Campos Vetoriais: Conceitos e Aplicações em Cálculo

Campos vetoriais Apresentação Nesta Unidade de Aprendizagem será abordado o conceito de campos vetoriais fundamental em situações em que precisamos associar um vetor a cada ponto em uma região dada Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir campos vetoriais e reconhecer sua representação gráfica Produzir um campo vetorial a partir do gradiente de uma função diferenciável Utilizar a noção de campos vetoriais na resolução de problemas Desafio Mariana é aluna de engenharia e está cursando a disciplina de Cálculo Nesta semana seu professor abordou em aula o conceito de campos vetoriais Ele explicou a importância deste conceito e definiu o campo vetorial radial unitário em duas dimensões er com representado pela figura abaixo O professor explicou que para fazer o esboço de um campo vetorial F podemos tomar alguns pontos P pertencentes ao domínio D e desenhar o vetor F P como uma seta com origem em P ou seja a origem do vetor é trasladada paralelamente da origem do sistema de coordenadas para P Mariana lembrou que para representar uma reta no plano poderia escolher dois pontos mas ficou em dúvida sobre a quantidade de pontos que deveria escolher para representar um campo vetorial Então ela perguntou ao seu professor sobre quantos pontos devia escolher para representar um campo vetorial Escreva o que o professor de Mariana pode ter respondido Infográfico No infográfico você visualizará as formas de calcular os campos vetoriais Conteúdo do livro Acompanhe o capítulo 17 Integrais de linha e de superfície da obra Cálculo Volume 2 de Jon Rogawski que aborda o conceito de campos vetoriais CÁLCULO JON ROGAWSKI VOLUME 2 R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE N o capítulo anterior generalizamos a integração de uma para várias variáveis Nosso objetivo nesse capítulo é generalizar a integração ainda mais para incluir integração ao longo de curvas ou caminhos e so bre superfícies Defi niremos a integração não só de funções mas também de campos vetoriais As integrais de campos vetoriais são particular mente importantes nas aplicações envolvendo as teorias de campo da Física tais como a teoria do eletromagnetismo transferência do calor dinâmica de fl uidos e aerodinâmica Iniciamos este capítulo apresentan do os campos vetoriais 171 Campos vetoriais Existem situações em que é natural considerar um vetor associado a cada ponto de uma região dada Tal coleção de vetores é denominada um campo de vetores ou então um campo vetorial Por exemplo a Figura 2 mostra o campo vetorial da velocidade do vento ao largo da costa de Los Angeles na Califórnia O vetor em cada ponto é o vetor velocidade do vento naquele ponto Representamos um campo vetorial no espaço tridimensional por um vetor cujos com ponentes são funções Também escrevemos e denotamos o valor de F no ponto P por FP Um campo vetorial no plano tem a forma ou Neste capítulo vamos supor que os componentes são funções lisas ou seja têm derivadas parciais de todas ordens em seus domínios FIGURA 2 O campo vetorial representando a velocidade horizontal do vento ao largo da costa de Los Angeles na Califórnia A Dinâmica de Fluidos é o estudo das equações que devem ser satisfeitas pelos componentes de campos de velocidade de fl uidos Muitos problemas interessantes permanecem sem resolução especialmente o problema de descrever a turbulência Figura 1 Os pesquisadores usam computadores de última geração para simular a intrincada dinâmica da turbulência FIGURA 1 O fl uxo turbulento da água em volta do casco de um submarino Essa imagem da superfície de uma cruzeta simétrica foi produzida por R Palais usando o programa de visualização matemática 3DXplorMath 17 924 CÁLCULO EXEMPLO 1 Esboce os campos vetoriais e Solução Esses campos vetoriais estão esboçados na Figura 3 Observe que é perpendicular ao vetor posição e tem o mesmo comprimento Assim podemos descrever F como segue os vetores ao longo do círculo de raio r centrado na origem são tangentes ao círculo e têm comprimento r O campo vetorial G i xj depende só de x portanto associa o mesmo vetor a todos os pontos de mesma coordenada x Em outras palavras os vetores não mudam ao longo de retas verticais Quando x cresce o vetor fi ca mais comprido e sua inclinação é positiva ou negativa dependendo do sinal de x x y 2 0 0 2 F y x G 1 x x y 3 2 1 1 2 3 0 2 2 0 FIGURA 3 Embora geralmente não seja prático esboçar campos vetoriais no espaço tridimensio nal à mão podemos usar um sistema algébrico computacional para produzir uma repre sentação visual útil Figura 4 Observe que o campo vetorial na Figura 4B é um campo vetorial constante cujo valor em cada ponto é o vetor A F x sen z y2 xz2 1 B Campo vetorial constante F 1 1 3 x y z x y z FIGURA 4 Um campo vetorial unitário é um campo vetorial F tal que para todo ponto P Exemplos importantes são os campos vetoriais radiais unitários em duas e três dimensões Figuras 5 Aqui se n 3 e se n 2 Em cada ponto P é o vetor unitário apontando na direção e sentido do vetor radial CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 925 x y x y z Campo vetorial unitário radial er xr yr zr A no espaço B Campo vetorial unitário radial er xr yr no plano FIGURA 5 Campos vetoriais gradiente Uma maneira de produzir um campo vetorial é tomar o gradiente de uma função dife renciável Um campo vetorial desse tipo é denominado campo vetorial gradiente ou campo gra diente e a função é denominada um potencial ou uma função potencial de F As mes mas defi nições são aplicáveis a duas variáveis ou mais geralmente a n variáveis Veremos que os campos vetoriais gradiente têm propriedades importantes quando estudarmos inte grais de linha na Seção 173 EXEMPLO 2 Mostre que é um potencial do campo vetorial Solução Calculamos o gradiente de Assim como queríamos provar Será que todo campo vetorial é o gradiente de alguma função A resposta é não como mostraremos no Exemplo 3 a razão é que os componentes de um campo vetorial gradiente têm a propriedade especial de que as parciais mistas são iguais Suponha que onde tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas Agora derivemos o componente x em relação a y e o componente y em relação a x Lembre que pelo Teorema de Clairaut na Seção 153 as derivadas parciais mistas são iguais Segue que para um campo vetorial gradiente O físico inglês Paul Dirac 19021984 que recebeu o Nobel em 1933 introduziu os spinors que generalizam os vetores para unifi car a Teoria Especial da Relatividade com a Mecânica Quântica Isso levou à descoberta do pósitron uma partícula elementar utilizada na tomografi a computadorizada para detectar o câncer e estudar processos metabólicos no corpo 926 CÁLCULO Analogamente as outras parciais mistas de F são iguais Um vetor F que não satisfaz essas equações não pode ser um campo vetorial gradiente Assim provamos o teorema seguinte TEOREMA 1 Parciais mistas de um campo vetorial gradiente são iguais Seja um campo vetorial gradiente cujos componentes têm derivadas parciais contínuas En tão as derivadas parciais mistas são iguais Analogamente se o campo vetorial do plano for gradiente então EXEMPLO 3 Mostre que não é um campo vetorial gradiente Solução As parciais mistas não são iguais Assim F não é um campo vetorial gradiente mesmo que as outras parciais mistas coincidam Embora nem todo campo vetorial tenha um potencial o teorema seguinte mostra que se existir uma função potencial então a menos de uma constante ela é única TEOREMA 2 Unicidade de funções potenciais Se F é um campo vetorial gradiente numa bola em ou um disco no então duas funções potenciais quaisquer diferem por uma constante Demonstração Se ambas e são funções potenciais de F então o gradiente da diferen ça é zero Contudo uma função cujo gradiente é zero numa bola é uma função constante isso genera liza o fato do Cálculo de uma variável de que uma função com derivada zero num intervalo é uma função constante ver Exercício 33 Portanto e para alguma constante C CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 927 No exemplo seguinte mostramos que o campo vetorial radial de quadrado inverso é um campo gradiente Esse campo é de grande importância por descrever a força gravita cional gerada por massas pontuais ou a força eletrostática gerada por uma carga pontual Se a massa ou carga estiver localizada na origem então existe uma constante k tal que o campo de força é Esse campo vetorial não está defi nido na origem r 0 EXEMPLO 4 Potenciais para os campos vetoriais radiais unitário e de quadrado inverso Mos tre que e Solução Tratamos o caso de campos vetoriais radiais em Figura 6 As contas no são parecidas Como temos Analogamente e Portanto Usando a regra da cadeia para gradientes Teorema 1 da Seção 155 obtemos LEMBRETE Em onde Em onde x y z FIGURA 6 O campo vetorial que representa a menos de um múltiplo escalar o campo de força gravitacional gerado por uma massa pontual Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor Acompanhe no vídeo a seguir uma síntese dos conceitos desta Unidade de Aprendizagem Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Calcule e esboce os vetores associados aos pontos P12 e Q1 1 pelo campo vetorial F x2x A FP 11 FQ 11 B FP 11 FQ 11 FP 12 FQ 11 C D FP 11 FQ 11 E FP 11 FQ 11 2 Calcule e esboce os vetores associados aos pontos P011 e Q210 pelo campo vetorial A B FP 010 FQ 202 C FP 010 FQ 200 D FP 011 FQ 202 E FP 010 FQ 202 3 Marque a alternativa que contém um esboço do campo vetorial A B C D E 4 Marque a alternativa que contém um campo vetorial unitário A B C D E 5 Considere a função diferenciável ϕ xy exy Marque a alternativa que contém o campo vetorial gradiente A Fexey B Fexyexy C Fxexyyexy D Fyexyyexy E Fyexyxexy Na prática Campos vetoriais podem estar associados a diversas situações práticas Por exemplo se temos um fluido em movimento cada partícula corresponde a uma velocidade v ou seja podemos definir um campo vetorial Imagine uma corrente em que a água flui horizontalmente em qualquer nível e considere a camada de água em uma profundidade específica Em cada ponto da camada a água tem uma certa velocidade que pode ser representada por um vetor naquele ponto Essa associação de vetores de velocidade com pontos em uma camada bidimensional é denominada campo de velocidades nessa camada A figura a seguir ilustra essa situação Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Campos vetoriais campo circular ou campo de spin Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Como desenhar um campo vetorial Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Cálculo IV Campo vetorial Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Divergente e rotacional de um campo vetorial Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar