Notas de Aula - Cálculo II - Aplicações das Integrais

NOTAS DE AULA Calculo II Prof Dr Ranon de Souza Gomes Macapa 2021 Sumario 1 Aplicacoes das Integrais 3 11 Integrais Improprias 3 12 Areas entre as Curvas 8 13 Comprimento de Arco 10 14 Area de uma Superfıcie de Revolucao 12 2 Funcoes de Varias Variaveis 15 21 Secoes Cˆonicas 15 22 Cilindros e Superfıcies Quadricas 19 23 Funcoes de Varias Variaveis Reais a Valores Reais 20 24 Curvas de Nıvel 22 25 Funcoes de trˆes variaveis reais a valores reais Superfıcies de Nıvel 26 26 Limite e Continuidade 27 3 Derivadas Parciais 33 31 Definicao 33 32 Interpretacoes das Derivadas Parciais 36 33 Derivadas Parciais de Funcoes de Trˆes ou mais Variaveis Reais 38 34 Derivadas de Ordem Superior 39 35 Funcao Diferenciavel 40 1 36 Regra da Cadeia 41 37 Diferenciacao Implıcita 44 38 Valores de Maximo e Mınimo 46 39 Multiplicadores de Lagrange 49 4 Integrais Multiplas 53 41 Integrais Duplas sobre Retˆangulos 53 42 Integrais Duplas sobre Regioes 59 43 Integrais Duplas em Coordenadas Polares 60 44 Integrais Duplas Area de Superfıcie 63 45 Integrais Triplas 64 46 Integrais Triplas em Coordenadas Cilındricas 68 47 Integrais Triplas em Coordenadas Esfericas 70 48 Mudanca de Variaveis em Integrais Multiplas 74 2 2 Capitulo 1 Aplicacoes das Integrais 11 Integrais Improprias Nessa secao estenderemos 0 conceito de integral definida para 0 caso em que 0 intervalo é infinito e também para o caso onde f tem uma descontinuidade infinita em ab Em ambos os casos a integral é chamada integral impréopria Tipo 1 Intervalos Infinitos Considere a regiao infinita que esta sob a curva y 1x acima do eixo x e A direita da reta x 1 Vocé poderia pensar que como S tem extensao infinita sua area deve ser infinita mas vamos olhar mais de perto A area da parte de S que esta a esquerda da reta xté 1 1 At dx 1X xy t Observe que At 1 independentemente de qudo grande f seja escolhido Também observamos que 1 lim At lim 1 r 1 yoo tyoo t 3 y t y x2 area 1 i t x1 0 l t x A area da regiao sombreada se aproxima de quando t assim dizemos que a area da regido infinita S é igual a 1 e escrevemos t J axa tim sax1 1 Xx too J X rea 5 frea area area 0 1 2 x 0 1 3 0 1 5 x 0 I x Definicao de uma Integral Impropria do Tipo 1 a Se f f xdx existe para cada nimero t a entiio co t fxdx lim fxddx a tro Ja desde que o limite exista como um ntmero b Se if f xdx existe para cada nimero t b entiio b b J fees lim f xdx desde que o limite exista como um ntmero 4 As integrais impréprias fxdx e fxdx sio chamadas convergentes se os limites correspondentes existem e divergentes se os limites nao existem c Se ambas fxdx e J fxdx sio convergentes entio definimos J tesax peoaxs rooax Na parte c qualquer numero real a pode ser usado EXERCICIOS 00 1 Determine se a integral dx convergente ou divergente 1 x 2 Calcule oo a dx 1 x oo b e dx 0 c xedx Definicao de uma Integral Impropria do Tipo 2 a Se f continua em ab e descontinua em J entaio b t f xdx lim f xdx se o limite existir a tb Ja b Se f é continua em a b e descontinua em a entio b b fxdx lim f xdx se o limite existir a tat t c Se f tiver uma descontinuidade em c onde a c b e ambas as integrais 5 y 0 at b x improprias fxdxe f fxdx forem convergentes entéo definimos b c b Fxdx Flxjdx Fxax a a Cc y O a c b x EXERCICIOS 1 Calcule 5 a ax Vx2 3 b dx 0 x1l Cc Inxdx 0 6 Teste de Comparacao para Integrais Improprias Obervacao Seja f integravel em at para todo t a Entao oo oo fxdx convergente fxdx convergente a a Teorema 00 a dx convergente para todo e divergente para 1 1 x oo b e dx é convergente para todo a 0 1 Algumas vezes é impossivel encontrar o valor exato de uma integral impropria mas ainda assim é importante saber se ela é convergente ou divergente Nesses casos 0 teo rema seguinte é util Teorema de Comparacao Suponha que f e g sejam fungées continuas com fx gx 0 parax a a Se f xdx é convergente entiio gxdx é convergente a a b Se gxdx é divergente entao f xdx é divergente a a y f i 0 d x EXERCICIOS oo 1 Verifique que e senxdx é convergente 0 7 oo 3 2 Verifique que a integral impropria dxé divergente 1 x443 3 Verifique se as integrais improprias convergem ou divergem oo a e dx co 1 X b bres ux 1 x oo c e cosxdx 1 12 Areas entre as Curvas Aqui usaremos as integrais para encontrar areas de regides entre graficos de duas fungoes Considere a regiao S que se encontra entre duas curvas y fx e y gx e entre as retas verticais x a e x b onde f e g sao fungées continuas e fx gx para todo x em ab y y fx Ol a b x y gx Definicao A area A da regiao limitada pelas curvas y fx y gx e pelas retas 8 x ax b onde f e g sao continuas e fx gx para todo x em ab é b A Ife elas y os y fx 0 a b x b b A f x dx gx dx Para encontrarmos a 4rea entre as curvas y fx e y gx onde fx gx para alguns valores de x mas gx fx para outros valores de x entéo dividimos determi nada regiao S em varias regides S2 com areas AA2 A area de S sera a soma das areas menores 152 y gx O a b x Definicao A area entre as curvas y fx e y gx eentrexaexbé b A fxelalax 9 EXERCICIOS 1 Encontre a area da regiao delimitada pelas curvas indicadas a y ex y x x 0 e x 1 b y x2 e y 2xx2 c y sen x y cos x 0 e x π2 sendo que sen π4 cosπ4 d y x1 e y2 2x6 e y 12x2 e y x2 6 f y ex y xex e x 0 g x 2y2 e x 4y2 2 Encontre a area da regiao sombreada 13 Comprimento de Arco O que queremos dizer com o comprimento de uma curva Podemos pensar em colocar um pedaco de barbante sobre a curva e entao medir o comprimento do barbante com 10 uma régua Mas isso pode ser dificil de fazer com muita preciso se tivermos uma curva complicada Precisamos de uma definigao exata para 0 comprimento de arco de uma curva da mesma maneira como desenvolvemos definig6es para os conceitos de area Agora suponha que uma curva C seja definida pela equag4o y fx onde f é continuaemaxb y P y fx P P 1 P I i A 1 of 1 i TNA LS bof oP EE 0 a xX Xy Xj1 Xj b Xx O comprimento L de C é aproximadamente 0 mesmo dessa poligonal e a aproximagao fica melhor quando n aumenta Portanto definimos 0 comprimento L da curva C com a equacdo y fx a x b como o limite dos comprimentos dessas poligonais inscritas se