratégica Randall Knight tradução Manuel Almeida Andrade Neto 2 ed Porto Alegre Bookman 2009 400 p il tabs 28 cm ISBN 9788577805013 1 Física 2 Eletricidade 3 Magnetismo I Título CDU 537 Randy Knight leciona Física básica há 25 anos na Ohio State University EUA e na Califórnia Polytechnic University onde atualmente é professor de física O professor Knight bacharelou se em Física pela Washington University em Saint Louis e doutorouse em Física pela Univer sity of Califórnia Berkeley Fez pósdoutorado no HarvardSmithsonian Center for Astrophy sics antes de trabalhar na Ohio State University Foi aí que ele começou a pesquisar sobre o ensino da física o que muitos anos depois o levou a escrever este livro Os interesses de pesquisa do professor Knight situamse na área de laser e espectroscopia com cerca de 25 artigos de pesquisa publicados Ele também dirige o programa de estudos am bientais da Cal Poly onde além de física introdutória leciona tópicos relacionados a energia oceanografia e meio ambiente Quando não está em sala de aula ou na frente de um compu tador o professor Knight está fazendo longas caminhadas remando em um caiaque tocando piano ou usufruindo seu tempo com a esposa Sally e seus sete gatos Sobre o Autor Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB101922 CAPITULO 35 m Campos Eletromagnéticos e Ondas 1095 EXEMPLO 353 Os campos dentro de um capacitor sendo RESOLUCAO O campo elétrico criado por um capacitor de placas para carregado lelas é E QeyA Qey7R O fluxo elétrico através do circulo de Um capacitor de placas paralelas circulares com 20 cm de didmetro Ti0 7 nao o fluxo completo do capacitor espacadas em 10 mm uma da outra carregado a uma taxa de 050 2 cs en oe 5 5 G2 r Cs Qual a intensidade do campo magnético no interior do capaci wr E ar tor em um ponto a 050 cm de seu eixo o7R R 0 ee O campo eletrico no interior do capacitor de placas paralelas Assim a lei de AmpéreMaxwell assume a forma é uniforme A medida que o capacitor é carregado a variagao do cam po elétrico induz um campo magnético d dlr 0 r dO VISUALIZACAO A FIGURA 3518 mostra os campos envolvidos As li 2 ds opto dt Le R2 7 MOR dt nhas do campo magnético induzido formam circulos concéntricos ao capacitor O campo magnético em qualquer lugar é tangente ao circulo de raio r portanto a integral de B ds ao longo do circulo é simplesmente JE BL 27rB Com este valor para a integral de linha a lei de Ampére E a Maxwell tornase Kh rd KN 277rB Hong oo i e assim i é Mo r dQ 00050 m A linha do campo magnético é um circulo B 73 20 x 10 TmA 7 050 Cs rane a 27 R dt 0010 m concéntrico ao capacitor O fluxo elétrico através deste circulo é igual a 7E 50 x 10T FIGURA 3518 A intensidade do campo magnético é determinada pela integracdo ao longo da curva fechada de raio r Se uma variagdéo de um campo magnético pode induzir um campo elétrico e se um campo elétrico pode induzir um campo magnético 0 que acontecera quando ambos os campos variarem simultaneamente Essa é a questaéo que Maxwell foi capaz de respon der finalmente apds ter modificado a lei de Ampére de maneira a incluir a corrente de deslocamento e este sera 0 nosso préximo assunto PAREEPENSE 352 campo elétrico em quatro capacito E res idénticos representado em fungdo do tempo Or a dene em seqiiéncia decrescente as intensidades de Px campo magnético na borda externa do capacitor no ins tante T YS T 354 As equacoes de Maxwell James Clerk Maxwell foi um jovem fisico escocés matematicamente brilhante Em 1855 com apenas 24 anos e tendo se graduado na Universidade de Cambridge dois anos antes ele apresentou um trabalho a Sociedade Filos6fica de Cambridge com o titulo Sobre As Linhas de Forca de Faraday Isso aconteceu cerca de 30 anos apos as maiores des cobertas de Oersted Ampére Faraday e outros mas o eletromagnetismo