Regressao Linear-Analise-e-Aplicacoes-em-Metodos-Quantitativos

1 Métodos Quantitativos Universidade Federal do Ceará Faculdade de Economia Métodos Quantitativos Vicente Lima Crisóstomo FortalezaCE Introdução Estatística Descritiva Probabilidade Distribuições de Probabilidades Amostragem e Distribuições Amostrais Estimação Testes de Significância Análise de Variância Teste de Significância para Proporções Testes Não Paramétricos Correlação e Regressão Sumário 2 Métodos Quantitativos Análise de Regressão Ênfase na natureza do relacionamento Busca uma Equação matemática Capaz de descrever o relacionamento entre variáveis Equação pode ser usada para estimar valores de uma variável com base em valores de Outra variável regressão linear simples Outras variáveis regressão linear múltipla De relevante importância em Economia Administração Contabilidade 3 Métodos Quantitativos Regressão Linear Regressão linear Dados são emparelhados Cada observação tem duas ou mais variáveis Exemplos Amostra de pessoas Nome consumo renda escolaridade idade altura peso Amostra de alunos Nome desempenho horestsem idade altura peso Amostra de empresas Empresa RSC endividamento rentabilidade tangibilidade valor da empresa 4 Métodos Quantitativos Regressão Linear Usos da equação de Regressão linear CalcularEstimar valores futurosnão observados Calcular valores para evitar experimentos caros eou destrutivos Em função de dados históricos obtémse a equação Estimação de efeitos Adoção de políticas e efeitos na economia Uso de certas técnicas e seus efeitos Observação Sempre a lógica da relação deve originarse de teorias externas ao âmbito da estatística 5 Métodos Quantitativos Regressão Linear A equação de Regressão linear Corresponde a uma equação de uma reta y b ax ax b b0 b1x b termo independente constante intercepto a coeficiente angular da reta a Δy Δx A reta intercepta o eixo y no ponto 0 b A reta intercepta o eixo x no ponto ba 0 6 Métodos Quantitativos Regressão Linear Métodos Quantitativos 7 0 b ba 0 Δy Δx A equação de Regressão linear Corresponde a uma equação de uma reta y b ax ax b b0 b1x a coeficiente angular da reta a Δy Δx O coeficiente angular indica quantas unidades y varia a cada variação de uma unidade de x 8 Métodos Quantitativos Regressão Linear A equação de Regressão linear Corresponde a uma equação de uma reta y b ax ax b b0 b1x Como equação de uma regressão linear y variável a ser predita estimada calculada explicada variável dependente x variável preditora explicativa independente 9 Métodos Quantitativos Regressão Linear Nem toda relação é aproximada por uma equação linear Ao examinar uma relação entre duas variáveis Pode haver Inexistência de relação Relação linear Relação não linear Quadrática Cúbica 10 Métodos Quantitativos Regressão Linear Métodos Quantitativos Métodos Quantitativos Determinação da equação linear Valores de y podem ser preditos a partir de x Equação amostral observada A partir de dados amostrais podese determinar uma equação que bem represente a relação entre duas variáveis da população Equação que representa função de regressão populacional não observada estimada 13 Métodos Quantitativos Regressão Linear Método para encontrar ou ajustar uma linha reta ao conjunto de pontos pares ordenados determinados pelas duas variáveis Mínimos Quadrados Ordinários MQO Ordinary Least Squares OLS Outros 14 Métodos Quantitativos Regressão Linear Métodos Quantitativos 15 Mínimos Quadrados Ordinários MQO Método mais simples e mais usado Busca minimizar os desvios entre cada observação par ordenado e a reta da equação de regressão Busca minimizar o erro Busca a reta que apresente menores desvios em relação aos vários pontos Observações Soma dos desvios verticais dos pontos em relação à reta estimada é zero Soma dos quadrados dos desvios dos pontos em relação à reta estimada é mínima 16 Métodos Quantitativos Regressão Linear Mínimos Quadrados Ordinários MQO Método mais comum para ajustar uma linha ao conjunto de pontos observados Duas características da reta resultante Soma dos desvios verticais valor observado valor calculado pela equação linear é zero Reta é a mais próxima de todos os pontos Soma dos quadrados das distâncias é mínima Equação da reta de regressão 17 Métodos Quantitativos Regressão Linear Mínimos Quadrados Ordinários MQO Valor minimizado Diferença entre yi e yc yi um valor observado