o limite existir n L lim P1P i1 Formula do Comprimento do Arco Se f for continua em ab entéo 0 comprimento da curva y fxaxbé b b Vi p Pax a ou utilizando a notagao de Leibniz com y fx temos b dy2 u i 2 ax a dx 11 EXERCICIOS 1 Encontre o comprimento de arco da curva a y x32 entre os pontos 11 e 48 b y 16x32 0 x 1 c y2 x entre os pontos 00 e 11 d x 1 3 yy3 1 y 9 e y 1 4x2 1 2 lnx 1 x 2 2 Um falcao voando a uma altitude de 64 m acidentalmente derruba sua presa A trajetoria parabolica de sua presa caindo e descrita pela equacao y 64x32 ate que ela atinja o solo onde y e a altura acima do solo e x a distˆancia horizontal em metros Calcule a distˆancia percorrida pela presa do momento em que ela e derrubada ate o momento em que ela atinge o solo 14 Area de uma Superfıcie de Revolucao Uma superfıcie de revolucao e formada quando uma curva e girada em torno de uma reta Essa superfıcie e a fronteira lateral de um solido de revolucao Considere a superfıcie mostrada na Figura abaixo obtida pela rotacao da curva y fx a x b ao redor do eixo x em que f e positiva e tem derivada contınua Definicao No caso onde f e positiva e tem derivada contınua definimos a area da 12 P y fla y P od Py P pa ff c ii 0 x 0 x a Superficie de revolugdo b Faixa de aproximagao superficie obtida pela rotago da curva y fx a x b em torno do eixo x como b s 2mfx1 fx2dx a Com a notacao de Leibniz para as derivadas essa férmula se torna b dy2 s 2my 1 dx a dx Se a curva é descrita como x gy c y d entao a formula para a drea da superficie tornase d dx2 s anxy1 dy c dy EXERCICIOS 1 A curva y V4x2 1 x 1 um arco do circulo x2 y 4 Calcule a area da superficie obtida pela rotagdo da curva em torno do eixo x 2 O arco da parabola y x de 11 a 24 é girado em torno do eixo y Calcule a area da superficie resultante 3 Calcule a area exata da superficie obtida pela rotagdéo da curva em torno do eixo 13 x a y x3 0 x 2 b y 14x 1 x 5 4 Ache a area da superfıcie gerada pela rotacao da curva y ex 0 x 1 em torno do eixo x 5 Se a regiao R xyx 1 0 y 1x e girada em torno do eixo x o volume do solido resultante e finito Mostre que a area da superfıcie e infinita A superfıcie e mostrada na figura abaixo e e conhecida como trombeta de Gabriel 14 Capıtulo 2 Funcoes de Varias Variaveis 21 Secoes Cˆonicas Nesta secao daremos as definicoes geometricas de parabolas elipses e hiperboles e apre sentaremos suas equacoespadrao Elas sao chamadas secoes cˆonicas ou cˆonicas por que resultam da interseccao de um cone com um plano 15 Parabolas Uma parabola e o conjunto de pontos em um plano cujas distˆancias a um ponto fixo F denominado foco e a uma reta fixa chamada diretriz sao iguais Obteremos uma equacao particularmente simples para uma parabola se colocarmos o vertice na origem O e sua diretriz paralela ao eixo x Se o foco for o ponto 0 p entao a diretriz tem a equacao y p Definicao Uma equacao da parabola com foco 0 p e diretriz y p e x2 4py Elipses Uma elipse e o conjunto de pontos em um plano cuja soma das distˆancias a dois pontos fixos F1 e F2 e uma constante Esses dois pontos sao chamados focos Uma das Leis de 16 Kepler e que as orbitas dos planetas no sistema solar sao elipses com o Sol em um dos focos Para obtermos a equacao mais simples para uma elipse colocamos os focos no eixo x nos pontos c0 e c0 de modo que a origem esteja na metade do caminho entre os focos Definicao A elipse x2 b2 y2 a2 1 a b 0 tem focos 0c onde c2 a2 b2 e vertices 0a Hiperbole Uma hiperbole e o conjunto de todos os pontos em um plano cuja diferenca entre as distˆancias a dois pontos fixos F1 e F2 os focos e uma constante As hiperboles ocorrem 17 frequentemente como graficos de equacoes em quımica fısica biologia e economia Lei de Boyle Lei de Ohm curvas de demanda e de oferta Uma aplicacao particularmente importante de hiperboles e encontrada nos sistemas de navegacao desenvolvidos nas I e II Guerras Mundiais A deducao da equacao de uma hiperbole e similar a equacao da elipse considerando que os focos estao no eixo x em c0 e a diferenca das distˆancias for PF1PF2 2a Definicao A hiperbole x2 a2 y2 b2 1 a b 0 tem focos c0 onde c2 a2 b2 vertices a0 e assıntotas y bax 18 22 Cilindros e Superfıcies Quadricas Aqui estudaremos dois tipos de superfıcies cilindros e superfıcies quadricas Para esbocar o grafico dessas superfıcies e util determinar a interseccao da superfıcie com planos paralelos aos planos coordenados Cilindros Um cilindro e uma superfıcie constituıda de todas as retas chamadas geratrizes que sao paralelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana Superfıcies Quadricas Uma superfıcie quadrica e o grafico de uma equacao de segundo grau nas trˆes variaveis x y e z A equacao mais geral e Ax2 By2 Cz2 DxyEyzFxzGxHyIzJ 0 onde A B C J sao constantes mas por rotacao e translacao essa equacao pode ser posta em uma de duas formas padrao Ax2 By2 Cz2 J 0 ou Ax2 By2 Iz 0 19 As superfıcies quadricas sao as correspondentes tridimensionais das cˆonicas no plano 23 Funcoes de Varias Variaveis Reais a Valores Reais A maioria das relacoes que ocorrem na fısica economia engenharia e de modo ge ral na natureza e traduzido por funcoes de duas trˆes ou mais variaveis reais daı a conveniˆencia de um estudo detalhado de tais funcoes Funcoes de duas variaveis reais a valores reais E uma funcao f A R onde A e um subconjunto de R2 Uma tal funcao associa a cada par xy A um unico numero fxy R 20 O conjunto A e o domınio de f e sera indicado por D f O conjunto Imf fxy Rxy D f e a imagem de f As palavras aplicacao e transformacao sao sinˆonimas de funcao A funcao f transforma o par xy no numero fxy EXERCICIOS 1 Seja f a funcao de duas variaveis a valores reais dada por fxy xy xy Determine o domınio de f 2 Seja fxy xy x2y a Determine o domınio b Calcule f2uvvu 21 3 Represente graficamente 0 dominio da funao f dada por fy VyxV1y 4 Represente graficamente o dominio da fungo z fxy dada por z Vyx 5 Para cada uma das seguintes fungées calcule 32 e encontre o dominio Vxtytl a fy oT b fxy xIny x 24 Curvas de Nivel Definicao Grafico Se f uma fungao de duas variaveis com dominio D entao o grafico de f 0 conjunto