Lista de Exercícios - Distribuição Normal, Teorema Central do Limite e Intervalos de Confiança

DOCUMENTO RESTRITO 2 Lista de Métodos Quantitativos aplicados Professor Edvan soares de Oliveira Distribuição de probabilidade Normal Teorema central do limite e intervalos de confiança Questão 01 O conteúdo abastecido em garrafas de refrigerantes é distribuído nos moldes da distribuição normal com uma média aritmética de 20 litros e um desvio padrão de 005 litro Se as garrafas contiverem menos do que 95 do conteúdo líquido esperado o fabricante pode estar sujeito a uma penalidade por parte do órgão de defesa do consumidor Garrafas que apresentem um conteúdo líquido acima de 210 litros podem ao ser abertas causar um derramamento do excedente Sendo x o número de litros de refrigerante nas garrafas calcule a p19 x 20 b p19 x 20 c px 19 ou x 20 d Determine a quantidade k de refrigerante tal que px k 95 e 99 das garrafas contém uma quantidade que está entre quais dois valores simetricamente distribuídos em torno da média aritmética f Calcule a probabilidade de o conteúdo derramar de uma garrafa ao abrila g Calcule a probabilidade de o fabricante sofrer uma punição por ter menos conteúdo do que o desejado na garrafa Questão 02 Seja x uma variável aleatória tal que x N100100 Calcule a px 115 b p92 x 1084 c px 85 R d p x 100 9 e Determine o valor de a tal que p x 100 a 95 Questão 03 A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição normal com média de 5 kg e desvio padrão de 08 kg Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classificálos de acordo com o peso do seguinte modo 20 dos leves como pequenos os 55 seguintes como médios os 15 seguintes como grandes e os 10 mais pesados como extras Quais os limites de peso para cada classe Questão 04 As notas de Estatística Econômica dos alunos de determinada universidade distribuemse de acordo com uma distribuição normal com média 64 e desvio padrão 08 O professor atribui graus A B e C de acordo com a tabela a seguir DOCUMENTO RESTRITO Numa classe de 80 alunos qual o número esperado de alunos com grau A E com grau B E C Questão 05 Uma empresa produz televisores e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar algum defeito grave no prazo de seis meses Ela produz televisores do tipo A comum e do tipo B luxo com lucros respectivos de 100000 e 200000 caso não haja restituição e com prejuízos de 300000 e 800000 se houver restituição Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja em ambos os casos uma vacom distribuição normal respectivamente com médias 9 meses e 12 meses e variâncias 4 meses e 9 meses Se tivesse de planejar uma estratégia de marketing para a empresa você incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B Questão 06 Seja x uma variável aleatória tal que x N 15049 a De acordo com o teorema central do limite o que se pode afirmar sobre a distribuição de probabilidade de x b Qual a probabilidade de x estar entre 130 e 145 c Qual a probabilidade de a média de x estar entre estes dois valores para uma amostra de tamanho n 4 E para n 16 d Qual a relação que existe entre o tamanho da amostra e a variância da média de x Explique este resultado intuitivamente p x 150 5 para uma amostra de tamanho 4 9 e 16 Qual a intuição do resultado R e Calcule Questão 07 Uma empresa vende sacos de feijão que pesam 1kg o peso de cada saco porém pode variar para mais ou para menos O peso dos pacotes segue distribuição normal com média 1kg e desvio padrão de 1 50 gramas a Calcule a probabilidade de um saco de feijão ter entre 950 gramas e 11 quilos b Um teste de controle de qualidade será feito na empresa Para isto serão selecionados aleatoriamente 4 5 pacotes de feijão Se a média de peso for inferior a 900 gramas a empresa será multada em R 0000 Qual a probabilidade de a empresa ser multada c Qual o valor esperado da multa paga pela empresa d Suponha que para uma amostra de 9 sacos de feijão seja encontrada uma média de 0950 kg Construa um intervalo de confiança para a verdadeira e desconhecida média populacional considerando a 95 de confiança b 90 de confiança e Qual o tamanho da amostra para que para um intervalo de confiança de 95 e com amostra de DOCUMENTO RESTRITO tamanho o erro máximo admissível seja de 50 gramas Questão 08 Uma escola está trabalhando com o controle de qualidade da merenda oferecida para os alunos Para realizar este trabalho está averiguando peso e altura de seus alunos Para se fazer o estudo então coletou uma amostra de 20 alunos e se chegou aos seguintes números Altura 152 Peso 575 Média Dados históricos revelam que a variância é de 00064 para a altura e 148 para o peso na escola toda a Crie um intervalo de confiança para a média populacional da variável altura considerando um grau de confiança de 95 e depois para um grau de 90 b Faça o mesmo para a variável peso Tabela III Distribuição Normal Padrão Z N0 1 Corpo da tabela dá a probabilidade p tal que p P0 Z Z parte inteiro e primeira decimal de Z Seconda decimal de Z parte inteiro e primeira decimal de Z p 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 00000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586 00 01 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535 01 02 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409 02 03 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173 03 04 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18793 04 05 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 22240 05 06 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490 06 07 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524 07 08 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327 08 09 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891 09 10 34134 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214 10 11 36433 36656 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298 11 12 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147 12 13 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41309 41466 41621 41774 13 14 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189 14 15 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408 15 16 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449 16 17 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327 17 18 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062 18 19 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670 19 20 47725 47788 47831 47862 47932 47982 48030 48077 48124 48169 20 21 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574 21 22 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899 22 23 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158 23 24 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361 24 25 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520 25 26 49534 49547 49560 49573 49585 49598 49609 49621 49632 49643 26 27 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49736 27 28 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807 28 29 49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 49861 29 30 49865 49869 49874 49878 49882 49886 49889 49893 49897 49900 30 31 49903 49906 49910 49913 49916 49918 49921 49924 49926 49929 31 32 49931 49934 49936 49938 49940 49942 49944 49946 49948 49950 32 33 49952 49953 49955 49957 49958 49960 49961 49962 49964 49965 33 34 49966 49968 49969 49970 49971 49972 49973 49974 49975 49976 34 35 49977 49978 49978 49979 49980 49981 49981 49982 49983 49983 35 36 49984 49985 49985 49986 49986 49987 49987 49988 49988 49989 36 37 49989 49990 49990 49990 49991 49991 49992 49992 49992 49992 37 38 49993 49993 49993 49994 49994 49994 49994 49995 49995 49995 38 39 49995 49995 49996 49996 49996 49996 49996 49997 49997 49997 39 40 49997 49997 49997 49997 49997 49997 49998 49998 49998 49998 40 45 49999 50000 50000 50000 50000 50000 50000 50000 50000 50000 45 DOCUMENTO