de y yc um valor calculado de y usando a equação de mínimos quadrados com valor observado de x emparelhado com valor y 18 Métodos Quantitativos Regressão Linear Mínimos Quadrados Ordinários MQO Valores de b0 e b1 que minimizam a soma dos quadrados dos desvios b0 e b1 são as soluções do seguinte sistema de equações n número de pares de observações 19 Métodos Quantitativos Regressão Linear Mínimos Quadrados Ordinários MQO Valores de b0 e b1 20 Métodos Quantitativos Regressão Linear Exemplo Quilometragem de um carro pode afetar seu preço de venda Podese propor que sim como hipótese Considerando que sim Qual o grau de influência da quilometragem sobre o preço de venda x quilômetros rodados em milhares y preço do veículo 21 Métodos Quantitativos Outros fatores além da quilometragem tambem podem afetar o preço isolando outros possíveis fatores Tentar encontrar uma equação que indique o efeito da quilometragem sobre o preço 22 Métodos Quantitativos Regressão Linear Dispondo de uma amostra conjunto de observações de carros vendidos podese calcular b0 e b1 23 Métodos Quantitativos Regressão Linear Exemplo quilometragem e preço do carro y 29336 3856 x 24 Métodos Quantitativos Obs X Km Y x y x2 y2 1 40 1000 40000 1600 1000000 2 30 1500 45000 900 2250000 n 14 3 30 1200 36000 900 1440000 4 25 1800 45000 625 3240000 b1 3856 5 50 800 40000 2500 640000 6 60 1000 60000 3600 1000000 7 65 500 32500 4225 250000 b0 29336 8 10 3000 30000 100 9000000 9 15 2500 37500 225 6250000 10 20 2000 40000 400 4000000 11 55 800 44000 3025 640000 12 40 1500 60000 1600 2250000 13 35 2000 70000 1225 4000000 14 30 2000 60000 900 4000000 soma 505 21600 640000 21825 39960000 Exemplo quilometragem e preço do carro y 29336 3856 x 25 Métodos Quantitativos obs xKm ypreco observado ypreco calculado yiyc2 1 40 100000 139160 15335056 2 30 150000 177720 7683984 3 30 120000 177720 33315984 4 25 180000 197000 28900 5 50 80000 100600 42436 6 60 100000 62040 14409616 7 65 50000 42760 524176 8 10 300000 254840 20394256 9 15 250000 235560 2085136 10 20 200000 216280 2650384 11 55 80000 81320 17424 12 40 150000 139160 1175056 13 35 200000 158440 17272336 14 30 200000 177720 4963984 12696099 Mínimo y 29336 3856 x A equação indica que a cada 1000 quilômetros o carro perde 3856 de valor 26 Métodos Quantitativos Observ x Y observado Yi Y calculado Yc 8 10 3000 2548 12 2471 9 15 2500 2355 18 2240 10 20 2000 2162 4 25 1800 1970 2 30 1500 1777 3 32 1700 14 33 1661 13 35 2000 1584 1 38 1469 12 40 1500 1391 45 1199 5 50 800 1006 53 890 11 55 800 813 6 60 1000 620 62 543 7 65 500 428 Sobre a equação que aproxima a função de regressão populacional O resultado é uma estimativa Equação de regressão é uma estimação da real relação Tratase de uma relação média O valor estimado pela equação pode não ser exato A relação linear pode não manterse fora do escopo da população amostra 27 Métodos Quantitativos Regressão Linear Inferência em análise de regressão b0 e b1 são estimativas pontuais dos parâmetros populacionais β0 e β1 erro representa a dispersão na população Ausência de erro significaria todos os pontos sobre uma linha reta relacionamento perfeito Relacionamento perfeito quase impossível Há outras variáveis x que influenciam o valor de y Cada variável x terá seu grau de influência em y 28 Métodos Quantitativos Regressão Linear Inferência em análise de regressão Cada variável x terá seu grau de influência em y Haveria distintos conjuntos de valores da variável x capazes de explicar y Dois fatores minimizam esta possibilidade Idoneidade da amostra Elevado número de observações Haveria outros conceitos variáveis capazes de explicar y No caso do exemplo dos carros Idade Conservação Cidade Número de proprietários Categoria dos proprietários 29 Métodos Quantitativos Regressão Linear Inferência em análise de regressão Análise de regressão supõe que Para cada x há uma distribuição de potenciais y com distribuição normal Dado x os vários valores de y correspondentes têm distribuição normal A média de cada distribuição equivale ao valor médio de y na população 30 Métodos Quantitativos Regressão Linear Inferência em análise de regressão Análise de regressão supõe que Para cada x há uma distribuição de potenciais y com distribuição normal Dado x os vários valores de y correspondentes têm distribuição normal Distribuição condicional de y dado x A média de cada distribuição equivale ao valor médio de y na população Distribuições condicionais de y para cada valor de x têm mesmo desvio padrão homoscedasticidade 31 Métodos Quantitativos Regressão Linear Hipóteses de Análise de Regressão Variável dependente y é aleatória Para cada x há uma distribuição condicional de y que é uma distribuição normal As distribuições normais de y têm igual desvio padrão homoscedasticidade homogeneidade ou uniformidade de variância 32 Métodos Quantitativos Regressão Linear Homoscedasticidade 33 Métodos Quantitativos Regressão Linear Métodos Quantitativos 34 x y ycalc DN y 10 3000 2548 2551 10 2548 2547 10 2548 2544 10 2548 2543 10 2548 2547 10 2548 2541 10 2548 2545 10 2548 2558 10 2548 2556 30 2500 1777 1772 30 1777 1784 30 1777 1769 30 1777 1781 30 1777 1774 30 1777 1789 30 1777 1779 30 1777 1783 30 1777 1780 30 1777 1771 65 500 428 436 65 428 436 65 428 417 65 428 436 65 428 429 65 428 433 65 428 431 65 428 439 65 428 439 65 428 432 65 428 430 Erro Padrão da Estimativa Qual a precisão das estimativas de regressão Dispersão populacional pode ser estimada com base na dispersão amostral em relação à reta de regressão Quanto menor o erro dispersão em relação à reta de regressão Maior a precisão das estimativas Maior a capacidade explicativa do modelo 35 Métodos Quantitativos Regressão Linear Erro Padrão da Estimativa Dispersão na população afeta precisão da estimação Maior dispersão menor precisão da estimação Estimação do erro dispersão populacional com base na dispersão amostral Desvio padrão em relação à reta de regressão n 2 dois graus de liberdade ao calcularse dois valores b0 e b1 na equação de regressão 36 Métodos Quantitativos Regressão Linear Erro Padrão da Estimativa Baseado na hipótese de igualdade de desvio padrão entre as várias distribuições condicionais de y para cada x Hipótese de dispersão uniforme homoscedasticidade Fórmula alternativa para erro padrão da estimativa que não requer yc 37 Métodos Quantitativos Regressão Linear Inferência sobre o coeficiente angular da reta Testar se parâmetro coeficiente angular da reta b1 é ou não nulo estatisticamente diferente de zero Um coeficiente angular nulo b1 0 significa que x não tem influência sobre y Ausência de relacionamento entre x e y Hipótese a ser verificada para o parâmetro populacional H0 β1 0 significa que x não tem efeito sobre y H1 β1 0 significa que x tem efeito sobre y 38 Métodos Quantitativos Regressão Linear Inferência sobre o coeficiente angular da reta b1 Hipótese a ser verificada H0 β1 0 H1 β1 0 Estatística de teste Diferença entre coeficiente amostral b1 e 0 zero dividido pelo desvio padrão da distribuição amostral do coeficiente angular 39 Métodos Quantitativos Regressão Linear Inferência sobre o coeficiente angular da reta b1 Desvio padrão da distribuição amostral do coeficiente angular Estatística de teste 40 Métodos Quantitativos Regressão Linear Inferência sobre o coeficiente angular da reta b1 Hipótese a ser verificada H0 β1 0 coeficiente angular é nulo x não tem efeito sobre y H1 β1 0 coeficiente angular é distinto de zero x tem efeito sobre y cada incremento de x ocasiona um efeito de b1 unidades em y Teste de significância de b1 Se tteste supera tcrítico zona de rejeição de H0 Rejeitase H0 e aceitase H1 Significa que o coeficiente angular é significativamente distinto de zero 41 Métodos Quantitativos Regressão Linear Exemplo quilometragem e preço do carro Teste de significância de b1 y 29336 3856 x 42 Métodos Quantitativos Obs x y xy x2 y2 1 40 1000 40000 1600 1000000 2 30 1500 45000 900 2250000 n 14 14 3 30 1200 36000 900 1440000 4 25 1800 45000 625 3240000 b1 3856 5 50 800 40000 2500 640000 6 60 1000 60000 3600 1000000 7 65 500 32500 4225 250000 b0 29336 8 10 3000 30000 100 9000000 9 15 2500 37500 225 6250000 se 32455 10 20 2000 40000 400 4000000 sb 54 11 55 800 44000 3025 640000 12 40 1500 60000 1600 2250000 13 35 2000 70000 1225 4000000 tteste 712078 14 30 2000 60000 900 4000000 soma 505 21600 640000 21825 39960000 Exemplo quilometragem e preço do carro Teste de significância de b1 y 29336 3856 x H0 β1 0 H1 β1 0 Tteste 712 GL N 2 14 2 12 GL 14 2 12 TESTE UNILATERAL GC 090 NS010 t 1356 GC 095 NS005 t 1782 GC 099 NS001 t 2681 43 Métodos Quantitativos TESTE BILATERAL GC 090 NS010 t 1782 GC 095 NS005 t 2179 GC 099 NS001 t 3055 Probabilidades da Distribuição t Probabilidades na cauda Uma Cauda 