Apresentação sobre o Teorema de Stokes

Teorema de Stokes Apresentação O Teorema de Stokes possui esta nomenclatura por causa de uma homenagem ao matemático George Gabriel Stokes e é considerado uma grande generalização do teorema geral do cálculo Nesta Unidade de Aprendizagem abordaremos este teorema que relaciona a integral numa superfície a uma integral ao longo de sua fronteira Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Enunciar o Teorema de Stokes Reconhecer a importância do Teorema de Stokes na análise vetorial Utilizar o Teorema de Stokes na resolução de problemas Desafio Karina e Jessica são alunas de Engenharia e estão cursando a disciplina de Cálculo Sabendo que o raciocínio de Jessica está correto explique como ela sabe Infográfico Acompanhe o infográfico com o conteúdo abordado nesta Unidade de Aprendizagem destacando as características do Teorema de Stokes no contexto dos teoremas da análise vetorial Conteúdo do livro Ao realizar uma comparação entre o Teorema de Stokes e o Teorema de Green destacase que o primeiro é uma generalização do segundo a três dimensões pois o Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla no plano já o Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha em R3 com uma integral de superfície Para conhecer mais detalhes acompanhe um trecho da obra Cálculo Volume 2 de Jon Rogawski Inicie sua leitura pelo título Teorema de Stokes Boa leitura R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 1000 CÁLCULO 39 Use os resultados dos Exercícios 37 e 38 para provar a proprie dade do valor médio das funções harmônicas se é harmônica então para todo r 40 Mostre que é harmônica Confi ra a validade da propriedade do valor médio para f x y diretamente expan da como uma função de e calcule Mostre que não é harmônica e não satisfaz a pro priedade do valor médio 182 Teorema de Stokes O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green a três dimensões Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla no plano o Teo rema de Stokes relaciona uma integral de linha em com uma integral de superfície Necessitamos de alguns conceitos preliminares para enunciar o Teorema de Stokes Lembre que na aplicação do Teorema de Green a um domínio D precisamos orientar a curva de fronteira de tal modo que D fi que à esquerda de quem percorre a fronteira na direção positiva ou seja no sentido antihorário se D for delimitada por uma curva fechada simples No Teorema de Stokes precisamos levar em conta tanto a orientação da superfície S quanto a orientação de sua fronteira Inicialmente vamos elucidar o que signifi ca a fronteira de uma superfície A Figura 1 ilustra várias possibilidades a fronteira pode ser uma curva fechada sim ples como em A ou pode consistir em várias curvas fechadas como em B Se a su perfície não tiver fronteira como em C dizemos que S é uma superfície fechada Para determinar se S é fechada ou não perguntese se ela pode reter ar ou não Se puder S é fechada Se possuir fronteira então o ar pode escapar através do buraco cortado fora pela curva de fronteira B A fronteira consiste em três curvas fechadas A A fronteira consiste numa única curva fechada C Uma superfície fechada a fronteira é vazia Lembre que na Seção 175 defi nimos uma superfície como sendo orientada se tiver sido especifi cado um vetor normal unitário em cada ponto que varia de maneira contínua Uma superfície orientada tem dois lados e uma escolha dos vetores normais especifi ca um desses dois lados Uma vez fi xada uma orientação de S podemos induzir uma orientação de fronteira em como segue se imaginarmos que sejamos o vetor normal caminhan do ao longo da curva de fronteira a superfície deverá fi car à nossa esquerda A Figura 2 mostra duas orientações de uma superfície cuja fronteira consiste em duas curvas e Observe como a orientação da fronteira depende da orientação da superfície FIGURA 1 Superfícies e suas fronteiras FIGURA 2 A orientação da fronteira para cada uma das duas orientações possíveis da superfície S CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 1001 O último ingrediente do Teorema de Stokes é o rotacional de um campo vetorial defi nido pelo determinante simbólico Em termos de componentes Observe que rotF é de novo um campo vetorial O rotacional escalar defi nido na seção precedente é igual ao componente z do vetor rotacional É conveniente defi nir o operador del Podemos pensar em rotF como o produto vetorial simbólico de e F É imediato conferir que tomar o rotacional é uma operação linear no seguinte sentido EXEMPLO 1 Calculando o rotacional Calcule o rotacional de Solução Calculamos o rotacional como um determinante simbólico Agora podemos enunciar