de todos os pontos xyz em R tal que z fxy e xy pertenca a D O grafico de uma fungao f com duas varidveis é uma superficie S com equacao z fxy Podemos visualizar o grafico S de f como estando diretamente acima ou abaixo de seu dominio D no plano xy 22 Curvas de Nıvel Sejam z fxy uma funcao e k Imf O conjunto de todos os pontos xy de Df tais que fxy k denominase curva de nıvel de f correspondente ao nıvel z k Assim f e constante a cada curva de nıvel Aplicacao Mapas topograficos de regioes montanhosas 23 5000 m a4 4000m 4 es rH a 2000 m J of 8 1000 m 7S at i EXERCICIOS 1 Desenhe as curvas de nivel da funao fxy x y 2 Determine o dominio e esboce as curvas de nivel e 0 grafico das fungoes a fxy 9 x y para k 0123 1 b fxy ety c fxy y 2x d fxy Vxty e fy Vy x 3 Um mapa de contorno de uma fungaéo f é apresentado Useo para estimar os va lores de f33 e f 3 2 24 4 Um mapa de contorno da pressao atmosferica na America do Norte e mostrado em 12 de agosto de 2008 Nas curvas de nıvel chamadas isobaricas a pressao e indicada em milibares mb Estime a pressao em C Chicago N Nashville S Sao Francisco e V Vancouver 5 Faca a correspondˆencia entre os graficos e as curvas de nıvel 25 25 Funcoes de trˆes variaveis reais a valores reais Su perfıcies de Nıvel Uma funcao de trˆes variaveis reais a valores reais definida em A R3 e uma funcao que associa a cada terna ordenada xyz A um unico numero real w fxyz O grafico de tal funcao e o conjunto Gf xyzw R4w fxyzxyz A 26 O grafico de f e entao um subconjunto do R4 nao nos sendo possıvel portanto representalo geometricamente Para se ter uma visao geometrica de tal funcao podemos nos valer de suas su perfıcies de nıvel Seja c Im f o conjunto de todos os pontos xyz A tais que fxyz c denominase superfıcie de nıvel correspondente ao nıvel w c Exemplo Seja fxyz y Para cada real c a superfıcie de nıvel correspondente a w c e o plano y c EXERCICIOS 1 Quais as superfıcies de nıvel da funcao fxyz x2 y2 z2 26 Limite e Continuidade Limite Definicao Seja f uma funcao de duas variaveis cujo domınio D contem pontos arbi trariamente proximos de ab Dizemos que o limite de fxy quando xy tende a 27 ab é Le escrevemos lim fxyL xy ab se para todo nimero 0 houver um ntimero correspondente 6 0 tal que se xy De0 Vxayb 6 entdo fxy L E O limite lim fxyL xy x0Y0 y Significa dado 0 existe 6 0 tal que fxy permanece em L L quando xy xy 4 ab varia na bola aberta de centro ab e raio 6 y z a xy ane ab f Lte 0 x os ia 0 If 0 Bb D 7 ab Propriedades Se lim fxyLe lim gxy lL entao xy ab ey xy ab a lim fx y8yLitl xyab b sii k kL ceay Maa ef 9 Mia Cc lim fxyaxy LL xyab L d lim flxy I desde que Lz 0 xyab 8y La 28 EXERCICIOS 1 Calcule o seguinte limite we 3y 4 lim xy 00 x2 2y 2 2 Calcule os seguintes limites x a lim xy 04 VY 2 2 b lim xy 00 xy x xy c lm W xy 00 Vx Y d lim ecosxy xy 11 1 2 e lim In xy 10 X xy Suponha que slim fxy L Seja A uma curva em R continua em fg com XY x0 A to X0Yo para t A to At A x0 yo com At Dy Entao lim fA L Observacao Sejam A e Az duas curvas nas condig6es acima Segue que se ocorrer lim fAiyLi oe lim fAat o 29 com L1 L2 entao lim xyx0y0 fxy L nao existira Da mesma forma tal limite nao existira se um dos limites acima nao existir EXERCICIOS 1 Mostre que os limites abaixo nao existem a lim xy00 x2 y2 x2 y2 b lim xy00 xy x2 y2 c lim xy00 xy2 x2 y4 2 Ache lim xy00 3x2y x2 y2 se existir 3 Ache lim xy00 3x2y x2 y2 se existir Observe que continuam validas para funcoes de duas variaveis reais a valores reais as seguintes propriedades dos limites 1 Teorema do confronto Se fxy gxy hxy para 0 xyx0y0 r e se lim xyx0y0 fxy L lim xyx0y0hxy entao lim xyx0y0gxy L 2 Se lim xyx0y0 fxy 0 e se gxy M para 0 xyx0y0 r onde 30 r 0OeM 0 sdao reais fixos entéo tende a0 lim fxy gxy 0 xy x0Y0 limitada 3 lim fxy 0 S lim fxy 0 xy x0Y0 xy x0Yo EXERCICIOS 1 Calcule caso exista os seguintes limites x a lim 72D xy 00 x Fy x2 xy 00 x ry Continuidade Definicdo Seja f um funcao de duas variaveis reais a valores reais e seja ab Dy com ab ponto de acumulagao de Dy Definimos f continuaem ab lim fxy fab xy ab O significado intuitivo de continuidade é que se o ponto xy varia por uma pe quena quantidade o valor de fxy variara por uma pequena quantidade Isso quer dizer que a superficie que corresponde ao grafico de uma funcao continua nao tem bu racos ou rupturas Se f for continua em todos os pontos de um subconjunto A de D diremos que f continua em A Diremos simplesmente que f é continua se o for em todos os pontos de seu dominio 31 EXERCICIOS 1 Verifique se as seguintes funcoes sao contınuas a fxy x3 y3 x2 y2 no ponto 10 b fxy xy x2 y2 no ponto 00 2 A funcao fxy x2 y2 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 e contınua em 00 3 A funcao fxy 3x2y x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 e contınua em 00 32 Capıtulo 3 Derivadas Parciais 31 Definicao Seja z fxy uma funcao real de duas variaveis reais e seja x0y0 Df Fixado y0 podemos considerar a funcao g de uma variavel dada por gx fxy0 Assim f x x0y0 gx0 De acordo com a definicao de derivada temos f x x0y0 gx0 lim x0 gx0 xgx0 x ou seja f x x0y0 lim x0 fx0 xy0 fx0y0 x Seja A o subconjunto de Df formado por todos os pontos xy tais que f x xy existe fica assim definida uma nova funcao indicada por f x e definida em A que cada 33 xy A associa o numero f x xy onde f x xy lim x0 fxxy fxy x Tal funcao denominase funcao derivada parcial de 1ª ordem de f em relacao a x ou simplesmente derivada parcial de f em relacao a x De modo analogo definese derivada parcial de f em relacao y no ponto x0y0 que se indica por f y x0y0 f y x0y0 lim y0 fx0y0 y fx0y0 y Assim f y xy e a derivada em relacao a y de fxy mantendose x constante f y xy lim y0 fxyy fxy y EXERCICIOS 1 Seja fxy 2xy4y Calcule a f x xy b f y xy c f x 11 d f y 11 2 Seja fxy x2y3 2xy Calcule a f x xy b f y xy 34 Of 10 c as d 11 Se Of Oa 3 Determine as derivadas parciais of e of ox ody a fxy Sx4y xy 4 b fxy cosxy 342 xy c ysa5 Fy d fxy e fxy aretg x y 4 A lei dos gases para uma massa fixa m de um gas ideal a temperatura absoluta T pressao P e volume V é PV mRT onde R é a constante do gas Mostre que apavar OV OT OP 5 A