0100 0050 0025 0010 0005 0001 00005 Duas Caudas 0200 0100 0050 0020 0010 0002 0001 D 1 3078 6314 12710 31820 63660 318300 637000 E 2 1886 2920 4303 6965 9925 22330 31600 G 3 1638 2353 3182 4541 5841 10210 12920 R 4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610 E 5 1476 2015 2571 3365 4032 5893 6869 E 6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959 S 7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408 8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041 O 9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781 F 10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587 11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437 F 12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318 R 13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221 E 14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140 E 15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073 D 16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015 O 17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965 M 18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922 Métodos Quantitativos 44 Inferência sobre o coeficiente angular da reta b1 Hipótese a ser verificada H0 β1 0 H1 β1 0 Teste de significância de b1 Se tteste supera tcrítico em valor absoluto Rejeitase H0 e aceitase H1 No exemplo tteste 712078 supera tcrítico de modo que o coeficiente angular 3856 é significativamente distinto de zero no caso é inferior a zero Há uma correlação significativamente negativa entre x e y De fato a quilometragem do veículo afeta negativamente seu valor de venda A cada 1000Km o preço do veículo cai 3856 45 Métodos Quantitativos Regressão Linear Coeficiente de determinação r2 Medida que avalia grau de predição da equação Grau de ajuste da reta de regressão da amostra aos dados Predição baseada na reta de regressão Yc X predição baseada na média Y médio Em que grau as predições da reta de regressão são melhores que as baseadas na média Menor dispersão levará a melhor predição Dispersão de pontos yi em torno da média de y X dispersão em torno da reta de regressão yc 46 Métodos Quantitativos Regressão Linear Coeficiente de determinação r2 Medida que avalia grau de predição da equação Dispersão de pontos yi em torno da média de y reta constante X dispersão em torno da reta de regressão yc Se a dispersão erro em torno da reta de regressão yi yc é muito menor que aquela erro em torno da média yi ymed Predições baseadas na reta de regressão são melhores que as da média 47 Métodos Quantitativos Regressão Linear Coeficiente de determinação r2 Variação de yi em torno da média de y Variação TOTAL Soma de quadrados de desvios entre cada valor observado yi e a média de y Variação de y em torno da reta de regressão yc Variação NÃO EXPLICADA não se sabe a razão da estimação da reta diferir dos valores observados Soma de quadrados de desvios entre cada valor observado yi e cada valor calculado pela equação de regressão yc 48 Métodos Quantitativos Regressão Linear Coeficiente de determinação r2 Variação de yi em torno da média de y Variação TOTAL sy 2 Variação de y em torno da reta de regressão yc Variação NÃO EXPLICADA se 2 49 Métodos Quantitativos Regressão Linear Coeficiente de determinação r2 Quantidade de desvio explicada pela reta de regressão variação EXPLICADA Diferença entre Variação TOTAL e Variação NÃO EXPLICADA Percentual de variação explicada r2 Razão entre variação explicada e variação total 50 Métodos Quantitativos Regressão Linear Coeficiente de determinação r2 Percentual de variação explicada r2 51 Métodos Quantitativos Regressão Linear Onde sy 2 é a variância de y em relação à média variação TOTAL se 2 é a variância de y em relação à reta de regressão variação NÃO EXPLICADA 52 Métodos Quantitativos Regressão Linear sy 2 é a variância de y em relação à média total se 2 é a variância de y em relação à reta não explicada Exemplo quilometragem e preço do carro y 29336 3856 x 53 Métodos Quantitativos Obs x y xy x2 y2 1 40 1000 40000 1600 1000000 2 30 1500 45000 900 2250000 n 14 3 30 1200 36000 900 1440000 4 25 1800 45000 625 3240000 b1 3856 5 50 800 40000 2500 640000 6 60 1000 60000 3600 1000000 7 65 500 32500 4225 250000 b0 29336 8 10 3000 30000 100 9000000 9 15 2500 37500 225 6250000 tteste 712078 10 20 2000 40000 400 4000000 11 55 800 44000 3025 640000 r2 081 12 40 1500 60000 1600 2250000 13 35 2000 70000 1225 4000000 14 30 2000 60000 900 4000000 soma 505 21600 640000 21825 39960000 Coeficiente de determinação r2 y 29336 3856 x r2 081 Aproximadamente 81 da variação em y é explicada por x 54 Métodos Quantitativos Regressão Linear Teste de independência entre as variáveis do modelo Análise de Variância para regressão simples Teste dos coeficientes estimados teste da significância global do modelo 55 Métodos Quantitativos Regressão Linear Análise de Variância para regressão simples H0 Há relacionamento entre variáveis H1 Não há relacionamento entre as variáveis elas são realmente independentes 56 Métodos Quantitativos Regressão Linear Análise de Variância para regressão simples Teste dos coeficientes estimados teste da significância global do modelo F calculado comparado com F crítico Se Fcalculado supera Fcrítico Rejeitase H0 de igualdade entre coeficientes estimados das variáveis ou seja de dependência entre variáveis Aceitase H1 de não relacionamento entre variáveis ou seja de Independência das variáveis O conjunto de variáveis explicativas é bom 57 Métodos Quantitativos Regressão Linear Teste de independência entre os coeficientes F 5370295 105333 5098 df1 1 df2 12 α 005 Fcrítico 475 F calculado supera 475 5098 475 Rejeitase H0 Aceitase H1 variáveis são independentes 58 Métodos Quantitativos Regressão Linear Regressão Linear Múltipla envolve Três ou mais variáveis Duas ou mais variáveis independentes Objetivo da regressão linear múltipla Estabelecer uma equação que permita estimar ou predizer valores de y a partir de valores de várias variáveis independentes x Mais variáveis independentes melhoram a capacidade de predição em comparação com a regressão simples Técnica de MQO para obtenção de equação Mais cálculos e complexidade 59 Métodos Quantitativos Regressão Linear Múltipla Regressão Linear Múltipla Forma da equação de regressão Amostral Populacional β0 intercepto k número de variáveis independentes βj j 1 k coeficientes angulares 60 Métodos Quantitativos Regressão Linear Múltipla Regressão Linear Múltipla Forma da equação de regressão Ao invés de linha de regressão temse Plano de regressão para três variáveis Hiperplano para mais variáveis k Quanto menor a dispersão dos pontos em relação ao plano de regressão melhor a precisão das estimações 61 Métodos Quantitativos Regressão Linear Múltipla Record Sales thousands Advertising Budget thousand of pounds No of Plays on Radio 1 per Week Regression Métodos Quantitativos 62 Regressão Linear Múltipla Poucos fenômenos podem ser explicados por uma única variável Objetivo é escolher as melhores variáveis explicativas dentre muitas possíveis Ideal Mais elevada capacidade explicativa do modelo com o mínimo de variáveis independentes explicativas 63 Métodos Quantitativos Regressão Linear Múltipla Regressão Linear Múltipla Escolha de melhores variáveis explicativas Conhecimento do fenômeno estudado é fundamental Revisão da literatura sempre essencial Proposição de hipóteses deve ser independente dos dados 64 Métodos Quantitativos Regressão Linear Múltipla Regressão Linear Múltipla Escolha de melhores variáveis explicativas Conhecimento do fenômeno estudado é fundamental Exemplos 65 Métodos Quantitativos Regressão Linear Múltipla Var Dependente Variáveis Independentes Estrutura de capital Rentabilidade tangibilidade tamanho estrutura de propriedade Volume de vendas do produto Qualidade preço propaganda Salário Qualificação inteligência gênero dedicação Investimento Endividamento fluxo de caixa estrutura de propriedade investimento prévio Safra agrícola Chuva tipo de solo técnica de plantio técnica de tratamento do solo Regressão Linear Múltipla Escolha de melhores variáveis explicativas Conhecimento do fenômeno estudado é fundamental Levantamento de variáveis conceitos possíveis Análise de correlação entre variáveis Evitar uso de variáveis independentes muito correlacionadas Estimação de modelos alternativos Avaliação de r2 Indica capacidade explicativa do modelo Avaliação de F Indica grau de independência entre coeficientes 66 Métodos Quantitativos Regressão Linear Múltipla Econometria Significa medida econômica Aplicação da estatística a dados econômicos para dar suporte a modelos econômicos propostos teoricamente Trata da verificação empírica de leis econômicas Contabilometria metria 67 Métodos Quantitativos Regressão Linear Múltipla