Metodos Experimentais em Vibracoes - Caderno de Estudos e Pesquisa

BrasíliaDF Métodos ExpEriMEntais EM VibraçõEs Elaboração Luiz Guilherme Rezende Rodrigues Produção Equipe Técnica de Avaliação Revisão Linguística e Editoração Sumário APRESENTAÇÃO 5 ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA 6 INTRODUÇÃO 8 UNIDADE I CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO 11 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO À METROLOGIA 11 CAPÍTULO 2 DEFINIÇÕES E NORMAS 13 CAPÍTULO 3 INSTRUMENTAÇÃO 15 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS 21 CAPÍTULO 1 CÁLCULO DE INCERTEZAS 21 CAPÍTULO 2 AJUSTE DE CURVAS 26 CAPÍTULO 3 MEDIÇÃO DE GRANDEZAS FÍSICAS 46 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS 55 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 55 CAPÍTULO 2 DEFINIÇÃO DE OBJETOS E MÉTODOS 57 CAPÍTULO 3 APLICAÇÃO DE PROJETO 59 UNIDADE IV RELATÓRIOS TÉCNICOS 73 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 73 CAPÍTULO 2 BOAS PRÁTICAS EM RELATÓRIO 76 CAPÍTULO 3 ELABORAÇÃO DE RELATÓRIO 83 REFERÊNCIAS 88 5 Apresentação Caro aluno A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade Caracterizase pela atualidade dinâmica e pertinência de seu conteúdo bem como pela interatividade e modernidade de sua estrutura formal adequadas à metodologia da Educação a Distância EaD Pretendese com este material leválo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos conhecimentos a serem oferecidos possibilitandolhe ampliar conceitos específicos da área e atuar de forma competente e conscienciosa como convém ao profissional que busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científicotecnológica impõe ao mundo contemporâneo Elaborouse a presente publicação com a intenção de tornála subsídio valioso de modo a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na profissional Utilizea como instrumento para seu sucesso na carreira Conselho Editorial 6 Organização do Caderno de Estudos e Pesquisa Para facilitar seu estudo os conteúdos são organizados em unidades subdivididas em capítulos de forma didática objetiva e coerente Eles serão abordados por meio de textos básicos com questões para reflexão entre outros recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável Ao final serão indicadas também fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares A seguir apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de Estudos e Pesquisa Provocação Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor conteudista Para refletir Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio É importante que ele verifique seus conhecimentos suas experiências e seus sentimentos As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões Sugestão de estudo complementar Sugestões de leituras adicionais filmes e sites para aprofundamento do estudo discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso Atenção Chamadas para alertar detalhestópicos importantes que contribuam para a sínteseconclusão do assunto abordado 7 Saiba mais Informações complementares para elucidar a construção das síntesesconclusões sobre o assunto abordado Sintetizando Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo facilitando o entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos Para não finalizar Texto integrador ao final do módulo que motiva o aluno a continuar a aprendizagem ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado 8 Introdução Queridoa alunoa da área de exatas que pretende ser cientista oue engenheiroa Seja muito bemvindoa ao curso de Métodos Experimentais em Vibrações da Unyleya É com enorme satisfação que aceitamos o desafio de preparar para você um curso tão interessante e importante para sua formação Será muito prazeroso caminharmos na sua companhia durante o desenvolvimento do presente conteúdo Abordaremos tópicos extremamente importantes na prática experimental de laboratório É importante destacar que certamente o presente conteúdo será útil não apenas para uma disciplina e sim para todas que envolvam atividades experimentais inclusive na apresentação de TCC monografias dissertações teses apresentações de palestras e diversas outras formas de apresentação de resultados obtidos por um determinado projeto de pesquisa Como alunoa futuroa cientista oue engenheiroa você já deve ter percebido que fazer ciência é uma arte que evolui a cada dia e aumenta seu desenvolvimento intelectual e profissional Dessa forma seus conhecimentos são adquiridos de maneira sólida Consequentemente esses fatores oa levarão para o mais alto nível de sua formação e carreira profissional Você também já deve ter percebido que alcançar seus objetivos profissionais é sempre difícil e uma tarefa árdua por isso é preciso muita paciência determinação dedicação e persistência No presente conteúdo estamos trazendo todas as informações necessárias de apoio e também de orientação no contexto de métodos experimentais aplicados Fazemos tudo isso para que você atinja sua independência intelectual Dessa forma você terá a capacidade de caminhar sozinho para obter seu sucesso profissional É importante frisar que o presente material apresentará maior eficiência por meio das informações adicionais que serão sempre destacadas por meio de referências no decorrer do conteúdo Aumentando a eficiência sua assimilação do conteúdo também será aumentada No presente material trabalharemos duas etapas fundamentais no desenvolvimento de uma pesquisa de qualidade O projeto de pesquisa e o relatório de pesquisa Como veremos estes apresentam inúmeras aplicações e uma enorme importância no desenvolvimento da pesquisa de ponta e de novas tecnologias 9 Inicialmente trabalharemos conceitos introdutórios de metrologia Para isso introduziremos e discutiremos sobre padrões de medidas e instrumentos de medidas Em seguida discutiremos a coleta de dados os erros submetidos a pesquisas científicas sujeitas a instrumentos de medidas e a análise estatística dos dados coletados Estudaremos como os resultados obtidos pela análise de dados coletados podem ser apresentados Finalmente discutiremos mais a fundo os conceitos de pojeto de pesquisa como um bom projeto deve ser desenvolvido e os relatórios de pesquisa para apresentação de resultados obtidos Objetivos Compreender a definição e a aplicação de projeto de pesquisa e relatório de pesquisa Conhecer tópicos em metrologia instrumentos de medidas erros associados ao processo de medida e o tratamento estatístico dos dados coletados Entender como os gráficos são importantes para o tratamento de dados coletados Conhecer mais a fundo os projetos de pesquisa assim como suas características e aplicabilidade Estudar os relatórios de pesquisa e sua importância na apresentação de resultados 10 11 UNIDADE I CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO CAPÍTULO 1 Introdução à metrologia Introdução Na presente unidade iremos apresentar e discutir conceitos sobre a teoria da metrologia Esses conceitos serão introduzidos pela discussão sobre padrões de medidas Para isso iremos introduzir algumas definições e normas de extrema importância em um processo de medida Finalmente discutiremos alguns pontos importantes sobre instrumentos de medidas utilizados em pesquisas científicas erros numéricos e o que as leituras nesses instrumentos indicam Introdução à metrologia Física é uma ciência que estuda os fenômenos ocorridos na natureza Isso quer dizer que essa ciência abrange todas as escalas desde constituintes elementares da matéria átomos e seus componentes até objetos astronômicos e o Universo em geral Os principais elementos que constituem essa ciência são as denominadas grandezas físicas É por meio delas que os estudos e as pesquisas nessa área são desenvolvidos Como grandezas físicas entendemos tudo que pode ser medido ou mensurado Ao estudar um determinado fenômeno natural a física busca esclarecer como as propriedades dos elementos envolvidos ou as grandezas físicas envolvidas interferem na ocorrência de tais fenômenos Durante o estudo é preciso adotar métodos e procedimentos isso é o que define a metodologia científica O método científico será a base para o estudo e o desenvolvimento do presente conteúdo 12 UNIDADE I CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO Os padrões de medidas Há muito tempo atrás nos primórdios não existiam equipamentos ou instrumentos que efetuassem leitura ou medições das quantidades que se queria estudar Como a necessidade de andar faz o sapo pular pessoas naquele tempo começaram a adotar correlações para efetuar medidas Surgiram então as unidades primitivas de medidas e essas estavam relacionadas com partes do corpo humano Como qualquer pessoa conseguiria chegar a essas medidas esses processos se tornaram universais Dessa forma surgiram medidas padrões como por exemplo o palmo o pé a jarda o cúbito e a braça A Figura 1 mostra os padrões de medidas correlacionadas com o corpo humano Figura 1 Unidade de medidas com padrões do corpo humano Palmo Cúbito Braça Jarda Pé Fonte Alves e Rocha 2019 Esses padrões ainda são utilizados por alguns países como os EUA e a Inglaterra Nos dias atuais já foi determinada e difundida por toda comunidade científica a relação desses padrões com as unidades de distância Por exemplo 1 pé 3048 cm 1 jarda 9144 cm Com a evolução da sociedade e da ciência percebeuse que todas as grandezas físicas podem ser reescritas em termos de unidades fundamentais A facilitação do comércio mundial foi alavancada com a criação de padrões comuns de medidas para grandezas físicas por meio de um acordo internacional que estabeleceu as sete grandezas físicas fundamentais que constituem o conhecido Sistema Internacional de Unidades SI O acordo mencionado recebeu o nome de 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas e ocorreu em 1971 13 CAPÍTULO 2 Definições e normas Introdução No presente capítulo iremos definir e discutir as sete unidades de medidas fundamentais propostas pela 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas As sete unidades fundamentais A 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas ocorreu em 1971 em Paris e estabeleceu que as sete unidades fundamentais de medida são comprimento tempo massa corrente elétrica quantidade de matéria temperatura e intensidade luminosa Comprimento é dado em metro m A definição de metro é o comprimento da trajetória percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1299792458 segundo Tempo é dado em segundo s A definição de segundo é a duração de 9192631770 períodos da radiação que correspondem à transição entre dois níveis do estado fundamental do átomo de Cesio133 Massa é dada em quilograma kg A definição de quilograma é a massa do protótipo internacional do quilograma Esse protótipo é existente no Instituto Internacional de Pesos e Medidas Corrente elétrica é dada em ampère A A definição de ampère é a intensidade de uma corrente elétrica constante que quando mantida em dois condutores elétricos retilíneos paralelos de seção circular desprezível comprimento infinito e separados por uma distância de um metro no vácuo originam entre esses condutores uma força igual a 2107 newtons por metro de comprimento Quantidade de matéria é dada por mol mol A definição de mol é a quantidade de matéria de um sistema físico que contém tantos elementos quantos átomos existentes em 0012 quilogramas de Carbono12 14 UNIDADE I CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO Temperatura é dada por kelvin K A definição de kelvin é a fração de 127316 da temperatura termodinâmica obtida do ponto tríplice da água Intensidade luminosa é dada por candela cd A definição de candela é a intensidade luminosa em uma determinada direção de uma fonte que emite radiação monocromática com frequência de 5401012Hz e cuja a intensidade em termos de energia nessa direção é de 1683 watts por esferoradiano É importante destacar e entender que uma medida nada mais é do que comparar a quantidade da grandeza de interesse com outra quantidade da mesma grandeza Essa última é definida como unidade padrão Como exemplo podemos considerar a altura de uma parede de 3m Isso quer dizer que o comprimento da parede apresenta três vezes o comprimento da unidade padrão que nesse caso é o metro Em particular na Mecânica tratamos apenas três grandezas fundamentais sendo elas o comprimento a massa e o tempo O sistema dessas três grandezas físicas também é conhecido como sistema MKS de unidades metro quilograma e segundo Outras unidades como as de velocidade aceleração força trabalho entre outras são derivadas do sistema MKS e são destacadas pela Tabela 1 Tabela 1 Padrões de medidas de algumas grandezas físicas Grandeza Unidade Velocidade ms Aceleração ms2 Força 2 Kgm Newton N s Trabalho Nm Joule J Fonte elaborada pelo autor 15 CAPÍTULO 3 Instrumentação Introdução No presente capítulo introduziremos o conceito de erro no processo de medida das grandezas físicas e de erros associados a esse processo Em seguida introduziremos os conceitos de algarismos significativos operações com tais números e regras para arredondamento Erros nos processos de medidas Um processo de medida está sempre associado a algum instrumento que efetua a leitura da determinada grandeza que se quer medir ou mensurar Os instrumentos de medida estão sempre associados a algum tipo de erro Esses erros são originados pelas condições no momento da medição ou até mesmo pelo tipo de instrumento de medida utilizado De maneira prática o erro é dado pelo resultado da medição menos o valor verdadeiro que será visto mais adiante da grandeza a ser medida ou mensurada Na prática o valor verdadeiro é uma quantidade que não pode ser determinada e por isso utilizamos um valor convencional também é chamado de valor corrigido do valor verdadeiro Por esses motivos os erros podem ser absolutos ou relativos Erros absolutos são obtidos pela diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro ou seja εabsoluto xmedido xverdadeiro 1 Já os erros relativos são obtidos pela razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro absoluto relativo xverdadeiro ε ε 2 Uma observação importante a ser destacada é que geralmente o erro absoluto é apresentado na forma percentual ou seja multiplicando a equação acima por 100 Outra informação importante a ser destacada é que o valor corrigido do erro absoluto ou do erro relativo é simplesmente o valor simétrico do erro 16 UNIDADE I CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO Tipos de erros na natureza Por apresentarem inúmeros fatores de origem na natureza os erros são classificados em três categorias erros grosseiros erros sistemáticos e erros aleatórios Erros grosseiros são originados devido à falta de prática isso é também conhecido como imperícia ou distração do experimentador Para exemplificar alguns tipos de erros grosseiros podemos citar a escolha errada de escalas em determinados instrumentos de medidas ou no momento de apresentar os dados coletados na forma gráfica erros matemáticos de cálculos entre outros Esses erros podem e devem ser evitados pelo processo extremamente cuidadoso de repetição da medição Erros sistemáticos apresentam origens que podem ser identificadas podendo ser eliminadas ou compensadas Esses tipos de erros fazem com que as medidas estejam sempre abaixo ou acima do valor verdadeiro da grandeza física medida ou mensurada Isso prejudica de maneira direta a precisão e exatidão da medida essas definições serão discutidas mais adiante Como exemplos das principais fontes de erros sistemáticos podemos citar os aparelhos utilizados os métodos de observação utilizados os efeitos devidos ao ambiente em que se encontra o experimento entre outros Erros aleatórios são os mais misteriosos pois muitas vezes suas origens são indeterminadas e imprevisíveis fugindo da capacidade do experimentador Algumas das origens desses tipos de erros podem ser citadas como pequenas variações nas condições do ambiente e fatores que envolvem o próprio experimentador gerando flutuações nos dados coletados Em resumo em um processo de medidas estas devem ser efetuadas com extremo cuidado pelo método da repetição e de maneira independente ou seja para um melhor resultado científico a medida de uma grandeza deve ser realizada repetidamente Quanto mais medidas forem efetuadas melhor o conjunto de dados coletados Algarismos significativos Como visto inicialmente uma leitura realizada por um determinado instrumento de medida é sempre aproximada Isso quer dizer que erros sempre irão aparecer por mais que os instrumentos de medidas sejam precisos e o 17 CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO UNIDADE I cientista experimentador experiente Por esses motivos é de se esperar que essas limitações reflitam na quantidade de números e casas decimais na hora de representar uma medida Em grande parte dos casos devemos considerar apenas os números os quais temos a certeza de estarem corretos e mais um número que chamamos de algarismo duvidoso O conjunto desses números é chamado de algarismo significativo e a quantidade desses algarismos está vinculada às incertezas veremos mais adiante em um processo de medida e à precisão dos instrumentos de medidas envolvidos que também será vista mais adiante Em outras palavras isso quer dizer que quanto maior o número de algarismos significativos mais precisa será a medida efetuada Para o melhor entendimento das informações acima consideremos a seguinte situação Exemplo Ao efetuar a medida de uma caneta você obteve 654 mm Segundo sua medida os números 6 e 5 são exatos e o algarismo 4 é duvidoso ou dito estimado É importante destacar que a incerteza estimada em um processo de medida deve ser sempre representada pelos seus algarismos mais significativos Os algarismos menos significativos devem ser desprezados ou arredondados como será visto em seguida Então concluímos que os algarismos significativos devem respeitar algumas regras como as destacadas abaixo I Zeros à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não são algarismos significativos Exemplo Como exemplo vamos considerar o comprimento de um barbante L 335 cm 0335 m As duas medidas são equivalentes o que muda é apenas a unidade em que estão sendo medidas Essas apresentam três algarismos significativos sendo eles 3 3 e 5 É importante destacar que a regra I também vale no caso de potências de dez com zeros precedendo o primeiro número não nulo Exemplo Como exemplo vamos considerar 5 0510 005102 Os dois casos apresentam apenas um algarismo significativo De maneira análoga 32 3210 032102 apresentam dois algarismos significativos 18 UNIDADE I CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO II Zeros à direita de algarismos significativos são algarismos significativos Exemplo Como exemplo vamos considerar as medidas 332 cm e 3320 cm As duas medidas são diferentes pois a primeira apresenta apenas três algarismos significativos já a segunda é mais precisa apresentando quatro algarismos significativos III Os zeros situados entre algarismos significativos também são significativos Exemplo Como exemplo vamos considerar a medida 3053 m Essa apresenta quatro algarismos significativos IV Como quarto item vamos destacar que em termos de matemática ciência que é representada por números as quantidades 3 30 300 são equivalente Já na física ciência que trabalha com grandezas físicas e no processo de medida eles são diferentes pois apresentam quantidades de algarismos significativos diferentes Operações com algarismos significativos Soma e subtração ao somar ou subtrair dois ou mais números levando em consideração seus algarismos significativos o resultado mantém a precisão do operando de menor precisão Exemplo Como exemplo vamos considerar 1253 04321 129621 1296 Repare que os dois números apresentam quatro algarismos significativos porém a precisão dos dois é diferente ou seja o primeiro apresenta duas casas decimais já o segundo apresenta quatro O resultado então deve ser expresso com duas casas decimais 19 CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO UNIDADE I Multiplicação e divisão ao multiplicar ou dividir dois ou mais números levando em consideração seus algarismos significativos o resultado deve ser expresso em termos do mesmo número de algarismos significativos do operando de menor número de algarismos significativos Exemplo Como exemplo vamos considerar 33212 180 597816597102 Repare que o número 180 apresenta três algarismos significativos já 33212 apresenta cinco O resultado deve ser expresso com três algarismos significativos É importante destacar que existem também operações com logaritmos que são muito comuns em processos experimentais mas esses não serão abordados no presente conteúdo podendo ser consultados em 2 3 para maiores detalhes Arredondamento O arredondamento de número e medidas físicas pode ser realizado de diferentes maneiras No presente conteúdo destacaremos as formas recomendadas pela ABNT e ISO que seguem respectivamente as referências 2 e 3 Segundo essas normas I O último algarismo de um número é mantido caso o algarismo descartado seja menor do que cinco Exemplo Como exemplo o número 5320012 arredondado resulta em 532001 II O último algarismo de um número é acrescido em uma unidade caso o algarismo descartado seja maior do que cinco Exemplo Como exemplo o número 2536 arredondado resulta em 253 20 UNIDADE I CONCEITOS E INSTRUMENTAÇÃO III Nos casos em que o algarismo descartado for igual a cinco se depois do cinco descartado existir qualquer outro algarismo não nulo o último algarismo mantido será acrescido de uma unidade Exemplo Como exemplo o número 20502 21 IV Nos casos em que o algarismo descartado for igual a cinco se depois do cinco descartado só existirem zeros ou nenhum outro algarismo o último algarismo mantido será acrescido de uma unidade apenas se for ímpar Exemplo Como exemplo o número 43500 44 É importante destacar que o arredondamento deve ser feito apenas uma única vez dessa forma erros e incertezas nos resultados obtidos são minimizados e não propagados durante sucessivos cálculos Outro fator importante é que ao realizar operações com algarismos significativos elas devem considerar todos os algarismos significativos em questão O arredondamento será realizado apenas na forma final do resultado 21 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS CAPÍTULO 1 Cálculo de incertezas Introdução Na presente unidade discutiremos sobre dados experimentais Para isso introduziremos quantidades estatísticas que serão utilizadas para o tratamento estatístico dos dados coletados na obtenção de resultados científicos Introduziremos quantidades estatísticas como valor médio desvio padrão médio e desvio quadrático médio Discutiremos também o conceito de desvio padrão da série e o conceito de erro da média Em seguida depois da discussão de todo o tratamento estatístico dos dados coletados apresentaremos sua forma gráfica Destacaremos algumas regras básicas para a criação de um bom gráfico e situações nas quais as grandezas físicas medidas apresentem relações lineares Estudaremos dois métodos para a obtenção de componentes dessa relação por meio dos dados coletados inseridos no gráfico Finalmente estudaremos mais a fundo o processo de medidas físicas e as quantidades envolvidas Estudo estatístico de dados coletados Passemos agora ao estudo e à discussão de quantidades estatísticas utilizadas para o tratamento dos dados coletados Antes de iniciarmos vamos considerar a seguinte situação imagine que você esteja em uma aula presencial experimental sobre vibrações mecânicas esse assunto será introduzido mais adiante e que na presente aula será estudado o pêndulo simples o sistema de pêndulos simples e outros fenômenos oscilatórios serão discutidos mais adiante 22 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS De acordo com o roteiro fornecido pelo professor você investigará a relação do período do pêndulo com a massa que se encontra presa a ele O período é uma grandeza física definida como sendo o tempo gasto pelo pêndulo para completar uma oscilação Sabese que o período do pêndulo simples a equação abaixo será discutida com mais detalhes mais adiante é dado por 2 L T g π Na equação acima T é o período do pêndulo L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade É importante salientar que a forma do período destacada acima só é válida para pequenas oscilações Geralmente ao efetuar medidas e estudar sistemas desse tipo considerase como intervalo de ângulos de oscilações 0 θ 10 Para investigar a relação do período do pêndulo com a massa que se encontra presa a ele você precisa variar e efetuar medidas de diferentes massas Como bomboa alunoa e observadora que é você percebe que o período do pêndulo simples depende apenas do seu comprimento e da aceleração da gravidade ou seja independe da massa Por essa análise já se pode esperar que o período do pêndulo quando mantidos fixos o ângulo de oscilação e o comprimento não apresentará grandes variações pois independe da massa mas isso será investigado de maneira experimental por você durante a aula Segundo o roteiro antes de inserir as diferentes massas você deve efetuar quatro medidas independentes dessa mesma grandeza Em outras palavras você precisa efetuar quatro medidas para cada diferente massa utilizada Conforme já discutido essas medidas são obtidas por repetição e de forma independente Para uma única massa você coletou as quatros seguintes medidas conforme Tabela 2 Tabela 2 Medidas das massas efetuadas para o experimento de pêndulo simples Número da medida i Massa em gramas mi 1 3002 2 3020 3 2891 4 2998 Total 4 1 11911 i i m Fonte elaborada pelo autor 23 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II A partir do presente momento consideraremos os dados coletados e as informações mencionadas acima para a introdução e cálculo das quantidades discutidas abaixo Valor médio O valor médio dos dados coletados por repetição e de forma independente é dado matematicamente por 1 n i i x x n 3 Sendo n o número de medidas efetuadas por você O valor médio também é conhecido como média aritmética Geralmente o valor médio é a melhor maneira de estimar o valor esperado de uma grandeza Em outras palavras isso quer dizer que o valor médio é utilizado para expressar o valor verdadeiro de uma determinada grandeza que foi medida Desvio médio ou absoluto O desvio médio absoluto ou simplesmente o desvio médio dos dados coletados por repetição e de forma independente é dado na forma 1 n i m i x x d n 4 Na equação acima xi são os valores de cada medida Física e estatisticamente o desvio médio é a média das flutuações dos dados individuais ao redor do valor médio O valor do desvio médio fornece uma estimativa razoável da dispersão das medidas ao redor do valor médio De maneira frequente o desvio médio é utilizado para determinar a precisão de aparelhos de medidas de tal forma que medidas efetuadas por instrumentos de medidas precisos apresentam baixo valor do desvio médio Desvio quadrático médio O desvio quadrático médio também é conhecido como desvio padrão ou desvio padrão experimental Essa quantidade está relacionada com a dispersão dos dados individuais coletados por repetição e de forma independente ao redor do valor médio O valor do desvio padrão fornece uma estimativa da incerteza 24 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS padrão de uma determinada medida de forma que quanto maior seu valor menor será a confiabilidade no valor médio obtido O desvio padrão é dado na forma 2 1 n i i x x n σ 5 Que também pode ser reescrito na forma 2 2 x x σ 6 O método para a obtenção da equação acima pode ser consultado para mais detalhes em 2 Conforme será visto mais adiante utilizaremos a expressão acima para determinar a incerteza total no processo de medida de um conjunto de dados coletados por repetição de maneira independente Desvio padrão da série O desvio padrão da série é também conhecido como desvio padrão experimental da média Essa quantidade está relacionada com a estimativa de menor ou maior incerteza da média dos dados coletados por repetição e de forma independente ao redor do valor médio Matematicamente o desvio padrão da média é dado por 2 1 1 n i i P x x n σ 7 Erro da média O erro da média é uma quantidade que calcula o afastamento entre o valor verdadeiro e a média Matematicamente o erro da média é dado por p n σ ε 8 É importante destacar que em um conjunto de dados obtidos experimentalmente de maneira repetida e independente por meio de um determinado instrumento de medida existem outras quantidades estatísticas a serem determinadas mas essas não apresentam importância significativa ao longo do presente conteúdo 25 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Para mais detalhes sobre quantidades estatísticas de variáveis discretas e contínuas de um conjunto de dados podem ser consultadas as referências 6 9 Para um melhor entendimento absorção e aplicabilidade dos conteúdos estatísticos discutidos acima vamos ilustrar e exemplificar utilizando os dados obtidos e organizados na Tabela 2 Exemplo Considerando os dados coletados na Tabela 2 calcule o valor médio o desvio médio absoluto o desvio padrão o desvio padrão da série e o erro da média Como discutido o valor médio das quatro medidas das massas realizadas é dado por 1 3002 3020 2891 2998 11911 297775 4 4 n i i m m n O desvio médio absoluto é dado por 1 n i m i m m d n 3002 297775 3020 297775 2891 297775 2998 297775 4 002425 004225 008675 002025 0043375 4 Por questões didáticas deixaremos para você o cálculo das quantidades desvio padrão desvio padrão da série e o erro da média É importante destacar que as operações e cálculos realizados acima foram feitos com o uso de calculadora científica Não foram considerados o rigor científico do tratamento de algarismos significativos e regras de arredondamento Caso tenha interesse você pode tentar realizálos com esse rigor 26 CAPÍTULO 2 Ajuste de curvas Introdução No presente capítulo discutiremos uma das melhores maneiras de apresentação e análise de resultados científicos Faremos essa discussão introduzindo uma ferramenta muito útil criada pelo homem os gráficos Estudaremos mais especificamente gráficos em que a relação entre as grandezas físicas consideradas é dada de forma linear Finalmente estudaremos dois métodos para a obtenção de parâmetros em relações desse tipo Dados em gráficos Gráficos são curvas que mostram como duas ou mais grandezas físicas se relacionam entre si Isso nos faz pensar que um bom gráfico muitas vezes é a melhor maneira de expressar todos os dados coletados em um determinado experimento É interessante destacar que os gráficos são ferramentas genuinamente inventadas pelo ser humano com o intuito de entender melhor como os processos experimentais se desenvolvem Isso porque em um experimento podem ocorrer situações que não são perceptíveis pelo experimentador Dessa forma os gráficos podem evidenciar essas situações Gráficos permitem aos cientistas verificarem leis físicas já existentes Além disso dependendo da curva traçada e da relação entre as grandezas envolvidas podem sugerir novas leis que até então eram desconhecidas Algumas das curvas mais comuns são as retas as parábolas funções seno e cosseno funções logarítmicas e exponenciais etc Apesar de parecer simples a construção de um bom gráfico é imprescindível para isso devem ser seguidas as seguintes regras Colocar um título que envolva o nome do experimento ou o fenômeno que será estudado por meio dos dados coletados das grandezas físicas envolvidas 27 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Escrever nos eixos das abscissas e das coordenadas as grandezas que estão sendo medidas e suas respectivas unidades de medidas O eixo da abscissa é horizontal nele é marcada a grandeza que será a variável independente Esses valores são escolhidos pelo experimentador O eixo da coordenada é vertical nele é marcada a grandeza que será a variável dependente que é obtida em função da variável independente Adotar as escalas dos eixos trabalhados De acordo com as normas da ABNTNBR 10126 10 sugeremse escalas submúltiplas dos números 1 2 4 ou 5 Escalas com outros submúltiplos podem não ficar muito boas refletindo os valores dos dados coletados marcados no gráfico A escala escolhida para um dos eixos não necessita ser a mesma adotada pelo outro eixo Escolher as escalas de forma que a precisão dos pontos contidos no gráfico seja igual à precisão dos pontos representados pelo gráfico Caso contrário os dados marcados podem apresentar grandes dispersões dessa forma fica difícil determinar e ajustar os dados à melhor curva que descreve o fenômeno físico desejado As escalas também devem ser escolhidas para que haja o melhor e máximo aproveitamento do papel milimetrado utilizado Não se deve em hipótese nenhuma marcar os dados coletados sobre os eixos coordenados Depois de coletar todos os dados e suas respectivas marcações no papel seguindo as regras destacadas acima resta traçar a melhor curva que se adapte aos pontos marcados É extremamente importante destacar que uma curva não é a ligação dos pontos experimentais marcados isso também quer dizer que um gráfico não é a ligação do ponto inicial e final Além disso a curva não precisa necessariamente passar por todos os pontos marcados Na verdade ela pode até mesmo não passar em nenhum deles O Gráfico 1 é uma boa representação gráfica de dados experimentais criado para fins ilustrativos e o melhor entendimento das informações acima O gráfico foi criado segundo as regras destacadas e discutidas 28 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS Gráfico 1 Regras de produção destacadas acima Coeficiente linear 𝑏𝑏 Eixo 𝑦𝑦 unidade Eixo 𝑥𝑥 unidade TÍTULO 20 40 60 80 100 2 4 6 8 10 12 Fonte elaborado pelo autor Como mencionado o Gráfico 1 representa uma relação linear entre as grandezas do eixo x e as grandezas do eixo y Os pontos marcados na cor preta são os dados experimentais coletados O ponto amarelo como será visto em seguida é o coeficiente linear da curva O gráfico apresenta um título que fica a critério do autor Repare que as escalas dos dois eixos são diferentes e que os eixos são marcados com as respectivas unidades de medida das grandezas envolvidas A linha reta é a melhor curva que se adapta aos dados coletados e marcados Barras de erros As barras em azul horizontais e verticais destacadas sobre os pontos experimentais coletados são denominadas barras de erros As barras de erros são informações sobre as incertezas envolvidas no processo de medida e são associadas a cada dado coletado Como já discutido essas incertezas são estimadas pelas quantidades estatísticas calculadas pelo processo de repetição experimental na coleta de dados Como também já discutido as 29 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II coordenadas de cada ponto experimental são obtidas pela média de cada grandeza envolvida Relações lineares Já foi mencionado que os dados coletados em diferentes experimentos podem gerar diferentes tipos de curvas porém no presente material estudaremos mais a fundo apenas as relações lineares Ou seja gráficos cujas curvas são dadas por retas As outras curvas ditas não lineares são estudadas e discutidas mais a fundo nas referências 3 e 4 podendo ser consultadas Para discutirmos relações do tipo linear utilizaremos um sistema de eixos cartesianos bidimensionais As relações ditas lineares são dadas pela seguinte relação entre as grandezas y ax b 9 A equação acima é uma equação de reta no qual a quantidade a é o chamado coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear O coeficiente linear é a grandeza que mede a inclinação da reta Se a 0 a relação entre as grandezas x e y é crescente isso quer dizer que a reta é crescente Se a 0 a relação entre as grandezas x e y é decrescente em outras palavras a reta é decrescente Se a 0 a relação entre as grandezas x e y é constante ou seja a reta é constante As informações destacadas acima são representadas pelas seguintes figuras respectivamente Gráfico 2 Reta com coeficiente angular positivo a 0 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 Fonte elaborado pelo autor 30 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS Gráfico 3 Reta com coeficiente angular negativo a 0 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 Fonte elaborado pelo autor Gráfico 4 Reta com coeficiente angular nulo a 0 e b 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑥𝑥 Fonte elaborado pelo autor O coeficiente angular da reta é calculado pela seguinte relação y a x 10 O coeficiente linear localizase onde o gráfico intercepta o eixo y ou seja onde x 0 Com base nas informações acima destacaremos em seguida um método para os cálculos dos coeficientes angulares e lineares em relações lineares 31 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Método do gráfico Já foi mencionado que ao fazer ciência em um laboratório muitas vezes buscamos relacionar uma ou mais grandezas físicas com o intuito de verificar como elas interferem em um determinado fenômeno físico estudado Para isso precisamos coletar muitos dados de forma que quanto mais dados mais aprofundado é o estudo a análise e a pesquisa aumentam sua qualidade Nesses casos a primeira atitude de um cientista é apresentar os dados coletados na forma gráfica Também já foi mencionado que gráficos são excelentes formas de expressar resultados Consequentemente por meio de suas construções novas leis são criadas ou confirmadas por experimentos É muito importante destacar que em ciência existem diferentes maneiras de analisar gráficos isso inclui a determinação dos coeficientes a e b dados em 9 porém no presente conteúdo destacaremos dois tipos de análise gráfica e determinação desses coeficientes sendo as outras citadas quando necessário para a complementação das informações fornecidas O primeiro método a ser destacado por nós é simplesmente denominado como método gráfico Tal método é apropriado quando dispomos de uma quantidade razoável de dados experimentais geralmente menor do que 10 O método gráfico é baseado na estimativa para os coeficientes da reta que melhor se adapte aos dados experimentais Essa estimativa utiliza a ideia de centro de gravidade dos pontos distribuídos no gráfico Isso é feito em termos do valor médio 1 1 n i i x x n 11 1 1 n i i y y n 12 Dessa forma o centro de gravidade dos dados coletados apresentará coordenadas dadas por x y Após o cálculo do ponto médio marcamos duas retas sobre ele sendo uma vertical e uma horizontal A interseção dessas retas define quatro quadrantes Para estimar a melhor reta que se adapte aos pontos marcados traçamos mais duas retas pontilhadas com inclinações maiores e menores denominaremos essa reta como retas auxiliares tal que aproximadamente 84 dos dados marcados fiquem distribuídos abaixo da reta de menor inclinação no terceiro 32 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS quadrante e a mesma quantidade de dados acima da mesma reta no segundo quadrante Da mesma maneira repita esse procedimento deixando agora 84 dos pontos acima da reta de maior inclinação no terceiro quadrante e a mesma quantidade de dados abaixo da mesma reta As informações descritas acima são representadas pelo Gráfico 5 cujos pontos em preto são os dados experimentais coletados e o ponto em azul é o ponto do centro de massa calculado pelas relações 11 e 12 Gráfico 5 Método gráfico de determinação dos coeficientes angulares e lineares Segundo quadrante Primeiro quadrante Terceiro quadrante Quarto quadrante 𝑏𝑏𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 Fonte elaborado pelo autor Repare que no Gráfico 5 algumas informações como escala e título foram omitidas por critérios didáticos O fato curioso e interessante é que as retas traçadas sobre essas condições apresentarão inclinações máximas e mínimas dadas respectivamente por amáximo e amínimo com certos valores de desvio padrão e coeficientes lineares dados respectivamente por bmínimo e bmáximo Um outro fator a ser destacado é que aproximadamente 68 dos dados marcados se encontram dentro da região delimitada pelas retas pontilhadas e isso está de acordo com o conceito de desvio padrão 33 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Finalmente a reta que melhor se adapta aos dados marcados é a denominada reta média Os coeficientes angulares e lineares são calculados na forma 1 2 máximo mínimo a a a 13 1 2 máximo mínimo b b b 14 As respectivas incertezas serão calculadas na forma 1 2 máximo mínimo u a a a n 15 1 2 máximo mínimo u b b b n 16 O método do gráfico é muito útil na análise de dados e para um maior aprofundamento é bem discutido e mais detalhado nas referências 2 e 3 Além de numericamente gráficos em experimentos científicos podem ser construídos em papéis específicos com diversos tipos de escala As seguintes duas figuras no final do conteúdo representam dois tipos diferentes de papéis quadriculados para a construção de gráfico Caso seja de seu interesse você poderá utilizálos na construção de seus próprios gráficos nos seus estudos Como exemplo outro tipo de análise e cálculo dos coeficientes de retas em gráficos é o denominado método dos mínimos quadrados Esses são formas mais elegantes e precisas de análise de dados e gráficos quanto se tem uma quantidade de dados experimentais muito grande O método dos mínimos quadrados será estudado e discutido posteriormente Em seguida vamos considerar um exemplo para ilustrar os cálculos e a maneira de construção gráfica Exemplo Como já mencionado por questões ilustrativas vamos considerar a seguinte situação Imagine que você esteja em uma aula experimental sobre o tema de oscilações e vibrações mecânicas Na presente aula o roteiro se refere ao estudo do pêndulo simples Mais especificamente pretendese estudar a relação do período do 34 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS pêndulo simples em termos do ângulo de oscilação da massa presa a ele e do comprimento do mesmo Como já citado anteriormente o período do pêndulo simples para pequenas oscilações 0 θ 10 é dado por 2 L T g π No presente exemplo o roteiro pode ser encarado de uma maneira grosseira como um projeto de pesquisa e foi fornecido pelo professor lecionador da disciplina Para realizar o estudo e a investigação você precisa variar e efetuar medidas de diferentes massas diferentes comprimentos e diferentes ângulos de oscilação Você pode efetuar essas medidas através do laboratório virtual de pêndulos no link httpsphetcoloradoeduptBRsimulationpendulumlab caso seja de seu interesse e julgue necessário Segundo o roteiro como já mencionado você precisa efetuar várias medidas das diferentes grandezas Conforme já discutido essas medidas são obtidas por repetição e de forma independente Um sistema de pêndulo simples do laboratório virtual de pêndulos é representado pela seguinte figura Figura 2 Simulação I do pêndulo simples do laboratório virtual Fonte httpsphetcoloradoedusimshtmlpendulumlablatestpendulumlabptBRhtml Os dados coletados para a realização do experimento foram organizados em tabelas Na Tabela 3 são anotados os dados obtidos ao se colocar o pêndulo para oscilar mantendo fixos o comprimento e a massa Isso quer dizer que as medidas serão obtidas variando apenas o ângulo de oscilação Em termos dos ângulos de 35 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II oscilação foram efetuadas cinco medidas A quantidade representada por t10 s é o tempo de dez oscilações completas do pêndulo Segundo a definição de período isso quer dizer que é obtido fazendo t10 s10 Tabela 3 Dados coletados I do pêndulo simples do laboratório virtual Comprimento L 07 m massa m 1 kg θ 10º 8 7 4 3 t10 s 1613 1623 1632 1610 1630 Ts 1613 1623 1632 161 163 Fonte Tabela obtida por meio da simulação no laboratório virtual disponível em httpsphetcoloradoeduptBRsimulation pendulumlab Na Tabela 4 são anotados os dados obtidos ao se colocar o pêndulo para oscilar mantendo fixos o comprimento e o ângulo de oscilação Isso quer dizer que as medidas serão obtidas variando apenas a massa presa ao pêndulo Tabela 4 Dados coletados II do pêndulo simples do laboratório virtual Comprimento L 07 m Ângulo θ 10 mkg 150 130 1 03 t10 s 1630 1605 1629 1620 Ts 163 1605 1629 162 Fonte Tabela obtida por meio da simulação no laboratório virtual disponível em httpsphetcoloradoeduptBRsimulation pendulumlab Na Tabela 5 são anotados os dados obtidos ao se colocar o pêndulo para oscilar mantendo fixos o ângulo de oscilação e a massa Em outras palavras isso quer dizer que as medidas serão obtidas variando apenas o comprimento do pêndulo Tabela 5 Dados coletados III do pêndulo simples do laboratório virtual massa m 1 kg Ângulo θ 10 Lm 1 09 08 07 06 05 04 03 t10 s 1939 1836 1727 1628 1513 1370 1231 1063 Ts 1939 1836 1727 1628 1513 1370 1231 1063 T2 s2 375 337 298 265 228 187 151 113 Fonte Tabela obtida por meio da simulação no laboratório virtual disponível em httpsphetcoloradoeduptBRsimulation pendulumlab É importante destacar que os valores das quantidades mantidas constantes durante o experimento são exclusivamente escolhidos por você Isso quer dizer que dependendo dos valores utilizados os dados coletados serão diferentes do representados pelas tabelas 3 4 e 5 Também é importante destacar que o laboratório virtual permite a escolha de gravidades em diferentes planetas inclusive permite a escolha de um valor qualquer para essa grandeza 