permanecera uma colegao de fatos soltos e de regras do polegar sem uma teoria consistente para relacionar essas idéias 1096 Física Uma Abordagem Estratégica O objetivo de Maxwell primeiro enunciado no trabalho de 1855 era sintetizar esse corpo de conhecimento e situálo em uma estrutura matemática apropriada Seu desejo era nada menor do que formular uma teoria completa dos campos eletromagnéticos Levou 10 anos até que os trabalhos publicados em 1865 e 1868 expusessem a teoria de uma forma que nos pareça familiar hoje O passo crítico ao longo do caminho foi o reconhecimento por parte de Maxwell da necessidade de incluir o termo da corrente de deslocamento na lei de Ampère A teoria de Maxwell do eletromagnetismo está contida em quatro equações que hoje conhecemos como as equações de Maxwell Elas são Lei de Gauss Lei de Gauss do magnetismo Lei de Faraday Lei de AmpèreMaxwell Você já viu todas essas equações anteriormente neste capítulo Foi Maxwell quem pri meiro as escreveu em uma forma matemática consistente similar a essa Não exata mente a mesma forma porque a notação vetorial usada atualmente só foi desenvolvida nos anos de 1890 todavia as versões de Maxwell são matematicamente equivalentes Nem Gauss nem Faraday e nem mesmo Ampère seriam capazes de reconhecer essas equações mas Maxwell teve sucesso em colocar suas idéias físicas em uma estrutura matemática consistente A alegação de Maxwell é que essas quatro equações constituem uma descrição com pleta dos campos elétricos e magnéticos Elas nos dizem como os campos são criados por cargas e por correntes e também como podem ser induzidos por variação de outros cam pos Precisamos de mais uma equação para completar o quadro uma equação que nos diga como a matéria responde aos campos eletromagnéticos A equação geral de força Lei de força de Lorentz é conhecida como a lei de força de Lorentz As equações de Maxwell para os campos junto com a lei de força de Lorentz que nos diz como a matéria responde aos cam pos formam a teoria completa do eletromagnetismo As equações de Maxwell nos levam ao auge da física clássica Exceto em nível quân tico de fótons essas equações descrevem tudo o que é conhecido sobre os fenômenos eletromagnéticos Na verdade elas previram muitos fenômenos novos não conhecidos por Maxwell ou por seus contemporâneos e constituem a base para toda a teoria moder na dos circuitos da engenharia elétrica e de outras tecnologias baseadas no eletromagne tismo Quando combinadas com as três leis de Newton do movimento e com a lei da gravidade além da primeira e da segunda lei da termodinâmica temos toda a física clás sica em um total de apenas 11 equações Embora talvez alguns físicos discutissem sobre se todas as 11 equações são ver dadeiramente fundamentais o ponto importante aqui não é o número exato delas mas como são poucas as equações de que necessitamos para descrever a imensa maioria de nossas experiências no mundo da física É como se pudéssemos têlas escrito todas na primeira página deste livro e finalizado mas a coisa não funciona dessa maneira Cada uma das equações constitui uma síntese de um enorme número de fenômenos físicos e de desenvolvimentos conceituais Saber física não é apenas conhecer equações mas saber o que as equações significam e como elas devem ser usadas Essa é a razão de tan tos capítulos e de tanto esforço até chegar a este ponto Cada equação é um maneira de sintetizar a quantidade de informação contida em um livro Física clássica Primeira lei de Newton Segunda lei de Newton Terceira lei de Newton Lei de Newton da gravitação Lei de Gauss Lei de Gauss do magnetismo Lei de Faraday Lei de AmpèreMaxwell Lei de força de Lorentz Primeira lei da termodinâmica Segunda lei da termodinâmica KnightVol III35indd 1096 KnightVol III35indd 1096 050509 155451 050509 155451 CAPÍTULO 35 Campos Eletromagnéticos e Ondas 1097 Vamos resumir o significado físico das cinco equações fundamentais do eletromag netismo Lei de Gauss toda partícula carregada cria um campo elétrico Lei de Faraday campos elétricos também podem ser criados por variação de campos magnéticos Lei de Gauss para o magnetismo não existem monopolos magnéticos Lei de AmpèreMaxwell primeira parte correntes criam campos magnéti cos Lei de AmpèreMaxwell segunda parte campos magnéticos também podem ser criados por variações de campos elétricos Lei de força de Lorentz primeira parte uma força elétrica é exercida sobre uma partícula carregada em presença de um campo elétrico Lei da força de Lorentz segunda parte uma força magnética é exercida sobre uma carga que se move em presença de um campo magnético Essas são as idéias fundamentais acerca do eletromagnetismo Outras idéias importantes como a lei de Ohm as leis de Kirchhoff e a lei de Lenz são de importância prática mas não são fundamentais Elas podem ser derivadas das equações de Maxwell às vezes com a adição de conceitos empiricamente embasados tal como o de resistência elétrica As equações de Maxwell podem ser usadas para compreender motores geradores antenas e receptores transmissões de sinais através de circuitos linhas de força mi croondas propriedades eletromagnéticas de materiais e muito mais É verdade que as equações de Maxwell são matematicamente mais complexas do que as leis de Newton e que suas soluções para muitos problemas de interesse prático requerem um nível avança do de matemática Felizmente dispomos das ferramentas matemáticas apropriadas para avançar bastante nas equações de Maxwell ao ponto de descobrir sua implicação mais espantosa e revolucionária a previsão da existência de ondas eletromagnéticas 355 Ondas eletromagnéticas Desde o começo do século XIX dos experimentos sobre interferência e difração sabia se que a luz é uma onda Estudamos as propriedades das ondas luminosas na Parte V todavia naquele momento não estávamos capacitados para determinar exatamente o que é uma ondulação Faraday especulou que a luz de algum modo estava conectada à eletricidade e ao magnetismo porém foi Maxwell usando suas equações do campo eletromagnético o primeiro a compreender que a luz é uma oscilação do campo eletromagnético Maxwell conseguiu prever que As ondas eletromagnéticas podem existir com qualquer freqüência e não apenas nas freqüências da luz visível Essa previsão foi o prenúncio das ondas de rádio Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade que agora chamamos de velocidade da luz Uma equação geral de onda pode ser derivada das equações de Maxwell mas as necessárias técnicas matemáticas estão além do nível deste livro Adotaremos aqui uma abordagem mais simples em que consideraremos uma onda eletromagnética de uma determinada forma e a seguir mostraremos que ela é consistente com as equações de Maxwell Afinal a onda não pode existir a não ser que seja consistente com as equações de Maxwell Para iniciar consideremos que o campo elétrico e o magnético possam existir inde pendentemente de cargas e de correntes para criálos em uma região do espaço livre de fontes Tratase de uma suposição muito importante porque ela considera que os campos sejam entidades reais Eles não são apenas figuras bonitas que nos falam sobre cargas e correntes mas entidades reais que existem por si mesmas Nossa afirmação é de que os campos podem existir em um modo autosustentado em que uma variação do campo magnético cria um campo elétrico lei de Faraday o qual por sua vez varia exatamente da maneira correta para recriar o campo magnético original lei de AmpèreMaxwell Grandes instalações de radar como esta são usadas para rastrear foguetes e mísseis KnightVol III35indd 1097 KnightVol III35indd 1097 050509 155451 050509 155451 1098 Fisica Uma Abordagem Estratégica 1 Uma onda senoidal com freqiiéncia fe As equacées de Maxwell na auséncia de fontes isto é sem a presenga de cargas ou comprimento de onda A se propaga com de correntes sio velocidade de onda v y d Comprimento EdA 0 E ds E Z de onda r dt i 3523 gp B dA 0 B ds a B g dS Eofo B Vex dt 9 B z Bi Qualquer onda eletromagnética que se propague no espago vazio deve ser consistente a com essas equacoes wr x yt ow E B i Vamos postular que uma onda eletromagnética plana com velocidade v tenha as fer ae 7 fas a Ez caracteristicas ilustradas na FIGURA 3519 Tratase de uma figura util que vocé encontra 2 Os campos Ee B i ra em qualquer livro didatico mas uma figura que pode ser muito malinterpretada se sao perpendiculares a vocé nao refletir cuidadosamente sobre ela Os campos E e B ndo sao vetores espaciais entre si e também 3 Os campos Ee B 1 ial direcd I d distanci a direcdo de esto em fase um com ou seja eles nao esticam espacialmente na diregdo y ou z ao longo de certa distancia propagacaio Os 0 outro ou seja eles Em vez disso estes vetores representam os valores do campo elétrico e magnético nos campos tém tem cristas depresses pontos ao longo de uma Unica linha 0 eixo x Um vetor E que aponte no sentido do eixo amplitudes EeB nds concordantes y significa que naquele ponto do eixo x onde se encontra a origem do vetor 0 campo ny elétrico tem o sentido do eixo y e tem uma determinada intensidade Nada alcanga FIGURA 3519 Onda eletromagnética a senoidal um ponto do espaco acima do eixo x De fato esta figura nao contém informagao sobre quaisquer pontos do espaco que nao pertencam ao eixo x a A onda se propaga para a direita Entretanto estamos considerando que esta seja uma onda plana que como vocé y lembrara do Capitulo 20 tratase de uma onda em que os campos s40 0s mesmos em A onda como z todos os pontos de qualquer plano paralelo ao plano yz ou seja perpendicular ao eixo x plano xy I A FIGURA 3520a Mostra uma pequena seccado do plano xy onde naquele instante E apon B B B ta para cima e B aponta em sua direcao As intensidades de campo variam com x que ler a diregao e o sentido da propagacgao mas nao com y A medida que a onda se propaga em frente os campos que estao agora no plano x logo chegarao ao plano x e aqueles que agora estao no plano x se moverao para x 4 Xs A FIGURA 3520b mostra uma seccao de um plano paralelo a yz que corta o eixo xem X Os campos se propagam para fora da pagina em sua direc4o Os campos sao iguais em I cada ponto deste plano que 0 que queremos expressar com o termo onda plana Se vocé é e pone para assistisse a um filme do evento vocé veria E e B em cada ponto deste plano oscilando com ora da pagina wN pas o decorrer do tempo mas sempre de maneira sincronizada com todos os outros pontos do ei os 3 B E plano Portanto vocé tem de usar sua imaginaao para ver que os campos E e B da Figura 3519 so os mesmos campos E e B em toda parte em qualquer plano yz b A onda vai em sua direcgao VA yo A lei de Gauss aR ys A onda como hE Agora que entendemos a forma do campo eletromagnetico podemos verificar sua con vista no plano BY sisténcia com as equagdes de Maxwell Esse campo é uma onda senoidal entéo os com paralelo a ponentes do campo sao yzem x AE E0 E Eysen2axA ft E0 B 3524 Z B0 B0 B Bysen2mxA ft E onde E e B sao respectivamente as amplitudes da oscilagaéo do campo elétrico e da B oscilagéo do campo magnético A FIGURA 3521 mostra uma caixa imaginaria uma superficie gaussiana centrada FIGURA 3520 Interpretando a onda sobre um ponto do eixo x O campo elétrico e 0 magnético sao vetores que existem em eletromagnética da Figura 3519 cada ponto do espago entretanto a figura os mostra separadamente para que fique mais claro O campo E