Agenda de Sinais e Sistemas I - Transformada de Fourier

Sinais e Sistemas I 2022 2 Prof Dr Carlos Alberto Ramirez Behaine Agenda Introdução Transformada de Fourier Representação 𝑥 𝑐𝑥 𝑥 𝑓 𝑒 𝑒 𝑓 𝑐𝑥 Se 𝑒 0 𝑓 𝑓 𝑐𝑥 então 𝑐 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑐 𝑡2 𝑓 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑡1 𝑡2 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑡1 𝑐 𝑡2 𝑓 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑡1 𝐸𝑥 𝑡 Representação Ortogonal 𝑥2 𝑓 𝑥3 𝑥1 𝑓 𝑐𝑛𝑥 𝑛 𝑛 𝑐𝑛 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑡 𝑥𝑚 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑚 𝑛 𝐸𝑥𝑛 𝑚 𝑛 Análise Síntese 𝑥𝑛 𝑐𝑛 Bases Coeficientes escalares Agenda Introdução Transformada de Fourier Transformada de Fourier Obter uma representação continua dos sinais no espaço de frequência 𝐹 𝑗𝜔 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 Equação de Análise Equação de Síntese 𝑓 𝑡 1 2𝜋 𝐹 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 𝑓 𝑡 𝐹 𝑖𝜔 𝐹 ℱ 𝑖𝜔 Propriedades Simetria Escalonamento Deslocamento no tempo Deslocamento na frequência Convolução no tempo Convolução na frequência Derivada no tempo Derivada na frequência Integração no Tempo BP LATHI Transformada de Fourier Tempo Frequência Modulação Transformada de Fourier ℱ 𝜔 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 ℱ 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 Transformada inversa de Fourier 𝑓 𝑡 ℱ 𝜔 𝑓 𝑡 ℱ 𝜔 ℱ 𝑥 𝑡 cos 𝜔𝑐𝑡 1 2 𝑋 𝜔 𝜔𝑐 1 2 𝑋 𝜔 𝜔𝑐 𝑋 𝜔 𝜔 𝐴 1 2 𝑋 𝜔 𝜔𝑐 𝜔 𝐴2 1 2 𝑋 𝜔 𝜔𝑐 𝜔𝑐 𝜔𝑐 0 0 ℱ 𝜔 A multiplicação de coswc no tempo desloca o sinal xt na frequência e diminui a amplitude pela metade ℱ ℱ1 Tempo Frequência Convolução no tempo em sistemas LTI ℱ 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 𝑋 𝜔 𝐻 𝜔 𝑌 𝜔 Transformada de Fourier ℱ 𝜔 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 ℱ 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 Transformada inversa de Fourier 𝑓 𝑡 ℱ 𝜔 𝑓 𝑡 ℱ 𝜔 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 ℎ 𝑡 𝐻 𝜔 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 𝑥 𝑡 Resposta ao impulso do canal 𝑋 𝜔 𝑌 𝜔 𝑋 𝜔 𝐻 𝜔 𝑦 𝑡 ℱ1 𝑌 𝜔 A saída yt pode ser calculada simples na frequência ℱ ℱ1 Sinais e Tabelas Radianos Identidade de Parseval BP LATHI 𝛿 𝜔 𝑎 𝑎 1 gt Gf 1 eatut 1 aj2pi f 2 eatut 1 j2pi f 2a 3 eat 1 a22pi f2 4 eatut 1 aj2pi f2 n 5 tn eatut 1 aj2pi fn1 6 deltat 1 7 1 deltaf 8 ej2pi f0t deltaff0 9 cos 2pi f0t 05 deltaff0deltaff0 10 sin 2pi f0t j05deltaff0deltaff0 11 ut frac12deltaffrac1j2pi f 12 sgn t frac2j2pi f 13 cos 2pi f0t frac148deltaff08deltaff0 14 sen 2pi f0t frac14j8deltaff08deltaff0 15 eatsen 2pi f0t ut frac2pi f0aj2pi f24pi2f02 a0 16 eatcos 2pi f0t ut fracaj2pi f24pi2f02aj2pi f2 a0 17 prodleftfrac1 auright au sincpi f au 18 2B sinc2pi Bt 19 Deltaleftfrac1 auright fracpi2 sinc2frac12B 20 B sinc22pi f 21 sumninftyinftydeltatnT f0sumninftyinftydeltafnf0 22 et22sigma2 fracsigmasqrt2pi e2sigma Exemplos Calcular a transformada de Fourier do sinal𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 5 6 8 7 17 10 65 Exemplos 𝑓 𝑡 é uma combinação linear de 𝑓1 𝑡 e 𝑓2 𝑡 𝑓2 𝑡 Π 𝑡𝜏 32 10 32 𝑓1 𝑡 Π 𝑡𝜏 12 10 12 𝑓 𝑡 07𝑓1 𝑡 65 1𝑓2 𝑡 65 𝑓1 𝑡 ℱ1 𝑓 1 Sinc 𝜋𝑓 1 ℱ 𝑓2 𝑡 ℱ2 𝑓 3 Sinc 𝜋𝑓 3 ℱ 𝜏 1 𝜏 3 𝜏 32 ℱ Exemplos 𝑓 𝑡 é uma combinação linear de 𝑓1 𝑡 e 𝑓2 𝑡 𝑓2 𝑡 Π 𝑡𝜏 32 10 32 𝑓1 𝑡 Π 𝑡𝜏 12 10 12 𝑓 𝑡 07𝑓1 𝑡 65 1𝑓2 𝑡 65 𝑓1 𝑡 ℱ1 𝑓 1 Sinc 𝜋𝑓 1 ℱ 𝑓2 𝑡 ℱ2 𝑓 3 Sinc 𝜋𝑓 3 ℱ 𝜏 1 𝜏 3 𝜏 32 ℱ 𝑎 65 Exemplos 𝑓 𝑡 é uma combinação linear de 𝑓1 𝑡 e 𝑓2 𝑡 𝑓2 𝑡 Π 𝑡𝜏 32 10 32 𝑓1 𝑡 Π 𝑡𝜏 12 10 12 𝑓 𝑡 07𝑓1 𝑡 65 1𝑓2 𝑡 65 𝜏 3 ℱ 𝑎 65 ℱ 𝑓 07ℱ1 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓65 1ℱ2 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓65 ℱ 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓65 07Sinc 𝜋𝑓 3𝑆𝑖𝑛𝑐 3𝜋𝑓 ℱ 𝑓 𝑒𝑗13𝜋𝑓 07Sinc 𝜋𝑓 3𝑆𝑖𝑛𝑐 3𝜋𝑓 ℎ 𝑡 7𝑆𝑖𝑛𝑐 800𝜋𝑡 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 10 cos 100𝜋𝜏 7𝑆𝑖𝑛𝑐 800𝜋 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 𝑥 𝑡 10 cos 100𝜋𝑡 Exemplos ℎ 𝑡 7𝑆𝑖𝑛𝑐 800𝜋𝑡 𝐻 𝜔 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 10 cos 100𝜋𝜏 7𝑆𝑖𝑛𝑐 800𝜋 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 𝑥 𝑡 10 cos 100𝜋𝑡 𝑋 𝜔 𝑌 𝜔 𝑋 𝜔 𝐻 𝜔 𝑦 𝑡 ℱ1 𝑌 𝜔 Exemplos ℎ 𝑡 7𝑆𝑖𝑛𝑐 800𝜋𝑡 𝐻 𝜔 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 10 cos 100𝜋𝜏 7𝑆𝑖𝑛𝑐 800𝜋 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 𝑥 𝑡 10 cos 100𝜋𝑡 𝑋 𝜔 𝑌 𝜔 𝑋 𝜔 𝐻 𝜔 𝑦 𝑡 ℱ1 𝑌 𝜔 𝑋 𝑓 10 2 𝑓 𝐻𝑧 0 0 𝑌 𝑓 X 𝑓 𝐻 𝑓 𝑓 𝐻𝑧 50 50 𝐻 𝑓 7 800 0 𝑓 𝐻𝑧 400 400 50 50 10 7 2 800 Exemplos ℎ 𝑡 7𝑆𝑖𝑛𝑐 800𝜋𝑡 𝐻 𝜔 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 10 cos 100𝜋𝜏 7𝑆𝑖𝑛𝑐 800𝜋 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 𝑥 𝑡 10 cos 100𝜋𝑡 𝑋 𝜔 𝑌 𝜔 𝑋 𝜔 𝐻 𝜔 𝑦 𝑡 ℱ1 𝑌 𝜔 𝑋 𝑓 10 2 𝑓 𝐻𝑧 0 0 𝑌 𝑓 X 𝑓 𝐻 𝑓 𝑓 𝐻𝑧 50 50 𝐻 𝑓 7 800 0 𝑓 𝐻𝑧 400 400 50 50 10 7 2 800 𝑦 𝑡 ℱ1 𝑌 𝜔 ℱ1 5 7 800 𝛿 𝑓 50 𝛿 𝑓 50 2 5 7 800 cos 100𝜋𝑡 Exemplos Perguntas