o Teorema de Stokes para uma superfície orientada S em cuja fronteira é uma curva fechada ou uma união de curvas fechadas Devemos exigir que S seja lisa ou lisa por partes de alguma forma conveniente mas é bastante técnico tornar precisa essa exigência É sufi ciente supor que S tenha uma parametrização injetora regu lar e continuamente diferenciável onde D é um domínio do plano delimitado por uma curva lisa fechada e simples Mais geralmente o Teorema de Stokes é válido 1002 CÁLCULO para superfícies lisas como uma esfera ou um toro ou superfícies lisas por partes como a superfície de um cubo ou de um tetraedro TEOREMA 1 Teorema de Stokes Suponha que S seja uma superfície orientada lisa por partes cuja fronteira seja uma curva fechada ou uma união de curvas fechadas confor me acabamos de descrever Seja a fronteira de S com sua orientação de fronteira Seja F um campo vetorial cujos componentes têm derivadas parciais contínuas Então Se S for fechada ou seja se for vazia então é nula a integral de superfície do lado direito Demonstração Uma prova completa do Teorema de Stokes está fora do alcance deste li vro Aqui provamos o caso especial em que S é o gráfi co de uma função z f x y acima de um domínio D do plano xy Orientamos S com normal apontando para cima Seja a curva de fronteira de S Usando componentes podemos escrever cada lado da Equação 1 como uma soma Basta mostrar que os termos correspondentes aos componentes i j e k são iguais entre si Vamos fazer isso para os componentes i As contas para os componentes j são análogas e deixamos as contas para os componentes k como exercício Exercício 31 Assim o que queremos provar é que Seja a fronteira do domínio D no plano xy orientada no sentido antihorário Fi gura 3 Observe que a fronteira C de S projeta sobre Seja para uma parametrização antihorária de Então C com sua orientação de fron teira é parametrizada pelo caminho ct xt yt f xt yt Assim temos e portanto FIGURA 3 CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 1003 Desse modo o lado esquerdo da Equação 2 é igual a Agora observamos que a integral do lado direito é igual à integral de linha do campo ve torial planar ao longo de de modo que podemos aplicar o Teorema de Green Pela regra da cadeia O Teorema de Green fornece Para completar a prova calculamos a integral de superfície de usando a para metrização de S Obtemos As Equações 3 e 4 garantem a Equação 2 como queríamos provar EXEMPLO 2 Conferindo o Teorema de Stokes Confi ra a validade do Teorema de Stokes para e o hemisfério superior orientado por vetores normais apontando para fora Figura 4 Solução Calculamos ambos lados da Equação 1 do Teorema de Stokes Passo 1 Calcular a integral de linha ao longo da fronteira A fronteira de S é o círculo unitário orientado no sentido antihorário com parametri zação ct cos t sen t 0 Assim FIGURA 4 O hemisfério superior com fronteira orientada LEMBRETE Na Equação 5 usamos 1004 CÁLCULO Passo 2 Calcular o rotacional Passo 3 Calcular o fl uxo do rotacional através da superfície Parametrizamos o hemisfério usando coordenadas esféricas Como vimos em exemplos precedentes Equação 5 na Seção 174 o vetor normal no ponto apontando para fora é Temos O hemisfério superior S corresponde a de modo que o fl uxo de rotF através de S é igual a Passo 4 Comparar as respostas Ambas a integral de linha e o fl uxo do rotacional são iguais a Assim conferimos o Teorema de Stokes nesse caso Ao calcular o rotacional de um campo vetorial é útil observar que as derivadas parciais e aparecem em rotF mas não Assim se for uma função só de x então e portanto não contribui para o rota cional O mesmo vale para os demais componentes Em outras palavras se e dependerem somente de suas variáveis correspondentes x y e z então CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 1005 EXEMPLO 3 Usando o Teorema de Stokes para calcular uma integral de linha Use o Teorema de Stokes para calcular onde e C é a fronteira do triângulo na Figura 5 com a orientação indicada Solução Aplicamos o Teorema de Stokes à superfície triangular S da Figura 5 O plano que contém S tem uma equação Esse plano é o gráfi co de e S é a parte do gráfi co que fi ca aci ma de um triângulo D do plano xy Não seria difícil descrever D explicitamente mas isso não será necessário para resolver nosso problema O vetor normal de S na parametrização é Para simplifi car o cálculo de rotF usamos a observação do parágrafo precedente que nos diz que os termos e podem ser ignorados Com isso é imediato calcular Agora observamos que rotF é ortogonal a n Portanto pelo Teorema de Stokes ENTENDIMENTO CONCEITUAL Existe uma analogia interessante e importante entre o Teorema de Stokes e o Teorema Fundamental de Campos Gradiente enunciado na Seção 173 Se então o Teorema Fundamental nos diz que FIGURA 5 Superfície S 1006 CÁLCULO para quaisquer dois caminhos e de P até Q Figura 6 Como observamos isso mostra que a integral de linha de um campo vetorial gradiente é independente do ca minho e depende somente da fronteira orientada do caminho imagine que a fronteira orientada seja a diferença das extremidades Q P Para integrais de superfície em vez de perguntar se para alguma função potencial perguntamos se F rotA para algum campo vetorial A Esse campo vetorial se existir costuma ser denominado potencial vetor de F Se F tiver um po tencial vetor A então pelo Teorema de Stokes aplicado ao campo A O lado direito depende somente da fronteira orientada mas não da própria S Em outras palavras se e forem duas superfícies com a mesma curva de fronteira orientada C Figura 7 então já que ambas integrais de superfície são iguais a Esse é o análogo da indepen dência de caminho de campos gradiente Em particular se S for fechada então a curva de fronteira é vazia A circulação de A ao longo da curva vazia é zero portanto FIGURA 6 Dois caminhos com a mesma fronteira Q P C1 C2 P Q FIGURA 7 As superfícies e têm a mesma fronteira orientada TEOREMA 2 Independência de superfícies para campos vetoriais rotacionais Se F rotA então o fl uxo de F através de uma superfície S depende somente da fronteira orientada e não da própria superfície Em particular se S for fechada ou seja se for vazia então Um potencial vetor de um campo vetorial F é um tipo de antiderivada e como todas antiderivadas não é único Se F rotA então F rotA B para qualquer campo vetorial B tal que rotB 0 EXEMPLO 4 Seja F rotA onde Determine o fl uxo de F através das superfícies e cuja fronteira comum C é o círculo unitário do plano xz da Figura 8 Solução Quando percorremos o círculo C no sentido indicado pela seta a superfície fi ca à esquerda Portanto C está orientada como a fronteira de e pelo Teorema de Stokes A parametrização ct cos t 0 sen t traça C no sentido indicado pela seta porque co meça em c0 1 0 0 e se movimenta na direção de Temos FIGURA 8 CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 1007 Concluímos que Por outro lado fi ca à direita quando percorremos C e portanto é C que está orientada como fronteira de Obtemos ENTENDIMENTO CONCEITUAL Na Seção 181 interpretamos o rotacional escalar como uma medida da tendência de girar Vimos que se F for o campo de velocidades de um fl uido então o rotacional de F num ponto P pode ser medido colocando uma rodinha de pás em P e determinando sua velocidade de rotação É possível estender essa interpre tação a três dimensões Observe uma diferença importante entre duas e três dimensões No plano só há uma maneira de colocar a rodinha de pás no fl uido Em três dimensões podemos colocar a rodinha de pás em P de muitas maneiras e a velocidade de rotação depende de como colocarmos a rodinha Figura 9A Mostremos como o vetor rotF simultaneamente codifi ca a tendência de girar em todas direções possíveis Seja C o círculo de fronteira da rodinha de pás e R a região delimitada Figura 9B Se C for sufi cientemente pequena e rotF for contínuo então rotF é pratica mente constante em R com valor igual a Se for um vetor normal unitário a R em P então o Teorema de Stokes fornece a aproximação Essa aproximação vale para qualquer pequena região R com fronteira C Nosso resul tado pode ser expresso em termos do ângulo entre e Esse é um resultado impressionante Se fi xarmos o tamanho do círculo C mas trocar mos sua posição no espaço então a circulação ao longo de C varia mas numa apro ximação de primeira ordem varia de uma maneira simples a saber como o cosseno do ângulo Em particular a circulação máxima ocorre quando e apontarem na mesma direção enquanto que a circulação é nula numa aproximação de primeira or dem quando for perpendicular a FIGURA 9 B A C R P en vP rotF C P r en C P r en 1008 CÁLCULO EXEMPLO 5 Um potencial vetor de um solenóide Quando uma corrente passa por um solenóide que é uma espiral de arame bem enrolada ver Figura 10 é criado um cam po magnético B Se supusermos que o solenóide tenha comprimento infi nito raio R e eixo central z então B é nulo fora do solenóide e tem valor Bk dentro do solenóide onde B é uma constante que depende da intensidade de corrente e do espaçamento das espirais de arame a Mostre que um potencial vetor de B é onde é a distância ao eixo z b Calcule o fl uxo de B através da superfície S da Figura 10 cuja fronteira é um círculo de raio r R Solução a Devemos verifi car que B rotA Para simplifi car as contas observe que para um campo vetorial com componente