oscila ao longo do eixo y de modo que todas as linhas do campo elé trico deixam a caixa através das superficies superior e inferior nenhuma de suas linhas atravessa os lados da caixa Sendo esta uma onda plana o mddulo de cada vetor do campo elétrico que entra por baixo da caixa é exatamente igual ao de cada vetor do campo elétrico que sai da caixa pela parte superior da mesma O fluxo elétrico através do topo da caixa igual em m6 dulo mas oposto em sinal ao fluxo através da base e o fluxo através dos lados é nulo Assim o fluxo resultante é 0 Nao existe carga no interior da caixa porque nao existem fontes nesta regiao do espaco portanto também temos 0 Assim o campo CAPITULO 35 m Campos Eletromagnéticos e Ondas 1099 elétrico de uma onda plana é consistente com a primeira das equagdes de Maxwell na auséncia de fontes a lei de Gauss O fluxo elétrico resultante através da caixa nulo O fluxo magnético resultante através da caixa nulo y y i Z os ig Zz a 2 f B Campo elétrico Campo magnético FIGURA 3521 Superficie fechada usada para verificar a validade da lei de Gauss para os campos elétrico e magnético Exatamente 0 mesmo argumento se aplica ao campo magnético O fluxo magnético resultante é 0 assim o campo magnético é consistente com a segunda das equa goes de Maxwell A lei de Faraday A lei de Faraday diz respeito a variagao de um fluxo magnético através de uma curva y Retangulo fechada Aplicaremos a lei de Faraday ao estreito retangulo do plano xy mostrado na Fl GURA 3522 de altura h e largura Ax Assumiremos que Ax seja tao pequeno que B seja Eu Ax praticamente constante ao longo da largura do retangulo Ex t O campo magnético B aponta no sentido do eixo z perpendicularmente ao retangulo x O fluxo magnético através do retangulo BA inouio BnAx de modo que o fluxo z h Sond ode varia a taxa de zB propagaciio d d OB da onda dt 1 pa 57 tA 3525 Ax Sentido de integragao A derivada ordindria dB dt a taxa total de variagao de B devido a todas as causas possiveis FIGURA 3522 Alel de Faraday aplicada a tornase uma derivada parcial nesta situacio pois a variacao do fluxo magnético devese UM estreito retangulo no plano xy inteiramente neste caso a variacao de B com o tempo e nada a variagao espacial de B De acordo com a nossa convengao de sinais temos de andar ao redor do retangulo no sentido antihorario para que o fluxo seja positivo Assim devemos também empregar um sentido antihorario para avaliar a integral de linha pi ds Beave Bass Bears Eds 3526 direita em cima esquerda embaixo O campo elétrico E tema orientagao do eixo y portanto E ds Oem todos os pontos da borda superior e da inferior e essas duas integrais sAo nulas Ao longo da borda esquerda do caminho fechado na posicgao x E tem o mesmo valor em cada ponto A Figura 3522 mostra que a orientacgdo de E oposta a de ds de modo que E ds Exds Na borda direita do caminho fechado na posigéio x Ax E é paralelo ads e E ds Ex Axds Assim a integral de linha de E ds ao longo do retangulo é fe ds Exh Ex Axh Ea Ax EaJh 3527 NOTA O simbolo Ex indica que E uma fungao da posigao x Ele ndo significa a multiplicagao de E por x No calculo vocé aprendeu que a derivada de uma fungao fx é df fet Av fe dx Ax0 Ax 1100 Fisica Uma Abordagem Estratégica Consideremos que Ax seja muito pequeno Se entao fizermos a largura do reténgulo tender a zero Ax 0 a Equaciio 3527 se tornara OE E ds hAx 3528 ox Usamos uma derivada parcial porque uma fungao da posigao x e do tempo t Agora usando as Equag6es 3525 e 3528 podemos escrever a lei de Faraday na forma OE d OB E ds hAx hAx ax dt ot A area hAx do retangulo é simplificada e ficamos com dE OB J 3529 ox ot A Equagao 3529 que compara a taxa segundo a qual E varia com a posio com a taxa segundo a qual B varia com o tempo é uma condido requerida que a onda eletro magnética deve