equacdo de van der Waals para n mols de uma gas é na P v2 V nb nRT onde P é a pressao V é 0 volume e T é a temperatura do gas A constante R é a cons tante universal de gas e a e b sao constantes positivas que sao caracteristicas de um gas em particular Calcule OT O0P e OPOV 35 6 Seja fxy x3 y2 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 Determine f x e f y 32 Interpretacoes das Derivadas Parciais Observe que a curva C1 e o grafico da funcao gx fxb de modo que a inclinacao da tangente T1 em P e ga fxab A curva C2 e o grafico da funcao Gy fay de modo que a inclinacao da tangente T2 em P e Gb fyab Entao as derivadas parciais fxab e fyab podem ser interpretadas geometrica mente como as inclinacoes das retas tangentes em Pabc aos cortes C1 e C2 de S Alem disso as derivadas parciais podem ser interpretadas como taxas de variacao Se z fxy entao zx representa a taxa de variacao de z com relacao a x quando y e mantido fixo Da mesma forma zy representa a taxa de variacao de z em relacao a y quando x e mantido fixo 36 CUIDADOS COM NOTAC OES A notacao f x xy como vimos indica a derivada de fxy em relacao a x onde y e olhado como constante ou seja como independente de x Por outro lado a notacao d dx fxy indica a derivada de fxy onde y deve ser olhado como funcao de x As notacoes foram criadas para serem usadas corretamente Portanto nao confunda x com d dx EXERCICIOS 1 xx2 y2 2x enquanto d dxx2 y2 2x d dxy2 2x2ydy dx 2 Seja fxy 2x3 lny Calcule a d dx fxy b d dy fxy 3 Determine z x e z y se z e definido implicitamente como uma funcao de x e y pela equacao x3 y3 z3 6xyz 1 4 Suponha que z fxy seja dada implicitamente pela equacao exyz x2 y2 z2 Suponha que f admita derivada parcial em relacao a x expresse z x em termos x y e z 37 33 Derivadas Parciais de Funcoes de Trˆes ou mais Variaveis Reais Sejam w fxyz e x0y0z0 Df Mantendose y0 e z0 contantes podemos con siderar a funcao gx fxy0z0 A derivada desta funcao em x x0 caso exista denominase derivada parcial de f em relacao a x no ponto x0y0z0 e indicase por f x x0y0z0 De modo analogo definemse as derivadas parciais f y x0y0z0 e f z x0y0z0 Temse f x x0y0z0 lim x0 fx0 xy0z0 fx0y0z0 x f y x0y0z0 lim y0 fx0y0 yz0 fx0y0z0 y f z x0y0z0 lim z0 fx0y0z0 z fx0y0z0 z EXERCICIOS 1 Determine as derivadas parciais f x f y e f z da funcao fxyz 2xyz 2 Determine as derivadas parciais f x f y e f z a fxyz exyz b fxyz cosxyz c fxyz xyz xyz 38 d fxy2 xe 3 Seja f xyz Pate Verifique que Of of of Oy Oy Or f 34 Derivadas de Ordem Superior x es Of of Se f uma funcao de duas varidveis suas derivadas parciais Dx e ay sao fungdes x y de duas variaveis de modo que podemos considerar novamente suas derivadas par ciais a of a of a of e a of chamadas derivadas parciais de dx ax dy ax ax dy dy dy P segunda ordem de ff Teorema de Clairaut Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha 0 ponto ab Se as fungdes fry fx forem ambas continuas em D entao fryab fyxab Se z fxy usamos a seguinte notagao 0 Of Of az Uds t 55 50 Fat oe 0 of af daz fcy fey 9 7 99 dy ox Oyox dyox 0 of Of az iefx 2 24 23 ax dy Oxdy adxdy 0 Of Of az hyfsFS5 dy dy oy oy 39 Portanto a notacao fxy significa que primeiro derivamos com relacao a x e depois em relacao a y ao passo que no calculo de fyx a ordem e invertida EXERCICIOS 1 Determine as derivadas parciais fx fy fxx fxy fyx e fyy de fxy x3 x2y3 2y2 2 Determine as derivadas parciais fx fy fxx fxy fyx e fyy de a fxy 2x3 3x2y3 4y2 b fxy y5 3xy c fxy x4y3 x2y d fxy x y e fxy x xy2 f fxy lnx2y3z 35 Funcao Diferenciavel Teorema Se as derivadas parciais fx e fy existirem perto do ponto ab e forem contınuas em ab entao f e diferenciavel em ab EXERCICIOS 1 Mostre que fxy x2y3 3xy e diferenciavel em 10 2 Mostre que as funcoes sao diferenciaveis nos pontos dados a fxy xexy no ponto 10 40 b fxy 1xlnxy6 no ponto 23 c fxy x3y4 no ponto 11 d fxy x xy no ponto 21 e fxy xe4y no ponto 30 3 Verifique se a seguinte funcao e diferenciavel fxy x4 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 36 Regra da Cadeia Lembremonos de que a Regra da Cadeia para uma funcao de uma unica variavel nos dava uma regra para derivar uma funcao composta se y fx e x gt onde f e g sao funcoes diferenciaveis entao y e uma funcao indiretamente diferenciavel de t e dy dt dy dx dx dt A Regra da Cadeia Caso 1 Suponha que z fxy seja uma funcao diferenciavel de x e y onde x gt e y ht sao funcoes diferenciaveis de t Entao z e uma funcao diferenciavel de t e dz dt f x dx dt f y dy dt Como frequentemente escrevemos zx no lugar de fx podemos reescrever a Regra da Cadeia na forma dz dt z x dx dt z y dy dt 41 EXERCICIOS 1 Se z xy onde x t e y t2 determine dzdt quando t 1 2 Se z x2y3xy4 onde x sen 2t e y cost determine dzdt quando t 0 3 Se z 1 3x3y3 2x2y4 onde x 2t2 e y lnt determine dzdt quando t 1 4 A pressao em P em kilopascals volume V em litros e temperatura T em kel vins de um mol de um gas ideal relacionamse pela equacao PV 831T Determine a taxa de variacao da pressao quando a temperatura e 300K e esta aumentando com a taxa de 01Ks e o volume e 100L e esta aumentando com a taxa de 02Ls A Regra da Cadeia Caso 2 Suponha que z fxy seja uma funcao diferenciavel de x e y onde x gst e y hst sao funcoes diferenciaveis de s e t Entao z s z x x s z y y s e z t z x x t z y y t EXERCICIOS 1 Se z exsen y onde x st2 e y s2t determine zs e zt 2 Se z lnx2 y2 onde x st e y st determine zs e zt quando s 1 e t 2 42 A Regra da Cadeia Versao Geral Suponha que u seja uma funcao diferenciavel de n variaveis x1x2xn onde cada xj e uma funcao diferenciavel de m variaveis t1t2tn Entao u e uma funcao de t1t2tn e u ti u x1 x1 ti u x2 x2 ti u xn xn ti para cada i 12m EXERCICIOS 1 Escreva a Regra da Cadeia para o caso onde w fxyz e x xuvt y yuvt e z zuvt 2 Se u x4y y2z3 onde x rset y rs2et e z r2s sen t determine o valor de us quando r 2 s 1 e t 0 3 Se u 1 3x3y3z3 onde x rst2 y rs2t e z r2st determine o valor de ur us ut quando r 1 s 2 e t 1 4 A pressao de 1 mol de um gas ideal esta aumentando em uma taxa de 005 kPas e a temperatura esta aumentando em uma taxa de 015 Ks Use a equacao PV 831T para determinar a taxa de variacao do