Sinais e Sistemas I - Introdução e Séries de Fourier

Sinais e Sistemas I 2022 2 Prof Dr Carlos Alberto Ramirez Behaine Agenda Introdução Series de Fourier Representação 𝑥 𝑐𝑥 𝑥 𝑓 𝑒 𝑒 𝑓 𝑐𝑥 Se 𝑒 0 𝑓 𝑓 𝑐𝑥 então 𝑐 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑐 𝑡2 𝑓 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑡1 𝑡2 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑡1 𝑐 𝑡2 𝑓 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑡1 𝐸𝑥 𝑡 Representação Ortogonal 𝑥2 𝑓 𝑥3 𝑥1 𝑓 𝑐𝑛𝑥 𝑛 𝑛 𝑐𝑛 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑡 𝑥𝑚 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑚 𝑛 𝐸𝑥𝑛 𝑚 𝑛 Análise Síntese 𝑥𝑛 𝑐𝑛 Bases Coeficientes escalares Agenda Introdução Series de Fourier Serie exponencial Base de Fourier 𝑥𝑛 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑓 𝑡 𝐶𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑛 𝜔0 2𝜋 𝑇0 Onde 𝐶𝑛 1 𝑇0 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑑𝑡 Equação de Análise Equação de Síntese Serie exponencial Base de Fourier 𝑥𝑛 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑓 𝑡 𝐶𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑛 𝜔0 2𝜋 𝑇0 Onde Exemplo 1 𝐶𝑛 1 𝑇0 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑒𝑡 2 𝑡 1 𝜋 0 𝜋 2𝜋 𝜔0 2 𝑇0 𝜋 𝐶𝑛 1 𝜋 𝑒𝑡 2𝑒𝑗𝑛2𝑡 𝜋 0 𝑑𝑡 1 𝜋 𝑒 1 2𝑗2𝑛 𝑡 𝜋 0 𝑑𝑡 𝐶𝑛 0504 1 𝑗4𝑛 𝑓 𝑡 0504 1 𝑗4𝑛 𝑒𝑗2𝑛𝑡 𝑛 Serie trigonométrica 𝑓 𝑡 𝑎0 2 𝑎𝑛 cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜔0𝑡 𝑛1 𝜔0 2𝜋 𝑇0 Onde 𝑎0 2 𝑇0 𝑓 𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑎𝑛 2 𝑇0 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑏𝑛 2 𝑇0 𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔0𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 Serie trigonométrica 𝑓 𝑡 𝑎0 2 𝑎𝑛 cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜔0𝑡 𝑛1 𝜔0 2𝜋 𝑇0 Onde 𝑎0 2 𝑇0 𝑓 𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑎𝑛 2 𝑇0 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑏𝑛 2 𝑇0 𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔0𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑡 𝑓 𝑡 02 01 03 01 0 02 5 Exemplo 2 𝑇0 02 𝜔0 10𝜋 𝑎0 2 02 5 01 0 𝑑𝑡 5 𝑎0 2 25 𝑎𝑛 2 02 5 cos 𝑛10𝜋𝑡 01 0 𝑑𝑡 5 sin 𝑛𝜋 0 𝑛𝜋 0 𝑏𝑛 2 02 5 sin 𝑛10𝜋𝑡 01 0 𝑑𝑡 50 1 𝑛10𝜋 1 cos 𝑛𝜋 𝑛 Impar 𝑓 𝑡 25 10 𝜋 sin 10𝜋𝑡 10 3𝜋 sin 30𝜋𝑡 10 5𝜋 sin 50𝜋𝑡 𝜔 0 25 𝜔0 3𝜔0 5𝜔0 Serie trigonométrica N 1 Harmônica N 2 Harmônicas N 3 Harmônicas N 4 Harmônicas Fenômeno de Gibbs 𝑁 Serie trigonométrica 𝑓 𝑡 𝑎0 2 𝑎𝑛 cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜔0𝑡 𝑛1 𝜔0 2𝜋 𝑇0 Onde 𝑎0 2 𝑇0 𝑓 𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑎𝑛 2 𝑇0 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑏𝑛 2 𝑇0 𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔0𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 Exemplo 3 𝑓 𝑡 Serie trigonométrica 𝜔0 2𝜋 2 𝜋 Onde 𝑎0 2 2 𝑡 1 1 𝑑𝑡 1 𝑎𝑛 2 2 𝑡 cos 𝑛𝜋𝑡 0 1 𝑑𝑡 𝑡 cos 𝑛𝜋𝑡 1 0 𝑑𝑡 0 para 𝑛 par 2 1 𝑛 1 𝑛𝜋 2 para 𝑛 impar 𝑏𝑛 2 2 𝑡 sin 𝑛𝜋𝑡 𝑑𝑡 𝑡 sin 𝑛𝜋𝑡 1 0 0 1 𝑑𝑡 0 Exemplo 3 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 05 4 𝜋2 1 𝑛2 cos 𝑛𝜋𝑡 𝑛135 Serie trigonométrica 𝑓 𝑡 𝑎0 2 𝑎𝑛 cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜔0𝑡 𝑛1 𝜔0 2𝜋 𝑇0 Onde 𝑎0 2 𝑇0 𝑓 𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑎𝑛 2 𝑇0 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔0𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 𝑏𝑛 2 𝑇0 𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔0𝑡 𝑇0 0 𝑑𝑡 Exemplo 4 𝑓 𝑡 Serie trigonométrica 𝜔0 2𝜋 1 2𝜋 Onde 𝑎0 2 1 𝑡 1 0 𝑑𝑡 1 𝑎𝑛 2 1 𝑡 cos 𝑛2𝜋𝑡 1 0 𝑑𝑡 0 𝑏𝑛 2 1 𝑡 sin 𝑛2𝜋𝑡 𝑑𝑡 1 0 1 𝜋𝑛 Exemplo 4 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 05 1 𝜋 1 𝑛 sin 2𝑛𝜋𝑡 𝑛1 SINAIS E SISTEMAS I Perguntas