satisfazer a fim de ser consistente com as equagdes de Maxwell Pode mos usar as Equag6es 3524 para E e B para calcular essas derivadas parciais OE 27E y 0 cos 27 xA ft ae COS27 OIA fi oB an 2mfBycos2mxA ft Assim a condiao requerida pela Equacgao 3529 JE 277 E OB cos27aA ft 2nfBycos27xA ft ox A ot Simplificando os varios fatores comuns e multiplicando por A obtemos Eo AfBo Vimo 3530 onde usamos 0 fato de que Af v para qualquer onda senoidal A Equacao 3530 proveniente da aplicagao da lei de Faraday significa que as am plitudes de campo E e B de uma onda eletromagnética nao sao arbitrarias Uma vez que a amplitude B da onda do campo magnético seja especificada a amplitude E do campo elétrico deve ser E Vy8 De outra maneira os campos nao satisfarao as equagodes de Maxwell A lei de AmpéreMaxwell y Temos ainda uma equagao mas esta sera mais facil agora A lei de AmpéreMaxwell diz EA Sentido de integracao respeito a variacao do fluxo elétrico através de uma curva fechada A FIGURA 3523 mostra um retangulo muito estreito de largura Ax e comprimento J no plano xz O campo elétri co é perpendicular ao retaéngulo por isso o fluxo elétrico através dele EA jpsnout 1 e y retangulo 5 x EIAx Este fluxo varia segundo a taxa LSI senisaacn Zz Sentido da onda d d EIA JE iA Ax Bor Ax dt at OY yO 3531 FIGURA 3523 A lei de AmpéreMaxwell 2 A s A integral de linha de B ds ao longo desse retaéngulo fechado é calculada exata aplicada a um retangulo estreito no plano oo XZ mente como foi a integral de linha de E ds da Figura 3522 O campo B perpendi cular a ds nas extremidades estreitas logo B ds 0 Em todos os pontos da borda esquerda 0 campo na posiio x Bx e este campo paralelo a ds de maneira que Bds Bxds Analogamente B ds Bx Axds em todos os pontos da bor da direita onde B é oposto a ds CAPITULO 35 m Campos Eletromagnéticos e Ondas 1101 Assim considerando que Ax 0 obtemos B ds BAxl Bx Axl Bx Ax Bx I 3532 OB IAx ox As Equagoes 3531 e 3532 agora podem ser usadas junto a lei de AmpéreMaxwell iB ds One eagug ee ey IA Bax SOMO Gg SOMO SAN A area do retangulo é simplificada e ficamos com Fy 3533 My ox oto ot A Equacao 3533 é a segunda condiao a que os campos devem satisfazer Se no vamente calcularmos as derivadas parciais usando as Equac6es 3533 para E e B obteremos dE a Toth Eo cos2mxA ft c0s27xA Ox Xr Com isso a Equac4o 3533 assume a forma OB 27Bo JE xe 608 2m aA ft oMo 2tr opto f Ey cos2mxA ft x Uma rodada final de simplificagdes e outro uso da relagdo Af v nos leva a p Po Bo 3534 eooAf oMOV en A ultima das equagdes de Maxwell nos fornece outro vinculo entre E e Bo A velocidade da luz Entretanto como podem ser simultaneamente verdadeiras a Equagao 3530 requerendo que E VgyBy a Equagdo 3534 A unica maneira possivel se 1 oMoVEm EM De onde concluimos que 4 300 x 10 m 3535 Vey 3 ms c oKo Tratase de uma conclusao notavel As constantes y 4 pertencem respectivamen te a eletrostatica e 4 magnetostatica onde determinam as intensidades de EF e B devido a cargas puntiformes A lei de Coulomb e a lei de BiotSavart em que pw aparecem pela primeira vez respectivamente nada tém a ver com ondas Todavia a teoria de Ma xwell do eletromagnetismo acaba prevendo que os campos elétrico e magnético podem formar uma onda eletromagnética autosustentada se a onda se propagar com uma velo cidade de valor especifico vz 1V fo Nenhuma outra velocidade a fara satisfazer as equag6des de Maxwell Nao fizemos nenhuma suposigao acerca da freqiiéncia da onda de modo que apa rentemente todas as ondas eletromagnéticas sem que importem as suas freqtiéncias se propagam com o mesmo valor de velocidade v 1V949 Chamamos esta velocida de de c a velocidade da luz mas ela se aplica igualmente bem desde as ondas de radio de baixa freqiiéncia até as freqiiéncias ultraaltas dos raios X Dica do professor