z nulo o rotacional reduz a No nosso caso como r R temos Contudo o componente z também é nulo Assim rotA 0 quando r R como queríamos mostrar Para r R temos b Pelo Teorema de Stokes o fl uxo de B através de S é igual à circulação de A ao longo da fronteira que é um círculo horizontal de raio r orientado no sentido antihorário Parametrizando o círculo por ct r cos t r sen t 0 obtemos FIGURA 10 O campo magnético de um solenóide longo é praticamente uniforme dentro e fraco fora Na prática se o solenóide for muito comprido em relação a seu raio o consideramos como infi nitamente comprido O potencial vetor A não é diferenciável no cilindro r R ou seja no próprio solenóide Figura 11 O campo magnético B rotA tem uma descontinuidade de salto onde r R Estamos supondo que o Teorema de Stokes seja válido nesse contexto FIGURA 11 O comprimento do potencial vetor como uma função da distância r ao eixo z r R A CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 1009 Portanto o fl uxo de B através de S é igual a ENTENDIMENTO CONCEITUAL Existe uma diferença interessante entre potenciais escala res e vetores Se então o potencial escalar é constante nas regiões em que o campo F for nulo pois uma função de gradiente nulo é constante Isso não é válido para potenciais vetores Conforme vimos no Exemplo 4 o campo magnético B produzido por um solenóide é igual a zero fora do solenóide mas o potencial vetor A não é constante fora do solenóide De fato A é proporcional a Isso está relacionado com um fenômeno intrigante da Física denominado Efeito de Aharonov Bohm AB que foi proposto pela primeira vez nos anos 1940 De acordo com a Teoria do Eletromagnetismo um campo magnético B exerce uma força num elétron em movimento causando uma defl exão na trajetória do elétron Não esperamos defl exão alguma quando um elétron passa ao largo de um solenóide porque B é nulo fora do solenóide na prática o campo não é exatamente nulo mas é muito pe queno ignoramos essa complicação Contudo de acordo com a Mecânica Quântica os elétrons têm propriedades tanto de onda como de partícula Numa experiência de fenda dupla uma corrente de elétrons passando por duas pequenas fendas cria um padrão de interferência de onda num anteparo Figura 12 O efeito AB prevê que se colocarmos um pequeno solenóide entre as fendas como na fi gura o solenóide é tão pequeno que os elétrons nunca passam através dele então o padrão de interferência será levemente deslocado É como se os elétrons soubessem que existe um campo magnético dento do solenóide mesmo que nunca encontrem esse campo diretamente A existência do efeito AB foi debatida acaloradamente até que em 1985 foi confi r mada defi nitivamente em experiências desenvolvidas por uma equipe de físicos japoneses liderada por Akira Tonomura O efeito parece contradizer a teoria eletromagnética clássi ca em que a trajetória de um elétron é determinada somente por B Na Mecânica Quânti ca não há tal contradição porque o comportamento do elétron é governado não por B mas por uma função onda que é decorrência do potencial vetor nãoconstante A FIGURA 12 Uma corrente de elétrons passando por uma fenda dupla produz um padrão de interferência no anteparo Um solenóide pequeno é colocado entre as fendas Solenóide Corrente de elétrons B Anteparo 182 RESUMO A fronteira de uma superfície S é denotada por Dizemos que S é fechada se for vazia Suponha que S seja orientada um vetor normal que varia continuamente sendo especi fi cado em cada ponto de S Defi nimos a orientação de fronteira de pela condição seguinte se caminharmos ao longo da fronteira na direção positiva com a cabeça apon tando no sentido do normal então a superfície fi ca à nossa esquerda O Teorema de Stokes relaciona a circulação ao longo da fronteira com a integral de superfície do rotacional Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor Acompanhe no vídeo a seguir uma síntese dos conceitos desta Unidade de Aprendizagem o que pode ajudar na resolução dos exercícios pois apresenta exemplo de aplicação do Teorema de Stokes e algumas peculiaridades deste cálculo Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Na prática O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície Assim quando o cálculo do fluxo integral de superfície for muito complicado podemos calcular a circulação integral de linha Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Grings Teorema de Stokes Assista o vídeo a seguir sobre o Teorema de Stokes Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Cálculo Volume 2 ANTON BIVENS DAVIS Cálculo Volume 2 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 Pág 1158 1161 Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino