Analise Modal em Sistemas de 1 e 2 Graus de Liberdade - Caderno de Estudos e Pesquisa

ANÁLISE MODAL EM SISTEMAS COM 1 E 2 GRAUS DE LIBERDADE Elaboração André de Faria Thomáz Produção Equipe Técnica de Avaliação Revisão Linguística e Editoração SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 4 ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA 5 INTRODUÇÃO 7 UNIDADE I FUNDAMENTOS 9 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 9 CAPÍTULO 2 ANÁLISE MODAL ANALÍTICA E EXPERIMENTAL 15 CAPÍTULO 3 VIBRAÇÃO APLICADA A ANÁLISE MODAL 25 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA 41 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ANÁLISES DE MEDIDAS 41 CAPÍTULO 2 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DE SINAIS 51 CAPÍTULO 3 TÉCNICA DE EXCITAÇÃO DE ESTRUTURAS 57 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS 62 CAPÍTULO 1 MÉTODOS DE SISTEMA DE GRAU DE LIBERDADE 62 CAPÍTULO 2 MÉTODOS PARA SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE 72 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS 79 CAPÍTULO 1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DE MODELOS 79 CAPÍTULO 2 VALIDAÇÃO 86 CAPÍTULO 3 CORRELAÇÃO DE MODELOS ANALÍTICOS E EXPERIMENTAL 95 REFERÊNCIAS 106 4 APRESENTAÇÃO Caro aluno A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade Caracterizase pela atualidade dinâmica e pertinência de seu conteúdo bem como pela interatividade e modernidade de sua estrutura formal adequadas à metodologia da Educação a Distância EaD Pretendese com este material leválo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos conhecimentos a serem oferecidos possibilitandolhe ampliar conceitos específicos da área e atuar de forma competente e conscienciosa como convém ao profissional que busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científico tecnológica impõe ao mundo contemporâneo Elaborouse a presente publicação com a intenção de tornála subsídio valioso de modo a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na profissional Utilizea como instrumento para seu sucesso na carreira Conselho Editorial 5 ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA Para facilitar seu estudo os conteúdos são organizados em unidades subdivididas em capítulos de forma didática objetiva e coerente Eles serão abordados por meio de textos básicos com questões para reflexão entre outros recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável Ao final serão indicadas também fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares A seguir apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de Estudos e Pesquisa Provocação Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor conteudista Para refletir Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio É importante que ele verifique seus conhecimentos suas experiências e seus sentimentos As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões Sugestão de estudo complementar Sugestões de leituras adicionais filmes e sites para aprofundamento do estudo discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso Atenção Chamadas para alertar detalhestópicos importantes que contribuam para a sínteseconclusão do assunto abordado 6 ORGANIzAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA Saiba mais Informações complementares para elucidar a construção das sínteses conclusões sobre o assunto abordado Sintetizando Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo facilitando o entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos Para não finalizar Texto integrador ao final do módulo que motiva o aluno a continuar a aprendizagem ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado 7 INTRODUÇÃO Caro aluno os projetos estruturais são responsáveis pela segurança funcionalidade e durabilidade de uma edificação Por essa razão as empresas têm buscado profissionais capazes de dimensionar estruturas mais esbeltas e econômicas sem comprometer a estabilidade e a qualidade da edificação Nesse sentido não basta que o profissional utilize um bom programa computacional é necessário que ele saiba interpretar as informações inseridas e processadas A elaboração de um projeto estrutural compreende quatro etapas principais concepção análise estrutural dimensionamento e detalhamento Todas essas etapas são de grande importância para a execução de uma obra Além disso conceber uma estrutura requer experiência bom senso e raciocínio pois é na elaboração do projeto que os custos são definidos Assim é necessário definir os materiais o prédimensionamento dos elementos estruturais e as ações atuantes buscando a solução mais adequada correlacionada a seu respectivo comportamento Uma estrutura segura é capaz de suportar todas as ações que lhe forem impostas desde a fase de construção até o fim da sua vida útil mantendose em boas condições As ações são as causas externas que produzem reações esforços internos deslocamentos e deformações na estrutura como os pesos próprios dos elementos estruturais e construtivos o vento as variações de temperatura a movimentação das fundações a circulação de pessoas e de veículos etc A vida útil de uma construção que se refere ao tempo em que ela cumpre suas funções previstas em projeto sem custos significativos de manutenção Esse período varia de acordo com a finalidade da construção A vida útil de estruturas usuais como casas e edifícios deve ser de 50 anos exceto se for definido um número diferente pelo proprietário da obra Em geral os projetos estruturais são dimensionados utilizandose a análise estrutural estática sem oscilações de magnitude e de posicionamento das forças atuantes mas há situações em que considerar os efeitos dinâmicos é essencial Por exemplo quando os carregamentos dinâmicos são importantes solicitações feitas às estruturas como no caso de estruturas submetidas a sismos ventos e vibrações devido a pessoas ou máquinas A carga móvel por sua vez varia de posição ao longo do tempo como em passarelas de pedestres 8 Em engenharia carga é uma força aplicada no elemento de uma estrutura Nesse contexto a carga estática é preponderante na maioria das construções e inclui peso Xo medida de maquinarias carga prevista dos ocupantes materiais de construção e peso dos elementos estruturais Bons estudos Objetivos Analisar sistemas de medição e controle dos dados estatísticos Aplicar graus de liberdade em estruturas Definir modelos matemáticos e suas aplicabilidades Identificar campo de vibração em cálculos matemáticos 9 UNIDADE I FUNDAMENTOS CAPÍTULO 1 Introdução Ações são agentes externos que provocam reações de apoio esforços internos deformações e deslocamentos em estruturas As ações podem ser uma força pontual uma carga uniformemente distribuída um momento aplicado forças decorrentes do vento recalque diferencial de apoio variação térmica dentre outras A deformação por exemplo é resultado da aplicação de uma ação na estrutura como uma deformação específica longitudinal ou uma deformação de cisalhamento Os elementos estruturais como lajes vigas e pilares recebem as ações e as distribuem ao longo da estrutura até chegar às fundações Percurso de modais O percurso das ações verticais tem início nas lajes que suportam além de seu próprio peso outras ações como o peso de paredes que se apoiam diretamente sobre elas As lajes transmitem essas ações permanentes para as vigas por meio das reações de apoio e as vigas repassam essas ações para os elementos verticais pilares e paredes estruturais que as repassam para a fundação que por metro as transmite para o solo As deformações impostas pelas ações são os resultados visíveis da atuação dessas forças principalmente quando essas forças são excessivas devido ao mau dimensionamento Ademais as deformações causam deslocamentos sendo as mais comuns as fissuras as fechas deslocamento vertical em um ponto e as vibrações excessivas Segundo Kimura 2007 as ações permanentes acompanham a utilização do edifício do início ao medido ou seja entram e ficam para sempre Desse modo a variabilidade dessas ações no tempo é desprezível 10 UNIDADE I FUNDAMENTOS Nesse contexto há ações permanentes diretas pesos próprios da estrutura todos os elementos construtivos permanentes paredes pisos cobertura etc peso dos equipamentos fixos e empuxos decorrentes do peso próprio de terras não removíveis Em alguns casos empuxos hidrostáticos também são considerados ações permanentes indiretas propensão concreto protendido recalques de apoio e retração dos materiais concreto As ações permanentes diretas são conhecidas como o peso dos elementos construtivos da estrutura e das instalações fixas por exemplo dos revestimentos de forro das camadas de argamassa de regularização dos pisos e das paredes divisórias Nas construções atuais para calcular o peso próprio das estruturas de concreto são utilizados um peso específico de 24 kNm³ para concreto simples e um peso de 25 kNm³ para concreto armado ou protendido Os pesos específicos de outros materiais usuais da construção civil são apresentados na NBR 6120 ABNT 2019 para subsidiar o cálculo das ações das estruturas nas edificações conforme expõe a tabela Peso específico dos materiais de construção Ressaltase que os pesos de outros materiais e de instalações permanentes não contemplados na NBR 6120 ABNT 2019 podem ser informados pelos seus respectivos fornecedores Quando esses materiais não são removíveis além do peso próprio é preciso considerar sempre que necessário as solicitações de empuxos de terra e outros materiais granulosos Indiretamente ao longo do tempo as ações permanentes indiretas se tornam contínuas na edificação devido por exemplo às imperfeições geométricas à propensão às deformações oriundas da retração do concreto ao deslocamento de apoio e à influência NBR 6118 ABNT 2014 As imperfeições geométricas podem surgir devido ao próprio processo de fabricação do elemento estrutural ao transporte à armazenagem ou até mesmo ao método construtivo afetando a retilineidade dos eixos dos elementos A propensão por sua vez é uma técnica utilizada para tornar o concreto mais resistente por meio da aplicação de tensão nos cabos de aço antes da cura do concreto Essa técnica provoca deformações decorrentes do préalongamento das armaduras 11 FUNDAMENTOS UNIDADE I A retração ocorre no processo de cura do concreto no qual há perda de volume da peça podendo ocasionar fissuras O deslocamento de apoio pode ser provocado por recalques ou seja acontecimento que ocorre devido ao adensamento do solo sob a fundação Esse fenômeno pode provocar fissuras e até mesmo levar uma construção à ruína Por fim a influência é um fenômeno que ocorre no concreto no qual há um aumento contínuo nas deformações mesmo que o elemento esteja sob tensão constante As ações permanentes indiretas ocorrem ao longo da vida útil da edificação sem que seja possível retirar a influência delas sobre essa edificação No caso das imperfeições geométricas consideramse o efeito do desaprumo e a falta de retilineidade do eixo dos elementos estruturais sem carga fatores que provocam desconforto fissuras e outras anomalias As deformações impostas pela propensão são avaliadas analisandose a perda de força conforme estabelece o item 963 da NBR 6118 ABNT 2014 Para a retração e a influência essa norma fornece processos de cálculos simplificados para que seja possível considerar os esforços adicionais provocados por essas deformações As ações variáveis apresentam uma variação significativa em torno das médias de suas intensidades durante a vida útil da construção Em função da probabilidade de ocorrerem durante a vida da construção as ações variáveis são classificadas em ações variáveis normais têm probabilidade de ocorrência suficientemente alta para que sejam obrigatoriamente consideradas no projeto das estruturas de um tipo de construção No caso das edificações é possível mencionar a sobrecarga de utilização e a ação do vento ações variáveis especiais têm baixa probabilidade de ocorrência e devem ser incluídas em estruturas que exigem a consideração de determinadas ações especiais como as ações sísmicas ou as cargas acidentais de natureza ou intensidade especiais As estimativas dos dados para a modelagem numérica da ação dos ventos nas estruturas são obtidas com o auxílio de ensaios em túneis de vento Como mencionado anteriormente exemplos de ações variáveis diretas são previstos para o uso na construção Dessa forma Carvalho e Figueiredo Filho 2014 elencam algumas cargas previstas para esses casos exemplificandoas da seguinte forma 12 UNIDADE I FUNDAMENTOS cargas verticais relacionadas ao uso da construção pessoas mobiliários veículos materiais diversos etc força longitudinal de frenagem ou aceleração força centrífuga cargas móveis considerandose o impacto vertical Portanto é função do projetista considerar os valores de ocupação definidos nas normas relacionados à ocupação dos compartimentos Nesse sentido é fundamental considerar as possíveis modificações no uso dos compartimentos além de aconselhar o cliente quanto às providências que devem ser tomadas em cada ocasião como no caso de se alterar o uso de uma sala que é utilizada como escritório mas passará a ser uma biblioteca Nesse contexto a tabela Ações variáveis em edificações apresenta alguns valores de cargas variáveis Segundo a NBR 6118 as ações variáveis diretas item 1141 ocorrem devido ao vento à água às ações durante a construção e às cargas previstas no uso da construção As ações variáveis indiretas por sua vez ocorrem devido à temperatura e às ações dinâmicas como pessoas pulando ABNT 2014 As variações uniformes de temperatura são causadas globalmente pela variação da temperatura atmosférica e pela insolação direta Essas variações dependem do local da construção e das dimensões dos elementos estruturais que compõem a construção ABNT 2014 Há caso de edifícios que têm grandes áreas e que são mais impactados pelas variações de temperatura Destacase que essa norma adota o coeficiente de dilatação térmica do concreto como 105 C1 Em relação às ações variáveis dinâmicas quando as forças aplicadas nas estruturas têm grande variabilidade de intensidade da ação em determinado tempo a ação é dinâmica Além disso colisões causam efeitos dinâmicos nas estruturas Nesse sentido as ações dinâmicas abrangem pessoas vento ondas tráfego terremotos e explosões Quando se utiliza uma análise dinâmica os deslocamentos da estrutura também variam com o tempo Cargas com ciclos repetidos de carregamento efeito dinâmico podem causar o fenômeno da fadiga o qual deve ser considerado no dimensionamento dos elementos estruturais de acordo com a seção 23 da NBR 6118 ABNT 2014 13 FUNDAMENTOS UNIDADE I As ações dinâmicas apresentam variação de magnitude sentido e ponto de aplicação ao longo do tempo e são cada vez mais exigidas em projetos de engenharia à medida que os sistemas estruturais se tornam mais esbeltos e suscetíveis a vibrações Cargas estatísticas De acordo com Hibbeler 2004 uma força ou um momento aplicado em determinado local são considerados carga estática Para que sejam definidos como estáticos o momento ou a força devem ser constantes em magnitude direção e pontos de aplicação Ademais é preciso ressaltar que as ações podem produzir tração axial compressão cisalhamento tração torcional ou qualquer combinação desses tipos dependendo da forma como a ação é aplicada Na figura Aplicação de carga estática em uma viga é ilustrada uma viga com uma carga concentrada a qual pode ser estática como o carregamento de um telhado sobre uma viga Figura 1 Aplicação de carga estática em uma viga Fonte Hibbeler 2004 p 201 Em geral as cargas móveis têm o seu valor conhecido mas a sua posição varia sobre a estrutura como no caso de veículos e pontes rolantes Assim é necessário conhecer essas cargas ao longo de toda a estrutura As cargas móveis são mais comuns em rodovias ferrovias e aeroportos 14 UNIDADE I FUNDAMENTOS Figura 2 Cargas móveis provocadas por um caminhão de seis eixos Fonte Taguti 2002 apud Oliveira Oliveira 2018 p 6 No que se refere às cargas dinâmicas carregamentos que variam em direção posição e magnitude ao longo do tempo são considerados dinâmicos e no mesmo sentido a resposta da estrutura também varia em termos de velocidade deslocamento e aceleração As cargas dinâmicas podem se originar de ação dinâmica do vento ação sísmica equipamentos tráfego de veículos e ações causadas por atividades humanas como caminhar pular etc Em relação aos carregamentos dinâmicos uma das estruturas que mais preocupam os engenheiros são as arquibancadas de estádios de futebol pois esse tipo de carregamento pode causar desconforto nos espectadores além de fissuras exageradas Portanto essa é uma área que está em constante inovação para produzir soluções que reduzam esses efeitos indesejados A NBR 6123 sugere que de forma simplificada a ação do vento seja considerada estática equivalente no caso de estruturas mais simples ABNT 1988 Atualmente mesmo com todo o avanço dos softwares a consideração da ação dinâmica do vento ainda é restrita a centros de pesquisas Para obras mais complexas nas quais a ação do vento é significante as empresas realizam simulações em túneis de vento em escala reduzida e podem se basear no mapa das isopletas que indica a velocidade média do vento por região do Brasil 15 CAPÍTULO 2 Análise modal analítica e experimental As combinações das ações são definidas para que seja possível analisar a probabilidade de diversas ações agirem simultaneamente sobre a estrutura durante um período préestabelecido Segundo Carvalho e Figueiredo Filho 2014 devese definir a combinação das ações a m de serem determinados os casos mais extremos e desfavoráveis para a estrutura e a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estadoslimites de serviço que serão definidos posteriormente Portanto as combinações devem ser realizadas em decorrência das combinações últimas e de serviço respectivamente O Método dos EstadosLimites MEL é um método sem probabilístico pois é um processo simplificado de verificação de segurança uma vez que uma análise probabilística completa aplicando o método probabilístico puro seria muito complexa Tal método consiste em estabelecer limites Acima desses limites a estrutura ou parte dela não respeitaria as condições especificadas para o uso normal da construção e haveria comprometimento da durabilidade o que caracteriza os limites de serviço Ademais acima desses limites a estrutura ou parte dela é considerada insegura o que define os limites últimos Portanto os estadoslimites são classificados de acordo com a NBR 8681 ABNT 2003b em EstadosLimites Últimos ELU EstadosLimites de Serviço ELS Os estadoslimites últimos estão relacionados ao esgotamento da capacidade que a estrutura pode suportar ou seja determinam a interdição do uso da construção logo estão relacionados ao colapso da estrutura ou de parte dela A ocorrência desses estados deve ser muito baixa pois como consequência deles há a perda de propriedades edificações e até mesmo de vidas Segundo a NBR 8681 ABNT 2003b esses estados podem se originar de vários fenômenos como perda de equilíbrio global ou parcial ruptura dos materiais transformação da estrutura total ou em parte em sistema hipostático instabilidade por deformação instabilidade dinâmica 16 UNIDADE I FUNDAMENTOS Os estadoslimites de serviço por sua vez estão relacionados à interrupção do uso normal aos danos e à deterioração da estrutura Uma maior probabilidade de ocorrência pode ser tolerada nesse caso pois esses estados não representam situações tão perigosas Dessa forma os estadoslimites de serviço correspondem às exigências funcionais e de durabilidade da estrutura e podem se originar dos seguintes fenômenos danos ligeiros ou localizados que comprometem o aspecto estético da construção ou a durabilidade da estrutura deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu aspecto estético vibração excessiva ou desconfortável Nesse sentido segundo a NBR 8681 ABNT 2003b as condições de segurança da estrutura como um todo em relação aos estadoslimites são expressas por θ Sd Rd 0 Nesse caso Sd representa os valores de cálculo dos esforços atuantes Rd representa os valores de cálculo dos esforços resistentes Quando o resultado dessa equação é igual a zero determinado estadolimite é alcançado Se o resultado da equação é menor do que zero determinado estadolimite é ultrapassado Por sua vez quando a segurança é verificada isoladamente em relação a cada um dos esforços atuantes a condição de segurança pode ser simplificada da seguinte forma Sd Rd Os valores de Rd e Sd são obtidos com base em seus correspondentes valores característicos Rk e Rs mediante uma distribuição normal de probabilidade que afeta esses valores por meio dos coeficientes de ponderação γf e γm respectivamente Esse estudo probabilístico nos coeficientes de ponderação tem o objetivo de quantificar separadamente as várias causas de incerteza algumas quantificáveis probabilisticamente e outras que dependem de opções subjetivas Essa consideração fornece ao MEL um caráter sem probabilístico 17 FUNDAMENTOS UNIDADE I O coeficiente γf para ações e seus efeitos solicitações geralmente é considerado como produto de três fatores válido para ELU γf γf1 γf2 γf3 Nesse caso γf1 considera a possibilidade de ocorrência de ações que se afastam do valor característico γf2 é o fator de combinação e considera a probabilidade de várias ações distintas atuarem simultaneamente na estrutura e atingirem seus valores característicos ao mesmo tempo Esse fator é identificado como ψ0 γf3 considera a imprecisão na determinação dos efeitos das ações incerteza de modelo e o efeito das solicitações e da diferença das dimensões da estrutura que ocorre entre os projetos e a execução Para quantificação dos valores de γf e estabelecimento das regras de combinação as ações são classificadas segundo a sua variabilidade no tempo em três categorias conforme definidas anteriormente ABNT 2003b ações permanentes G ações variáveis Q ações excepcionais E Quanto aos valores representativos das ações como existem diversos tipos de ações que podem ser consideradas no projeto o índice f do coeficiente γf pode ser modificado para que seja possível identificar o tipo de ação utilizada da seguinte forma γg ações permanentes γq ações variáveis γp protensão γε recalques de apoio 18 UNIDADE I FUNDAMENTOS No que se refere aos valores representativos para os estadoslimites últimos é possível mencionar os característicos os característicos nominais os reduzidos de combinação e os convencionais excepcionais Os valores característicos Fk das ações são definidos em função da variabilidade de suas intensidades Nesse contexto há ações variáveis correspondem aos valores que têm de 25 a 35 