Estatística Aplicada: Tabelas de Distribuição de Frequências

φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 1 ESTATÍSTICA APLICADA Tabelas de Distribuição de frequências Uma etapa importante da Estatística Descritiva está relacionada com a descrição apresentação dos dados através de Tabelas de Distribuição de Frequências Nessas tabelas os dados são dispostos em classes juntamente com as frequências correspondentes Mais adiante veremos todos os elementos da Distribuição de Frequências Tabela Primitiva Quando realizamos uma amostragem coletamos um conjunto de dados relacionados a uma determinada variável estatística Por exemplo consideremos as estaturas de 40 funcionários da em empresa Tudojoia LTDA conforme segue Estaturas dos 40 funcionários da empresa Tudojoia LTDA cm 164 160 162 159 150 170 166 156 169 165 155 160 171 154 164 161 172 151 159 153 167 161 160 156 158 157 163 168 162 158 166 155 152 158 155 160 164 157 159 168 Os dados acima estão dispostos conforme as pessoas foram sendo medidas Não seguem uma ordem numérica crescente ou decrescente Chamamos então de dados brutos que assim dispostos levam a denominação de Tabela Primitiva Dessa forma temos dificuldade de verificar se as estaturas tendem a se concentrar em torno de um determinado valor e até mesmo verificar quantas pessoas estão acima ou abaixo desse determinado valor Portanto para facilitar o nosso trabalho vamos organizar os dados realizando uma ordenação crescente ou decrescente formando assim uma tabela ordenada ROL φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 2 Rol das Estaturas dos 40 funcionários da empresa Tudojoia LTDA cm 150 151 152 153 154 155 155 155 156 156 157 157 158 158 158 159 159 159 160 160 160 160 161 161 162 162 163 164 164 164 165 166 166 167 168 168 169 170 171 172 Distribuição de Frequências Vamos melhorar ainda mais a forma de apresentar as estaturas dos funcionários da empresa Tudojoia LTDA elaborando uma tabela com duas colunas onde na coluna da esquerda serão colocados os valores da variável em estudo no caso as estaturas em intervalos ordenados e na coluna da direita o número de vezes que os valores aparecem nos respectivos intervalos Sendo esse número denominado frequência F Os intervalos de valores em que agrupamos a variável são denominados classes Desse modo obtemos uma Distribuição de Frequências com intervalo de classe Para os dados já apresentados vamos completar a distribuição abaixo Estaturas cm Frequência F 150 154 4 154 158 8 158 162 12 162 166 7 166 170 6 170 174 3 Total 40 Estaturas dos 40 funcionários da empresa Tudojoia LTDA cm Rol das Estaturas dos 40 funcionários da empresa Tudojoia LTDA cm 150 151 152 153 154 155 155 155 156 156 157 157 158 158 158 159 159 159 160 160 160 160 161 161 162 162 163 164 164 164 165 166 166 167 168 168 169 170 171 172 Veja que a coluna das frequências F foi preenchida conforme destaques no Rol e que o último elemento de cada classe só é contado na classe seguinte φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 3 Quando os dados são organizados em classes em uma distribuição de frequências os mesmos são denominados dados agrupados Elementos da Distribuição de Frequências Para termos uma melhor compreensão da tabela anterior e ampliarmos as informações que nela podemos colocar vamos conhecer os elementos que formam uma distribuição de frequência Classes São os intervalos de variação da variável As classes são simbolizadas por i sendo i 1 2 3 4 k onde k é o número total de classes Frequência da Classe É o número ou quantidade de valores da variável que pertencem á classe Limites de classe São os valores extremos de cada classe havendo portanto um limite inferior li e um limite superior da classe Li Por exemplo na quarta classe da tabela anterior temos l4 162 L4 166 Intervalos de Classe h O intervalo ou amplitude de classe corresponde à diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe sendo representado por hi No mesmo exemplo anterior temos h4 4 É conveniente que todas as classes tenham intervalos idênticos para facilitar os cálculos posteriores A representação dos intervalos deve seguir a Resolução 86666 do IBGE utilizandose símbolo que representa inclusão de li e exclusão de Li ou seja o intervalo formado é fechado à esquerda e aberto à direita φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 4 Amplitude total AT ou Range da Distribuição É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe AT Lmax lmin No exemplo dado temos AT 24 cm Amplitude Amostral AA É a diferença entre o maior e o menor elemento da amostra No exemplo temos AA 22cm Ponto Médio da Classe xi É o valor que divide o intervalo de classe ao meio sendo calculado pela média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe ou seja 2 i i i L l x Número de Classes k Há vários critérios que indicam o número de classes a ser utilizado porém cabe sempre ao pesquisador a sua escolha considerando o intervalo de classe e a facilidade para os cálculos posteriores procurandose evitar classes com frequência nula ou frequência relativa muito elevada Regra de Sturges Essa regra permite determinar o número de classes k em função da quantidade de valores da variável n através da expressão K 1 33 logn φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 5 Empregando a regra de Sturges obtemos a seguinte tabela indicativa Nº de Dados n Nº de Classes k 3 a 5 3 6 a 11 4 12 a 22 5 23 a 46 6 47 a 90 7 91 a 181 8 Regra Alternativa Uma regra alternativa para definir o número de classes é dada por n k Amplitude de Classe Uma vez definido o número de classes da distribuição devemos determinar o intervalo ou amplitude de classe bastando para isso dividir a amplitude amostral pelo número de classes ou seja k h AA Caso o resultado da divisão não seja um número inteiro devemos arredondálo sempre para mais Neste caso temos h 36 4 Outros tipos de Frequências Além da frequência simples ou absoluta Fi podemos definir outros tipos de freqüências bastante úteis para análise dos dados φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 6 Frequência Relativa da Classe fi É a razão entre a frequência da classe e o número total da amostra n F fi onde Fi n Frequência Acumulada Crescente Fac É a soma das frequências de determinada classe com as frequências das classes anteriores Frequência acumulada crescente relativa fac É a Fac da classe dividida pelo total das frequências Frequência Acumulada Decrescente Fad É a soma das frequências de determinada classe com as frequências das classes posteriores Frequência acumulada decrescente relativa fad É a Fad da classe dividida pelo total das frequências Agora considerando todas as definições dadas vamos elaborar uma tabela completa de distribuição de frequência para a estatura dos funcionários da empresa Tudojoia LTDA Tabela completa Estatura dos funcionários da empresa Tudojoia LTDA Estaturas cm Freq Abs Fi Ponto Médio xi Freq Ac cresc Fac Freq Ac dec Fad Freq Rel fi Freq Rel Perc fi x 100 Freq Rel Ac cresc fac Freq Rel Perc Ac cresc fac x 100 Freq Rel Ac dec fad Freq Rel Perc Ac dec fad x 100 150154 4 152 4 40 010 10 010 10 100 100 154158 8 156 12 36 020 20 030 30 090 90 158162 12 160 24 28 030 30 060 60 070 70 162166 7 164 31 16 0175 175 0775 775 040 40 166170 6 168 37 9 015 15 0925 925 0225 225 170174 3 172 40 3 0075 75 1000 100 0075 75 Total 40 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 7 Considerando a tabela podemos realizar uma análise detalhada e responder às seguintes perguntas a Quantos funcionários têm estatura entre 154 cm inclusive e 166 cm exclusive Resposta é a soma das frequências da 2ª 3ª e 4ª classes 8 12 7 27 b Quantos funcionários têm estatura inferior a 162 cm Resposta é o resultado da Fac da 3ª classe 24 Ou a soma das frequências absoluta Fi da 1ª 2ª e 3ª classes 4 8 12 24 c Quantos funcionários têm estatura igual ou superior a 158 cm Resposta é o resultado da Fad da 3ª classe 28 Ou a soma da 3ª 4ª 5ª e 6ª classes 12 7 6 3 28 d Que porcentagem de funcionários têm estatura igual ou superior a 162 cm Resposta fad x 100 da 4ª classe 40 Exercício Foram pesquisados os salários de 35 funcionários de uma pequena empresa cujos valores em reais estão na tabela abaixo 1790 1380 1450 1650 1490 1700 1490 1490 1520 1690 1550 1600 1950 1600 1450 1650 1650 1650 1690 1520 1690 1690 2008 1490 1700 1750 1750 1380 1850 1850 1850 1900 1950 1600 1700 Utilizando a regra de Sturges elabore a tabela de distribuição completa e responda às seguintes perguntas φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 8 a Quantos funcionários ganham salários inferiores a R 169500 b Que porcentagem de funcionários ganha salário inferior a R 180000 c Que porcentagem de funcionários ganha salário igual ou superior a R 159000