RESTRITO X Normal 20 00025 Letra A P 19 X 20P 1920 005 Z 2020 005 P 2Z0P 0Z20477254773 Letra B P 19 X20P 19X 20477254773 Letra C P X19ou X2P 19 X21P 19X210477250522755228 Letra D P Xk 095 z20 005 165 z20825 95 das garrafas têm seu líquido inferior a 208 litros Letra E P k1Xk2099 P20Z α 2 005 X20Z α 2 005099 P 20258 005 X20258 005 099 P 1871X2129 099 99 das garrafas possuem os líquidos entre 187 litros e 213 litros Letra F P X21PZ2120 005 P Z205P 0Z2 05047725002275228 228 das garrafas podem derramar o líquido ao abrila Letra G P X09520P X19 PZ 1920 005 P Z205047725002275228 228 das garrafas podem haver punição Letra A P X115 PZ115100 10 P Z1505P 0Z1505043319006681668 Letra B P 92X108 4P 92100 10 Z 1084100 10 P 08Z084 P 0Z08P 0Z0840288140299550587695877 Letra C P X85 PZ 85100 10 P Z1505P 0Z15050433190933199332 Letra D P X1009P 9 X1009P 91X109P 91100 10 Z109100 10 P 09Z09 2 P 0Z09 20315940631886319 Letra E P X100a095P Xa100095 a100100 10 165 a 10165a16 5 X Normal 5 Kg0 64 Kg P Xa102 a15 08 085a14 32Kg P Xa2075 a25 08 068a2554 Kg P Xa309 a35 08 129a1603 Kg Classificação Intervalo Pequenos X432 Kg Médios 4 32Kg X554 Kg Grandes 554 Kg X603Kg Extras X 603 Kg X Normal64064 P X5PZ 564 08 P Z17505P 0Z17505045994004006401 P 5 X75 P 564 08 Z 7564 08 P 175Z138 P 0Z175P 0Z138 0459940416210876158762 P X 7 5 PZ 7 564 08 P Z138 05P 0Z138 05041621008379838 Nota Grau Probabilidade Esperado X5 C 401 3 5 X75 B 8762 70 75 X10 A 838 7 Tipo A X Normal 94 P restituiçãoP X 6meses PZ 69 2 P Z1505P 0Z1505043319006681668 P lucro1P restituição1006681093319 Resultado Esperado10000933193000006681R 113361 Tipo B Y Normal 129 P restituiçãoP Y 6mesesPZ 612 3 P Z205P 0Z205047725002275228 P lucro1P restituição1002275097725 Resultado Esperado2000 0977258000002275R2136 50 Como o resultado esperado do tipo B é maior para um planejamento de marketing o incentivo de venda de TV séria o do tipo B Letra A Dados que X Normal 15049 pelo Teorema Central do Limite TCL temse que a média amostral teria X Normal150 49 n Letra B P 130X145 P 130150 7 Z145150 7 P 286Z071P 0Z286 P 0Z0710497880261150236732367 Letra C Para n4 P 130X145 P 130150 7 4 Z145150 7 4 P 5 71Z143 P 0Z571P 0Z14305042364007636764 Para n16 P 130X145 P 130150 7 16 Z145150 7 16 P 1143Z286 P 0Z1143P 0Z2860 5049788000212021 Letra D Quanto maior for o tamanho da amostra mais próximo da média amostral esta da média populacional e menor é a variância da distribuição da média amostral Letra E n4 P X1505 P 5X1505P 145 X155P 145150 7 2 Z 155150 7 2 P 143Z143205P 0Z1432 05042364 20076360152721527 n9 P X1505 P 5X1505P 145 X155P 145150 7 3 Z 155150 7 3 P 214Z214 205P 0Z2142 05048382 2001618003235324 n16 P X1505 P 5X1505P 145 X155P 145150 7 4 Z 155150 7 4 P 286Z286 205P 0Z286205049788 2000212000424042 A intuição do resultado é que quanto mais aumenta o tamanho da amostra mais a média amostral se aproxima da média populacional ou seja a probabilidade do modulo da diferença entre a média amostral e a média populacional vai se aproximando de zero Letra A P 950 X1100P 9501000 150 Z 11001000 150 P 033Z067 P 0Z033P 0Z067 0129300248570377873779 A probabilidade de um saco de feijão está entre 950 gramas e 11 quilos é de 3779 Letra B P X900 P Z 9001000 150 2 P Z133 05P 0Z133 05040824009176918 Há 918 da empresa ser multada Letra C E valor damulta500 009176R 4588 O valor esperado da multa é de R 4588 Letra D i P950196 150 9 μ950196 150 9 095 P 852gramas μ1048 gramas095 IC0852 Kg1048 Kg i P950165 150 9 μ950165 150 9 095 P 8675gramas μ10325gramas 095 IC08675 Kg10325 Kg Letra E n 196150 50 2 34 5735 A amostra deverá ter pelo menos 50 sacos de feijão Letra A α005 P152196 008 20 μ152196 008 20 095 P 14849 μ15551 095 I Cμ 095148156 α010 P152165 008 20 μ152165 008 20 090 P 14905μ15 495090 I Cμ 090149155 Letra B α005 P57 5196 385 20 μ57 5196 385 20 095 P 558139 μ591861 095 I Cμ 09555815919 α010 P57 5165 385 20 μ575165 385 20 090 P 560806μ589194090 I Cμ 09056085892