de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável durante um período de 50 anos Caso essas ações produzam efeitos favoráveis não são consideradas atuantes na estrutura ações permanentes de acordo com o MEL se a ação permanente produz um efeito desfavorável na estrutura devem ser adotados os valores característicos superiores correspondentes a 95 da respectiva função de densidade de probabilidade Para o caso de ações permanentes que produzam efeitos favoráveis são utilizados os valores característicos inferiores que correspondem a 5 da função de densidade de probabilidade Na prática porém são utilizados os valores médios 50 tanto para ações favoráveis quanto para desfavoráveis Em relação aos valores característicos nominais para ações que não têm a sua variabilidade adequadamente expressa por uma FDP Função Densidade e Probabilidade os valores característicos Fq são substituídos por valores característicos nominais convenientemente escolhidos Os valores reduzidos de combinação por sua vez são determinados a partir dos valores característicos por meio da expressão ψ0 Fk e F são empregados nos ELU quando existirem ações variáveis de diferentes naturezas Os valores reduzidos de combinação consideram a baixa probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes Simplificando o valor de ψ0 é único para cada ação a ser considerada no projeto Os valores convencionais excepcionais são arbitrados para as ações excepcionais e são estabelecidos por um acordo entre o proprietário da construção e as autoridades governamentais que se interessam pela construção 19 FUNDAMENTOS UNIDADE I Ademais no caso dos valores representativos para os estadoslimites de serviço há os valores reduzidos de serviço e os valores raros de serviço Os valores reduzidos de serviço são determinados a partir dos valores característicos por meio das expressões ψ1 Fk e ψ2 Fk e ψ2 são empregados os ELS quando existirem ações que se repetem muitas vezes ψ1 Fk e ações de longa duração ψ2Fk Os valores raros de serviço por sua vez quantificam as ações que podem acarretar ELS mesmo que a atuação sobre a estrutura tenha curta duração Em relação ao carregamento é possível afirmar que se trata de um conjunto de ações que têm probabilidade não desprezível de atuar simultaneamente sobre uma estrutura durante um período préestabelecido De acordo com a NBR 8681 ABNT 2003b os tipos de carregamento que podem ocorrer durante a vida útil de uma construção são carregamento normal decorre do uso previsto para a construção Sempre deve ser considerado na verificação de segurança tanto em relação aos ELU quanto em relação aos ELS carregamento especial decorre da atuação de ações variáveis de natureza ou intensidade especiais e seus efeitos superam em intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas no carregamento normal Os efeitos do carregamento especial têm duração muito pequena em relação à vida útil da estrutura e são em geral considerados na verificação de segurança dos ELU Uma única combinação última especial de ações corresponde a cada carregamento especial carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais que podem provocar efeitos catastróficos Esse tipo de carregamento deve ser considerado somente em estruturas de determinados tipos de construção nos quais a ocorrência de ações excepcionais não possa ser desprezada Ademais o carregamento excepcional deve ser considerado apenas na verificação de segurança dos ELU em razão de ter uma duração extremamente curta carregamento de construção deve ser considerado nas estruturas em que haja o risco de haver estadoslimites durante a fase de construção Nesse 20 UNIDADE I FUNDAMENTOS caso devem ser consideradas todas as combinações de ações necessárias na verificação de segurança dos ELU e dos ELS Nesse contexto também é importante considerar os critérios de combinações de ações Assim para verificar a segurança de uma estrutura em relação aos estadoslimites possíveis é preciso considerar cada tipo de carregamento e todas as combinações de ações que podem acarretar efeitos desfavoráveis à estrutura Nessas verificações as ações permanentes devem ser consideradas em sua totalidade e dentre as ações variáveis são consideradas as que produzem efeitos desfavoráveis para a segurança As ações incluídas em cada uma dessas combinações devem ser analisadas com seus valores representativos multiplicados pelos respectivos coeficientes de ponderação das ações com base nos seguintes critérios ações permanentes sempre devem figurar em todas as combinações de ações estabelecidas ações variáveis nas combinações últimas normais em cada combinação última normal uma das ações é considerada a principal admitindose que ela atue com seu valor característico Fk As demais ações variáveis são consideradas secundárias admitindose que elas atuem com seus valores reduzidos ψ0 Fk Como exemplo de combinação de ações é possível mencionar que a verificação de segurança em relação aos ELU é feita em função das combinações últimas de ações e em relação aos ELS conforme as combinações de serviço das ações Segundo a NBR 8681 ABNT 2003b as combinações últimas são as normais especiais ou de construção e as excepcionais As combinações de serviço são quase permanentes de serviço frequente de serviço e raras de serviço Ao olhar para um edifício muito alto é possível maravilharse com a técnica e a capacidade de o ser humano de desenvolver tamanha construção Quando se trata da engenharia é normal questionar como foi o processo executivo quanto aço e concreto foi utilizado e pensar sobre o peso total do prédio e dos equipamentos das instalações e das pessoas que ele suporta Essa consideração a respeito dos esforços está ligada fundamentalmente ao estudo do projeto de estruturas visando identificar quais cargas forças atuam sobre a estrutura 21 FUNDAMENTOS UNIDADE I para que seja possível a melhor compreensão dela Assim é possível entender o quanto é importante o estudo da física e dos materiais na composição de um edifício Diante desse cenário questionase quais são os principais aspectos físicos que devem ser elencados na análise estrutural Quando se trata de ações em estruturas vale considerar que muitos fenômenos e interações devem ser avaliados Conceituar os fenômenos e as grandezas que influenciam o comportamento das estruturas é fundamental para que haja a plena compreensão de tais interações e de como elas interferem no funcionamento da estrutura em questão Para tanto algumas definições e diferenciações são necessárias força massa e peso densidade e peso específico e formas de cargas aspectos que serão discutidos a seguir Em algum momento da sua vida uma pessoa se depara com a pergunta qual é seu peso Geralmente a resposta é peso x quilos Nesse diálogo trivial há um conflito físico notável a pergunta trata de peso mas a resposta é dada em massa Nesse contexto quando se trata de análise estrutural é necessário compreender a composição de massas pesos e forças atuantes A massa é uma propriedade da quantidade de matéria e é usada para comparar ações entre corpos HIBBELER 2005 A massa serve de medida da inércia de um corpo ou seja corresponde à grandeza da resistência do corpo de ter seu movimento acelerado ou retardado Assim quanto mais massa um corpo tiver maior deve ser a força aplicada para retirálo da inércia Ademais no Sistema Internacional a unidade de massa padrão é o quilograma kg Para que haja uma condição de equilíbrio repouso ou movimento é necessário que ambas as pessoas apliquem a mesma força sobre a corda A força não pode ser entendida apenas como um valor numérico visto que se trata de um vetor por isso para analisar a força é preciso conhecer a intensidade valor numérico a direção e o sentido de aplicação SHAMES 2002 No caso da corda a força F a ser aplicada tem a mesma intensidade mesmo valor numérico e direção horizontal mas sentidos opostos conforme ilustrado Segundo Hibbeler 2005 as quatro quantidades básicas estão correlacionadas pela Segunda Lei do Movimento de Newton que define força como o produto entre a massa de um corpo e sua aceleração Assim a unidade de força denominada de Newton N advém dessa relação na qual F m a sendo que m é a massa em quilograma kg 22 UNIDADE I FUNDAMENTOS e a aceleração é a quantidade de velocidade adquirida por unidade de tempo expressa em ms² Na correlação entre as unidades observada a Segunda Lei de Newton há N kg ms² A força pode ser aplicada entre corpos próximos por meio de um contato como empurrar uma parede ou mover uma cadeira ou a distância sem contato como no caso de forças gravitacionais ou eletromagnéticas Assim em um sentido mais amplo a força está associada à interação entre corpos independente da proximidade entre eles Por sua vez o peso P é um caso específico de força exercida sobre uma massa de um corpo mediante a aceleração da gravidade isto é P m g SHAMES 2002 Na análise estrutural além da força atuante sobre uma estrutura o peso é fundamental pois é inerente e indissociável em relação ao corpo No caso de uma viga ela deve suportar as ações de carga às quais será submetida e ser capaz de suportar o próprio peso Se alguma dessas forças não for considerada há muitas chances de a viga não suportar e perder sua função assim há o excesso de deformação ou a ruptura estrutural Retomando o diálogo inicial sobre peso vale explicar que na prática uma balança mensura a massa de um corpo e não o peso dele por isso a unidade de massa é em quilogramas Ainda é importante ressaltar que a massa de determinado corpo é a mesma em qualquer condição à qual ele é submetido O peso por sua vez pode variar visto que depende da força da gravidade No caso de uma caixa de massa de 50 kg considerandose a gravidade na Terra de aproximadamente 98 ms² a caixa tem o peso P m g 50 kg 9 8 ms2 490 N Na Lua que tem gravidade aproximada de 16 ms² esse mesmo corpo tem o peso P m g 50 kg 1 6 ms2 80 N A massa permanece a mesma mas a força peso exercida pela caixa em relação ao solo varia em função da gravidade 23 FUNDAMENTOS UNIDADE I Além de avaliar a quantidade de massa ou o peso de um corpo qualquer é importante associar esse corpo ao volume que ele ocupa Um exemplo clássico é comparar 1 kg de feijão com 1 kg de algodão Ambos têm a mesma massa mas o volume ocupado é significativamente maior no caso do algodão A densidade ρ representa o quociente entre a quantidade de massa e o volume ocupado ou de forma algébrica ρ m V Como a massa é expressa em quilogramas kg e o volume em metros cúbicos m³ a unidade da densidade é kgm³ SHAMES 2002 Quando se afirma por exemplo que a densidade da água é 1000 kgm³ isso significa que 1000 kg de água ocupa o volume de 1 m³ O peso específico γ representa a força peso existente em uma unidade de volume de determinada substância HIBBELER 2005 Como o peso é obtido multiplicando se a massa do corpo pela aceleração da gravidade também é possível determinar o peso específico multiplicandose a massa específica massa por unidade de volume ou densidade pela aceleração da gravidade P m γ g ρ g VV Como o peso é expresso em Newtons N e o volume em metros cúbicos m³ a unidade de peso específico é Nm³ SHAMES 2002 Uma carga é uma força aplicada em um ponto ou em um corpo Quando são analisadas as forças aplicadas em uma estrutura que se tratam de carregamentos que a estrutura deve suportar é comum chamálas de cargas Qualquer estrutura está sujeita a diferentes tipos de carga como a reação de um pilar os pneus de um veículo a pressão do vento o peso de objetos ou pessoas etc Em termos de distribuição espacial tais cargas podem ser reconhecidas como concentradas ou distribuídas HIBBELER 2005 As cargas concentradas são as aplicadas em uma área diminuta Proporcionalmente às dimensões da estrutura as cargas concentradas podem ser de aplicação pontual como no caso de uma pessoa andando sobre uma viga Simplificando o sistema de uma pessoa sobre uma viga como um diagrama a pessoa pode ser substituída pela força F 24 UNIDADE I FUNDAMENTOS Na análise de estruturas todas as cargas aplicadas são substituídas por vetores equivalentes a essas cargas Quando as cargas são concentradas são aplicadas como um vetor de força sobre a estrutura Na análise de estruturas muitas são as cargas consideradas que não se restringem a um ponto de aplicação Por exemplo no peso de uma parede de alvenaria sobre uma viga como na figura Assentamento de alvenaria em função do material utilizado e do revestimento há uma força peso aplicada mas que não está concentrada Na prática essa força está distribuída uniformemente e de modo linear sobre a estrutura Segundo Hibbeler 2005 as cargas linearmente distribuídas ou distribuídas por área estão aplicadas em trechos ou ao longo das estruturas como o peso próprio de outras estruturas ou objetos apoiados o peso de paredes apoiadas sobre as vigas a reação de uma laje apoiada sobre a viga a ação do vento sobre um painel de publicidade etc Com carga distribuída uniformemente representa esquematicamente uma estrutura simplificada como a barra apoiada em duas extremidades com um carregamento uniforme W ao longo de todo o comprimento Nesse caso a força total aplicada é dividida pela extensão e a unidade da força distribuída é Nm Para Shames 2002 também existem os carregamentos variáveis ou as cargas variáveis normalmente representados em forma de diagramas de carga triangulares ou trapezoidais Como exemplo é possível mencionar a carga em paredes laterais de uma piscina ou de um reservatório cuja pressão da água se amplia uniformemente à medida que aumenta a profundidade Nesse caso há uma força aplicada uniformemente distribuída sobre uma área e identificada pela unidade Nm² SHAMES 2002 A aplicação dessa força está bastante associada ao cálculo de lajes em função do tipo de ocupação Por exemplo uma sala de estar gera menos carga por área do que um depósito uma biblioteca ou um cinema 25 CAPÍTULO 3 Vibração aplicada a análise modal O uso da tabela Peso específico dos materiais de construção é indicado para identificar a carga total aplicada em uma estrutura Por exemplo uma viga de concreto armado tem seção transversal de 020 m x 040 m e 60 m de comprimento como apresenta a figura a seguir Figura 3 Vigia de concreto armado Fonte Taguti 2002 apud Oliveira Oliveira 2018 p 9 O volume total dessa viga é 0 20 m 0 4 m 6 0 m 0 48 m3 Na tabela Peso específico dos materiais de construção é possível verificar que o peso específico do concreto armado é 25 kNm³ então podese determinar o peso da viga P 25 kN P ρ P 12 kN V m3 0 48 m3 Como o peso da viga não acontece em um único ponto ele deve ser considerado uma carga linearmente distribuída ao longo da viga Nesse caso sabendo que a viga tem 6 m de comprimento o seu peso é distribuído de modo que 12 kN 6m 2 kNm Assim é possível representar a mesma viga como uma barra de 6 m de comprimento recebendo uma carga uniformemente distribuída de 2 kNm como apresenta a figura a seguir 26 UNIDADE I FUNDAMENTOS Figura 4 Carga distribuída da viga Fonte Taguti 2002 apud Oliveira Oliveira 2018 p 24 Essa representação das forças aplicadas em uma barra é denominada diagrama de corpo livre e é fundamental para se visualizar as cargas que atuam sobre uma estrutura Elencando os pesos dos materiais que irão compor a carga da laje há os seguintes pesos específicos concreto armado 25 kNm³ argamassa de cimento e areia 21 kNm³ revestimento de pisos de edifícios residenciais e comerciais 5 cm 10 kNm² Os pesos do concreto e da argamassa foram obtidos com base na tabela Peso específico dos materiais de construção e estão associados ao volume de material Por sua vez o revestimento é identificado pela espessura como expõe a tabela Peso específico de revestimentos em função da espessura gerando carga distribuída uniformemente por área Para se analisar o diagrama de corpo livre as cargas são aplicadas uniformemente e distribuídas pela área da laje Assim como no exemplo da viga primeiro definese o volume de cada camada e depois a carga deve ser distribuída Nesse contexto para o concreto há γ kN m3 P kN V m3 27 FUNDAMENTOS UNIDADE I 25 P 3 0 3 0 0 15 Pconcreto 33 75 Como o peso da laje será distribuído por toda a área 90 m² a carga aplicada será 33 75 kN9 00 m2 argamassa há 3 75 kNm2 Repetindose o processo para a γ kN m3 P kN V m3 21 P 3 0 3 0 0 02 Pargamassa 3 7 Do mesmo modo que a laje a argamassa será distribuída por toda a área 90 m² Então a carga aplicada é 3 78 kN9 00 m2 0 42 kNm2 O revestimento como já se sabe é 10 kNm² Graficamente o diagrama será conforme ilustra a figura a seguir 28 UNIDADE I FUNDAMENTOS Figura 5 Diagrama de cargas na laje Fonte Taguti 2002 apud Oliveira Oliveira 2018 p 15 No diagrama as cargas estão listadas na mesma ordem em que são assentadas sendo totalmente aceitável apresentar as três camadas como uma carga única Vale salientar que nesse caso as cargas estão apresentadas em kNm² pois a carga está aplicada sobre toda a superfície Na figura Diagrama de cargas na laje há as cargas de uma seção da laje As cargas aplicadas são avaliadas como cargas verticais visto que atuam sobre a estrutura e são transmitidas em direção ao solo Há outros esforços que atuam de modo horizontal chamados de empuxos que são apresentados a seguir Segundo o Princípio de Arquimedes um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido recebe do fluido uma força vertical dirigida para cima cuja intensidade é igual à do peso do fluido deslocado pelo corpo PRINCÍPIO 2003 Essa força é denominada empuxo E cuja intensidade é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo Em termos físicos parece complicado mas é fácil entender como esse princípio foi estabelecido A história conta que Arquimedes foi incumbido de descobrir se a coroa do rei era de ouro puro ou se havia mistura com outros metais Enquanto pensava no problema que deveria resolver percebeu durante seu banho que ao entrar na banheira o nível da água subia e depois de diversos experimentos identificou que havia uma relação entre o volume de qualquer objeto e o volume de água deslocado Então Arquimedes pensou se a coroa fosse de ouro puro deveria deslocar um volume de água igual à quantidade de ouro se estivesse misturada com prata que pesa menos do que o ouro a coroa teria um volume maior e deslocaria mais água Segundo a história ao verificar que sua hipótese era verdadeira Arquimedes teria gritado Eureka MARTINS 2000 29 FUNDAMENTOS UNIDADE I Resumindo o empuxo E é uma força portanto definida em Newtons N dirigida para cima que qualquer líquido exerce sobre um corpo nele mergulhado Figura Equilíbrio do peso e do empuxo Conforme afirma Araújo 2005 três situações distintas podem ocorrer peso P do corpo maior que o empuxo E o corpo afunda peso P do corpo menor que o empuxo E o corpo fica na superfície do líquido peso P do corpo igual ao do empuxo E o corpo permanece em repouso Desse modo os coeficientes de empuxo são dados pelas seguintes fórmulas ka tan 2 45 φ 2 kp tan 2 45 φ 2 Nesse caso ka é o empuxo ativo kp corresponde ao empuxo passivo e φ referese ao ângulo de atrito interno do solo Conforme abordado anteriormente a teoria de Rankine apresenta algumas premissas que algumas vezes não ocorrem nos casos práticos pois pode haver presença de água sobrecarga no solo e solos estratificados Vento é o movimento horizontal das massas de ar e ocorre devido à diferença de temperatura na Terra Uma das principais características dos ventos é o seu caráter aleatório quanto à intensidade à duração e à direção Assim por que é importante estudar o vento na modulagem de estruturas Porque é possível analisar antecipadamente o comportamento da estrutura de uma edificação Quando o vento atinge uma estrutura as áreas de aplicação das cargas de vento recebem nomes distintos conforme demonstra a figura a seguir 30 UNIDADE I FUNDAMENTOS Figura 6 Aplicação de cargas de vento Fonte adaptado de Straube 2007 Considerando a figura Aplicação de cargas de vento é possível afirmar que a ação do vento atua de maneira distinta em cada ponto da edificação Em sentido horário partindose do piso à esquerda da construção há barlavento região de onde sopra o vento em relação à edificação sobrepressão pressão efetiva acima da pressão atmosférica de referência sinal positivo sucção pressão efetiva abaixo da pressão atmosférica de referência sinal negativo sotavento região oposta àquela de onde sopra o vento em relação à edificação Em caso de dúvida quanto à seleção da velocidade básica e em obras de grande porte como arranhacéus aeroportos etc é recomendado um estudo específico para a determinação de Vo A velocidade básica do vento é multiplicada pelos fatores S1 S2 e S3 para ser obtida a velocidade característica do vento Vk Vk Vo x S1 x S2 x S3 Nesse caso Vo velocidade básica S1 fator topográfico 31 FUNDAMENTOS UNIDADE I S2 fator de rugosidade e dimensões da edificação S3 fator estatístico Os valores do fator S1 são terreno plano ou quase plano S1 10 taludes e morros interpolação linear conforme define a NBR 6123 ABNT 1988 vales protegidos S1 09 No caso do S2 são determinadas uma categoria rugosidade do terreno e uma classe de acordo com as dimensões da edificação As categorias são definidas pela NBR 6123 ABNT 1988 de acordo com a tabela Definição de categorias para a determinação do coeficiente S2 O cálculo de S2 é expresso por S2 b Fr z 10 p Nesse contexto z é a altura total da edificação no caso a cumeeira e os parâmetros b Fr e p são obtidos na tabela 1 Parâmetros meteorológicos e na tabela 2 Fator S2 as quais devem ser consultadas na NBR 6123 para que seja possível fazer os cálculos ABNT 1988 O fator estatístico S3 é definido com base no uso da edificação e normalmente especificandose a vida útil dela para 50 anos Os valores mínimos que podem ser adotados estão definidos na tabela Valores mínimos do fator estatístico S3 Na edificação a força do vento depende da diferença de pressão nas faces opostas em relação à parte em estudo Os coeficientes de pressão são adotados para superfícies externas e internas A pressão efetiva P em um ponto da superfície de uma edificação é definida por P Pe Pi em que Pe é a pressão efetiva externa e Pi é a pressão efetiva interna Portanto P cpe cpi q Nesse caso cpe corresponde ao coeficiente de pressão externa cpe Pe q cpi referese ao coeficiente de pressão interna cpi Pi q 32 UNIDADE I FUNDAMENTOS q é a pressão dinâmica Os valores positivos dos coeficientes de pressão externa ou interna correspondem a sobrepressões e os valores negativos correspondem a sucções Ademais a NBR 6123 apresenta valores externos e internos dos coeficientes de pressão e da forma para diversos tipos de edificação ABNT 1988 Campo de aplicações Com o intuito de fixar os conceitos abordados há um exemplo de cálculo da pressão