A teoria eletromagnética foi fundamentada sobre as bases de quatro equações as equações de Maxwell Estas podem ser descritas na sua forma integral e diferencial O estudo das ondas eletromagnéticas constitui uma forma de aplicar cada uma dessas equações e detalhar o comportamento da onda como um todo levando em consideração seu comportamento ante um campo elétrico e um campo magnético A onda eletromagnética é uma composição dos dois campos citados Sua direção de propagação é sempre perpendicular às direções de propagação de cada campo sendo que os campos elétrico e magnético também são perpendiculares entre si Nesta Dica do Professor você vai ver uma descrição da Lei de Gauss para a eletricidade da Lei de Gauss para o magnetismo da Lei de Faraday e da Lei de AmpèreMaxwell Você também vai ver quais implicações cada uma dessas equações tem como por exemplo a comprovação da não existência de monopolos magnéticos obtida a partir da Lei de Gauss para o magnetismo Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 A teoria eletromagnética fundamentada nas quatro equações de Maxwell tem suas equações na versão diferencial e integral sendo que alguns teoremas são necessários ao longo da conversão como é o caso do teorema de Stokes Fazendo uso da teoria eletromagnética e de grandezas físicas que caracterizam os campos elétrico e magnético qual é a amplitude do campo magnético de uma onda eletromagnética cuja amplitude do campo elétrico é de 10Vm A A amplitude do campo magnético de uma onda eletromagnética calculado a partir da interação dos campos vale 75108T B A amplitude do campo magnético de uma onda eletromagnética calculado a partir da interação dos campos vale 156108T C A amplitude do campo magnético de uma onda eletromagnética calculado a partir da interação dos campos vale 92108T D A amplitude do campo magnético de uma onda eletromagnética calculado a partir da interação dos campos vale 33108T E A amplitude do campo magnético de uma onda eletromagnética calculado a partir da interação dos campos vale 05108T O campo magnético e o campo elétrico podem ser campos variáveis que se modificam em função do tempo Acompanhe 2 Qual é a amplitude do campo elétrico de uma onda eletromagnética cuja amplitude de campo magnético é de 20mT A O campo elétrico é constante e vale 3 105Vm B O campo elétrico é variável e vale 6 105Vm C O campo elétrico é variável e vale 2 105Vm D O campo elétrico é constante e vale 5 105Vm E O campo elétrico é constante e vale 9 105Vm 3 O campo magnético de uma onda eletromagnética no vácuo é Bz 3μTsen107x ωt em que x está em metros e t está em segundos Para essa onda calcule a o comprimento b a frequência c a amplitude do campo elétrico Assinale a alternativa correta contendo os três valores pedidos A Os respectivos valores de comprimento frequência e amplitude do campo elétrico são λ 253nm f 512 1012Hz E0 630Vm B Os respectivos valores de comprimento frequência e amplitude do campo elétrico são λ 938nm f 678 1012Hz E0 890Vm C Os respectivos valores de comprimento frequência e amplitude do campo elétrico são λ 529nm f 389 1013Hz E0 650Vm D Os respectivos valores de comprimento frequência e amplitude do campo elétrico são λ 423nm f 74 1014Hz E0 1350Vm E Os respectivos valores de comprimento frequência e amplitude do campo elétrico são λ 628nm f 477 1014Hz E0 900Vm 4 As equações de Maxwell utilizam os conceitos de carga elétrica e de corrente total para descrever fenômenos elétricos e magnéticos que ocorrem quando se estuda o comportamento de campos vetoriais variáveis como o campo elétrico e o campo magnético Nesse caso considere que o campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo seja Em que x está em metros e t está em segundos Para essa onda determine a o comprimento de onda b a frequência c