Medidas de Posição e Tendência Central na Estatística

φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 1 ESTATÍSTICA APLICADA 4 Medidas de Posição Entre as Medidas de Posição as Medidas de Tendência Central podem ser consideradas as mais importantes recebendo essa denominação em decorrência dos dados observados apresentarem em geral a tendência de se agruparem em torno dos valores centrais da distribuição Essas medidas são Média Aritmética X A média aritmética está dividida em Média aritmética simples Média aritmética ponderada A média aritmética simples é a razão entre a soma de todos os valores da variável e a quantidade desses valores ou seja n x X i Onde n é a quantidade de valores Exemplo Sejam os valores 2 7 3 5 4 24 5 4 5 3 7 2 5 ix X φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 2 A média aritmética ponderada é a razão entre os valores individuais da variável multiplicados pelos seus respectivos pesos e a soma dos pesos Ou seja P X P X i Exemplo Num determinado concurso são definidos os seguintes pesos 3 para matemática 3 para língua portuguesa 2 para geografia 2 para conhecimentos gerais Se um candidato obtém nota 50 em matemática 40 em língua portuguesa 60 em geografia e 60 em conhecimentos gerais sua média será 15 10 51 10 12 12 12 15 2 2 3 3 2 6 6 2 3 4 3 5 P X P X i Mediana A Mediana é o valor que se encontra no centro de uma série de números ordenados de modo que antes e depois deste valor há igual quantidade de dados a Quando temos um número ímpar de elementos o valor central ou seja o valor equidistante dos extremos corresponde à Mediana Porém se os elementos estiverem desordenados precisamos primeiramente ordenálos e em seguida localizar o valor central φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 3 Exemplo Os dados abaixo referemse aos valores em reais de uma amostra de 11 jovens recémformados em contabilidade cujo objetivo com essa pesquisa era verificar o salário mediano dessa categoria de trabalhadores 2350 2255 2450 2550 2380 2210 2390 2630 2440 2420 2380 Para localizar a mediana precisamos ordenar os dados e verificar o valor central ficando assim 2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 Logo o salário mediano dessa categoria de trabalhadores no momento da pesquisa era R 239000 Agora suponha que na verdade essa pesquisa foi realizada com 12 jovens e o valor que está faltando é 2825 Qual é a mediana nesse caso 2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 Como se trata de um número par de dados a mediana é a média entre os dois valores centrais 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 2390 2420 2 2405 Então nesse caso o salário mediano é R 240500 Moda É o número que se repete mais vezes numa série de dados Exemplo Seja a série 25 18 32 25 17 40 21 17 25 11 32 18 Neste caso não precisa ordenar os números Basta identificar o número que se repete mais vezes dentro da série Nesta série a moda é o número 25 Obs Uma série pode ser amodal unimodal bimodal trimodal etc φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 4 Exercícios 1 Os valores abaixo referemse às vendas de um vendedor em milhares de reais de segunda a sábado de determinada semana Por motivos desconhecidos está faltando o valor das vendas efetuadas na quartafeira Qual é esse valor em milhares de reais sabendo que a média de vendas da semana foi de 28 mil reais Segunda Terça Quarta Quinta Sexta sábado 22 28 31 30 35 Resposta 22 2 Após encontrar o valor das vendas da quartafeira ordene os dados e determine o valor da venda mediana Resposta 29 Dados Agrupados Quando os dados estão agrupados em classes as frequências dessas classes devem ser consideradas como fatores de ponderação ou pesos estatísticos sendo então a média uma Média Aritmética Ponderada calculada pela expressão n F x F x F X i i i i i No caso das classes apresentarem intervalos o valor de ix deve ser considerado como sendo o ponto médio da classe φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 5 Exemplo A tabela abaixo fornece as distribuições das estaturas dos 45 alunos de uma turma Complete a tabela e então calcule a estatura média desses alunos Feito isso completaremos a tabela Veja que a última coluna é o produto do ponto com a frequência da classe Seja 3 x 1475 7 x 1525 9 x 1575 e assim sucessivamente Agora com todas as colunas da tabela preenchidas calculamos a estatura média da turma da seguinte forma X X𝑖F𝑖 𝑛 72375 45 16083 Com isso verificamos que a estatura média desses alunos é 16083 cm Mediana Para dados agrupados em classes com intervalos devemos primeiramente determinar a classe que contém a mediana classe mediana Para isso calculamos 2 iF e verificamos qual classe apresenta frequência acumulada imediatamente superior a esse valor sendo essa a classe mediana Posteriormente utilizamos a expressão abaixo para calcular a Mediana Estaturas cm Fi xi x𝑖 F𝑖 145 150 3 1475 4425 150 155 7 1525 10675 155 160 9 1575 14175 160 165 14 1625 2275 165 170 8 1675 1340 170 175 3 1725 5175 175 180 1 1775 1775 45 72375 Conforme vimos anteriormente o ponto médio xi de cada classe é a soma dos extremos da classe dividido 2 Para a primeira classe fica x1 145 150 2 1475 Para segunda classe x2 150 155 2 1525 E assim sucessivamente para as outras classes Porém observe que o ponto médio de uma classe qualquer é o ponto médio da classe anterior somado com a amplitude da classe φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 6 Md ac i Md d F h ant F F l M 2 Moda Quando os dados estão agrupados em classes a classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal Nesse caso a moda pode ser obtida utilizandose a fórmula de Czuber h l M Mo o 2 1 1 Onde lMo limite inferior da classe modal Δ1 diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior Δ2 diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior h amplitude da classe modal Exemplo Aproveite a distribuição da tabela anterior acrescente a coluna da frequência acumulada crescente Fac e calcule a Mediana e a Moda Estaturas cm Fi Fac 145 150 3 3 150 155 7 10 155 160 9 19 160 165 14 33 165 170 8 41 170 175 3 44 175 180 1 45 45 lMd limite inferior da classe mediana FMd frequência da classe mediana Fac ant frequência acumulada da classe anterior à classe mediana h amplitude da classe mediana O preenchimento coluna da Fac é feito somando a frequência de cada classe com a frequência da classe anterior Cálculo da mediana Primeiramente devemos encontrar a classe mediana Para isso dividimos o total das frequências por dois e verificamos na coluna Fac que classe tem valor imediatamente superior 452 225 O valor imediatamente superior na coluna Fac é 33 Logo a 4ª classe é a classe mediana Agora colocamos o valor do limite inferior dessa classe na fórmula e calculamos a mediana conforme segue φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 7 Md ac i Md d F h ant F F l M 2 M𝑑 160 45 2 19 5 14 16125 𝑐𝑚 Cálculo da moda h l M Mo o 2 1 1 A classe que tem maior frequência absoluta é a 4ª classe com 14 elementos Colocando todos esses valores na fórmula ficamos com Mo 160 14 9 14 9 14 8 5 Mo 160 5 5 4 5 1628 𝑐𝑚 lMo limite inferior da classe modal Δ1 diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior Δ2 diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior h amplitude da classe modal φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 8 Exercício Um escritório de contabilidade realizou auditorias em 20 empresas cuja tabela de distribuição dos dias gastos nessas auditorias encontrase abaixo Calcule a Média a Mediana e a Moda de dias gastos nessas auditorias SEPARATRIZES Outras medidas que pertencem à classe de medidas de posição são as separatrizes Assim como a Mediana que divide uma série de dados em duas metades temos o Quartil o Decil e o Percentil que dividem uma série de dados em 4 10 e 100 partes iguais respectivamente Quartil Qi Os quartis dividem os elementos da distribuição em 4 partes iguais Assim Q1 primeiro quartil deixa 25 dos elementos da distribuição à sua esquerda Q2 segundo quartil coincide com a mediana e deixa 50 dos elementos da distribuição à sua esquerda Q3 terceiro quartil deixa 75 dos elementos da distribuição à sua esquerda Tempo de auditoria dias Fi xi Fac x𝑖 F𝑖 10 15 4 15 20 8 20 25 5 25 30 2 30 35 1 20 Respostas Média 195 dias Mediana 1875 dias Moda 1786 dias φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 9 Para se determinar os quartis de uma distribuição de dados o primeiro passo é localizar a classe na qual se encontra o quartil em questão da seguinte forma Para Q1 verificamse quantos elementos corresponde a 25 dos dados para Q2 quantos elementos correspondem a 50 dos dados e para Q3 quantos elementos correspondem a 75 dos dados e procurase na coluna da Fac qual classe tem valor imediatamente superior ao valor encontrado Sendo esta a classe que contém o quartil procurado E em seguida usase seguinte equação Qi ac Qi i F h ant F in l Q 4 Onde i 1 2 ou 3 respectivamente para Q1 Q2 e Q3 lQi limite inferior da classe que contém o quartil i Facant frequência acumulada da classe anterior à classe do quartil i h amplitude da classe do quartil FQi frequência absoluta da classe do quartil i Exemplo Aproveitando a distribuição de dias gastos nas auditorias do escritório de contabilidade calcule os valores dos quartis Q1 Q2 e Q3 respectivamente 0 100 Q1 Q2 Q3 25 50 75 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 10 𝑄1 15 1 20 4 4 5 8 15 5 4 5 8 𝑄1 15625 𝑄2 15 2 20 4 4 5 8 15 10 4 5 8 𝑄2 1875 𝑄3 20 3 20 4 12 5 5 20 15 12 5 5 𝑄3 23 Tempo de auditoria dias Fi Fac 10 15 4 4 15 20 8 12 20 25 5 17 25 30 2 19 30 35 1 20 20 Q1 Q2 Q3 Localizando os Quartis 25 de 20 é igual a 5 50 do 20 é igual a 10 Portanto Q1 e Q2 estão na 2ª classe 75 de 20 é igual a 15 Portanto Q3 está na 3ª classe φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 11 Decis e Percentis Os decis e percentis são calculados através da mesma equação anterior lembrandose que o decil divide o número de elementos em 10 partes iguais e o percentil divide o número de elementos em 100 partes iguais Então Di ac Di i F h ant F in l D 10 e Pi ac Pi i F h ant F in l P 100 Alinhandose os três seguimentos de rata podemos observar que Q1 P25 Q2 D5 P50 Md Q3 P75 etc 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 D1 D 2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 1 5 25 50 75 100 P 1 P5 P25 P50 P75 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 12 Exercício a Calcule os três quartis b Calcule os decis D3 e D7 c Calcule a nota mínima que os candidatos classificados obtiveram Obs A solução deste item é simplesmente o cálculo do P95 uma vez que foram selecionados os 5 melhores então a nota mínima corresponde ao P95 Respostas Q1 23 Q2 36 Q3 51 D3 26 D7 474 P95 787 Notas Fi Fac Xi XiFi 0 10 27 10 20 38 20 30 52 30 40 72 40 50 47 50 60 34 60 70 21 70 80 15 80 90 9 90 100 5 Σ 320 320 candidatos submeteramse a um exame de concurso público cujos 5 melhores foram selecionados As notas obtidas estão distribuídas na tabela ao lado