Mudança de Variável na Integração Múltipla

Mudança de variável Apresentação Nesta Unidade de Aprendizagem você vai conhecer a mudança de variáveis para a integração múltipla uma generalização das fórmulas particulares utilizadas na integração com coordenadas polares cilíndricas e esféricas Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir o determinante jacobiano de uma aplicação função Reconhecer o teorema da mudança de variáveis como uma generalização das fórmulas utilizadas no processo de integração em coordenadas polares cilíndricas e esféricas Resolver problemas de integração múltipla envolvendo mudança de variáveis Desafio Júlia está cursando a disciplina de Cálculo Nesta semana seu professor abordou o determinante jacobiano durante o estudo da mudança de variáveis na integração múltipla Ele explicou que quando a aplicação Φuv for uma transformação linear a área de uma região levada por é multiplicada por Φ ou seja uma transformação linear Φ expande ou comprime a área pelo fator como ilustra a figura Júlia achou este resultado bem interessante e questionou seu professor o módulo de um determinante tem relação com a área de uma figura Mas essa relação vale para qualquer tipo de aplicaçãoΦuv Escreva o que o professor pode ter respondido Infográfico Acompanhe o infográfico sobre mudança de variável e suas aplicabilidades Conteúdo do livro Acompanhe dois trechos da obra Cálculo Volume 2 de Jon Rogawski que abordam a mudança de variáveis na integração em várias variáveis II O primeiro define aplicações em Rn e o determinante jacobiano O segundo define a fórmula da mudança de variáveis na integração múltipla Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Dica do professor Acompanhe no vídeo a seguir uma síntese dos conceitos desta Unidade de Aprendizagem Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Marque a alternativa que contém o valor do jacobiano de Φuv uev ve 3u A a e3u v 13uv B b e3u v 13uv C c e3u v 13uv D d e3u v 13uv E e e3u v 13uv 2 Se Φuvfor uma transformação linear e D for um domínio no plano uv então a área de sua imagem Φ D é dada por Área Φ D Área D Marque a alternativa que contém a área de Φ D com D 03x05 e Φ uv 3u v u 2v A a 7 ua B b 15 ua C c 105 ua D d 105 ua E e 7 ua Seja D o paralelogramo da figura abaixo Usando a mudança de variáveis a Φu v 5u 3vu 4v calcule como uma integral em ΦD 01x01 3 A a B b C c D d 17 E e 2329 4 A ideia de determinante jacobiano pode ser estendida para o caso de três variáveis Marque a alternativa que contém o valor do jacobiano de Φuv w u uv uv uvw uvw no ponto 12 A a u2 v B b 2 C c 2 D d 6 E e 10 5 Seja D a região triangular de vértices 00 20 e 1 Use a transformação Φuv tal que e para calcular A a B b C c D d E e Na prática O caso geral de mudança de variáveis é útil pois nem todos os problemas envolvendo mudança de variáveis em integração múltipla podem ser resolvidos por meio de coordenadas polares cilíndricas e esféricas Em problemas aplicados podem aparecer regiões mais gerais como a esfera astroidal representada na figura cuja equação é dada por x⅔ y⅔ z⅔ a⅔ Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Mudança de Variáveis e Jacobiano Cálculo III Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Responde Aí Cálculo Mudança de Variáveis Integrais Duplas Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar