Integral de Linha Vetorial e a Influência da Orientação da Curva

Karina está cursando a disciplina de Cálculo Nesta semana seu professor abordou as integrais de linha e utilizou a seguinte expressão para calcular a integral de linha vetorial c Fds ab Fctctdt Karina compreendeu a expressão e soube calcular as integrais propostas pelo professor No entanto durante a resolução percebeu que algumas deram resultado positivo e outras negativo Então questionou seu professor Eu vi que alguns resultados foram positivos e outros negativos Tem alguma explicação geométrica para isso já que a integral de linha vetorial é definida como a integral do componente tangencial Escreva o que o professor pode ter respondido c F ds ab F ct c t dt Com efeito uma possível explicação pode ser dada com relação a forma como que a curva Ct é parametrizada Decerto por estarmos trabalhando com estruturas vetoriais e logo o sentido da curva deve ser considerado Por exemplo consideremos o exemplo Fxy xi e C é a curva que vai de 00 até 11 Ou seja dada por A curva C pode ser parametrizada por Ct 11 t com 0 t 1 Então temos que t i t j c F ds 01 Fct ct dt 01 t i ddt t i t j dt 01 t i i j dt 01 t dt t²2 01 12 Por outro lado veja que se tomarmos o inter valo de integração de 1 até zero o que equivale a tomarmos a orientação contrária nós teremos o gráfico E temos c F ds 10 Fctct dt 10 t i i j dt 10 t dt t²2 10 12 Nota que a ordem de integração do parâmetro t da função implica na mudança do sinal da integral Em suma isso decorre do caráter vetorial da curva Ct que é orienta da mesmo que tanto de 0 até 1 ou de 1 até 0 tenhamos o mesmo lugar geométrico Deste modo o problema relatado pela aluna decorre da consideração do sentido da curva Ct que é tomada