dinâmica em uma edificação com as seguintes características estação elevatória de concreto armado de uma indústria em terreno plano com altura aproximada de 15 m do solo localizada na cidade de São Paulo A pressão dinâmica q é dada pela fórmula q 0613 Vk² sendo que a velocidade característica do vento Vk é calculada pela seguinte fórmula Vk Vo x S1 x S2 x S3 Nesse caso Vo é a velocidade básica S1 é o fator topográfico S2 corresponde ao fator de rugosidade e às dimensões da edificação e S3 referese ao fator estatístico Roteiro de cálculo 1 Cálculo das variáveis Vo S1 S2 e S3 De acordo com as isopletas figura Isopletas do Brasil a velocidade básica Vo em São Paulo é de 40 ms O fator S1 topográfico segundo a NBR 6123 é igual a 10 por se tratar de terreno plano ABNT 1988 Para o cálculo do fator S2 rugosidade dimensões e altura é preciso definir por meio das tabelas da NBR 6123 ABNT 1988 a categoria e a classe De acordo com as características fornecidas anteriormente é possível realizar o seguinte enquadramento categoria IV áreas industriais classe A z igual a 15 m Inserindose esses dados na tabela Definição de categorias para a determinação do coeficiente S2 obtémse S2 igual a 09 O fator S3 estatístico segundo a NBR 6123 é igual a 10 por se tratar de uma edificação para fins industriais com alto fator de ocupação ABNT 1988 2 Cálculo de Vk velocidade característica do vento 33 FUNDAMENTOS UNIDADE I Vk 40 x 1 x 09 x 1 36 ms 3 Cálculo de q pressão dinâmica q 0613 x Vk² q 0613 x 36² q 79445 Nm² Desse modo a carga de vento a ser aplicada na análise estrutural é 79445 Nm² distribuída uniformemente na área A estrutura é a espinha dorsal da construção e deve ser dimensionada para suportar todas as forças que atuarão sobre ela Para isso é necessário inicialmente ter conhecimento de todos os elementos que a compõem sejam eles lineares bidimensionais ou tridimensionais que combinados formam os sistemas estruturais Os sistemas estruturais por sua vez para construções de grande ou pequeno porte devem assegurar rigidez e integridade ao longo de toda a vida útil planejada para a edificação Além disso o dimensionamento da geometria e a ligação e distribuição dos elementos precisam atender aos requisitos de resistência exigidos O dimensionamento se inicia com o projeto arquitetônico e cabe ao engenheiro calculista o desafio de dimensionar um sistema estrutural compatível o que muitas vezes pode ser um trabalho complexo De modo geral sabese que os elementos reagem de forma diferente dependendo do carregamento recebido Diante do exposto perguntase por que há distinção na absorção e na transmissão dos esforços entre os elementos estruturais Os elementos se diferenciam conforme seu comprimento sua área e seu volume Nesse contexto a classificação geométrica compara a ordem de grandeza das três dimensões dos elementos comprimento altura e espessura classificandoos em lineares bidimensionais e tridimensionais Elementos lineares são elementos em que o comprimento prevalece sobre as outras dimensões como vigas e pilares São também conhecidos como elementos reticulares Elementos bidimensionais são aqueles em que duas de suas dimensões prevalecem sobre a terceira Por exemplo lajes paredes e cascas 34 UNIDADE I FUNDAMENTOS Elementos tridimensionais são estruturas em que as três dimensões se equiparam Como exemplo é possível citar os blocos de fundações e as estruturas de barragens Para melhor entendimento é importante frisar que os elementos estruturais podem estar submetidos a esforços de tração compressão cisalhamento esforço cortante e torção A figura Diferentes tipos de esforço apresenta os principais esforços sofridos por um elemento Figura 7 Diferentes tipos de esforços Fonte adaptado de Straube 2007 Os elementos lineares também chamados de barras são aqueles cujo comprimento supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal Conforme sua função estrutural podem ser classificados em vigas pilares tirantes e arcos DIAS et al 2015 Cada elemento linear se diferencia sobretudo pelo esforço predominante Enquanto nas vigas o esforço de flexão é o principal nos pilares usualmente dispostos na vertical atuam as forças normais de compressão Já nos tirantes que são elementos lineares de eixo reto as forças normais de tração são prevalentes Por fim nos arcos que são elementos curvos agem as forças normais de compressão sozinhas ou simultaneamente com esforços de flexão As vigas são responsáveis por transmitir as cargas vindas das lajes para os pilares e podem apresentar diversas geometrias retangular maciça triangular circular vazada caixão tipo T ou I etc Esse elemento pode ser de diferentes materiais como aço madeira concreto armado ou protendido ferro fundido e alumínio 35 FUNDAMENTOS UNIDADE I As vigas são elementos lineares e suas dimensões a e b altura e largura da seção transversal respectivamente são bem menores que a terceira l também conhecida como vão De modo geral o emprego dos tipos de viga citados anteriormente vai depender do projeto A viga em balanço por exemplo é muito utilizada em sacadas e a balcão em estruturas que requerem formato arredondado A dimensão da viga depende principalmente do vão do carregamento e da resistência dos materiais que a compõem A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência aos esforços aliada a uma baixa deformabilidade Normalmente os pilares desempenham a função de transmitir para a fundação os esforços vindos das vigas e os esforços horizontais vento e por isso são dispostos na vertical em que os esforços normais de compressão são preponderantes Em edifícios altos e com vários andares a cada andar inferior somamse as cargas atuantes dos andares superiores Essas cargas são utilizadas para dimensionamento dos pilares e a carga total é usada no projeto da fundação Em conjunto com as vigas os pilares formam os pórticos Normalmente são responsáveis por resistir às ações verticais e horizontais com o objetivo de garantir a estabilidade global da estrutura Assim como as vigas os pilares têm diferentes geometrias a depender da melhor configuração para suportar os esforços requisitados assim como da estética desejada Podem ser cilíndricos quadrados retangulares pilaresparede e ainda em per s metálicos com seção do tipo I caixão entre outras formas Além disso podem ser executados em madeira aço concreto armado etc O dimensionamento dos pilares é decorrente dos esforços solicitantes externos que correspondem às forças normais N Quando há momentos e forças cortantes atuantes nos pilares estas também devem ser consideradas BASTOS 2017 Esse tipo de solicitação também pode ser chamado de compressão centrada ou uniforme aquele tende a achatar o pilar Nas pontes atirantadas também chamadas de estaiadas o funcionamento estrutural está centrado na interação entre os tirantes tabuleiros e mastros e a definição da estrutura está totalmente relacionada à configuração escolhida pelos tirantes 36 UNIDADE I FUNDAMENTOS Segundo a NBR 6118 ABNT 2014 os arcos são elementos estruturais formados por barras curvas em que dominam as forças normais de compressão que podem agir em conjunto ou não com os momentos dos vetores Por ter o formato curvo a parte central do arco é mais alta que as extremidades A forma da sua curva está diretamente relacionada ao tipo e à disponibilidade de material e principalmente aos esforços atuantes Os materiais normalmente usados são aço e concreto protendido por permitirem vãos maiores além de serem agradáveis esteticamente Contudo também é possível obter grandes vãos com arcos feitos de madeira laminada colada MLC principalmente em estruturas de cobertura De acordo com a sua forma os arcos podem ser classificados em parabólicos e circulares que são os mais utilizados e podem ter formas elípticas ou catenárias Os arcos em formatos parabólico e catenário são muito semelhantes com diferença na curvatura de sua extremidade os parabólicos têm extremidade mais pontiaguda Destacase ainda que a diferença mais explícita entre eles são as equações que os regem BARBOSA 2012 Esses tipos de arco são vistos em várias estruturas nos detalhes de janelas portas aquedutos nos cabos tracionados em forma de arco das pontes pênseis e até mesmo na conformação dos traços de eletricidade catenárias Os arcos circulares e elípticos estão presentes em coberturas e são diferentes geometricamente enquanto um é arredondado o outro é composto por um segmento de elipse que são como arcos achatados As vigas podem ter esse formato para estruturar as obras por exemplo As seções transversais dos arcos mais comuns variam de acordo com o material Para os arcos construídos em concreto armado em geral são utilizadas seções de forma retangular Já os arcos de madeira podem ter seções treliçadas ou transversais retangulares Os arcos em estrutura de aço em geral são treliçados pois a fabricação é mais fácil e reduz o peso próprio Os elementos bidimensionais como o próprio nome sugere são aqueles em que duas de suas dimensões altura e comprimento são bem maiores que a terceira espessura Esses elementos podem ser classificados como placas chapas cascas e pilaresparedes Na construção civil as placas que recebem o carregamento transversalmente à sua área maior são denominadas lajes Já as chapas são como as lajes porém as cargas são 37 FUNDAMENTOS UNIDADE I aplicadas na direção da sua área maior As vigasparede são um exemplo desse tipo de elemento As cascas por sua vez são elementos de superfície que não são planos Por fim os pilaresparedes são elementos de superfície plana ou casca cilíndrica em que em alguma de suas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 15 da maior ABNT 2014 A diferença dos elementos bidimensionais é principalmente a disposição das forças atuantes devido ao arranjo dos elementos estruturais As lajes que são consideradas placas são muito utilizadas na engenharia civil Normalmente a laje é o primeiro elemento a receber as cargas atuantes em uma edificação Esses carregamentos são transferidos para as vigas destas vão para os pilares e dos pilares chegam às fundações as quais transferem a carga para o solo As lajes trabalham predominantemente em flexão e são elementos planos em geral horizontais com duas de suas dimensões maiores que a terceira denominada espessura As lajes maciças são as mais utilizadas no Brasil Elas são executadas sobre uma fôrma normalmente de madeira sobre a qual é colocada uma armadura formando várias malhas e então é aplicado o concreto As lajes nervuradas podem ser moldadas in loco e de acordo com a NBR 6118 ABNT 2014 também podem ter nervuras prémoldadas cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte proporcionado a redução do concreto Os materiais de enchimento inertes podem ser de vários tipos blocos cerâmicos blocos vazados de concreto e blocos de EPS poliestireno expandido conhecido como isopor As lajes do tipo cogumelo por sua vez apoiamse diretamente sobre os pilares sem o suporte das vigas Entre as lajes prémoldadas é possível citar as treliçadas muito utilizadas no Brasil principalmente em construções habitacionais e comerciais de pequeno porte Esse tipo de laje é constituído por vigotas de concreto armado ou apenas por uma estrutura de treliça como armadura fixada em uma placa de concreto O preenchimento da laje treliçada é comumente feito com lajotas de cerâmica ou EPS isopor As lajes alveolares protendidas também são prémoldadas e recebem esse nome por conterem no seu interior vários alvéolos ou seja aberturas longitudinais responsáveis 38 UNIDADE I FUNDAMENTOS pela redução de concreto da peça São constituídas por painéis de concreto protendido e têm seção transversal com altura constante Por fim existem as lajes steel deck compostas por chapas de aço galvanizado em formato trapezoidal Essas chapas têm dupla função atuam como fôrma no momento da execução da laje e como armadura positiva após a cura do concreto Por isso são chamadas de laje mista ou colaborante Dependendo da resistência do solo e do peso da estrutura a edificação pode ser executada diretamente sobre uma laje apoiada no solo conhecida como radier As chapas são elementos de superfície plana sujeitos a cargas dentro do seu plano Como exemplo é possível citar as paredes em alvenaria e as vigasparede A seguir para melhor compreensão será descrita a atuação dos esforços nesse elemento As paredes são consideradas bidimensionais pelo mesmo motivo das placas isto é porque duas das dimensões do plano altura e largura superam a terceira espessura A diferença entre placas e paredes está na direção do carregamento uma vez que as paredes estão dispostas na vertical e as forças atuam no mesmo plano As vigasparede são exemplos de chapas dispostas na vertical suportadas por apoios isolados Há situações de projeto em que as paredes estão localizadas sob as lajes que devem suportar seu peso Por isso ao dimensionar uma laje é necessário acrescentar uma carga linear sobre a laje posicionada no eixo da parede O carregamento em uma parede ocorre ao longo da sua altura Mesmo quando são carregadas parcialmente ou quando há interrupção acontece a distribuição das cargas verticais Existem alguns mecanismos que contribuem para a uniformização do carregamento a amarração das paredes em cantos e bordas sem juntas a prumo mais importante b construção de cintas sob as lajes e à meia altura da parede c lajes maciças d vergas e contravergas 39 FUNDAMENTOS UNIDADE I As cascas são elementos que se assemelham a cúpulas pois são limitados por duas superfícies curvas É um recurso bastante utilizado arquitetonicamente desde a Antiguidade Pode ser observado por exemplo no Pantheon em Roma e na cúpula da Basílica de Santa Sofia em Istambul proporcionandoos um design diferenciado As cascas apresentam formato na maioria das vezes ousado e representam um desafio para o engenheiro de estruturas São construídas em geral para vencer coberturas de grandes vãos e coberturas de reservatórios Grandes arquitetos foram responsáveis por lindas obras em formato de casca entre eles Félix Candela Frei Otto e até mesmo o arquiteto brasileiro Oscar Niemeyer As cascas distinguemse pela sua capacidade de equilibrar os carregamentos principalmente por meio dos esforços no próprio plano denominados esforços de membrana Por apresentarem essa característica são capazes de vencer grandes vãos com quantidade mínima de materiais Contudo para dimensionálas são necessários cálculos complexos com a utilização de programas de elementos finitos de análise estrutural adequados SOLHEIRO 2017 São estruturas que apresentam volume podendo ser maciças ou não e têm três dimensões que se equiparam Também conhecidos como blocos os elementos tridimensionais são utilizados para transmitir as cargas de fundação para estacas e tubulões Em estrutura de fundações existem dois tipos de bloco blocos de fundação e blocos de coroamento Esses blocos assim como os demais elementos estruturais da fundação são responsáveis por transmitir para o solo todos os esforços da estrutura advindos normalmente dos pilares Portanto para dimensionálos corretamente é imprescindível que todos os cálculos das cargas da estrutura estejam corretos Os blocos são considerados tridimensionais por apresentarem a mesma ordem de grandeza nas três dimensões Eles se configuram como superfície direta superficial pois transmitem a carga diretamente para o terreno predominantemente pelas pressões distribuídas sob a base Além disso a sua profundidade de assentamento não supera duas vezes a menor dimensão ABNT 2019 São executados de maneira que as tensões de tração nele produzidas possam ser resistidas pelo concreto e por isso normalmente não há necessidade de armadura Segundo a NBR 6122 ABNT 2019 suas faces verticais podem ser inclinadas ou escalonadas e apresentar seção quadrada retangular circular e trapezoidal em planta 40 UNIDADE I FUNDAMENTOS Os blocos são utilizados principalmente para carregamentos não muito expressivos Geralmente construídos de pedra tijolos maciços concreto simples ou concreto ciclópico os blocos devem ter dimensões mínimas de 060 m e profundidade de 150 m salvo quando for assente sobre rocha ou apresentar dimensões inferiores a 1 m Esses blocos são estruturas de volume que transmitem cargas de fundação para estacas e tubulões Para isso na extremidade de cada grupo de estaca ou tubulão há um bloco de coroamento De modo geral esses blocos são maciços de concreto armado localizados entre a estaca e o pilar para apoiar as extremidades superiores das estacas responsáveis pela transmissão dos esforços advindos dos pilares até uma camada resistente do solo A NBR 6122 ABNT 2019 instrui como deverá ocorrer a solidarização entre o bloco e as estacas ou tubulões de modo que a transmissão dos esforços seja efetiva Por exemplo se o topo da estaca tiver sido danificado durante a cravação ou acima da cota de arrasamento ele deve ser demolido 41 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA CAPÍTULO 1 Sistemas de análises de medidas A estrutura é um arranjo de elementos estruturais vigas pilares lajes etc e a maneira como eles estão organizados pode ser chamada de sistema estrutural Essa distribuição dos elementos é de extrema importância na análise das estruturas principalmente porque dependendo desse arranjo é possível diminuir consideravelmente os esforços na estrutura Cada elemento estrutural que compõe o arranjo tem papel significativo no funcionamento da estrutura As lajes por exemplo suportam além do seu peso os revestimentos as cargas acidentais etc Já as vigas recebem todo o carregamento advindo das lajes e o transmite junto com o seu peso próprio para os pilares Por fim essas solicitações são transferidas dos pilares para as fundações superficiais ou profundas Os itens seguintes exemplificam as configurações desses elementos nas estruturas Como visto os elementos lineares são aqueles que superam em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal Nesse grupo estão as vigas os pilares os tirantes e os arcos As vigas e os pilares aparecem frequentemente juntos para formarem os pórticos das estruturas e podem ser confeccionados com diversos tipos de materiais e seções O momento é portanto o produto da força aplicada multiplicada pela distância do ponto de atuação em relação ao ponto de apoio isto é M F d Como a força F é dada em Newtons N e a distância d em metros m o momento M é definido como Nm De acordo com essa relação quanto maior é a distância menor é a força necessária para causar o mesmo momento HIBBELER 2005 42 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA Assim um adulto de 80 kg de massa sentado em uma gangorra a 1 m do centro gera o seguinte momento M F d m g d 80 9 8 1 0 784 0 N Ademais 98 ms² é a aceleração da gravidade Se uma criança de 45 kg de massa quiser brincar junto ela precisa ser capaz de causar o mesmo momento que o adulto Assim para o mesmo momento e massas distintas é possível determinar a distância em que a criança cairá em relação ao centro da gangorra M F d 784 45 9 8 d d 1 78 m Resultante de Força e Momento No estudo de forças aplicadas geralmente várias forças atuam e concorrem em um sistema Por exemplo quando um indivíduo empurrar um carrinho de supermercado enquanto empurra força aplicada para o deslocamento o carrinho ainda está sujeito à força peso peso próprio e dos produtos transportados e à força de atrito das rodas com o piso resistência ao deslocamento Baseandose na premissa de que várias forças podem atuar simultaneamente em um sistema é necessário definir a força resultante isto é converter um sistema de múltiplas ações e identificar qual é o efeito combinado delas em intensidade direção e sentido HIBBELER 2005 Figura 8 Sistemas de forças Fonte adaptado de Hibbeler 2005 Assim na figura Sistema de forças a letra a representa esquematicamente forças atuantes em um sistema Nessa figura é possível notar que cada força atua em direções 43 MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA UNIDADE II e sentidos diferentes mas é difícil identificar qual é a força predominante pode ser que esse sistema é estático parado ou inicie um movimento Para solucionar essa questão é necessário avaliar a resultante desse sistema de forças Na letra b cada força foi decomposta em componentes verticais e horizontais permitindo que seja feita uma análise escalar em vez de vetorial Na análise escalar considerando que todas as forças estejam alinhadas preferencialmente em um plano cartesiano é possível realizar operações de soma e subtração com as intensidades das forças mediante uma convenção de sinais Em geral na física assumese que todas as forças aplicadas na direção horizontal com sentido para a direita são positivas assim como as forças verticais com direção para cima Numericamente é possível considerar F1 F2 e F3 forças atuantes sobre um ponto material com intensidades respectivas de 20 kN 25 kN e 15 kN rotacionadas de 30º 35º e 45º respectivamente em relação ao eixo das abcissas As componentes podem ser analisadas a partir da tabela Decomposição das forças atuantes sobre o ponto material Decomposição das forças atuantes sobre o ponto material Forças Componente X Componente Y F1 F1x 20 cos 30 17 32 kN F1y 20 sen 30 10 00 kN F2 F2x 25 cos 35 20 48 kN F2y 25 sen 35 14 34 kN F3 F3x 15 cos 45 10 61 kN F3y 15 sen 45 10 61 kN Considerando a letra b a força resultante por eixo pode ser definida como 44 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA FRx Fx F1x F2x F3x FRx 17 32 20 48 10 61 FRx 7 45 kN FRx 7 45 kN FRy Fy F1y F2y F3y FRy 10 00 14 34 10 61 FRy 13 73 kN Obtendose os valores de FRx e FRy é possível definir a intensidade da força resultante final mediante o Teorema de Pitágoras de modo que FR FRx2 FRy2 FR 7 452 13 732 FR 15 62 kN Em outras palavras as três forças atuantes sobre o ponto material podem ser substituidas por uma de 1562 kN Em função do sentido das componentes da força resultante ambas positivas o vetor da força resultante atua para direita e para cima A inclinação dessa força equivalente em relação ao plano horizontal β é calculada por relação trigonométrica a partir das componentes ortogonais que juntas formam um triângulo retângulo Assim tg β FRy FRx 13 73 7 45 1 85 β arctg 1 85 β 61 Em resumo se um sistema é composto por diversas forças concorrentes é necessário decompôlas no plano cartesiano realizar a operação de soma escalar e posteriormente definir a resultante do sistema Havendo força distribuída basta convertêla em uma força concentrada porém essa conversão e sua atuação dependem de um sistema equivalente de cargas como apresentado a seguir 45 MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA UNIDADE II Sistema equivalente de cargas As análises de força até este ponto do material foram restritas às forças pontuais que puderam ser avaliadas no campo dos escalares e vetoriais ou de forças uniformemente distribuídas entretanto na prática podem ocorrer carregamentos não uniformes Consideremos por exemplo uma parede de tijolos parede essa que tem diversas alturas nela os tijolos são colocados sobre uma viga resultando em um carregamento não uniforme A partir desse exemplo é possível analisar a figura Exemplo de carregamento não uniforme Figura 9 Exemplo de carregamento não uniforme Fonte Shames 2002 p 116 Nesse caso podese converter o sistema para uma carga equivalente atuante no plano de centro do carregamento também denominado centro de massa Segundo Marques e Ueta 2007 o centro de massa tem a propriedade de se movimentar como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele Assim para diversas conformações de cargas distribuídas é possível definir o ponto de atuação da carga concentrada conforme sugerido na figura a seguir 46 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA Figura 10 Propriedades geométricas Fonte adaptado de Almeida 2009 Assim a força concentrada equivalente deve ser posicionada passando pelo centro de massa C em função da forma da carga distribuída Tipos de vinculações Grau de Liberdade Para Machado Junior 1999 e Engel 2001 as estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre si denominados vínculos ou apoios Esses elementos estruturais mais os vínculos devem formar um conjunto estável com as seguintes funções conectar fisicamente os elementos estruturais transmitir as cargas atuantes de um elemento para outro restringir o movimento da estrutura Há três movimentos associados a estruturas no espaço bidimensional as translações horizontais as translações verticais e as rotações Em outras palavras há três movimentos possíveis e independentes que um objeto pode ter em qualquer ponto portanto três graus de liberdade Desse modo os vínculos podem ser classificados como na figura Classificação em função dos números de movimentos visto que há restrição quanto à ocorrência de algum movimento redução do grau de liberdade 47 MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA UNIDADE II Figura 11 Redução do grau de liberdade Fonte httpscdnpixabaycomphoto201511030919statistics1020319340png O número de restrições está relacionado a quantos movimentos cada tipo de vínculo é capaz de impedir sendo esse número o equivalente à ordem Assim é comum um vínculo articulado fixo ser chamado de apoio de segunda ordem porque restringe dois movimentos logo só tem um grau de liberdade As particularidades de cada vínculo são apresentadas na sequência identificandose a influência delas na análise estrutural Apoio articulado móvel O apoio articulado móvel é um tipo de vinculação que impede o deslocamento vertical de uma estrutura como na figura Vínculo de primeira ordem Os movimentos em vermelho são os restritos e os azuis são os permitidos A inclusão desse vínculo gera uma reação de apoio na mesma direção da restrição apresentada como uma força vertical V LA ROVERE MORAES 2002 48 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA Figura 12 Vínculo de primeira ordem Fonte adaptado de Almeida 2009 Esse tipo de vínculo é bastante aplicado em pontes rodoviárias e ferroviárias conectando a estrutura de tráfego com os pilares Geralmente o contato é estabelecido com roletes ou neoprene restringindose a descida da estrutura Apoio articulado fixo O apoio articulado fixo é um vínculo que restringe o deslocamento do ponto em qualquer direção do plano e por consequência introduz reações de apoio das direções restringidas como na figura Vínculo de segunda ordem A inclusão desse vínculo gera uma reação de apoio na mesma direção da restrição apresentada como uma força vertical V e uma horizontal H Figura 13 Vínculo de segunda ordem Fonte adaptado de Almeida 2009 49 MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA UNIDADE II Os apoios desse grupo são os pinos polidos em orifícios ajustados articulações superfícies rugosas No caso de uma superfície rugosa a componente normal em relação à superfície deve ser orientada para fora da superfície de apoio LA ROVERE MORAES 2002 Há um tipo específico de vinculação de segunda ordem chamada de rótula que é uma ligação entre duas barras de uma estrutura na qual não há transmissão de momento THOMAZ CARNEIRO SARAIVA 2014 Um caso prático da aplicação de rótulas referese às vigas tipo Gerber as quais são bastante utilizadas na construção de pontes e em estruturas prémoldadas de concreto A rótula de uma Viga Gerber é chamada de Dente Gerber que segundo a NBR 9062 são elementos de apoio na extremidade de vigas placas ou painéis cuja altura é menor que a altura do elemento a ser apoiado e que podem ser assemelhados a consolos ABNT 2017 p 24 Essa união de elementos estruturais pode ser feita em dentes simples ou múltiplos Ademais a forma de conexão foi estudada e aprimorada ao longo dos anos mas em geral é identificada conforme demonstra a figura a seguir Figura 14 Formatação do Dente Gerber Fonte adaptado de Almeida 2009 Ainda é importante salientar que as rótulas ou articulações são componentes que não transmitem momento visto que transmitem somente forças horizontais e verticais o que auxilia e muito nos projetos estruturais e construtivos Apoio engastado Os vínculos engastados impedem qualquer movimento de corpo livre imobilizandoo completamente Como consequência esses vínculos introduzem reações de apoio nas direções restringidas como ilustra a figura Vínculo de terceira ordem A inclusão desse 50 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA vínculo gera uma reação de apoio na mesma direção da restrição apresentada como uma força vertical V uma horizontal H e um momento M restrição da rotação Figura 15 Vínculo de terceira ordem Fonte adaptado de Almeida 2009 As estruturas engastadas restringem o deslocamento em todos os sentidos da estrutura mas para tanto precisam suportar esforços decorrentes da restrição 51 CAPÍTULO 2 Sistemas de processamento de sinais De acordo com a Lei da Inércia de Newton Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele SHAMES 2002 p 17 Esse estado de manutenção de inércia é denominado equilíbrio Entretanto frequentemente o termo equilíbrio ou a expressão equilíbrio estático são associados à manutenção de repouso de um objeto Assim garantir que uma estrutura esteja em equilíbrio implica garantir que ela seja capaz de resistir a todas as forças que nela atuam ou considerando uma notação matemática garantir que a somatória de todas as forças atuantes seja zero Equilíbrio do ponto material no plano Quando se considerada o equilíbrio de um ponto material partese da análise de todas as forças que atuam sobre um ponto em geral já sendo considerado o centro de massa do objeto Por exemplo em um jogo de cabo de guerra do qual três times A B e C participam cada um puxa as cordas com forças diferentes como representa a figura abaixo Figura 16 Cordas amarradas a um anel Fonte adaptado de Almeida 2009 52 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA Se todas as forças forem apresentadas é possível calcular a resultante e verificar qual time está em vantagem no entanto considerando que o time A aplica uma força de 2 kN e que o time B aplica 35 kN de força qual deve ser a força aplicada pelo time C para que o anel fique em equilíbrio Nesse caso primeiramente as forças são analisadas em um diagrama de corpo livre e aplicadas no anel no qual há a concentração dos esforços como na figura a seguir Figura 17 Concentração de esforços Fonte adaptado de Almeida 2009 Ao se verificar que todas as forças estão aplicadas em um mesmo ponto é possível realizar a operação escalar das forças a partir das suas componentes verticais e horizontais de modo que Fx 0 FBX FAX FCX 0 Onde 3 5 2 5 cos 45 FCX 0 Onde FCX 1 73 kN Assim Fy 0 FAY 53 MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA UNIDADE II FCY 0 Onde 2 5 sen 45 FCY 0 FCY 1 77 kN Com as componentes é possível determinar a força resultante FC por meio do Teorema de Pitágoras FC FCX 2 FCY 2 Então FC 1 732 1 772 2 48 kN ou seja a equipe C precisaria a aplicar uma força de 248 kN para que o sistema permanecesse em equilíbrio Além disso a análise pode ser extrapolada para sistemas tridimensionais incluindo o equilíbrio das forças no terceiro eixo que matematicamente é Fz 0 Vale salientar que a convenção de sinais serve para identificação dos sentidos das forças Assim caso o resultado de uma força seja negativo o sentido da aplicação é o inverso do adotado Equilíbrio do corpo rígido No estudo do equilíbrio de estruturas a análise de ponto material não consegue mensurar o comportamento decorrente de ações sobre corpos rígidos Esses corpos de acordo com Hibbeler 2005 p 3 correspondem a uma combinação de um grande número de partículas que permanecem a uma distância xa medida uma das outras tanto antes como depois da aplicação de uma carga Considerando essa hipótese assumese que a deformação real é irrelevante como acontece na maioria dos casos práticos da engenharia Em outras palavras as forças aplicadas em um ponto transferem esforços para as demais partículas e o sistema deve ser avaliado quanto a seu equilíbrio Assim para o equilíbrio total da estrutura há os seguintes casos o somatório das forças horizontais é igual a zero Fx 0 54 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA o somatório das forças verticais é igual a zero Fy 0 o somatório dos momentos é igual a zero M 0 O caso mais típico de equilíbrio de corpos rígidos é avaliação de esforços em vigas Nesse caso os vínculos apoios aplicados são bastante relevantes visto que causam as reações de apoio Um exemplo pode ser visualizado na figura a seguir Figura 18 Viga engastada Fonte adaptado de Almeida 2009 Ao considerar a massa desprezível não é necessário elencar a própria força peso apenas a carga indicada Para definir o diagrama de corpo livre retirase o vínculo engastado e no lugar são consideradas as reações de apoio relacionadas aos movimentos que o apoio restringia como apresenta a figura a seguir 55 MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA UNIDADE II Figura 19 Diagrama de corpo livre da viga engastada Fonte adaptada de Almeida 2009 Três incógnitas HA VA e MA são apresentadas Nesse sentido para garantir que o sistema esteja em equilíbrio é possível aplicar três equações de equilíbrio garantindo a existência de um sistema possível e determinado No exemplo proposto aplicandose as equações de equilíbrio em relação ao ponto A obtémse FH 0 HA 0 0 FV HA 0 0 VA 1 2 0 VA 1 2 kN M 0 56 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA MA 1 2 2 0 0 MA 2 4 kN No cálculo do momento um ponto deve ser adotado tanto para a atuação dos momentos quanto para a manutenção da convenção aplicada Nesse sentido um momento MA negativo significa que o sentido arbitrado de MA no diagrama está invertido em relação ao sentido real isto é MA reage ao momento causado pela força aplicada na viga sentido horário por meio de uma rotação em sentido antihorário e de mesma intensidade Portanto partindose das três equações propostas é possível determinar os esforços necessários para garantir o equilíbrio de corpos rígidos mediante a verificação da estaticidade relacionada à aplicação de forças que causariam translação ou rotação 57 CAPÍTULO 3 Técnica de excitação de estruturas O equilíbrio é uma condição muito sutil na qual existem apenas os vínculos necessários suficientes para garantir a estabilidade Quando se projeta uma casa sob condição de equilíbrio caso ocorram ações na direção menos restringida haverá risco de instabilidade estrutural Uma forma de calcular o grau de estaticidade estrutural g é por meio da seguinte equação g C1 2 C2 3 C3 3 m Nesse caso C1 é o número de apoios móveis primeiro gênero C2 é o número de apoios fixos C3 é o número de engastes e m corresponde ao número de barras presentes na estrutura A avaliação de um sistema estrutural está condicionada à verificação do grau de estaticidade que por sua vez está condicionado aos vínculos entre os elementos Nesse sentido g 0 referese a uma estrutura hipostática g 0 é uma estrutura isostática e g 0 é uma estrutura hiperestática conforme demonstra a figura a seguir Figura 20 Estaticidade estrutural e graus de liberdade Fonte httpscdnpixabaycomphoto201912190557success4705451340jpg 58 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA Assim o grau de estaticidade influencia a condição de resolução e equilíbrio das estruturas Os níveis de estaticidade são abordados a seguir Estruturas hipostáticas Nas estruturas hipostáticas o grau de estaticidade é inferior a zero então o número de reações nos apoios é inferior ao número de equações de equilíbrio disponíveis Desse modo o sistema está sujeito ao deslocamento livre e não há garantia de equilíbrio Usualmente consideramse apenas três equações de equilíbrio somatória de forças verticais horizontais e momentos porém em caso de existência de rótula uma condição de contorno é estabelecida afinal a rótula tem como característica a não transferência de momentos Na prática há casos em que o peso do carregamento da estrutura consegue impedir a movimentação da estrutura Nesse caso há o equilíbrio instável VALLE LA ROVERE 2013 Estruturas isostáticas Nas estruturas isostáticas o número de reações nos apoios é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis e o grau de estaticidade é zero É válido salientar a necessidade de se avaliar a disposição dos elementos como na figura a seguir Figura 21 Instabilidade em estrutura isostática Fonte adaptada de Almeida 2009 Na estrutura da figura Instabilidade em estrutura isostática três reações de apoio são elencadas duas no apoio A e uma no apoio B e há três equações de equilíbrio porém essa estrutura não pode ser considerada isostática pois não há estabilidade porque o apoio B não restringe a rotação da barra Outra estrutura pode ser visualizada na figura a seguir 59 MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA UNIDADE II Figura 22 Viga rotulada Fonte httpscdnpixabaycomphoto201703200809analytics2158454340png No exemplo a rótula funciona como um apoio de segundo gênero nas ligações internas isto é a rótula restringe tanto movimentos horizontais quanto verticais Nela há quatro reações de apoio duas em A uma em B e uma em D Considerando apenas as equações clássicas haveria três equações de equilíbrio mas vale salientar que a rótula em C é uma condição de contorno assim uma nova equação de equilíbrio pode ser aplicada somatória de momentos em C é igual a zero Estruturas hiperestáticas Nas estruturas hiperestáticas o número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio disponíveis ou seja o sistema é indeterminado Importante saber como calcular as resultantes de forças de um sistema e que para isso é preciso decompor forças utilizando as forças equivalentes Nesse contexto foram apresentados os métodos gráficos do paralelogramo a Lei dos Senos e a Lei de Cossenos Os momentos foram apresentados como ações decorrentes de forças que causam rotação como no caso da gangorra Nesse exemplo crianças com força peso diferentes precisam mudar a distância entre o centro da gangorra e o assento para que o momento causado por ambas seja igual De forma prática a criança mais leve deve buscar o ponto mais distante Também foram discutidos os tipos de vínculos utilizados em estruturas sendo reconhecidos os apoios móveis fixos e engastados Cada um deles é capaz de restringir algum deslocamento da estrutura como esse apoio ocorre na prática e as principais aplicações Na sequência foram apresentadas as Vigas Gerber utilizadas em estruturas 60 UNIDADE II MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA prémoldadas e que têm como característica a não transferência de momentos entre barras consecutivas ou entre a barra e o apoio Entender o comportamento dos esforços internos nas estruturas é fundamental tanto para o projeto como para a execução e a manutenção de obras de engenharia Ademais entender o comportamento mecânico é essencial para o desenvolvimento de um projeto seguro de todos os tipos de estruturas como aviões prédios pontes etc Conhecer como as cargas e os esforços atuam em uma estrutura permite além de projetar entender por que os materiais utilizados na confecção de elementos estruturais aço concreto e madeiras devem ser dispostos em determinadas configurações e geometrias estribos armaduras positivas e negativas etc possibilitando escolhas certas durante a execução garantindo o desempenho da estrutura e permitindo evitar patologias em elementos estruturais Durante o projeto e a execução de obras cabe ao engenheiro civil avaliar diversas hipóteses e analisar o comportamento da estrutura equilíbrio interno em relação à ação de diferentes tipos de cargas solicitadas como o próprio peso da estrutura dos materiais de acabamento de pisos e das paredes a força do vento etc Diante desse cenário questionase quais são os conceitos necessários para o entendimento e o cálculo dos esforços que compõem o equilíbrio interno em estruturas Como a estática desempenha papel relevante tanto no desenvolvimento como na aplicação da resistência dos materiais é importante que se tenha uma boa compreensão de seus fundamentos Quando um corpo é exposto a diversos tipos de cargas externas forças externas estas são chamadas de forças de superfície força de corpo e reações de apoio As forças de superfície são causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro Por sua vez a força de corpo acontece quando um corpo exerce força sobre outro sem que haja contato físico direto entre eles por exemplo o efeito da gravidade nos corpos Enfim as reações de apoio são forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre corpos em sistemas estruturais O equilíbrio de um corpo ocorre quando há um equilíbrio de forças que evita que o corpo sofra aceleração ao longo de um trajeto reto ou em curva Neste material serão analisados alguns princípios fundamentais da resistência dos materiais que podem ser aplicados nas análises de sistemas estruturais esforços internos compatíveis com os problemas de reflexão cisalhamento e torção 61 MEDIÇÃO DE FUNÇÃO DE RESPOSTA DE FREQUÊNCIA UNIDADE II Em um sistema de forças externas atuando em um corpo genérico a razão para existir equilíbrio é a resultante do equilíbrio interno ou seja ao se analisar uma estrutura de forma seccionada e mantendo o equilíbrio estático de ambas as metades verificase que há uma resultante de forças equilibrantes denominada esforços internos Entendendose os apoios utilizados o sistema de forças foi avaliado como condição de equilíbrio mediante a somatória de forças atuantes em um ponto material ou em corpos rígidos 62 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS CAPÍTULO 1 Métodos de sistema de grau de liberdade Segundo Hibbeler 2010 o esforço axial pode ser definido como a resultante da força atuante na direção do eixo perpendicular ao plano da secção de uma barra eixo longitudinal O esforço axial é considerado positivo caso tenha um sentido que cause a tração dos extremos da barra ou seja que puxe as extremidades Nessas condições esse esforço é denominado esforço axial de tração O esforço axial terá efeito negativo se o esforço axial de compressão estiver em um sentido que determine a compressão dos extremos da barra como se estivesse empurrando as extremidades Sendo assim as forças axiais são as que comprimem ou tracionam uma seção de corte podendo ser negativa ou positiva Figura 23 Forças axiais Fonte adaptada de Almeida 2009 63 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS UNIDADE III Outro conceito fundamental é o princípio de SaintVenant o qual afirma que as tensões e deformações causadas por qualquer carga que age sobre uma pequena superfície de um corpo serão atenuadas em regiões suficientemente afastadas do ponto de aplicação dessa carga Esforço Torsor Segundo Hibbeler 2010 a torção pode ser definida como a tensão que ocorre quando forças atuam sobre alguma estrutura forçando o giro em torno do seu próprio eixo de simetria Os esforços cortantes estão presentes em vigas e pilares de concreto armado Usualmente as armaduras transversais estribos e grampos suplementares são utilizadas para combater esse tipo de esforço nessas estruturas Em relação aos esforços cortantes a NBR 6118 ABNT 2014 orienta que nos casos de combinação de torção com forças cortantes devem ser previstos ângulos de inclinação das bielas de concreto coincidentes com esses esforços O momento fletor representa a soma algébrica dos momentos relacionados à seção YX contidos no eixo da peça e gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal NOVAES MENEZES 1998 Ele produz esforço que tende a curvar o eixo longitudinal provocando tensões normais de tração e compressão na estrutura BOTELHO 2011 Essa representação pode ser visualizada na figura a seguir Figura 24 Momentos fletores Fonte adaptada de Almeida 2009 64 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS Na figura Momentos fletores há um elemento estrutural em equilíbrio no qual as forças cortante e normal em uma seção desse elemento correspondem a ΣFy 0 e ΣFz 0 Para ter o equilíbrio estático em uma estrutura bidimensional é necessário que ΣMx 0 ou seja há o equilíbrio somente se o momento interno resistente do plano transversal do corte da seção for igual ao momento causado por forças externas A figura Momentos fletores representa os momentos fletores na barra apoiada na qual P1 e P2 são as forças de carregamento e RA e RB são forças de reação nos apoios Decorrentes das forças aplicadas na barra são gerados esforços internos no ponto C isto é forças cortantes positivas V e V e momentos internos resistentes M e M Figura 24 Efeitos e Vibrações Fonte adaptada de Almeida 2009 A força cortante é considerada positiva e o momento fletor é negativo se ocorrerem forças de tração na face superior e forças de compressão na face interior De acordo com Beer et al 2011 a força por unidade de área ou o conjunto das forças atuando em determinada seção é chamada de tensão normal média e normalmente é representada pela letra grega σ sigma A figura Efeitos e Vibrações A em uma barra submetida a uma carga P apresenta o exemplo de uma tensão na seção transversal de área A de uma barra submetida a uma carga axial P obtida dividindose o valor da carga P pela área A 65 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS UNIDADE III Se for isolada uma pequena área do plano central do sólido em equilíbrio apresentado na figura Conceito de tensão em equilíbrio é possível considerar que essa pequena porção de área também estará em equilíbrio e que uma parcela das forças aplicadas ao sólido é transmitida nessa área Assim podese determinar que essa área apresenta forças que podem ser decompostas nos eixos do plano cartesiano ou seja em termos de x y e z com a origem no centro da área A força aplicada na área no eixo z perpendicular ao plano central do sólido é denominada tensão normal e as tensões geradas nos eixos x e y são denominadas tensões tangenciais Para facilitar o estudo da tensão normal média os materiais são considerados homogêneos ou seja apresentam as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume Além disso são considerados isotrópicos têm as mesmas propriedades mecânicas em todas as suas direções No que se refere à distribuição da tensão normal média ela pode estar em qualquer ponto da área da seção transversal sendo denominada σ A força resultante da força normal interna aplicada no centro da área da seção transversal é denominada P Por sua vez a área da seção transversal da barra é denominada A Sendo assim σ PA O sinal positivo indica uma tensão de tração barra tracionada e o sinal negativo indica tensão de compressão barra comprimida No Sistema Internacional SI a unidade de medida de P é em Newtons N e a área A é dada em metros quadrados m² Sendo assim a unidade de medida da tensão σ é dada em Nm² ou Pascal Pa A tensão de cisalhamento é que gera uma resposta do elemento estrutural decorrente do cisalhamento que aparece devido ao esforço interno aplicado V De acordo com Hibbeler 2010 o diagrama tensãodeformação de cisalhamento é uma representação gráfica da tensão de cisalhamento em função da deformação por cisalhamento se o material for considerado homogêneo e isotrópico Além disso apresentar comportamento linear elástico e a inclinação da parte linear da curva dentro da região elástica denominase módulo de rigidez ou módulo de cisalhamento G A tensão de cisalhamento aparece lado a lado paralela ao plano da seção transversal ao contrário da tensão de flexão que é normal em relação ao plano da seção transversal A tensão de cisalhamento é determinada quando a força cortante na seção considerada V é multiplicada pelo momento estático da área Q definida pela estrutura considerada 66 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS em relação à linha neutra e dividida pela multiplicação da largura da seção transversal da estrutura considerada Bw e do momento de inércia em relação à linha neutra Iln τ V Q Bw lln Para encontrar o momento estático da área Q é preciso realizar a multiplicação da área compreendida entre a fibra analisada e a fibra superior pela distância que representa o centro de gravidade e a linha neutra N De acordo com Beer et al 2011 quando um corpo é exposto a uma força de cisalhamento ele sofre a ação de um carregamento P que atua na direção transversal ao seu eixo Sendo assim o comportamento das cargas transversais na estrutura resulta em forças internas na seção transversal denominadas esforço cortante cisalhamento A tensão de cisalhamento τ é obtida por meio da razão entre a força cortante F e a área de seção transversal área de corte A F τ N A Nesse caso N é o número de áreas cisalhadas com a aplicação da força F Quando uma estrutura é submetida a uma força de cisalhamento ruptura a viga sofre a ação de uma força P que atua na direção transversal ao seu eixo Podese constatar segundo Sánchez 1999 a partir de ensaios de flexão em peças desprovidas de armadura transversal estribos três tipos de ruptura ruptura por flexão ruptura por tração diagonal ruptura por esmagamento do concreto e tração diagonal A ruptura por flexão acontece quando há um dimensionamento insuficiente da armadura de flexão longitudinal levando a viga estrutura ao cisalhamento A ruptura por tração diagonal é ocasionada pela ausência da armadura transversal estribos levando a peça à ruptura brusca frágil portanto não avisada As fissuras principais inclinadas segundo as trajetórias de compressão quando encontram a armadura longitudinal causam um desplacamento do concreto que envolve essa armadura 67 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS UNIDADE III Frequentemente elementos estruturais estão submetidos a vários tipos de carregamento de modo simultâneo podendo experimentar diversos tipos de esforços ao mesmo tempo esforços cortantes de torção de compressão etc Nesse sentido é necessário determinar o conjunto de esforços internos dentro dos sólidos No exemplo a seguir o objetivo é encontrar o conjunto de esforços internos do sólido apresentado abaixo Conjunto de tensões aplicadas no sólido Para isso considerase P 0 45 kN L 1 m S 200 cm² P 1 8 kN h 25 cm Iz 1041667 cm4 P 2 4 kN b 8 cm Iy 106667 cm4 P 3 3 kN a máxima tensão admissível e 15 kNcm² Primeiramente é preciso realizar o cálculo dos esforços internos Para o esforço normal há N P 0 P 1 45 8 53 kN cortante em y Qy P2 4 kN cortante em z Qz P 3 3 kN momento fletor em y My P 1 x b 2 P 3 x L 2 182 kNcm momento fletor em z Mz P 1 x h 2 P 2 x L 500 kNcm momento torsor T P 3 x h 2 375 kNcm A determinação da distribuição das tensões internas ao longo do sólido permite abordar tópicos um pouco mais avançados como a tensão equivalente a qual combina os efeitos de todas as tensões atuantes em determinado sólido como tração e cisalhamento aplicados no mesmo ponto As tensões equivalentes promovem a obtenção de um coeficiente de segurança adequado devido à combinação das tensões atuantes em um sólido e a definição de critérios de tensãocarregamento para os materiais de determinado componente 68 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS Portanto o entendimento dos conceitos fundamentais dos diferentes tipos de tensões nos sólidos em equilíbrio abordados durante este capítulo esforços internos tensões médias e demais tensões é fundamental para a análise de tensões em componentes e elementos estruturais Considerandose o equilíbrio interno de elementos lineares que incluem basicamente vigas pilares arcos pórticos grelhas e treliças O entendimento dos esforços e do equilíbrio interno nessas estruturas é essencial para o projeto a execução e a manutenção de obras de Engenharia Civil Os principais conceitos necessários para compreender os esforços e o equilíbrio interno em estruturas incluem a definição fundamental de força por unidade de área ou conjunto das forças atuando em determinada seção que é denominada tensão e é representada pela letra grega σ sigma Quando um corpo está submetido a uma carga externa e seccionado há uma distribuição de forças que agem sobre a área selecionada e mantêm cada segmento do corpo em equilíbrio Dependendo da forma como as cargas agem sobre o corpo e da orientação do elemento em uma área de seção são geradas tensões internas nos sólidos as quais são denominadas esforços axiais de torção de cisalhamento e momento fletor Os tipos de tensões comuns em estruturas de concreto como as vigas incluem tensão normal na flexão tensão cisalhante na flexão tensão cisalhante na torção e tensões combinadas Além disso as armaduras longitudinais vergalhões e transversais estribos exercem a função de absorver esforços de flexão e cortantes respectivamente em peças de concreto Os sistemas estruturais consistem em um conjunto de elementos estruturais que sob condições de carregamento são capazes de reorientar e transferir forças Esses elementos podem ser divididos em diferentes categorias mas o mecanismo pelo qual se reorientam define seu comportamento mecânico Nesse contexto é possível considerar um empreendedor que deseja construir um galpão para armazenar o maquinário que possui O empresário enviou a vários escritórios os editais com suas necessidades iniciando um processo de orçamento e recebeu múltiplas propostas com projetos e técnicas diferentes além de resultados e custos competitivos entre si Como consultor você foi contratado com o propósito explícito de avaliar a viabilidade dos sistemas estruturais propostos e verificar se são adequados às condições de carregamento às quais o galpão será submetido 69 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS UNIDADE III Diante desse cenário questionase conhecendo a natureza de cada um dos sistemas estruturais que podem ser utilizados como é possível justificar ao cliente a seleção de determinada tecnologia As primeiras edificações da humanidade eram abrigos rudimentares de galhos adobe e rochas A tecnologia continuamente evoluiu até os dias atuais em que construções modernas são comumente de aço concreto vidro e madeira Dos abrigos mais primitivos aos arranhacéus mais modernos um aspecto se mantém constante a necessidade de um sistema estrutural capaz de suportar as ações do vento da gravidade e de outros fenômenos naturais As partes de uma edificação responsáveis pelo suporte são os sistemas estruturais definidos como um conjunto estável de elementos construídos e projetados para em união suportar e transmitir ao solo as cargas aplicadas de forma segura Cada elemento estrutural possui características únicas e se comporta de maneira proporcional sob as cargas impostas CHING ZUBERBUHLER ONOUYE 2010 Para que a estrutura tenha um desempenho aceitável em relação à função para a qual foi projetada é fundamental que os sistemas escolhidos sejam adequados às condições a qual a edificação for submetida Um dos vários parâmetros que precisam ser avaliados é a distribuição de cargas e os esforços que atuarão sobre a edificação e como eles serão transmitidos ao sistema estrutural Conhecidas as cargas atuantes e as condições de contorno chegase à etapa de definição do sistema estrutural Nessa etapa o projetista encontra uma condição aberta na qual existem múltiplas soluções para um mesmo problema Nesse sentido o profissional deve se perguntar como se comportarão os elementos estruturais escolhidos para compor as estruturas e como as cargas serão transmitidas por meio da estrutura para o solo Na figura Representação da transmissão das forças aplicadas sobre uma treliça I um arco II e uma viga III estão representados três mecanismos estruturais e como as forças aplicadas são transmitidas por eles 70 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS Figura 25 Representação da transmissão das forças aplicadas sobre uma treliça Fonte adaptada de Almeida 2009 Para que o processo de dimensionamento seja feito de maneira racional é importante o conhecimento sobre como ocorre o caminhamento das forças em uma estrutura A importância do mecanismo de reorientação ou caminhamento referese à possibilidade de avaliar os esforços aos quais cada elemento de determinado sistema será submetido e dessa forma comparar soluções e dimensionálas adequadamente Os sistemas estruturais de vetor ativo efetuam a redistribuição das forças assim as forças externas são divididas e redirecionadas por duas ou mais peças e mantidas em equilíbrio por contra forças apropriadas os vetores ENGEL 2001 Ademais os elementos de um sistema estrutural do tipo vetor ativo são curtos sólidos e retilíneos Devido a sua pequena área de seção transversal em comparação com o seu comprimento os elementos desse sistema transmitem forças apenas na direção axial ou ao longo de seu comprimento Como consequência dessa propriedade cada elemento é submetido somente a esforços normais tração ou compressão Os elementos compressíveis e tracionáveis denominados barras são dispostos de determinada forma e unidos por um sistema de juntas articuladas que permite a transmissão de cargas em longas distâncias sem a necessidade de apoios intermediários A base da disposição geométrica dos elementos estruturais é o triângulo O mecanismo ou elemento estrutural característico e que apresenta reorientação por vetor ativo é a treliça a qual é uma estrutura composta de barras que formam triângulos cujos cantos se conectam em pontos conhecidos como nós Esses nós são considerados 71 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS UNIDADE III rótulas e como consequência os esforços sobre as barras individuais são puramente axiais compressão e tração HIBBELER 2015 Uma treliça plana com seus carregamentos I os esforços axiais sobre as barras II e a identificação da compressão ou tração sobre os banzos III mostra uma treliça plana com carregamento nos nós os esforços axiais e a identificação do tipo de esforço 72 CAPÍTULO 2 Métodos para sistemas de dois graus de liberdade Apresentadas a vantagem e a e ciência das estruturas treliçadas é importante reconhecer a nomenclatura usual dos elementos em uma treliça plana ou espacial A palavra banzo referese ao conjunto de barras que limitam a treliça nos trechos superiores e inferiores O termo montantes corresponde às barras verticais e as diagonais são barras que dividem um painel trecho localizado entre dois alinhamentos consecutivos de montantes pelo eixo diagonal Os nós como descrito anteriormente são os pontos nos quais as extremidades se encontram e há a junção com a rótula Os principais sistemas estruturais de forma ativa são os com cabos de suspensão pneumáticos em forma de tenda e de arcos Os cabos de suspensão e os sistemas de arcos condizem com a malha estrutural auxiliando os esforços intrínsecos transmitindoos a elementos separados Nos sistemas de tenda a forma assumida pela membrana trabalhada junto ao cabo permite a distribuição dos esforços de tração pela própria forma No caso dos sistemas pneumáticos uma membrana de proteção é sustentada por meio da pressão do ar As estruturais de forma ativa sistemas de cabo I sistemas em forma de tenda II sistemas pneumáticos III e sistemas de arcos IV apresenta exemplos de cada uma dessas classes de sistemas de forma ativa Cada uma das técnicas apresentadas anteriormente tem suas peculiaridades e propriedades específicas Em sistemas de cabos a variação de carga ou das condições de apoio modifica a forma da curva criando uma nova estrutura Os arcos não têm a possibilidade de variação de forma o que limita seu formato a apenas um tipo de carregamento O sistema de cabos é uma das estruturas de forma ativa mais comumente utilizadas devido à leveza e à capacidade de grandes vãos da técnica No entanto como consequência da esbeltez e da flexibilidade os elementos de um sistema de cabos de suspensão são muito suscetíveis a cargas móveis e assimétricas vibrações e ações do vento Uma técnica comumente empregada para superar as desvantagens descritas anteriormente é a protensão Por meio dela os elementos componentes da forma são submetidos a tensões prévias Como resultado há a eliminação da deformação 73 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS UNIDADE III consequente de cargas como o vento que pode atuar verticalmente sobre a forma NOVAES MENEZES 1999 A distribuição das cargas na direção da resultante permite que os sistemas estruturais do tipo forma ativa sejam categorizados como suportes lineares Esse mesmo alinhamento das cargas na direção da resultante pode ser visualizado em sistemas como cúpulas membranas e redes de cabos em que o cisalhamento é ausente ENGEL 2001 Dessa forma é fundamental que todos os integrantes da organização conheçam entendam e aceitem todas as necessidades e exigências da gestão da qualidade Só assim haverá internamente um gerenciamento eficiente da qualidade Enfim é importante reiterar que os sistemas estruturais de forma ativa em virtude de sua dependência das condições de carga são estritamente influenciados pela disciplina do fluxo natural das forças por consequência não podem estar sujeitos à forma livre e arbitrária do projeto arquitetônico Sabendo que a forma da estrutura de cabo é influenciada pelo carregamento ao qual é submetida é importante saber classificar esses carregamentos e que parâmetro utilizar Um fator importante é o ângulo de incidência das cargas que induz o sistema estrutural a mecanismos de comportamento diferentes Se o ângulo entre a carga e o cabo for próximo ou 90 o cabo é considerado ortogonal e caso contrário não ortogonal Nos casos de cabos com cargas ortogonais a resistência última também é dependente da rigidez do cabo tracionado e não somente da resistência do material Essa correlação de mudança de desempenho associada ao módulo de elasticidade do material confere ao projetista uma variedade de materiais e seções utilizáveis quando se projeta essas estruturas O resultado é a possibilidade de se obter a mesma resistência final com menos material desde que haja a combinação adequada de módulo de elasticidade e resistência mecânica para os cabos Os elementos constituintes de um sistema estrutural do tipo massa ativa são primariamente elementos lineares que devem resistir a múltiplas solicitações como flexão tração compressão cisalhamento ou torção Ademais os sistemas característicos de massa ativa são as vigas os pórticos e os sistemas laje e viga Como os elementos em um sistema de massa ativa dependem da resistência 74 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS da massa na seção é importante que eles sejam adequados aos esforços aos quais o sistema será submetido dele em relação ao eixo neutro Nesse sentido o módulo de resistência à flexão é proporcional à distância do eixo neutro O eixo neutro é uma linha às vezes denominada neutra que une os pontos de tensão nula em um elemento sujeito à flexão Como somente um momento interno resultante atua sobre a seção transversal a força resultante provocada pela distribuição de tensão deve ser nula HIBBELER 2009 Os sistemas estruturais de massa ativa também denominados sistemas de seção ativa utilizam formas primariamente retangulares em plano e seção A simplicidade da geometria retangular para calcular esforços estruturais e a flexibilidade estética são uma vantagem dos sistemas estruturais de seção ativa e a razão de sua aplicação universal na edificação ENGEL 2001 Por sua vez o pórtico é um sistema estrutural de massa ativa constituído por barras geralmente retas conectadas entre si em padrões bidimensionais ou tridimensionais Um ponto importante e a ser considerado em um pórtico é o fato de que as barras são conectadas entre si por engastes ou rótulas fazendo a estrutura trabalhar unida como um todo Por fim os outros sistemas estruturais de massa ativa são as lajes estruturais e as malhas de vigas As malhas de vigas são como o nome indica uma distribuição espacial de vigas associadas a pórticos As lajes são elementos que apresentam duas dimensões com magnitudes maiores do que a terceira e é na superfície dessas dimensões que ocorrem os principais carregamentos MCMULLIN PRICE 2016 Em geral as lajes apresentam um comportamento mecânico mais complexo do que o das vigas pelo fato de estarem submetidas a múltiplos esforços em todas as direções Alguns dos modelos mais simples para lajes estruturais as aproximam por meio de malhas de vigas unidas umas às outras o que permite a visualização dos esforços internos Os sistemas de superfície ativa são compostos por elementos de superfície que formam os mecanismos de reorientação de forças com resistência à compressão à tração e ao cisalhamento Um ponto importante das estruturas do tipo superfície ativa é que elas podem se elevar livremente no espaço durante a transmissão de carga Esse potencial da superfície de mudar a direção das forças depende da posição dos elementos em relação à direção da força atuante Nesses sistemas a carga é a ciência de reorientação que depende da 75 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS UNIDADE III orientação entre superfície e forças sendo mais e ciente quando os carregamentos são paralelos à superfície e menos e ciente quando são perpendiculares ENGEL 2001 Em um sistema de superfície ativa do tipo placa podem ocorrer dois mecanismos de reorientação de forças dependendo de como essas forças incidem sobre o elemento No caso de forças perpendiculares à superfície a reorientação ocorre pelo mecanismo de laje no caso de carregamento paralelo à superfície a reorientação das forças ocorre pelo mecanismo de chapas Estruturas de chapa dobradas são compostas por elementos de chapa unidos por um engaste em sua junção Dessa forma a estrutura pode ser dividida em chapas e mantidas as condições de contorno as peças podem ser avaliadas de modo individual Novamente o mecanismo de reorientação é dependente da orientação entre a superfície e a carga sendo análogo a uma placa ou chapa Como os elementos de superfície ativa apresentam maior flexibilidade é necessário que no projeto haja uma intenção clara de preservar a forma estrutural dentro de limites aceitáveis Esse procedimento é feito por meio do enrijecimento das bordas e dos per s da superfície os quais devem ser projetados e executados para se evitar descontinuidades ou variações abruptas na rigidez e na geometria Anteriormente foram apresentados os sistemas estruturais suas propriedades e os mecanismos de reorientação de força Foram descritos ainda métodos de cálculos derivados das condições de equilíbrio nos elementos Agora serão abordados mais alguns exemplos de estruturas reais que utilizam tais sistemas e no caso das estruturas planas mais alguns exemplos com exercícios de diagramas e resistência a esforços Serão apresentadas algumas estruturas planas mais comumente utilizadas e dentre essas estruturas estão as treliças que transferem carregamentos por meio do mecanismo de vetor ativo os arcos que geralmente utilizam mecanismo do tipo forma ativa vários tipos de vigas pórticos e grelhas sistemas estruturais que usam o mecanismo de massa ativa As treliças como apresentado anteriormente são estruturas bidimensionais ou tridimensionais do tipo vetor ativo sujeitas somente a esforços normais tração e 76 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS compressão De modo geral as treliças são utilizadas em projetos em que seja necessário vencer vãos grandes como pontes e galpões além de serem usadas em cintas reforços e superestruturas associadas a concreto armado Os pórticos ao contrário das treliças apresentam as barras unidas por vários tipos de apoios de rótulas a engastes Devido a essa condição é comum que os elementos retos de um pórtico estejam submetidos à compressão ou à tração e a esforços cortantes e de flexão No caso dos arcos a principal função dos cabos é a resistência a esforços de tração Para considerações de cálculo um cabo ideal não resiste a esforços de flexão torção compressão ou cortante Essa suposição é uma consequência da perfeita da flexibilidade que é usada pelos modelos de tal forma que os cabos sejam submetidos somente ao esforço normal da tração Como o cabo é um elemento exigível assume uma forma que depende do carregamento atuante sobre ele Essa forma chamada de funicular modificase de modo proporcional à disposição e à intensidade das cargas que ocorrem A forma funicular representa a disposição geométrica do cabo que garante que para o carregamento imposto o elemento estará submetido somente à tração Esforços como compressão não produzem como consequência funiculares em cabos exigíveis É interessante fazer uma comparação entre um cabo e um arco pois é possível derivar arcos que estejam submetidos apenas a carregamentos normais a partir da funicular de cabos submetidos ao mesmo carregamento mas em sentido contrário Um cabo que sofre um carregamento arbitrário produz uma funicular que pode ser rebatida e transformada em um arco poligonal que também estará submetido unicamente a esforços de compressão Embora arcos possam ser derivados da geometria de cabos existem diferenças importantes entre esses sistemas A primeira diferença que se deve explicitar entre um cabo e um arco é que a estrutura do arco é rígida em comparação à do cabo que é exigível Essa diferença crucial impede que o arco se deforme para atingir uma nova geometria funicular e é capaz de garantir que as seções do arco estejam submetidas somente a esforços normais primariamente a compressão Portanto o arco apresenta uma única disposição de cargas na qual ele estará submetido apenas à compressão Por sua vez o cabo flexível sempre altera sua funicular para 77 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS UNIDADE III cada carregamento garantindo que sempre estará sendo tracionado Essa funicular do arco para a qual os momentos e cortantes são nulos é denominada linha de pressão e é dependente e única para cada carregamento Os arcos representam um dos primeiros grandes saltos nas tecnologias construtivas de sua época A geometria projetada a partir do carregamento à qual a estrutura estaria submetida permitiu que os arcos tivessem maiores vãos e que materiais frágeis de pouca resistência à tração pudessem ser utilizados Ademais as vigas são elementos lineares classificados como componentes de sistemas estruturais do tipo massa ativa A seção de uma viga reorienta forças por meio da resistência da massa na seção e deve resistir a esforços cortantes normais e momentos vetores Nesse contexto a viga protendida é um tipo de viga submetida a um estado prévio de tensões Essa técnica é denominada protensão e é descrita como um artifício que consiste em introduzir em uma estrutura A protensão com aderência inicial é largamente empregada na produção de elementos préfabricados nas chamadas pistas de protensão Fios ou cordoalhas de aço apoiados sobre formas de cabeceira são tracionados por macacos hidráulicos enquanto a peça é concretada dentro das formas entre as cabeceiras da pista Quando o concreto atinge uma resistência suficiente os macacos hidráulicos são soltos e o aço agora livre da tração inicial comprime o concreto aderindose a ele por meio do atrito As vigas protendidas apresentam muitas vantagens sobre as vigas de concreto armado simples As peças protendidas permitem que sob certas condições a seção da viga trabalhe inteiramente sob compressão aproveitando a capacidade resistente do concreto A protensão reduz retração deformação e fissuras em concreto melhorando a vida útil das peças por proteger melhor as armaduras Por sua vez as vigas casteladas são um tipo de viga alveolar ou viga metálica de alma vazada empregadas com o intuito de otimizar o espaço e os custos nas construções em aço As aberturas produzidas na fábrica reduzem o peso específico das peças facilitam instalações e são utilizadas com propósitos estéticos 78 UNIDADE III MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETRO MODAIS As vigas casteladas foram desenvolvidas na Europa em torno de 1930 devido à necessidade de per s que tivessem maior altura do que os aços viga ou elemento de aço que se parece com a letra I na seção transversal produzidos na época As vigas são fabricadas a partir de aços laminados que são cortados longitudinalmente e são deslocadas e soldadas formando vigas com altura superior e alma vazada As vigas casteladas são usadas primariamente em locais onde é necessário um vão grande pelo qual podem passar instalações Em geral esse tipo de sistema é encontrado em ginásios galpões e em outros locais nos quais não haverá um carregamento grande sobre a cobertura mas é necessária a instalação de iluminação e climatização Na viga vagão com um único montante a configuração assemelhase a de uma treliça sendo o cabo a barra tracionada A partir de dois montantes a treliça distinguese da viga vagão por necessitar de diagonais para formar as estruturas triangulares Ademais o sistema de treliça pode ser mais rígido do que o de viga vagão A função exercida pelo cabo de aço é reforçar a viga Assim vigas de menor dimensão podem vencer vãos maiores Nesse sentido o sistema resultante da associação de vigas com montantes e tirantes resulta no comportamento de uma viga contínua Uma treliça ou Viga Vierendeel pode ser descrita como um conjunto de painéis sequenciais de comprimento constante e de altura constante ou variável Cada um desses painéis é constituído por elementos verticais e horizontais Em geral os elementos constituintes apresentam momento de inércia constante ao longo do eixo embora também possa ser variável Os elementos verticais são designados montantes ou pendurais e os horizontais são denominados cordas BIZARRO 2014 A hipótese de que a estrutura não sofre translações apenas rotações é uma aproximação razoável quando as deformações axiais são muito menores do que as deformações transversais por flexão Como consequência dessa hipótese ao se analisar o comportamento da estrutura pelo método dos deslocamentos certos modos de deformação independentes anulamse pelo fato de haver deformações axiais nulas ou desprezáveis Por essa razão são introduzidas as rótulas no meio das barras e utilizandose o método das seções é possível calcular os esforços para um carregamento simétrico No caso das grelhas e nervuras a grelha é uma estrutura reticulada plana submetida a carregamentos perpendiculares ao seu plano Na construção civil esse tipo de sistema estrutural é composto por um sistema de vigas perpendiculares ou não entre si que se interceptam estando interligadas nos pontos de interseção 79 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS CAPÍTULO 1 Análise de sensibilidade de modelos Uma estrutura deve garantir critérios de segurança contra deformações excessivas e rupturas A ruína de uma estrutura é resultado da incompatibilidade entre esforços aplicados e a capacidade de resistir a eles e a deformação pode estar atrelada a diversos fatores principalmente ao comportamento dos materiais aplicados Assim pensar na estrutura não se limita ao conjunto de esforços e reações mas considera a escolha dos materiais aplicados e seu comportamento sob a ação de cargas Diante desse contexto surge a seguinte questão no que se refere à deformação quais são as características desejáveis de materiais aplicados na estrutura de uma edificação Uma construção depende da aplicação de diversos materiais simultaneamente e que tenham comportamentos diferentes entre si Nesse sentido para compreender como cada um desses sólidos será afetado sob a ação de forças externas são estudados as deformações e os deslocamentos Ao se considerar uma estrutura sabese que diversas forças atuam simultaneamente sobre diferentes materiais Cada material tem um comportamento específico e a interação desses materiais na estrutura deve ser avaliada em prol da garantia de critérios de segurança e de utilização da construção Uma estrutura será submetida a diferentes ações ao longo de sua vida útil como ações permanentes e variáveis ações do vento variação térmica e em alguns casos ações excepcionais Como diferentes materiais geram comportamentos distintos é necessário compreender como eles irão atuar na construção devido às ações aplicadas Inicialmente sabese que a estrutura é projetada para suportar os carregamentos previstos em sua concepção Para entender o comportamento de um material sob a 80 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS ação de forças é possível considerar uma barra prismática na qual são aplicadas forças axiais N medida Supondo que a tensão seja uniformemente distribuída sobre toda a seção transversal é possível afirmar que σ F A Nesse caso F é a força axial aplicada em Newtons e A é a área da seção transversal em m² Assim a unidade de tensão é o Nm² também conhecido como Pascal Pa BEER 2011 Quando a barra está submetida a uma força de tração N sofre alongamento porém se as forças tiverem o sentido oposto a tensão será de compressão e a barra sofrerá encurtamento Inicialmente supõese que a força é aplicada no centroide da barra se isso não acontecer e houver uma excentricidade na aplicação da barra surgirá um esforço de flexão BEER 1995 Em outros termos há N 0 σ 0 tração N 0 σ 0 compressão O efeito de alongamento ou encurtamento é chamado de deslocamento e quando ocorre sob ação de forças axiais também é denominado deslocamento axial Com a ocorrência do deslocamento há uma mudança da forma inicial assim o deslocamento de uma barra provoca sua deformação Em outros termos podese dizer que os pontos iniciais e final de análise sofrem deslocamento mas que a barra sofre deformação A ação de tensões axiais acarreta deslocamentos nas barras isto é aumento do seu comprimento total na tração e redução do comprimento na compressão Nesse sentido o alongamento total de uma barra em metros que suporta uma força axial é designado como δ Assim o deslocamento por unidade de comprimento ou alongamento específico denominado deformação ε é calculado como ε δL em que L é o comprimento total da barra em metros Como a deformação ε relaciona duas unidades de comprimento ela é adimensional BEER 2011 Tratase de um ensaio em que um corpo de prova padronizado geralmente circular ou retangular é submetido a forças axiais conhecidas e a deformação é monitorada ao longo do tempo até que haja a ruptura do corpo de prova Outra forma de deformação que acomete nas estruturas é chamada de deformação térmica que como o próprio nome expõe está associada à variação das dimensões de um material em função da variação térmica à qual ele está submetido A maioria 81 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV dos materiais aplicados na engenharia sofre expansão uniforme em todas as direções sendo a deformação definida como εT α ΔT em que α é o coeficiente de expansão térmica e ΔT é a variação de temperatura BEER 2011 Como essa deformação é uniforme em todo o corpo para qualquer direção é possível afirmar que o alongamento é obtido como Δ L α Δ T L Se a variação térmica for de elevação em relação à temperatura inicial ΔT será positivo e provocará expansão do corpo ao passo que se houver redução da temperatura ΔT será negativo e provocará contração No sistema internacional de medidas ΔT é medido em graus Celsius C e em 1C ou C1 portanto εT é adimensional Os valores de α são obtidos experimentalmente por exemplo 12106 C1 para o aço estrutural 10106 C1 para o concreto de média até alta resistência de 50106 C1 Cada material tem um comportamento quando submetido a tensões ou variações térmicas Entretanto na análise estrutural a avaliação dos deslocamentos está diretamente associada à condição de uso de uma edificação sendo alguns critérios de deslocamentoslimites sugeridos pela Associação Brasileira de Normas Técnicas por meio da NBR 6118 que afirma que deve se evitar deformações excessivas na construção ABNT 2014 Segundo essa normativa são considerados os critérios de aceitabilidade sensorial causando vibrações ou efeito visual desagradável ao usuário os efeitos específico que podem impedir a utilização adequada de uma edificação os efeitos em elementos estruturais modicando as condições de cálculo iniciais os efeitos em elementos não estruturais decorrentes de deformações estruturais como em alvenarias e revestimentos Em função dos critérios elencados a NBR 6118 ABNT 2014 p 77 define valores limites de deslocamentos que visam proporcionar um adequado comportamento da estrutura em serviço No caso de uma viga de 50 m de comprimento segundo a tabela 82 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS Limites para deslocamentos no que se refere aos critérios de aceitabilidade sensorial ela não pode deslocar mais do que L 250 isto é 50 m 250 002 m 2 cm Instalações que precisam de alta precisão como laboratórios têm critérios ainda mais exigentes pois o deslocamento que acarreta deformação pode afetar a calibração dos equipamentos e gerar erros nas análises realizadas Nesses casos com base nas condicionantes estabelecidas pelo fabricante é possível escolher materiais que irão compor essa estrutura para garantir o mínimo de deslocamento possível menor que o deslocamentolimite permitido Alguns elementos como as alvenarias têm critérios distintos Além do limite de deslocamento em função do comprimento da alvenaria ela não deve ultrapassar 10 mm 1 cm de deslocamento ou estar sujeita a uma rotação deslocamento angular maior do que 00017 rad Vale nesse caso o critério mais rigoroso aplicado à alvenaria em estudo No equipamento é aplicada uma força crescente no corpo de prova e é monitorado o alongamento para diversas etapas do carregamento Partindose desses dados é possível traçar um gráfico que relaciona a tensão e a deformação como apresenta a figura a seguir Figura 26 Gráficos de tensãodeformação para diferentes materiais Fonte adaptado de Almeida 2009 A tensão é obtida assim σ F A F é a força aplicada em cada estagiamento em Newtons e A é a área da seção transversal do corpo de prova em m² resultando em uma tensão em Pascal A deformação é obtida assim ε δ L L é o comprimento útil comprimento do corpo de prova antes de ser submetido a tensões e δ é o alongamento do elemento tracionado 83 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV Na figura Gráficos de tensãodeformação para diferentes materiais três formas típicas do diagrama foram apresentadas os modelos a e b são materiais dúcteis e o modelo c corresponde a materiais frágeis MASCIA 2006 Um material é considerado dúctil quando sua ruptura é precedida por grande deformação A formatação do diagrama deve ser avaliada por trechos partindose da origem do diagrama início do ensaio até a ruptura fim do ensaio O trecho da origem até A tem crescimento linear indicando que a deformação é diretamente proporcional à tensão aplicada por isso o ponto A é chamado de limite de proporcionalidade Com o aumento da tensão a deformação começa a evoluir mais rapidamente até o ponto B até que mantendose a tensão a deformação se desenvolva de modo acelerado até C fenômeno conhecido como escoamento A tensão observada entre B e C é denominada tensão de escoamento A partir do ponto C isto é a partir de onde o material se deformou na tensão de escoamento o material passa a resistir ao aumento de carregamento acarretando um acréscimo de tensão e de deformação Atingese o valor máximo em D em que ocorre a tensão máxima à qual o material pode resistir O trecho CD corresponde à fase de recuperação também chamada de encruamento Depois do ponto D o corpo de prova está fragilizado e a deformação prossegue com redução da tensão atuante até que ocorra a ruptura como no ponto E Nessa etapa como o corpo de prova já sofreu a tensão máxima ele passa a se alongar sem oferecer resistência ocasionando uma diminuição da seção transversal denominada estrangulamento ou estricção O trecho DE é computado assumindo a seção transversal inicial do corpo de prova ao passo que o trecho DE é determinado com a área da seção reduzida pela estricção ou seja a mesma força aplicada em uma área menor acarreta um aumento das tensões exercidas no corpo de prova As etapas às quais o material será submetido podem ser graficamente avaliadas No que se refere às tensões o formato do diagrama demanda a determinação das deformações e a identificação das principais tensões como exposto a seguir Ponto B σe tensão de escoamento Ponto D σs tensão máxima Ponto E σf tensão de ruptura tensão final 84 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS Para facilitar a compreensão o trecho inicial teve sua escala exagerada Para o exemplo até a tensão de 240 MPa o metal sofre alongamento atingindo uma deformação de 00012 mmmm Sofre então um pico de tensão de 262 MPa e entra em escoamento na tensão de 248 MPa tendo sua deformação passando de 00012 mmmm para 003 mmmm Em outras palavras no limite de escoamento a deformação sofre aumento de 25 vezes em relação ao limite de proporcionalidade Em engenharia as construções devem atender a critérios técnicos de segurança e estabilidade pois é necessário garantir que a edificação não atinja o estadolimite de serviço ELS nem o estadolimite último ELU No ELS a edificação perde condição de utilização ou perde funcionalidade devido ao excesso de deformações seja no elemento estrutural seja do solo o que provoca a uma rotação da edificação A variabilidade do FS está associada ao grau de incertezas envolvidas no dimensionamento como a capacidade de carga do solo que depende do arranjo das partículas e pode variar bastante em poucos metros Assim primeiro os materiais são estudados e suas tensões máximas e de escoamento são definidas para depois ser determinada a resistência de projeto por meio da tensão admissível O ensaio de tração por padrão é efetuado até que ocorra a ruptura do corpo de prova porém na prática as estruturas podem sofrer tensões adicionais temporárias acarretando posterior descarregamento Dependendo do ponto do diagrama atingido com a ação adicional a deformação sofrida pode ser temporária voltando ao estado original ou permanente Quando após sofrer uma tensão o material retorna à condição original ele é chamado de linearmente elástico Se a deformação for permanente o material é considerado não linearmente elástico Em função do comportamento do material sob a ação de tensões de tração axial os materiais podem ser dúcteis ou frágeis A principal diferença entre eles é que os materiais dúcteis emitem um alerta de que a tensão a que foram submetidos é maior do que sua capacidade de recuperação mediante a deformação excessiva podendo ter ou não escoamento Por sua vez os materiais frágeis se caracterizam por uma ruptura com pouca ou nenhuma deformação 85 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV Neste capítulo apresentamos como a ação de tensões axiais provoca deformação no corpo de prova e que no projeto estrutural conhecer o limite de cargas é imprescindível para se ter um projeto que garanta a funcionalidade da construção ao longo do tempo As tensões de tração provocam alongamento e as tensões de compressão provocam encurtamento A compreensão desse fenômeno é estabelecida por meio de um ensaio padronizado que registra a deformação do corpo de prova em função da força aplicada Esses dados são aplicados em um diagrama tensãodeformação Na sequência investigamos detalhadamente a curva obtida no ensaio e apresentamos como identificar uma propriedade do material dúctil ou frágil em função da forma do diagrama verificando que materiais frágeis rompem com pouca deformação e que materiais dúcteis sofrem o efeito denominado escoamento no qual mantendose a mesma tensão a deformação continua a acontecer Assim a representação do comportamento de um material frágil acaba no limite de elasticidade Também investigamos que nos diagramas a primeira parcela do carregamento referese a um comportamento linear elástico sendo possível caracterizar o material quanto a seu módulo de elasticidade Por fim discutimos as principais propriedades dos materiais no que se refere à análise estrutural isto é resistência elasticidade e ductilidade A determinação da resistência foi estudada como tensão admissível em que o material é capaz de resistir a esforços sem sofrer deformações excessivas por meio da aplicação de um fator de segurança sobre a tensão máxima em materiais frágeis ou tensão de escoamento em materiais dúcteis Por sua vez a elasticidade foi avaliada como capacidade de retomada das dimensões do corpo de prova como na condição de précarregamento e a ductilidade foi analisada como definição do limite de escoamento de um material É válido ressaltar que apenas materiais com comportamento linear elástico podem ter seu módulo de elasticidade definido Assim na estrutura de uma edificação tão importante quanto conhecer o comportamento de cada material isolado no que se refere à deformação é saber aproveitar as características individuais em função das ações demandadas 86 CAPÍTULO 2 Validação Um cliente requisitou a um engenheiro recémformado um projeto estrutural detalhado para uma pérgola de maiores dimensões a ser instalada próxima a sua piscina O cliente apresentou as pranchas de locação e as dimensões que requisitava para um croqui que ele selecionou de múltiplos disponíveis A pérgola deveria ser vizinha à piscina e esteticamente similar ao apresentado no croqui Sabendo que a estrutura estará exposta ao sol e próxima a uma piscina o projetista e o cliente devem então selecionar um material adequado em todos os aspectos às necessidades de resistência durabilidade e estética Diante desse cenário questionase quais parâmetros você vai utilizar para avaliar a adequação de um material selecionado para o uso nessa estrutura Em cidades cujos espaços livres e vastos se tornam mais escassos o uso de estruturas de aço é uma solução comum para o aumento dos vãos livres As seções de elementos estruturais de aço são menores do que as de resistência equivalente em concreto garantindo maior eficiência de uso do espaço O aço é o material que surge das mudanças de comportamento do elemento químico ferro quando este recebe uma pequena quantidade de carbono Aços com pouco carbono adicionado 025 não são considerados e não podem passar por tratamento térmico aços com percentual mediano de carbono entre 025 e 06 ganham resistência a custo de ductilidades conceitos que serão abordados posteriormente e aços com muito carbono 06 têm grande resistência e pouquíssima ductilidade As ligas de uso rotineiro na construção civil são CA50 CA60 e CA25 Para o aço de armadura e para uso não estruturais e perfis estruturais existem muitas ligas cuja composição e propriedades são descritas por normas ou pelos fabricantes Os aços para perfis podem apresentar limites de escoamento variando de 200 a 700 MPa e aços como A36 ou 1020 têm sua composição e resistência definidas nas normas respectivas como a ASTM A36 e SAE 1020 A ABNT define na NBR 7007 os requisitos para aços empregados em perfis laminados e são apresentados nesse documento os teores de metais componentes e os graus das ligas de aço para perfis como BR 190 MR 250 AR 350 e AR 415 87 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV O aço CA50 é um dos aços que será encontrado em quase todo projeto de estruturas de concreto armado Tem diâmetros específicos e normatizados variando de 63 a 40 mm sempre é nervurado e apresenta resistência característica de 500 MPa O aço CA60 é menos utilizado por seus diâmetros reduzidos e normatizados variando de 24 a 10 mm podem ser lisos mas todo fio com bitola nominal igual ou superior a 100 mm deve ser nervurado O uso mais comum desses fios é nas amarrações e como o termo indica eles apresentam resistência característica de 600 MPa O aço CA25 é bem menos utilizado que os outros vem na forma de vergalhões de superfície obrigatoriamente lisa apresenta natureza mais flexível e resistência característica de escoamento de 250 MPa Os diferentes aços empregados na construção civil apresentam grandes variedades de propriedades físicas que são diretamente dependentes das propriedades das ligas das condições de trabalho e até do processo de produção Em perfis estruturais há uma grande diversidade de ligas e perfis que podem ser empregados pelo projetista e suas propriedades são fornecidas pelos fabricantes No caso de aços para concreto armado um dos usos mais comuns do aço na construção civil existem ligas específicas que são produzidas com propriedades e comportamento definidos em norma Essas ligas são transformadas em barras vergalhões e fios que são utilizados rotineiramente na execução de projetos de todas as magnitudes O peso específico é a grandeza que representa o peso de um material dividido pelo seu volume Sua grandeza no Sistema Internacional é Nm³ e é geralmente associada à letra grega γ gama O peso específico pode ser calculado pelo produto da densidade do material nas condições submetidas ρ pela aceleração da gravidade Um parâmetro que é comumente utilizado em projetos hidráulicos é a gravidade específica uma grandeza adimensional que representa a razão entre a densidade de um material e a de outro material de referência geralmente a água a uma temperatura de 4C A NBR 6120 ABNT 2019 define o peso específico do aço empregado na construção civil como 785 kNm³ A NBR 7480 ABNT 2007 define também massas nominais ou massas que são dadas por metro do aço vergalhão barra fio para diferentes bitolas um dado importante para o cálculo de consumo e cargas de aço 88 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS O conhecimento dos pesos específicos de materiais é importante para avaliar carregamentos de peso próprio condições de estabilidade e até verificar o comportamento de estruturas submersas É a propriedade física que define o cálculo dos carregamentos por peso próprio e central ao projeto de estruturas A retração é um fenômeno que produz uma redução no volume do material como consequência de uma alteração ambiental Alguns materiais como madeira podem retrair devido a mudanças da umidade do ambiente mesmo a uma temperatura e carregamento constantes Não se considera o aço como um material que apresenta retração sensível mas seus elementos trabalhando em conjunto com concreto ou madeira podem sofrer as deformações impostas pela retração no concreto circundante A dilatação e a contração térmicas são fenômenos que ocorrem em materiais submetidos a mudanças de temperaturas O fenômeno é resultado da mudança na distância entre cristais ou moléculas componentes do material devido à alteração de energia cinética desses elementos As dilatações são definidas em termos de geometria dominante podendo ser linear superficial ou volumétrica Essa divisão é feita pois em elementos em que uma única dimensão é de magnitude maior do que as outras as dilatações volumétricas são de magnitude muito menor do que as dilatações na dimensão dominante Um exemplo de dilatação linear pode ser visto em trilhos de trem cuja dilatação na direção do comprimento é de maior magnitude que as dilatações nas seções e volumes A dilatação ou contração εT pode ser definida de forma linear a partir do produto de um coeficiente de dilatação linear α por uma variação da temperatura ΔT resultando em uma deformação adimensional ou percentual Esse coeficiente de dilatação pode variar ao longo de intervalos de temperatura para um mesmo material portanto é importante saber em que faixa a estrutura irá operar A seguir está representada a dilatação térmica linear descrita anteriormente εT α ΔT No Sistema Internacional a grandeza do coeficiente de dilatação linear é C1 grau Celsius recíproco e é geralmente associado às letras gregas α β e γ para os coeficientes lineares superficiais e volumétricos em materiais isotrópicos Quando se trata de materiais anisotrópicos que não apresentam homogeneidade de propriedades nas direções empregase um tensor uma entidade matemática com os coeficientes nas direções 89 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV Para fins estruturais o valor de 105C1 é considerado como o coeficiente de dilatação térmica do aço empregado como armadura para intervalos de temperatura entre 20C e 150C como apresentado na NBR 6118 ABNT 2014 A NBR 8800 ABNT 2008 que aborda estruturas com perfil de aço apresenta um valor de 12105C1 quando se trata de estruturas metálicas ou mistas de concreto e aço para edifícios A condução térmica é um fenômeno físico pelo qual a energia térmica é transferida através de um material O gradiente de temperatura entre duas fontes promove o fluxo de energia através do material sem que haja o transporte de matéria Nesse processo que ocorre em nível molecular pela vibração dos cristais constituintes e em algumas situações elétrons que estão livres na estrutura também podem transmitir essa energia BEER 2011 A condução apresenta proporcionalidade à diferença de temperatura à superfície de transporte e às propriedades do material conduzindo o calor Diferentes materiais permitem a passagem do calor a diferentes taxas dependendo da natureza e das condições às quais se encontram submetidos O parâmetro que expressa essa propriedade é a condutividade térmica ou apresentado pela NBR 15220 ABNT 2003 p 2 Propriedade física de um material homogêneo e isótropo no qual se verifica um fluxo de calor constante com densidade de 1 Wm² quando submetido a um gradiente de temperatura uniforme de 1 Kelvin por metro A condução térmica dos metais ocorre de forma rápida devido geralmente à alta condutividade térmica das ligas A NBR 15220 ABNT 2003 define a condutividade do aço como 55W m 1 K1 valor que é em torno de 200 vezes maior do que o de gesso com agregado leve A norma não define um intervalo de temperatura para esse valor de condução térmica como ocorre com o coeficiente de dilatação térmico Nos metais o aumento de temperatura eleva a energia média e a velocidade dos elétrons e dos fônons enquanto a distância média entre colisões diminui e os dois efeitos praticamente se cancelam Por essa razão a condutividade térmica geralmente varia pouco com a temperatura BEER 2011 A condução acústica é o fenômeno pelo qual ondas sonoras atravessam um meio sólido diferente do qual originalmente se propagavam Um exemplo de condução acústica 90 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS ocorre quando as ondas sonoras de uma fonte se propagam entre cômodos através de uma parede de alvenaria Para se avaliar a adequação de um material para seu uso em ambientes acústicos é utilizada a absorção acústica do material como parâmetro de projeto A absorção acústica ocorre quando o ambiente absorve ou dissipa a energia sonora seja com objetos dispostos na área ou na própria estrutura A avaliação de um elemento em relação as suas propriedades acústicas é um processo complexo que depende não apenas do material mas também de sua disposição espacial e da geometria do elemento O aço por ser um material com um intervalo vasto de comportamento elástico e com alta resistência permite a construção de estruturas de esbeltez elevada o que tradicionalmente não é considerado adequado para o isolamento BEER 2011 Quando se avalia o isolamento do som em um ambiente também é de interesse que se avalie o comportamento de perda de transmissão para diferentes intervalos Empregando placas de aço lisas de gauge 26 121 mm como padrão observase que a máxima absorção aferida é 14 para frequências de até 63 Hz e no máximo 26 para frequências de 4000 Hz BEER 2011 Esses resultados classificam as chapas de aço como um material de baixa eficiência no isolamento acústico A resistência dos materiais é o campo da mecânica que estuda como as cargas deformam um corpo e como elas se traduzem em esforços internos ela aborda também a determinação de deformação no objeto e a verificação da estabilidade desse objeto sob essas condições de carregamento Em resumo é a parte da mecânica dos sólidos em que os corpos são analisados sob a abordagem da estabilidade verificando as forças internas que são resultado das ações externas BEER 2011 A resistência é a máxima tensão que um material pode sofrer sem atingir sua ruptura É uma propriedade do material que precisa ser determinada experimentalmente Os testes utilizados para obter essas propriedades são os ensaios de tração e de compressão axial Como referido anteriormente as ligas de aço são rotineiramente empregadas na construção CA50 e CA60 para armaduras e os aços para perfis A36 AR 415 e MR 250 91 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV Cada um desses aços tem especificações normativas bem definidas tanto para seus diâmetros quanto para presença ou não de nervuras processo produtivo e principalmente resistência Aços classificados como CA50 e CA25 têm resistências ou limites de escoamento característicos de 500 MPa e 250 MPa e são respectivamente barras nervuradas e lisas produzidas por laminação a quente Aços do tipo CA60 têm um limite de escoamento de 600 MPa são considerados fios e produzidos por trefilação processo industrial que reduz sucessivamente o diâmetro de barras de aço A figura Diagrama de tensãodeformação para barras dúcteis representa o diagrama de tensãodeformação para uma barra de aço dúctil CA50 ou CA 25 fato visível pelos valores de limite de escoamento Figura 27 Diagrama de tensãodeformação para barras dúcteis Fonte adaptada de Almeida 2009 Para esse diagrama de tensãodeformação podem ser identificados os seguintes trechos e pontos 0A é a fase elástica em que o aço comportase elasticamente como previsto pela lei de Hooke e as tensões são proporcionais às deformações Nesse intervalo o ponto A representa o limite elástico 92 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS AE é o patamar de escoamento onde há uma deformação contínua não há aumento de tensões e as deformações sofridas são permanentes σ2 é a tensão de escoamento 500 MPa para CA50 e 250 MPa para CA 25 B é o limite de resistência onde ocorre a redução de seção do aço um processo chamado de estricção C é o ponto de ruptura e σ1 é a tensão máxima A figura Diagrama de tensãodeformação para fios frágeis representa o diagrama de tensãodeformação para um fio de aço CA60 Como o processo de produção dos fios CA60 é o de trefilação esses apresentam dureza e resistência maiores gerando um diagrama de tensãodeformação com intervalos e comportamentos diferentes Figura 28 Diagrama de tensãodeformação para fios frágeis Fonte adaptada de Almeida 2009 0A é a fase elástica em que o aço comportase elasticamente como previsto por Hooke e as tensões são proporcionais às deformações Nesse intervalo o ponto A representa o limite elástico B é o ponto que delimita o escoamento σ2 associado a uma deformação total igual a 05 ou uma deformação plástica ou parcial de 02 C é o limite de resistência nesse ponto ocorre a estricção 93 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV D é o ponto onde ocorre a ruptura e σ1 é a tensão máxima A resistência mecânica às diferentes formas de tensões é usada pelo projetista para averiguar se uma peça da estrutura está adequada em relação às forças externas A resistência é ponderada pelos coeficientes de segurança e comparada aos valores de tensões de projeto ao longo do elemento composto pelo material Essa verificação é indispensável e central ao projeto estrutural A ductilidade é uma importante propriedade dos aços estruturais que pode ser observada em um ensaio de resistência e interpretada como o potencial de um material deformarse plasticamente sem atingir a ruptura Materiais frágeis são os que rompem apresentando pouca ou nenhuma deformação Materiais dúcteis deformamse muito antes da ruptura sendo que o fenômeno pode ser visualizado em várias ligas de aço alumínio e materiais como borracha Quando se trata de metais ou de ligas metálicas a ductilidade pode ser entendida como a capacidade de um material para a produção de fios de diversos diâmetros Em um ensaio de tração materiais de maior ductilidade apresentam um trecho de escoamento caracterizado por uma intensa deformação sem variação de carga As ligas de aço comuns na construção civil são caracterizadas por apresentarem boa ductilidade devido aos átomos se disporem de tal forma que a estrutura possibilita o deslizamento entre eles permitindo o estiramento sem ocorrer ruptura BEER 2011 A ductilidade de uma liga varia de acordo com várias condições sejam essas das proporções de componentes metálicos e não metálicos e até o procedimento de produção dos elementos estruturais De acordo com a NBR 7480 ABNT 2007 os aços comumente empregados em concreto armado CA 50 e CA25 são de alta ductilidade e os aços CA60 são apresentados como aços de ductilidade de normal resistência e deformação definidos em norma Materiais isotrópicos são caracterizados por apresentar propriedades mecânicas homogêneas em todas as direções Essa condição de comportamento mecânico em todas as direções não é necessariamente um resultado de uma microestrutura homogênea sendo um bom exemplo as várias ligas de aço que apresentam uma estrutura microscopicamente variável mas são consideradas materiais isotrópicos Existem ligas especiais em que devido à formação de uma microestrutura por dopagem de elementos há uma mudança nas propriedades de forma dependente da direção fenômeno conhecido como anisotropia Mas as ligas comumente empregadas 94 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS na construção civil como barras e perfis de aço formados em processo a frio são consideradas isotrópicas BEER 2011 Um material submetido a uma ação reage por meio de uma deformação uma mudança de sua dimensão na direção da tensão Essa deformação pode ser elástica plástica ou mista dependendo do material O intervalo ou trecho elástico ocorre enquanto essas deformações consequentes de carregamentos são completamente revertidas quando esse carregamento é removido BEER 2011 A maioria dos materiais empregados em estruturas tem pelo menos um trecho linear elástico em que a deformação ε é linearmente proporcional à tensão σ BEER 2011 Esse comportamento descrito por Robert Hooke em 1676 é denominado Lei de Hooke descrita matematicamente pela relação σ E ε Como descrito anteriormente os aços empregados na construção civil apresentam trechos elásticos e patamares plásticos com valores descritos em norma Dentre as propriedades requisitadas pela NBR 7480 está a conformidade da liga em relação ao seu módulo de elasticidade ABNT 2014 95 CAPÍTULO 3 Correlação de modelos analíticos e experimental Todos os materiais expostos a condições de uso se degradam É de interesse da engenharia mensurar o processo da degradação dos materiais e estimar a durabilidade das edificações às condições às quais estarão submetidas É importante apresentar que a durabilidade não é propriedade de um material sendo a consequência do comportamento do material exposto ao ambiente circundante A durabilidade de uma estrutura de aço ou de concreto armado é definida por meio das condições de uso da agressividade ambiental e do comportamento do material no ambiente O principal mecanismo de degradação do aço é a corrosão uma reação química entre o aço e o oxigênio O aço é em sua maior parte composto por ferro Fe adicionado de outros metais e componentes como o carbono C O ferro em si é capaz de ceder elétrons para o oxigênio O2 que na presença da água H2O forma o hidróxido de ferro FeOH2 ou ferrugem material granular sem resistência mecânica considerável Esse processo pode ser descrito pela seguinte equação química 2Fe O2 2H2O 2 Fe OH 2 A região envolvente de uma estrutura é um dos principais fatores na determinação da corrosão das ligas e da deterioração dos revestimentos de protetores É portanto essencial avaliar a agressividade ambiental para avaliar a durabilidade de uma estrutura de aço O principal mecanismo de degradação das estruturas metálicas especificamente as de aço é a corrosão por ação atmosférica A NBR 8800 ABNT 2014 p 98 explicitamente descreve a resistência à corrosão como uma condição adicional do projeto no trecho Os componentes de aço da estrutura devem ser dimensionados para tolerar corrosão ou devem ser protegidos contra a corrosão que possa influir na sua resistência ou no seu desempenho na estrutura Essa proteção deve ser considerada no projeto e obtida com o uso isolado ou combinado de camadas de material protetor resinas tintas e a recomendação é que a proteção 96 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS também se estenda a ligas que apresentam propriedades resistentes ou antioxidantes Existe também a possibilidade de que no projeto seja definida uma sobreespessura de corrosão aceitável ABNT 2014 Algumas recomendações e conceitos importantes à durabilidade são apresentados no capítulo 10 da NBR 8800 ABNT 2014 p 99 1 As estruturas de aço e mistas devem ser projetadas e construídas de modo que sob as condições ambientais previstas conservem a segurança a estabilidade e a aptidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil 1 Por vida útil de projeto entendese o período de tempo durante o qual se mantêm as características das estruturas desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos 2 O conceito de vida útil aplicase à estrutura como um todo ou às suas partes 3 Para assegurar que a estrutura mantenha suas características durante o período de vida útil de projeto os elementos de aço inclusive os integrantes das estruturas mistas devem ser devidamente protegidos contra corrosão e quaisquer outros fatores de agressividade 4 Dependendo do porte da construção e da agressividade do ambiente e de posse das informações dos projetos dos materiais e produtos utilizados e da execução da obra deve ser produzido por profissional habilitado um manual de utilização inspeção e manutenção A velocidade de corrosão é influenciada pela condutividade elétrica do eletrólito que é menor em meios pouco condutores como na água muito pura e maior em meios condutores como na água do mar ou em soluções ácidas As seis classificações ambientais são definidas em relação à agressividade ambiente de acordo com a ISO 9223 ABNT 2014 C1 muito baixa C2 baixa C3 média C4 alta C5I muito alta industrial 97 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV C5M muito alta marinha Definido o nível de corrosão ao qual a liga estará submetida devese escolher um sistema de proteção que não é uma tarefa simples devido à diversidade de sistemas disponíveis e às condições em que podem ser aplicados Não há nenhum melhor sistema mas uma competição dinâmica entre soluções dependentes de fatores tecnológicos e considerações práticas As madeiras e os solos competem entre si pela posição de material de construção empregado pela humanidade há mais tempo Isso é consequência tanto de disponibilidade natural quanto da facilidade de processamento A madeira tem ainda várias outras características favoráveis ao uso em construção como facilidade de beneficiamento bom isolamento térmico e resistência Materiais muito industriais têm valor de peso específico médio geralmente bem definido em norma e materiais como a madeira dependem da espécie empregada A densidade das madeiras é dependente do teor de umidade delas sendo portanto importante criar uma condição padronizada sob a qual avaliar o peso específico Uma peça de madeira é seca em estufa a 103 C até que não haja mais variação no peso aferido e esse valor representa a massa seca O mesmo corpo é saturado e tem o peso aferido até que não se observe mais variações A densidade básica é a razão entre a massa seca pelo volume saturado A partir dos valores de densidade podese então determinar os pesos específicos multiplicando essa grandeza pela aceleração da gravidade Como referido anteriormente o peso específico será a função das condições externas de umidade do processamento da matéria e principalmente da espécie da madeira Algumas espécies de Pínus apresentam densidades de 420 kgm³ e o Ipê pode apresentar densidade de até 1300 kgm³ A NBR 6120 ABNT 2014 apresenta alguns valores de peso específicos A madeira como material apresenta um dos maiores intervalos de peso específico mas ainda assim é menos densa do que outros materiais construtivos Até as espécies vegetais mais densas apresentam valores de duas a seis vezes menores do que o concreto e o aço fato que é importante na definição de carregamentos por peso próprio A retração na madeira é a variação dimensional de peças ou elemento como consequência de um gradiente entre a umidade interna do material e a umidade do entorno A troca de água e a consequente retração ocorrem até o chamado equilíbrio higroscópico 98 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS A condutividade térmica é uma das propriedades de materiais de construção que influencia no desempenho e conforto térmico de edificações e deve ser considerada na etapa do projeto Em edificações especiais como instalações hospitalares armazenagem e frigoríficos a condução térmica de materiais de isolamento é uma das especificações mais importantes para o propósito da edificação A madeira é tradicionalmente considerada como um bom material para isolamento térmico A NBR 15220 ABNT 2014 define para algumas madeiras empregadas na construção civil pinus carvalho freijó e outras um intervalado de condutividade térmica de 012 a 029 Wm1k1 valor que torna a madeira em torno de 500 a 200 vezes menos condutora do que o aço As propriedades térmicas da madeira são importantes em projetos nos quais se intenciona o isolamento da temperatura externa em edificações e no processamento industrial da madeira no qual métodos de aquecimento vaporização e cozimento são utilizados para a secagem artificial e fabricação de lâminas de madeira processada A madeira é considerada bom isolante pois suas células são longas e vazias preenchidas com ar que tem coeficiente de condutividade térmica de 00216 e a matriz lenhosa é composta de fibras de baixa condutividade É relevante abordar que a anisotropia do material ocorre também na condutividade térmica da madeira sendo que no sentido radial essa propriedade é marginalmente maior na direção tangente BEER 2011 Nos ambientes a propagação do som é determinada pelas áreas no compartimento e pelos obstáculos presentes no interior do ambiente Em ambientes com superfícies refletoras quase toda a energia sonora incidente reflete resultando uma região com baixa oscilação nos níveis de som mesmo com crescente distância à fonte Os materiais de natureza porosa flexível ou fibrosa apresentam em muitos casos bom comportamento térmico e acústico O isolamento acústico reduz os níveis sonoros abafa a reverberação e mantém o ambiente mais agradável BEER 2011 A absorção sonora depende do valor da frequência do som em si As madeiras têm um grau de absorção elevado quando comparadas a outros materiais construtivos Por ter a maior taxa de absorção de som no espectro mais baixo abaixo de 300Hz é uma propriedade que produz um ambiente agradável para os ouvintes como em salas de aula e auditórios BEER 2011 99 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV No entanto a madeira é considerada um mau condutor pela sua relativamente baixa densidade específica Paredes simples produzidas de madeira ou processado de fibra material têm um isolamento acústico ineficiente As madeiras são materiais razoavelmente adequados e aplicáveis para compartimentos nos quais a acústica interna precisa de uma absorção do grave mas apresenta comportamento deficiente quando se trata de isolamento entre cômodos pela sua baixa densidade As propriedades mecânicas dos materiais são determinadas pela execução de ensaios experimentais normatizados em que os materiais são submetidos aos carregamentos de forma controlada de maneira a se obter seu comportamento real Os fatores importantes no ensaio e na determinação das propriedades são a carga aplicada sua duração e como é aplicada A carga produz esforços internos como tração compressão ou cisalhamento e seu valor pode ser constante ou variável ao longo do tempo Como as madeiras são materiais processados a partir de produtos vegetais a NBR 7190 ABNT 2014 recomenda que sejam executados ensaios de caracterização completa da resistência e que tais ensaios sejam executados à condiçãopadrão de umidade U12 Os ensaios de resistência para a caracterização da madeira serrada são 1 resistência à compressão paralela às fibras 2 resistência à tração paralela às fibras 3 resistência à compressão normal às fibras 4 resistência à tração normal às fibras 5 resistência ao cisalhamento paralelo às fibras 6 resistência de embutimento paralelo às fibras Esses ensaios podem ser executados de antemão pelo fornecedor para cada lote e ter os valores disponibilizados aos clientes e projetistas Executados os ensaios os elementos de madeira são inseridos em classes de resistência especificadas As propriedades resistentes da madeira associadas às vantagens como peso específico relativamente baixo facilidade de trabalhar e menor impacto ecológico as tornam um material estrutural muito bom No entanto as madeiras ainda enfrentam dificuldade de estabelecimento pela percepção de menor confiabilidade em comparação com soluções mais tradicionais 100 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS Devido à anisotropia existem dois módulos de elasticidade na madeira de interesse sendo Ew0 o módulo paralelo às fibras calculado pelo ensaio de compressão paralela às fibras e o módulo Ew90 90 que é extraído do ensaio de compressão normal na direção perpendicular às fibras Os seguintes valores precisam ser determinados na condição de umidade de 12 conforme NBR 7190 ABNT 12014 pp 1516 1 valor médio do módulo de elasticidade na compressão normal às fibras Ec90 determinado com pelo menos dois ensaios 2 admitese que sejam iguais os valores médios dos módulos de elasticidade à compressão e à tração paralelas às fibras De acordo com a NBR 7190 existem classes de umidade que o projetista deve considerar na hora de ajustar os valores de propriedades mecânicas às condições do ambiente É importante também que se tenha em mente o ensaio que foi utilizado para calcular o módulo de elasticidade pois como resultado da anisotropia é possível ter valores de E determinado por flexão estática diferentes do resultado do módulo de elasticidade determinado por compressão axial Alguns exemplos de módulo de Young é o Ipê com E próximo a 12700 MPa e o cedro com 7850 MPa Embora algumas madeiras sejam consideradas para outras aplicações como um material dúctil ou que apresenta um trecho de deformação plástica à tensão constante a NBR 7190 ABNT 1997 determina que para fins estruturais a madeira tem comportamento elastofrágil Portanto madeiras empregadas com o propósito estrutural devem ser consideradas frágeis para critérios de projeto ou seja pouca plasticidade e pouca ruptura após o intervalo elástico Alguns materiais apresentam diferentes propriedades de acordo com a direção em que um fenômeno atua sobre eles Materiais cujas propriedades são diferentes de acordo com a direção são considerados anisotrópicos Um exemplo de materiais anisotrópicos são madeiras e compósitos com fibras Materiais que apresentam ortotropia são uma subclasse de materiais anisotrópicos em que o comportamento se modifica de forma bem definida Os materiais ortotrópicos apresentam propriedades diferentes em planos que formam ângulos de 90 entre si ou planos ortogonais O exemplo mais comum são madeiras que apresentam propriedades diferentes em relação à direção da fibra 101 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV A madeira é um material de comportamento tradicionalmente ortotrópico com anisotropia nas orientações que formam ângulos retos entre si Como consequência muitos dos parâmetros físicos e mecânicos são diferentes e dependentes de como as fibras se alinham na direção Em uma escala menor ainda a madeira pode variar até dentro do indivíduo nós de galhos por exemplo do qual as peças foram processadas Dos três possíveis eixos só há variação sensível entre os eixos longitudinais e o grupo radial e tangencial Essa diferença entre orientação permite o desenvolvimento de defeitos durante o processamento especificamente nas etapas de secagem e recondicionamento O concreto é um dos materiais mais comuns na construção civil e suas propriedades são de grande interesse Para projetos estruturais são extremamente importantes na resistência à ruptura à deformabilidade pesos específicos e comportamentos sob carregamento O peso específico do concreto é importante pois será parte das ações permanentes diretas Essas ações permanentes são compostas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes A retração ocorre quando há uma perda de volume no concreto como consequência da saída de água por diferente mecanismo A retração também pode ser causada por outros fenômenos retração química retração autógena e térmica A retração é especialmente danosa no concreto pois causa perda de resistência e vida útil As trincas e as fissuras são as consequências mais comuns da retração no concreto A abordagem inicial para evitar a retração é o controle da perda de umidade após o material ter sido misturado e hidratado Há a possibilidade de preventivamente tomar decisões de projeto para evitar a retração como reduzir a quantidade de água no traço A quantidade de água é fator determinante da retração assim como a velocidade com que tal água é permitida de sair do concreto fresco Quando não se pode fazer o controle da quantidade de água ou tal processo não é competitivo existe a possibilidade de incorporação de expansões As propriedades mecânicas de um material são parâmetros necessários em modelos para verificar seu comportamento sob diferentes condições de serviço Serão também abordadas as propriedades mecânicas que são de maior interesse à engenharia estrutural resistência elasticidade plasticidade ductilidadefragilidade isotropia anisotropia e ortotropia 102 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS A resistência à compressão simples é uma das propriedades mais importantes de um concreto de propósito estrutural Tal parâmetro é calculado para corpos de prova padronizados que possibilitam que resultados de diferentes concretos possam ser comparados Esses ensaios descritos pela NBR 5739 ABNT 2018 submetem os corpos de prova a uma compressão em uma prensa hidráulica que afere os valores de força aplicada e deslocamento para que se possa calcular a tensão na seção e a deformação no corpo e assim produzir um diagrama de tensãodeformação Esse ensaio é utilizado com o propósito de obter a relação entre a tensão e a deformação normal O ensaio é executado por meio da usinagem ou moldagem do material avaliado em corpos de prova de dimensões normatizadas Um equipamento de teste especificamente projetado para tal função é empregado para aplicar um carregamento axial que pode ser compressivo ou de tração sobre corpo de ensaio O carregamento é aplicado lentamente de forma contínua até o ponto de ruptura do material Os valores do carregamento aplicado são registrados em intervalos determinados assim como os valores de alongamento e encurtamento do corpo no ensaio Esse valor é utilizado para calcular a deformação e carga associada à área da seção transversal do corpo de prova usada para calcular a tensão obtendose os dados do diagrama tensãodeformação É importante reiterar que o intervalo elástico linear representa o trecho reto no início do diagrama tensãodeformação que vai até o ponto no qual não há mais proporcionalidade e o módulo é a inclinação da reta A deformação plástica ao contrário da elástica é permanente e não sofre reversão total após a remoção do carregamento É comum em materiais estruturais que a deformação plástica ocorra após atingir um valor de tensão que ultrapassa o intervalo considerado elástico linear O módulo de elasticidade pode ser obtido segundo o ensaio descrito na NBR 8522 De acordo com a NBR 6118 ABNT 2014 o módulo de Young pode ser extraído do diagrama de tensãodeformação pelo módulo de deformação tangente inicial cordal a 30 um parâmetro cujo cálculo e definição são apresentados na mesma norma Quando não houver ensaios prévios e não existirem dados adequados sobre as propriedades resistentes do concreto para a idade de 28 dias é possível aproximar o valor do módulo de elasticidade empregando a seguinte expressão descrita no tópico 828 da NBR 6118 ABNT 2014 103 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV Eci 5600 fck12 Para a equação anterior Eci e fck são dados em megapascal e representam módulo de elasticidade cordal inicial e resistência à compressão característica O outro módulo de elasticidade que pode ser empregado é o secante Esc definido a partir do diagrama de tensãodeformação O concreto endurecido é um material artificial que é estruturalmente próximo a uma rocha artificial que não apresenta ductilidade e é altamente frágil apresentando pouca deformação antes da ruptura Fragilidade é apresentada pelos materiais que se rompem de forma brusca apresentando deformações baixas ou imperceptíveis sendo um exemplo comum o concreto não armado Outro aspecto relevante é que sua tensão de ruptura à tração não é bem definida e a resistência a esse esforço é comparativamente baixa em relação aos esforços de compressão A resistência à tração de um concreto é resultado da formação de imperfeições e microtrincas no material Essa presença distribuída de microtrincas não é simples de ser simulada ou controlada e como consequência o aparecimento de fissuras iniciais é aleatório O concreto armado bem projetado e executado apresenta devido ao trabalho conjunto concretoarmadura uma ductilidade maior do que o concreto simples A durabilidade é função dependente da interação entre os agentes de degradação e os materiais componentes A vida útil é definida como o intervalo de tempo no qual uma edificação apresenta desempenho aceitável mas ela é determinada para uma estrutura quando esta está sob condições ambientais e de trabalho previstas em projeto com a prestação das manutenções e cuidados necessários Materiais de uso em engenharia são descritos por suas propriedades de interesse aos projetistas Essas propriedades podem ser de natureza física como peso próprio ou coeficientes que representam seu comportamento em relação aos outros fenômenos como o desempenho acústico e a dilatação As propriedades mecânicas também importantes são parâmetros que refletem o comportamento dos materiais quando são submetidos a esforços mecânicos O aço é um material isotrópico de peso específico igual a 785 kNm³ que não apresenta retração tem um coeficiente de dilatação térmico de 105C 1 e elevada condução térmica com valores de 55W m1 K 1 O aço apresenta elevada densidade associada 104 UNIDADE IV OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS à grande resistência permitindo a produção de elementos estruturais esbeltos que são uma solução ineficiente para isolamento e absorção acústica As diversas ligas de aço carregam um leque de propriedades específicas e diferentes resistências e comportamento quando submetidas a esforços Existem alguns aços especificamente feitos para armaduras que são extremamente comuns em qualquer projeto como o CA50 e o CA60 Esses tipos de aço têm resistências características obrigatórias por norma de 500 MPa e 600 MPa respectivamente e apresentam módulo de elasticidade de 205000 MPa como descrito nas normas referidas A durabilidade do aço é primariamente afetada por ações atmosféricas e principalmente reações de oxidação As madeiras são materiais anisotrópicos geralmente ortotrópicos com peso específico variável e dependentes da espécie vegetal oscilando de 04 kNm³ a 13 kNm³ Apresentam retração sensível e variável de acordo com a umidade e de como a peça foi cortada da parte do material lenhoso Apresenta pouca dilatação térmica devido à estrutura interna e à umidade dentro do material com coeficientes de dilatação em torno de 35106C1 As madeiras são consideradas bons materiais isolantes com condutividade térmica sendo uma função da espécie vegetal e em um intervalo de 0 12a0 29W m1 K 1 segundo as normas referidas A madeira é um material lenhoso e geralmente de baixa densidade sendo adequado para a absorção de sons de ambiente mas deficiente para o isolamento A resistência da madeira depende da orientação avaliada e da classe da espécie podendo superar resistências comuns de concreto A elasticidade varia com a espécie umidade e orientação podendo ter valores como 12700 MPa para o Ipê e 7850 Mpa para o Cedro em uma direção específica Quando empregada em outras aplicações a madeira é considerada um material dúctil mas é considerada como um material elastofrágil em projetos estruturais pelo fato da sua ductilidade ser resultado do deslizamento entre fibras e a fragilidade ser o resultado da ruptura da fibra em si Ao projetar estruturas e com durabilidade afetada por agentes biológicos existem soluções para garantir a vida útil das madeiras Para uma abordagem estrutural o concreto é considerado um material isotrópico no projeto de densidade variável de 24 a 28 kNm³ dependendo do traço e da presença 105 OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS UNIDADE IV de armaduras O concreto é muito sensível à retração e em várias etapas de sua cura até o fim da vida útil apresenta um coeficiente de dilatação térmico de 105C1 e uma condução térmica dependente dos agregados empregados variando de 1 7a0 25W m1 K 1 Em termos acústicos é considerado um ótimo isolante pela sua elevada massa e estruturas monolíticas mas é deficiente para a absorção de sons em um ambiente A resistência mais importante de um concreto fabricado a partir do cimento Portland é a resistência à compressão sendo essa variável 30 a 60 Mpa característicos são comuns e dependente do traço A resistência à tração é bem menor que a resistência à compressão sendo que do valor da primeira é mais complexo de ser determinado experimentalmente e pode ser calculado a partir de equações definidas na norma Os valores dos módulos de elasticidade do concreto também podem ser calculados de sua resistência à compressão característica ou dos diagramas de tensãodeformação Por fim é importante ressaltar que o concreto não apresenta praticamente nenhuma ductilidade e é um material classicamente frágil rompendose com pouca deformação e precisando da armadura para um comportamento mais adequado à construção civil Por fim a determinação da seleção de um material sobre o outro é resultado de um processo comparativo entre as múltiplas propriedades apresentadas por eles A estrutura precisa apresentar uma resistência mínima de projeto ser durável em relação ao seu ambiente e ser competitiva economicamente 106 REFERÊNCIAS ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6123 forças devidas ao vento em edificações Rio de Janeiro ABNT 1988 ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 7187 projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido procedimento Rio de Janeiro ABNT 2003a ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 8681 ações e segurança nas estruturas procedimento Rio de Janeiro ABNT 2003b ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 15421 projeto de estruturas resistentes a sismos procedimento Rio de Janeiro ABNT 2006 ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 7188 carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes viadutos passarelas e outras estruturas Rio de Janeiro ABNT 2013 ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 projeto de estruturas de concreto procedimento Rio de Janeiro ABNT 2014 ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 9062 projeto e execução de estruturas de concreto prémoldado Rio de Janeiro ABNT 2017 ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6120 cargas para o cálculo de estruturas de edificações Rio de Janeiro ABNT 2019 ALMEIDA M C F de Estruturas Isostáticas São Paulo Oficina de Textos 2009 ALMEIDA FILHO F M de Estruturas de Pisos de Edifícios com a Utilização de Cordoalhas Engraxadas 2002 283 f Dissertação Mestrado em Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 2002 Disponível em httpswwwtesesuspbrtesesdisponiveis1818134 tde26052006153328publico2002MEFernandoMAlmeidaFilhopdf Acesso em 3 fev 2021 ALVA G M S Concepção Estrutural de Edifícios em Concreto Armado Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Departamento de 107 REFERÊNCIAS Estruturas e Construção Civil Santa Maria 2007 Disponível em httpcoralufsm 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Dimensionamento de Estruturas de Contenção Atirantadas Utilizando os Métodos de Equilíbrio Limite e de Elementos Finitos 2015 192 f Dissertação Mestrado em Engenharia Civil Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2015 Disponível em httpswwwmaxwellvrac pucriobr26066260664PDF Acesso em 8 jul 2020 MARTINS R de A Arquimedes e a Coroa do Rei problemas históricos Caderno Brasileiro de Ensino de Física Florianópolis v 17 n 2 pp 115121 ago 2000 Disponível em httpswwwresearchgatenetpublication275833049Arquimedeseacoroa doreiproblemashistoricos Acesso em 8 jul 2020 MARTINS Y L D Ação Dinâmica do Vento em Edifícios Altos 2018 82 f Trabalho de Conclusão de Curso Graduação em Engenharia Civil Universidade Federal de 109 REFERÊNCIAS Goiás Goiânia 2018 Disponível em httpsfilescercompufgbrwebyup140o AC387C383ODINC382MICADOVENTOEMEDIFC38DCIOS ALTOSpdf Acesso em 08072020 MONCAYO W J Z Análise de Segunda Ordem Global em Edifícios com Estrutura de Concreto Armado 2011 221 f Dissertação Mestrado em Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 2011 Disponível em httpswwwtesesuspbrtesesdisponiveis1818134 tde19042011085946publico2011MEWinstonJuniorZumaetaMoncayopdf Acesso em 8 jul 2020 NOURY P ERIKSSON K Failures of High Strength Stainless Steel Bridge Roller Bearings a review Engineering Fracture Mechanics v 180 p 315329 jul 2017 Disponível em httpswwwsciencedirectcomsciencearticleabspii S0013794417305696 v ia3Dihub Acesso em 8 jul 2020 PRINCÍPIO de Arquimedes Empuxo Métodos Computacionais para Licenciatura Aula de Hidrostática 20 mar 2003 Disponível em httpwwwifufrgsbrtex fis0104320022JefersonArquimedes1htm Acesso em 8 jul 2020 SHAMES I H Estática mecânica para engenharia 4 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2002 SILVA JÚNIOR J S da Empuxo Mundo Educação 2020 Disponível em https mundoeducacaoboluolcombrfisicaempuxohtm Acesso em 11 fev 2020 STRAUBE J BSD014 air flow control in buildings Building 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Grande Altura 2017 104 f Trabalho de Conclusão de Curso Graduação em Engenharia Civil Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis 2017 Disponível em httpsrepositorioufscbrxmluihandle123456789177299 Acesso em 8 jul 2020 THOMAZ E CARNEIRO L SARAIVA R Vigas Gerber com Dentes Múltiplos dimensionamento e detalhamento In CONGRESSO BRASILEIRO DE PONTES E ESTRUTURAS 7 2014 Rio de Janeiro Anais Eletrônicos Rio de Janeiro ABECE ABPE IABSE 2014 Disponível em httpwwwabpeorgbrtrabalhostrab104 pdf Acesso em 8 jul 2020 VALLE A LA ROVERE H L Apostila de Análise Estrutural I Florianópolis UFSC 2013 Disponível em httpsdocerocombrdocxvnnxv Acesso em 8 jul 2020 Figuras Figura 1 HIBBELER 2004 p 201 Figura 2 TAGUTI 2002 apud OLIVEIRA OLIVEIRA 2018 p 6 Figura 3 TAGUTI 2002 apud OLIVEIRA OLIVEIRA 2018 p 9 Figura 4 TAGUTI 2002 apud OLIVEIRA OLIVEIRA 2018 p 24 Figura 5 TAGUTI 2002 apud OLIVEIRA OLIVEIRA 2018 p 15 Figura 6 STRAUBE 2007 Adaptado Figura 7 STRAUBE 2007 Adaptado Figura 8 HIBBELER 2005 Adaptado Figura 9 SHAMES 2002 p 116 Figura 10 ALMEIDA 2009 Adaptado 111 REFERÊNCIAS Figura 11 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 12 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 13 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 14 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 15 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 16 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 17 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 18 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 19 httpscdnpixabaycomphoto201912190557success4705451340 jpg Acesso em 24 mar 2021 Figura 20 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 21 httpscdnpixabaycomphoto201703200809analytics2158454340 png Acesso em 24 mar 2021 Figura 22 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 23 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 24 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 25 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 26 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 27 ALMEIDA 2009 Adaptado Figura 28 ALMEIDA 2009 Adaptado Tabela 1 httpscdnpixabaycomphoto201511030919statistics1020319340 png Acesso em 24 mar 2021