Exercícios Resolvidos Cálculo Integral Triplo em Coordenadas Esféricas

Exercícios 1 Utilize coordenadas esféricas para calcular B x2 y2 z22 dV onde B é a bola com centro na origem e raio 5 2 Calcule E x2 y2 dV onde E está entre as esferas x2 y2 z2 4 e x2 y2 z2 9 3 Calcule E xex2 y2 z2 dV onde E é a porção da bola unitária x2 y2 z2 1 que fica no primeiro octante 4 Calcule H 9 x2 y2 dV onde H é o hemisfério sólido x2 y2 z2 9 z 0 Temos assim para a integral A A 0π 23 02π ρ4 sin3φ dθ dρ dφ 0π 23 ρ4 sin3φθ02π dρ dφ 2π 0π 23 ρ4 sin3φ dρ dφ 2π 0π ρ5523 sin3φ dφ A 2π5 35 25 0π sin3φ dφ FÓRMULA DE REDUÇÃO sinmx dx cosx sinm1xm m1m sinm2x dx Utilizando a fórmula de indução em A com m3 A 2π5 cosφ sin2φm0π 23 0π sinφ dφ 0 pois sinπ sin0 0 A 2π5 23 cosφ0π 2π15 cosπcos0 A 2π15 2 4π15 E x2 y2 dV E entre esferas x2 y2 z2 4 e x2 y2 z2 9 Coordenadas esféricas x ρ sinφ cosθ y ρ sinφ sinθ z ρ cosφ ρ varia de 2 a 3 raios das esferas θ varia de 0 a 2π φ varia de 0 a π dx dy dz ρ2 sinφ dρ dφ dθ x2 y2 ρ2 sin2φ Assim E x2 y2 dV 0π 23 02π ρ4 sin3φ dθ dρ dφ cálculo da integral A do item 1 Resultado 4π15 E x ex²y²z² dV E x² y² z² 1 E é a bola Temos que 0 ρ 1 0 θ π2 0 φ π2 e Também que x ex² y² z² ρ sinφ cosθ eρ² Resolvendo então B em coordenadas esféricas B 01 0π2 0π2 ρ³ sin²φ cosθ eρ² dθ dφ dρ B 01 0π2 ρ³ sin²φ eρ² sinθ 0π2 dφ dρ B 01 0π2 ρ³ sin²φ eρ² sinπ2 dρ dφ 0π2 01 ρ³ eρ² sin²φ dφ dρ seja sin²φ 1 cos2φ2 Integrando sin²φdφ 1 cos2φ2 dφ φ2 cos2φ2 dφ u 2φ du2 dφ sin²φdφ φ2 14 cosu du φ2 sin2φ4 Voltando então em B B 01 ρ³ eρ² φ2 sin2φ4 0π2 dρ Obs sin2φ0π2 sinπ sin0 0 B 01 ρ³ eρ² π4 dρ mudança de variáveis u ρ² du2 ρ dρ para x 0 u 0 x 1 u 1 B π4 01 u eu 2 du π8 01 u eu du Integrando por partes v u dv dv dw eu du w eu ab v w dτ τ w ab ab eu du B π8 u eu 01 01 eu dτ π8 e e0 B π8 e e 1 B π8