Area da Superficie Paraboloide z x2 y2 Abaixo de z 9

Determine a área de superfície da parte do paraboloide z x2 y2 que está abaixo do plano z 9 Podemos analisar que a interseção entre o plano e o paraboloide é uma circunferência Para determinar o raio da circunferência basta substituir z 9 em z x2 y2 o que nos dá x2 y2 9 então o raio é 3 Para resolver o problema vimos usar coordenadas polares onde x rcosθ y rsenθ dA rdrdθ A região que irá ser calculada a área do sólido será R θr 0 r 3 0 θ 2π Então teremos a integral 0 a 2π 0 a 3 rcosθ2 rsenθ2 rdrdθ 0 a 2π 0 a 3 r2cos2θ r2sen2θ rdrdθ 0 a 2π 0 a 3 r2cos2θ sen2θ r dr dθ Como sen2θ cos2θ 1 temos 0 a 2π 0 a 3 r2r dr dθ 0 a 2π 0 a 3 r3 dr dθ 0 a 2π r440 a 3 dθ 0 a 2π 344 044 dθ 0 a 2π 814 dθ 814 0 a 2π dθ 814 θ0 a 2π 8142π 0 81π2 Logo a área da superfície é 81π2 ua