volume quando a pressao for 20 kPa e a tempera tura for 320 K 5 A temperatura em um ponto xy e Txy medida em graus Celsius Um inseto rasteja de modo que sua posicao apos t segundos e dada por x 1t y 2 1 3t onde x e y sao medidos em centımetros A funcao da temperatura satisfaz Tx23 4 e Ty23 3 Quao rapido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de trˆes 43 segundos 6 O comprimento l a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo Em um determinado momento as dimensoes sao l 1m e w h 2m l e w estao aumentando em uma taxa de 2ms enquanto h esta decrescendo em uma taxa de 3ms Nesse ins tante encontre a taxa de variacao do volume V da caixa 7 A producao de trigo W em um determinado ano depende da temperatura media T e do volume anual das chuvas R Cientistas estimam que a temperatura media anual esta crescendo a taxa de 015 ºCano e a quantidade anual de chuva esta decrescendo a taxa de 01 cmano Eles tambem estimam que no atual nıvel de producao WT 2 e WR 8 a Qual e o significado do sinal dessas derivadas parciais b Estime a taxa de variacao corrente da producao de trigo dWdt 37 Diferenciacao Implıcita A Regra da Cadeia pode ser usada para dar uma descricao mais completa do processo de derivacao implıcita Supomos que uma equacao da forma Fxy 0 defina y impli citamente como uma funcao diferenciavel de x isto e y x onde Fx fx 0 para todo x no domınio de f Se F e diferenciavel podemos aplicar o Caso 1 da Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da equacao Fxy 0 com relacao a x Ja que x e y sao funcoes de x obtemos F x dx dx F y dy dx 0 44 entao se Fy 0 resolvemos para dydx e obtemos dy dx F x F y Fx Fy O Teorema da Funcao Implıcita demonstrado em calculo avancado fornece condicoes sob as quais essa suposicao e valida Suponha agora que z seja dado implicitamente como uma funcao z fxy por uma equacao da forma Fxyz 0 Isso significa que Fxy fxy 0 para todo xy no domınio de f Neste caso teremos z x F x F z z y F y F z EXERCICIOS 1 Determine y nas equacoes a x3 y3 6xy b sen xy y2 cosx c x4 y4 16 d 1 x 1 y 1 2 Determine z x e z y se z e definido implicitamente como uma funcao de x e y pela equacao x3 y3 z3 6xyz 1 45 38 Valores de Maximo e Mınimo Um dos principais usos da derivada e na determinacao dos valores maximo e mınimo valores extremos Nesta secao veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maximo e mınimo de uma funcao de duas variaveis Na Figura abaixo existem dois pontos ab nos quais f tem um maximo local ou seja onde fab e maior que os valores proximos de fxy O maior destes dois va lores e o maximo absoluto Do mesmo modo f tem dois mınimos locais onde fab e menor que os valores proximos O menor destes dois valores e o mınimo absoluto Definicao Uma funcao de duas variaveis tem um maximo local em ab se fxy fab quando xy esta proximo de ab O numero fab e chamado valor maximo local Se fxy fab quando xy esta proximo de ab entao f tem um mınimo local em ab e fab e um valor mınimo local Se as inequacoes da Definicao valerem para todos os pontos xy do domınio de f entao f tem um maximo absoluto ou mınimo absoluto em ab local em ab e fab e um valor mınimo local Teorema Se f tem um maximo ou mınimo local em ab e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos entao fxab 0 e fyab 0 Um ponto ab e chamado ponto crıtico ou ponto estacionario de f se fxab 0 46 e fab 0 ou se uma das derivadas parciais nao existir O Teorema anterior nos diz que se f tem um maximo ou minimo local em ab entao ab é um ponto critico de f Em um ponto critico a fungao pode ter um maximo local ou um minimo local ou ainda nenhum dos dois EXERCICIOS 1 Encontre os pontos criticos da fungao fxy x y 2x 6y 14 2 Encontre os pontos criticos das fung6es a f xy 2x 4y 8x l6y3 b fxy x Sy 14x 10y 1024 c fxy e y 3xy 1 Teste da Segunda Derivada Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam continuas em uma bola aberta com centro em ab e suponha que fab 0 e fab 0 ou seja ab um ponto critico de f Seja fix4b fry DDab fexab fyyab fyab fixa b fy a b a Se D 0e fixab 0 entio fab é um minimo local b Se D 0e fx ab 0 entéo fa b um maximo local c Se D 0 entao fab nao é minimo local nem maximo local ponto de sela AT EXERCICIOS 1 Determine o valor de maximo ou mınimo da funcao fxy x2 y2 2x6y14 2 Determine os valores maximos e mınimos locais e os pontos de sela de fxy x4 y4 4xy1 3 Determine os valores de maximo e mınimos locais e pontos de sela das funcoes a fxy 92x4yx2 4y2 b fxy y3 3x2y6x2 6y2 2 4 Encontre trˆes numeros positivos cuja soma e 12 e cuja soma dos quadrados e a menor possıvel 5 Determine trˆes numeros positivos cuja soma e 100 e cujo produto e maximo 6 Determine a menor distˆancia entre o ponto 102 e o plano x2yz 4 7 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelao Determine o volume maximo dessa caixa 8 Trˆes alelos versoes alternativas de um gene A B e O determinam os quatro tipos de sangue A AA ou AO B BB ou BO O OO e AB A Lei de HardyWeinberg afirma que a proporcao de indivıduos em uma populacao que carregam dois alelos diferentes e P 2pq2pr 2rq onde p q e r sao as proporcoes de A B e O na populacao Use o fato de que pqr 1 48 para mostrar que P é no maximo 23 39 Multiplicadores de Lagrange Nesta secao apresentaremos 0 método de Lagrange para maximizar uma fungao genérica f xyz sujeita a uma restrigdo ou vinculo da forma gx yz k Definicao Se f é uma funcao de duas varidveis x e y entao o gradiente de f é a fungao vetorial f definida por df Of of ofa V NIxAysV 5 Sy 45 5259 a Fls9 Resa U9 SE52 SEP SEG Método dos Multiplicadores de Lagrange Para determinar os valores maximo e minimo de fx yz sujeitos a restrigdo gx yz k supondo que esses valores extremos existam e que Vg 4 0 sobre a superficie gxy z k a Determine todos os valores de x y ze A tais que Vf xyz AV8xy2 e 8XyYZ k b Calcule f em todos os pontos xyz que resultaram do passo a O maior des ses valores sera 0 valor maximo de f e o menor sera o valor minimo de f Exemplo Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m de papelio De termine o volume maximo dessa caixa 49 Solucao Temos o seguinte problema e queremos maximizar a funcao volume V xyz com a restricao 2xz2yzxy 12 Utilizando o metodo dos multiplicadores de Lagrange olhamos para os valores de x y z e λ tais que V λg Isso gera as equacoes Vx λgx Vy λgy Vz λgz 2xz2yzxy 12 ou seja yz λ2zy xz λ2zx xy λ2x2y 2xz 2yz xy 12 Nao ha regras gerais de como resolver esse sistema de equacoes Algumas vezes precisamos de certa engenhosidade No presente caso faremos xyz λ2xzxy multiplicado por x xyz λ2yzxy multiplicado por y xyz λ2xz2yz multiplicado por z 50 Observamos que λ 0 porque λ 0 implicaria yz xz xy 0 o que contradiz a equacao da restricao Assim temos 2xzxy 2yzxy 2xz 2yz x y Por outro lado temos 2yzxy 2xz2yz xy 2xz y 2z Assim temos x y 2z Se colocarmos essa informacao na restricao obtemos 4z2 4z2 4z2 12 12z2 12 z 1 Como x y e z todos sao positivos teremos z 1 e portanto x 2 e y 2 OBS Outro metodo de resolver o sistema de equacoes anterior e isolar λ em cada uma das equacoes e depois igualar as expressoes resultantes EXERCICIOS 1 Encontre trˆes numeros positivos cuja soma e 12 e cuja soma dos quadrados e a menor possıvel 2 Determine os valores extremos da funcao fxy x2 2y2 no cırculo x2 y2 1 3 Determine os pontos da esfera x2 y2 z2 4 que estao mais proximos e mais distantes do ponto 311 51 4 Determine a menor distˆancia entre o ponto 102 e o plano x2yz 4 52 Capıtulo 4 Integrais Multiplas A tentativa de resolvermos o problema de determinar areas nos levou a definicao de integral definida Aplicaremos um procedimento semelhante para calcular o volume de um solido e este processo nos levara a definicao de integral dupla 41 Integrais Duplas sobre Retˆangulos Vamos considerar uma funcao f de duas variaveis definida em um retˆangulo fechado R abcd xy R2 a x b c y d e vamos inicialmente supor que fxy 0 O grafico de f e a superfıcie com equacao z fxy Seja S o solido que esta acima da regiao R e abaixo do grafico de f isto e S xyz R3 0 z fxy xy R Nosso objetivo e determinar o volume de S S xyz R3 0 z fxy xy R 53 Como calcular o volume desse objeto O primeiro passo consiste em dividir o retˆangulo R em subretˆangulos onde a area de cada um desses retˆangulos e A xy Se escolhermos um ponto arbitrario que chamaremos ponto de amostragem x i jy i j em cada Rij poderemos aproximar a parte de S que esta acima de cada Ri j por uma caixa retangular fina ou coluna com base Ri j e altura fx i jy i j Se seguirmos com esse procedimento para todos os retˆangulos e somarmos os vo lumes das caixas correspondentes obteremos uma aproximacao do volume total de S 54 V m i1 n j1 fx i jy i jA Como melhorar a aproximacao para o volume desse objeto Nossa intuicao diz que a aproximacao melhora quando aumentamos os valores de m e n e portanto devemos esperar que V lim mn m i1 n j1 fx i jy i jA 55 Definicao A Integral dupla de f sobre o retangulo R é m n Ea fev nlm DY Flsipsii4a se esse limite existir Propriedades das Integrais Duplas Admitiremos que todas as integrais existem 1 fireer essa royaa f elesiaa 2 cfxydA c ff fxydA onde c é uma constante R R 3 Se fxy gxy para todo xy em R entao J feovaa fslesyaa R R Suponha que f seja uma fungao de duas variaveis que é integravel no retangulo R ab x cd Usaremos a notagao sé fxydy significando que x é mantido fixo e fxy integrada em relacgio a y de yc até y d Esse procedimento é chamado integracdo parcial em relacdo a y 56 De modo geral podemos resolver uma integral dupla integrando primeiro em relagao a y de cad e depois em relacao a x de a até b ou seja b pd bT rd fx ydydx Fly dx ou integrando primeiro em relacao a x de a a b e depois em relacao a y de c até d ou seja d rb d pb fx ydxdy floyas dy As integrais dos lados direitos sao chamadas de integrais iteradas Exemplo Calcule o valor das integrais iteradas 3 2 2 73 a xy dydx b xy dxdy 0 JI 1 Jo Solugao a Olhando x como constante obtemos 3 2 37 2 3 2 xydydx yay dx x vd dx 0 JI 0 LI 0 1 3 272 3792 42 2 2 dx d belek 34 3 73 3 73 2 2 3 At 5 Pax 38 3733 037 27 213o 213 3 27 b Exercicio 57 Teorema de Fubini Se f for continua no retangulo R xyaxbcyd entao b rd d pb fe dA fxy dydx fxy dxdy Suponha que fxy gxhy entéo o teorema de Fubini nos da b d tena seonoyaa eae noyay onde R ab x cd EXERCICIOS 1 Calcule a integral dupla x3ydA R onde R xyOx21y2 2 Calcule o valor das integrais 42 1 72 a 6x 2x dydx b 4x 9xy dydx 292 x2 MP2 c dydx d et dydx 11 oy 0 SI 2 pu2 m2 5 e x sen ydydx f cos ydxdy 0 JO n6 J1 1 a 1 73 g y sen xdxdy h eY dxdy 0 Jo 0 Jo 2 Calcule o valor das integrais sobre os retangulos R 2 xy dA R x13y a onde R xyOx1 3y3 b 1 oa onde R xy0x 1 0y 1 7 22 x SxS 1 y r1y 58 42 Integrais Duplas sobre Regioes Se f é continua em uma regiao D como na Figura abaixo tal que Dxyax b gia Sy g2x entao b gox fenda oo fleavax D a gx Y 92X yg2x y rx Yqlr ygr ygqilx 0 a b Xx 0 a b x O a b x Ou se f é continua em uma regiao D como na Figura abaixo tal que Dxyhiy Sx haly eS y Sd entao d rhay fenda of ryaxay D c Jhy i x DOG hAy xhy xhy Cc oaee 0 x 0 x 59 EXERCICIOS 1 Determine 0 volume do s6lido que esta abaixo do paraboloide z x7 y e acima da regido D xyO x 2 x7 y 2x 2 Calcule x2ydA D onde D é a regiao limitada pelas pardbolas y 2x7 e y 12 3 Calcule a integral dupla a y a4 onde D xy ly1 y2xy D b xdA onde D xyOx20y senx D Cc dA onde D xyOx10yx pDxw1 d 8 aa onde Dx9 1 xe0yInx D e xcosydA onde D é limitada por y 0 y eix1 D f ydA onde D é a regiao triangular de vértices 01 12 e 4 1 D 43 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Suponha que queiramos calcular a integral dupla fxydA onde R é uma das R regides mostradas na figura abaixo x4 y I x4 re 4 0 x a Rr OSr1027 b Rr 1Sr20 r 60 Em qualquer dos casos a descricgao de R complicada em coordenadas retangulares mas a descricdo de R fica mais facil utilizandose coordenadas polares Utilizando a figura abaixo temos que as coordenadas polares r de um ponto Pir Pix y O x estfo relacionadas com as coordenadas retangulares x y pelas equag6es vryr xrcos y rsen Mudanga para Coordenadas Polares em uma Integral Dupla Se f é continua no retangulo polar R dado porO arba0 B onde 0 B a 27 entao B pb fxydA frcos rsen rdrdé R a Ja EXERCICIOS 1 Calcule 3x 4ydA onde R é a regiao no semiplano superior limitada pelos R circulos x7 y lexy 4 2 Determine o volume do sélido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x2 y 3 Calcule a integral dada colocandoa em coordenadas polares 61 a xydA onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 D b 2x ydA onde R é a regiao do primeiro quadrante limitada pelo circulo R x y 4easretasxOeyx 3 V9x2 C senx ydydx 3 J0 22 te yes d e Y dA onde D é a regiao limitada pelo semicirculo x 4 y e 0 eixo D y e cosx ydA onde D 0 disco com centro na origem e raio 2 D Um exemplo interessante No curso de calculo I vocé deve ter aprendido que nao conseguimos escrever uma pri we x2 ar A mitiva para a fungao e em termos de fungdes elementares Além disso vocé deve lembrar que integrais impréprias sao definidas como limite de integrais definidas neste caso com os limites de integragao indo para mais ou menos infinito Com isso de verfamos guardar poucas esperangas de calcular a integral o T e dx Vamos ver agora como as integrais duplas em coordenadas polares podem nos ajudar Primeiro note que too 0 e dx e dy eda R 62 Agora passaremos a integral dupla em questao para coordenadas polares obtendo 2 poo P e rdrd 0 Jo Qn 00 5 dé re dr 0 0 1 27t 20 56 2 r0 Portanto 7 44 Integrais Duplas Area de Superficie Aplicaremos agora as integrais duplas ao problema de calcular a area de uma su perficie Seja S a superficie com a equacgdo z fxy onde f tem derivadas parciais continuas Se xy 0 canto de R mais proximo da origem seja Pxiy fxiy 0 ponto em S diretamente acima dele O plano tangente a S em P uma aproximacao a S proximo de P Entao a area A7 da parte deste plano tangente que fica diretamente acima de k uma aproximagao 4 area AS da parte de S que fica diretamente acima de R Portanto a soma A7 uma aproximagao 4 area total de S e essa aproximagao parece melhorar conforme o numero de retangulos aumenta Portanto definimos a area da superficie de S como Zz Pj AT 5 ag m n Fo AS tim 2 LAT Nn i1 j1 0 Ay p x ala rs y Axy Cyl Xa D 63 Definicao A area da superficie com equacdo z fxy xy D onde f e fy sdo continuas é As ff 1 thee L Gy aa ou equivalentemente dz dz AS 1 dA i Ly 35 G5 EXERCICIOS 1 Determine a 4rea de superficie da parte da superficie z xt 2y que fica acima da regido triangular T xyOx10yvx 2 Determine a area da superficie a A parte do plano z 2 3x 4y que esta acima do retangulo 05 x 14 b A parte do plano 2x Syz 10 que esta acima do retangulo 03 x 14 c A parte do plano 3x 2y z 6 que esta no primeiro octante d A parte do cilindro y z 9 que esta acima do retangulo com vértices 00 40 02 e 42 e A parte da superficie z xy que esta dentro do cilindro x y 1 45 Integrais Triplas Assim como definimos integrais unidimensionais para fungdes de uma unica variavel e duplas para fungdes de duas variaveis vamos definir integrais triplas para fungdes de trés varidveis Inicialmente trataremos 0 caso mais simples quando f é definida em 64 uma caixa retangular B xyxaxbcyderzKs Bix z Z i wen OS LOT y sf y Assim formamos a soma tripla de Riemann lm on y y y SF ijk Vij Zi jk AV il j1k1 onde o ponto de amostragem X757 jx jx esta em Bije Definicao A integral tripla de f na caixa B é If yyy fx yzdV lim Ff Xi jZ AV B Lmneo i FV k1 se esse limite existir 65 Teorema de Fubini para as Integrais Triplas Se f é continua em uma caixa retangular B ab x cd x rs entao s pd pb I fxyzdV Ff xyz dxdydz B r Jc Ja EXERCICIOS 1 Calcule a integral tripla xyz dxdydz B onde B é a caixa retangular dada por BxyzOx 11 y20z3 2 Calcule a integral tripla I xz y dxdydz B onde B é a caixa retangular dada por Bxy2 1x10y20z1 Agora definiremos a integral tripla sobre uma regiao limitada geral E no espaco tridimensional um sdlido pelo mesmo método usado para as integrais duplas Regiao E do Tipo I E xy 2 xy D uy xy z u2xy 66 Temos up xy fexaav ff f xyz dz dA E D uy xy Regiao E do Tipo II E xy Z a x b 81 x y 82x uy xy uzxy Temos b pgox puaxy I fxy zdV f xyz dzdydx E a Jgix uixy Regiao E do Tipo II Exyzyd hy x hyy uy z wlxy Temos d phyy puzxy I fx yzdV Ff xyz dzdxdy E c Shy Suixy EXERCICIOSs 1 Calcule a E onde E é 0 tetraedro sdlido limitado pelos quatro planos x 0 y0zOexyz 1 ou seja E xyz0x10y1lx0z1xy 2 Expresse a integral tripla Jf veveav E na forma iterada onde E é a regido limitada pelo paraboloide y x z e pelo plano y4 67 3 Calcule IIL eV onde E xyzOy 1 yx102 ay E 4 Calcule 6xydV onde E esta abaixo do plano z 1xy e acima da regiao do E plano xy limitada pelas curvas y xy Oex1 5 Calcule as integrais iteradas 2 pe yZ a 2x y dxdydz 0 Jo Jo 2 p2z plnx b xe dydxdz 1 Jo JO m2 py px c cosx y z dzdxdy 0 0 JO 46 Integrais Triplas em Coordenadas Cilindricas No sistema de coordenadas cilindricas um ponto P no espaco tridimensional é repre sentado pela tripla ordenada r 0z onde r e sao as coordenadas polares da projecao de P no plano xy e z é a distancia orientada do plano xy a P Pir 21 a a Nr oo LY ir 0 Para convertermos de coordenadas cilindricas para retangulares usamos as equacdes x rcos yrsend ZZ 68 enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilindricas usamos raxry ipa ZZz Calculo de Integrais Triplas com Coordenadas Cilindricas Suponha que E seja a regiao abaixo cuja projecao D no plano xy tenha uma representagao conveniente em coordenadas polares Z ZUX y Ral call an NL I zux y rh ol 0B6 x rh Em particular suponha que f seja continua e E xy Z xy D uy xy z u2xy onde D em coordenadas polares é dado por D70a 0 B 8 rhy4 Dessa forma temos B pho puzrcosrsen flxyzdV frcos rsenz rdzdrd E a Jh ujrcosrsend 69 essa equacao é a formula para a integracao tripla em coordenadas cilindricas Ela nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilindricas escrevendo x rcos e y rsen e deixando z como esta uti lizando os limites apropriados de integragao para z re 8 e trocando dV por rdzdrdé EXERCICIOS 1 Calcule fff x ydV utilizando coordenadas cilindricas onde E é a regiao que esta dentro do cilindro x7 y 16 e entre os planos z Se z 4 2 Calcule zdV utilizando coordenadas cilindricas onde E é limitado pelo pa E raboloide z x y e 0 plano z 4 2 p42 72 3 Calcule x y dzdydx 2 JV4x2 eae 4 Calcule f x dV onde E é 0 sélido do primeiro octante que esta abaixo do pa E raboloide z 4x y 5 Calcule x dV onde E 0 sélido que esta dentro do cilindro x y 1 acima E do plano z 0 e abaixo do cone z 4x7 4y 47 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Coordenadas esféricas é outro sistema de coordenadas tridimensionais Util o qual é utilizado para simplificar 0 calculo de integrais triplas em regides limitadas por esferas ou cones Na figura abaixo temos as coordenadas esféricas p0 de um ponto P no espaco onde p OP é a distancia da origem a P 8 é o mesmo Angulo que nas coordenadas cilfndricas e é 0 angulo entre 0 e1xo z positivo e 0 segmento de reta OP 70 ρ 0 e 0 φ π O sistema de coordenadas esfericas e especialmente util em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto Um exemplo e a esfera com centro na origem e raio c A relacao entre coordenadas esfericas e retangulares pode ser vista na figura abaixo Dos triˆangulos OPQ e OPP temos z ρ cosφ e r ρ senφ Mas x rcosθ e 71 y rsenθ A conversao de coordenadas retangulares para esfericas e x ρ senφ cosθ y ρ senφ senθ z ρ cosφ Alem disso como ρ OP a formula da distˆancia mostra que ρ2 x2 y2 z2 Usamos estas equacoes para converter de coordenadas retangulares para coordena das esfericas Assim temos x ρ senφ cosθ y ρ senφ senθ z ρ cosφ ρ2 x2 y2 z2 Calculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esfericas Neste sistema de coordenadas o correspondente a caixa retangular e uma cunha esferica E ρθφa ρ b α θ β c φ d onde a 0 β α 2π e d c π 72 Z psend Ad VO Zo hy ct pear Ogee i pi Ad SAG Ty y x 1 pj sen dy r AO psend Ad A férmula para a integracao tripla em coordenadas esféricas é da forma d pB pb I fx yzdV fpsen cos p send senO p cosdp send dp dO do E c Ja Ja onde E é uma cunha esférica dada por Ep00apba0Bcod A equacao anterior nos diz que para converter uma integral tripla de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas escrevemos xpsendcos ypsendsend zpcosd utilizando os limites de integracdo apropriados e substituindo dV por p send dp dd Essa formula pode ser estendida para incluir regides esféricas mais gerais como E p96 a 0 Bc d d 2180 p g28 Em geral as coordenadas esféricas sao utilizadas nas integrais triplas quando su 73 perficies como cones e esferas formam o limite da regiao de integracao EXERCICIOS 1 Calcule fp el 42 av onde B é a bola unitaria Bxyza y 2 1 2 Utilize coordenadas esféricas para calcular x y 27 dV onde B é a bola B com centro na origem e raio 5 3 Calcule II x y dV onde E esta entre as esferas x7 y 77 4exy2 E 9 4 Calcule xen tte dV onde E é a porcao da bola unitaria x7 y 27 1 E que fica no primeiro octante 5 Calcule 9 x2 2 dV onde H 60 hemisfério sélido x2 y2 2 9z0 H 48 Mudanca de Variaveis em Integrais Multiplas Em calculo unidimensional frequentemente usamos uma mudanga de variadvel uma substituigao para simplificar uma integral Em geral esse método funciona sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma f fgxg9xdx Se u gx for 74 uma funao derivavel cuja imagem é um intervalo J e f for continua em entaéo feoeax Fea Uma mudanga de varidveis pode também ser util em integrais duplas Ja vimos um exemplo disso a conversao para coordenadas polares As novas varidveis re estao relacionadas as velhas variaveis x e y De modo mais geral consideremos uma mudanga de variavel dada pela transformacao T do plano uv no plano xy T uv xy onde x e y estao relacionados com u e v pelas equacdes Xx guv y huv ou como as vezes escrevemos x xuv y yuv Definicao O Jacobiano da transformagao T dada por x guv ey huv é Ox Ox Oxy du ov dxdy adxdy Ouv Oudv ovou uv dy ay du Ov 75 Mudanca de Variaveis em uma Integral Dupla Suponha que 7 seja uma transformacao cujo jacobiano seja nao nulo e leve uma regiao S do plano uv para uma regiao R do plano xy Suponha que f seja continua sobre R e que R e S sejam regides planas do tipo I ou I Suponha ainda que 7 seja injetora exceto possivelmente nos pontos de fronteira de S Entao Oxy x aa ff xuvyuv dudv sonaa f sotwr any SE O Teorema acima diz que mudamos de uma integral em x e y para uma integral em ue v escrevendo x e y em termos de u e v e escrevendo 0 dr C audy Ouv Note a semelhanga entre este Teorema e a Regra de Substituigao unidimensional Em vez da derivada gx temos o valor absoluto do jacobiano Exemplo Mostre que a formula de integragéo em coordenadas polares é um caso es pecial deste teorema Solugio Aqui a transformagio T do plano ré para o plano xy é dada por x gr0 rcoseyhrA rsen Assim T transforma um retangulo comum do plano r em um retangulo polar do plano xy O jacobiano de T é Ox ox Ox Or OO cos rsen ouy dr 08 rcos6rsenr0 dr8 oy oy sen 0 rcos or oO 76 Portanto o teorema fornece Oxy xydA rcos rsen drd ftom ir 1 Seay B pb frcos 0rsen 6 rdrd a a Mudanca de Variaveis em uma Integral Tripla Existe uma formula de mudanga de varidveis semelhante para as integrais triplas Seja T a transformacgao que leva uma regiao S no espago uvw para uma regido R no espaco xyz por meio das equacgdes X guvw yhuvw zkuvw O jacobiano de T é 0 seguinte determinante 3 x 3 Ox ox ox du ov ow xy dy dy dy Ouvw Ou ov ow a az a du ov ow Sob hipdteses semelhantes aquelas do Teorema anterior temos a seguinte formula para integrais triplas Oxy2 II f xyz dV eer y v0 2u05 dudvdw R s Ouvw Exemplo Utilize a Formula anterior para deduzir a formula para a integraao tripla em coordenadas esféricas 77 Solugao Aqui a mudanga de varidveis é dada por x psengcos y p sen sen Zpcosd Calculando o jacobiano como segue sencos psengsend pcosdcosd Oxy z 2 duvw sensen psendcos pcosdsend p seng cos 0 pseng Portanto o teorema fornece II fxyzdV 0 sen cos 0 p sen sen 0 pcos p send dpdOdo R S 78 Referˆencias Bibliograficas 1 James Stewart Calculo Vol 1 7ª Edicao Editora Cengage Learning 2014 2 James Stewart Calculo Vol 2 7ª Edicao Editora Cengage Learning 2014 3 H Anton I Bivens S Davis Calculo Vol 1 10ª Edicao Editora Bo okman Editora 2014 4 H Anton I Bivens S Davis Calculo Vol 2 10ª Edicao Editora Bo okman Editora 2014 5 Hamilton L Guidorizzi Um Curso De Calculo Vol 1 LTC 2018 6 Hamilton L Guidorizzi Um Curso De Calculo Vol 2 LTC 2018 7 Hamilton L Guidorizzi Um Curso De Calculo Vol 3 LTC 2018 79