a amplitude do campo magnético Os campos elétrico e magnético interferem um no outro de modo que as grandezas foram calculadas independentemente uma da outra e valem λ 15nm f 4 1016Hz B0 667 A 106T B λ 20nm f 35 1016Hz B0 244 108T C Os campos elétrico e magnético interferem um no outro de modo que as grandezas foram calculadas independentemente uma da outra e valem λ 10nm f 3 1016Hz B0 667 108T D Os campos elétrico e magnético interferem um no outro de modo que as grandezas foram calculadas independentemente uma da outra e valem λ 6nm f 51016Hz B0 51 108T E Os campos elétrico e magnético não interferem um no outro de modo que as grandezas foram calculadas independentemente uma da outra e valem λ 14nm f 2 1016Hz B0 893 108T 5 Podemos medir a intensidade de uma onda magnética em função da grandeza potência por unidade de área pois devese considerar uma área circular através da qual a onda passa A intensidade mede a quantidade de energia que passa por unidade de tempo e por unidade de área em certa região do espaço Considerando a interação entre campos encontre a amplitude do campo magnético de uma onda eletromagnética cuja amplitude do campo elétrico é de 100Vm e a intensidade dessa onda A B0 333 107T e I 133Wm2 B B0 752 107T e I 329Wm2 C B0 145 106T e I 107Wm2 D B0 497 107T e I 1321Wm2 E B0 046 105T e I 54Wm2 Na prática Ao longo da história houve muitas invenções No ramo do eletromagnetismo houve muitos experimentos e observações que levaram a descobertas fenomenais O fato de que a luz constitui uma onda eletromagnética revolucionou a física e a partir daí muitas teorias novas surgiram As Leis de Maxwell se encontram nesse contexto de descoberta São quatro equações que unificam toda a teoria eletromagnética baseadas nas variações de campos vetoriais especificamente o campo elétrico e o campo magnético Tais equações permitem hoje a aplicação das Leis de Maxwell para explicar o funcionamento de muitos dispositivos eletrônicos Na Prática você vai ver como os campos elétrico e magnético influenciam um ao outro e com base nesse comportamento como as Leis de Maxwell podem explicar o funcionamento de alguns dispositivos elétricos Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Física uma abordagem estratégica O volume 1 desta obra aborda os temas mecânica newtoniana gravitação oscilações e ondas utilizando uma linguagem clara e de fácil assimilação Diversos tipos de atividades de aprendizagem como questões do tipo pare e pense boxes táticos resumos dos capítulos questões conceituais exercícios e problemas etc reforçam os conceitos apresentados em cada capítulo Contém um CDROM com exercícios interativos e animações Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Física para universitários eletricidade e magnetismo Este livro descreve e explica cuidadosamente inúmeros tópicos entre eles as propriedades da carga elétrica o campo elétrico e a Lei de Gauss o potencial elétrico a capacitância correntes e resistências elétricas circuitos de corrente contínua magnetismo campos magnéticos produzidos por correntes elétricas indução eletromagnética correntes e oscilações eletromagnéticas ondas eletromagnéticas entre outros Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Aplicações das equações de Maxwell na engenharia elétrica Neste artigo científico você vai ver mais uma aplicação da teoria eletromagnética bem como uma análise profunda acerca das quatro equações que regem o eletromagnetismo Posteriormente você vai ver aplicações dos conceitos eletromagnéticos em uma área de grande renome na engenharia elétrica que por estar relacionada ao tema energia valese da teoria eletromagnética equações de Maxwell para explicar como a energia pode ser transferida em longas distâncias Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar