Medidas de Variabilidade ou Dispersão em Estatística

φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 1 ESTATÍSTICA APLICADA 5 Medidas de Variabilidade ou Dispersão Na investigação dos parâmetros de uma determinada grandeza diâmetro espessura peso estatura notas de alunos etc onde vários experimentos são efetuados o que queremos é avaliar o quanto cada valor individual se afasta da média e fazermos uma inferência sobre os dados obtidos para tomadas de decisão como por exemplo aprovar ou rejeitar um lote de produtos numa linha de produção Dados não agrupados A variabilidade A primeira tentativa de calcular a variabilidade discrepância das variáveis em torno da média foi feita por Blaise Pascal 1623 1662 cuja ideia foi somar as diferenças entre as medidas e a sua média n i i x x ade Variabilid 1 Exemplo Espessura de 5 folhas de tabaco mm 196 304 201 318 194 Calculo da Média x mm x 2 426 5 194 318 2 01 3 04 196 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 2 2 426 1 94 2 426 318 2 426 2 01 2 426 3 04 2 426 96 1 ade Variabilid Porém efetuando os cálculos desta expressão e de várias outras tentativas o resultado será sempre zero logo a ideia de Pascal embora brilhante não surtiu efeito Em 1802 162 anos depois de Pascal o marquês de Condorcet preocupado com as epidemias que assolavam a Europa propõe nova abordagem para o assunto Então retoma a idéia de Pascal e sugere que a variabilidade seja a soma dos quadrados das diferenças entre as medidas e a sua média por não depender do sinal Com isso obtémse um valor diferente de zero que possibilita alguma análise n i i x x ade Variabilid 1 2 Retomando nosso exemplo 1572 2 426 1 94 2 426 318 2 426 2 01 2 426 3 04 2 426 96 1 2 2 2 2 2 ade Variabilid Variância e Desvio Padrão Em 1835 Poisson estabelece mais uma alteração nos trabalhos anteriores e sugere como variância σ2 a somatória dos quadrados das diferenças entre as medidas e a sua média dividida pelo número de medidas n i i n x x 1 2 2 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 3 Retomando novamente nosso exemplo 2 5 1 2 2 0 314 5 572 1 5 mm x x i i Porém essa ideia introduz um inconveniente dimensional perante os axiomáticos que entendiam que o objeto variância não podia representar um desvio visto que não tinha a mesma dimensão das variáveis Este inconveniente dimensional foi contornado por inúmeros matemáticos com a sugestão de extrair a raiz quadrada da variância introduzindo assim o desviopadrão σ e restabelecendo a dimensão original das variáveis n i i n x x 1 2 mm x x i i 0 561 5 572 1 5 5 1 2 Obs Quando trabalhamos com amostra denominamos a Média como 𝑋 e Variância como s2 cuja expressão é 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥2 𝑛 1 E desviopadrão é 𝑠 𝑠2 𝜎2 𝑥𝑖 𝜇2 𝑛 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 4 Vejamos a importância dessa ferramenta da estatística para tomada de decisão Vamos analisar dois lotes de resistores de 100 ohms com tolerância de 10 dos fornecedores A e B cujos valores se encontram na tabela abaixo Baseandose apenas pela média poderíamos dizer que ambos os fornecedores têm a mesma credibilidade nos seus processos produtivos pois nenhuma amostra está fora da tolerância e a média dos lotes de resistores é mesma Ou seja X 1018 10 1018 Amostra Fornecedor A Resistências Ω Fornecedor B Resistências Ω 1 98 109 2 97 102 3 105 99 4 108 107 5 92 96 6 99 105 7 107 93 8 99 109 9 105 102 10 108 96 1018 1018 O desviopadrão mede a distância que cada item está afastado da média Portanto para que o processo produtivo seja confiável é necessário que o desviopadrão esteja o mais próximo possível de zero Vamos então calcular o desviopadrão dos dois lotes de resistores e optar pelo fornecedor que apresentar menor desviopadrão Obs Quem não é da área da eletrônica não se preocupe com a unidade ômega Ω E sim concentrese nos cálculos φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 5 Fornecedor A Fornecedor B Amostra Ω 𝑥 𝑥𝑖 𝑥2 1 98 1018 1444 2 97 1018 2304 3 105 1018 1024 4 108 1018 3844 5 92 1018 9604 6 99 1018 784 7 107 1018 2704 8 99 1018 784 9 105 1018 1024 10 108 1018 3804 1018 2736 Os dados do fornecedor A resultam num desviopadrão menor que do fornecedor B Portanto devemos optar pelo fornecedor A Exercício Os valores abaixo representam uma amostra de determinado parâmetro de uma pesquisa Calcule a variância e o desviopadrão Valores 46 54 42 46 32 Respostas Variância 64 Desviopadrão 8 Amostra Ω 𝑥 𝑥𝑖 𝑥2 1 109 1018 5184 2 102 1018 004 3 99 1018 784 4 107 1018 2704 5 96 1018 3364 6 105 1018 1024 7 93 1018 7744 8 109 1018 5184 9 102 1018 004 10 96 1018 3364 1018 2936 𝑠 2736 10 1 551 𝑠 2936 10 1 571 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 6 Dados Agrupados Para o cálculo do desvio padrão de dados agrupados utilizamos a média elevada ao quadrado e a somatória dos produtos do ponto médio de cada classe elevado ao quadrado Xi2 por suas respectivas frequências absolutas Fi cuja expressão é 2 2 n x F i i Ou 𝑠 𝑥𝑖 2 𝐹𝑖 𝑛 1 𝑥2 Como exemplo vamos utilizar a distribuição das estaturas dos funcionários da empresa Tudojoia LTDA da seção anterior Estaturas cm Fi Xi X𝑖F𝑖 X𝑖 2F𝑖 150 154 4 152 608 92416 154 158 8 156 1248 194688 158 162 12 160 1920 307200 162 166 7 164 1148 188272 166 170 6 168 1008 169344 170 174 3 172 516 88752 40 6448 1040672 Referente à população Referente à amostra 𝜇 𝑋𝑖𝐹𝑖 𝑛 6448 40 1612 𝑐𝑚 𝜎 𝑋𝑖 2 𝐹𝑖 𝑛 𝜇2 1040672 40 16122 𝜎 260168 2598544 56 𝑐𝑚 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 7 Exercício Na tabela abaixo estão as notas obtidas por uma turma de 60 alunos numa avaliação de estatística Complete a tabela e calcule o desviopadrão Notas Fi Xi X𝑖F𝑖 X𝑖 2F𝑖 0 20 5 20 40 11 40 60 16 60 80 21 80 100 7 60 Medidas de Variabilidade Relativa Quando precisamos comparar a dispersão ou variabilidade de conjunto de valores cujas unidades de medidas são diferentes ou comparar conjuntos essencialmente diferentes devemos utilizar uma Medida de Variabilidade que seja relativa ao valor médio Essa medida é denominada Coeficiente de Variação CV definida por 𝐶𝑉 𝜎 𝜇 100 𝑜𝑢 𝐶𝑉 𝑠 𝑋 100 O CV expressa em termos percentuais a fração que o desviopadrão corresponde da média Quanto maior o CV maior será a dispersão dos dados e consequentemente maior será a heterogeneidade do conjunto de valores Obs CV acima de 40 é considerado alto grau de dispersão e isto indica que a média é pouco representativa do conjunto de dados Resposta σ 226 φ Ουσία των μαθηματικών wwwessenciadamatematicacombr email fas0502yahoocombr Prof Me Francisco Alves de Souza 8 A título de ilustração vamos comparar os dados dos fornecedores A e B mostrados no início dessa seção cujos valores são Fornecedor A 𝑋 1018 e s 551 Fornecedor B 𝑋 1018 e s 571 𝐶𝑉𝐴 551 1018 100 054 𝐶𝑉𝐵 571 1018 100 056 Os conjuntos de dados dois fornecedores têm baixíssimo grau de dispersão Porém o conjunto de dados do fornecedor A é mais homogêneo