36 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS O laboratório virtual também permite a escolha de uma força de atrito que nesse caso pode representar a força de resistência do ar Os dados das Tabelas 3 4 e 5 foram obtidos no laboratório virtual considerando um valor um pouco acima da gravidade terrestre Ou seja foram obtidos para valores um pouco superior a g 98 ms2 Nesses dados também foi considerada uma pequena força de atrito que representa a força de resistência do ar As considerações mencionadas acima sobre gravidade e resistência do ar foram escolhidas com a finalidade de tornar o modelo mais próximo da realidade Considere que o primeiro questionamento do roteiro seja a construção de um gráfico que mostre a relação entre o período T e o comprimento do pêndulo L através dos dados coletados na Tabela 5 Segundo a relação entre as grandezas mencionadas acima 2 L T g π Essa não é uma relação linear Uma forma de deixar mais clara essa afirmação é manipulação algébrica de elevar os dois lados da equação ao quadrado ou seja 2 2 4 T L g π Como você pode perceber essa é uma relação quadrática uma equação de segundo grau Isso quer dizer que o gráfico correspondente a essa relação é uma parábola em relação ao eixo do comprimento A parábola abaixo é o gráfico da relação acima Gráfico 6 Relação quadrática entre o período T e o comprimento do pêndulo L 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐿𝐿𝑇𝐿𝐿𝑇 Fonte elaborado pelo autor 37 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Um fator interessante a ser destacado é que o Gráfico 6 foi plotado para valores quaisquer do comprimento do pêndulo Isso quer dizer que não é a curva que representa os dados coletados contidos na Tabela 5 o gráfico foi plotado dessa maneira apenas para fins didáticos A parábola relacionada aos dados obtidos pela Tabela 5 pode ser obtida por você caso julgue necessário O fator mais importante relacionado a gráficos contido no presente material é que muitas vezes relações não lineares que não seguem a equação 9 podem ser transformadas e reescritas em uma forma linear como em 9 Transformações que mudam os tipos de relações entre duas ou mais grandezas contidas em um gráfico são denominadas anamorfose Na literatura existem diversas técnicas para linearizar gráficos com diferentes relações entre as grandezas Um bom exemplo a ser citado é a linearização de dados cujas grandezas apresentam relaçoes logaritmicas entre si No nosso caso a linearização entre as grandezas período T e comprimento L é feita especificamente transformando T em T2 ou seja 4 2 T g L π Repare que agora a relação acima é linear seguindo 9 com 4 2 a g π e b 0 Com essas afirmações fica claro que ao plotarmos os dados coletados na Tabela 5 em um gráfico T2 s2 x L encontraremos uma reta Veremos em seguida como encontrar a melhor reta que se ajuste aos dados coletados O próximo questionamento do roteiro é a construção de um gráfico que mostre a relação entre o período ao quadrado e o comprimento do pêndulo ou seja T2 s2 x L Como já mencionado esses dados estão anotados na Tabela 5 Conforme já discutido ao marcar os dados experimentais no gráfico você percebeu que a relação entre as grandezasT2 s2 e L é linear Isso quer dizer que o gráfico é uma reta Sabendo disso e com um bom conhecimento nas regras de construção de gráficos assim como no tratamento estatísticos você optou em utilizar o método do gráfico para a determinação dos coeficientes linear b e angular a da melhor reta que se adapte aos dados coletados A primeira decisão a ser tomada é a escolha de uma boa escala Repare que os dados referentes ao comprimento do pêndulo estão no intervalo 0 m L 1 m Isso quer dizer que o eixo das abscissas pode ser escolhido com uma escala de 2 01 Ou seja cada 2 cm do papel milimetrado equivale 01 m do comprimento do pêndulo Repare também que os dados referente ao período 38 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS ao quadrado de oscilação do pêndulo estão no intervalo 0s2 T2 4s2 Isso quer dizer eu o eixo das ordenadas pode ser escolhido com uma escala de 4 1 Ou seja cada 4 cm do papel milimetrado equivale a 1s2 Modelos de papel milimetrado e papel centimetrado são representados no final do presente conteúdo pelas Figuras 24 e 25 Em resumo cada milímetro do eixo das abscissas equivale a 0005 m e cada milímetro do eixo das ordenadas equivale a 0025 s2 É importante destacar que as escalas dos eixos das abscissas e das ordenadas são diferentes Outro fator importante a ser destacado é que em ambos os eixos as ecalas são múltiplos de dois seguindo as regras sobre construções de gráficos e escalas Seguindo o método do gráfico e utilizando os dados da tabela você calcula as seguintes coordenadas do centro de gravidade dos pontos Esse cálculo é realizado pelas equações 11 e 12 ou seja 8 1 1 065 8 i i L L 8 2 2 1 1 244 8 i i T T O próximo passo ao marcar os dados da Tabela 5 e as coordenadas do centro de gravidade acima é criar uma reta com maior inclinação e outra reta com menor inclinação Essas retas são representadas pela Figura 3 na cor vermelha assim como as escalas de cada eixo escolhidas e que foram discutidas acima Segundo a escala escolhida a reta vermelha de menor inclinação intercepta o eixo y em bmínimo 0175 Essa reta apresenta coeficiente angular calculado através de 10 á 085 015 070 023 325 025 3 am ximo Os pontos escolhidos para o cálculo do coeficiente angular foram P1 025015 e P2 325085 sendo circulados na cor amarela É importante 39 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II destacar que os pontos P1 e P2 devem ser escolhidos por você Além disso devem ser pontos que estão contidos na reta e simultaneamente não podem ser escolhidos de forma a equivaler a um ponto de dado coletado por você Lembrese que a tangente de um ângulo a é dada por cateto oposto tg cateto adjacente a Nesse caso para dois pontos P1 x1 y1 e P2 x2 y2 contidos em uma reta o coeficiente angular é dado por 2 1 2 1 y y tg x x a As abscissas dos pontos P1 e P2 são dadas respectivamente por x1 e x2 e as ordenadas y1 e y2 A tangente do ângulo α também pode ser expressa em termos das funções seno e cosseno ou seja sen tg cos a a a Segundo a escala escolhida a reta vermelha de maior inclinação intercepta o eixo y em Bmáximo 01 Essa reta apresenta coeficiente angular calculado através de 10 í 15 015 135 054 35 1 25 am nimo Os pontos escolhidos para o cálculo do coeficiente angular foram P3 1015 e P4 3515 sendo circulados na cor preta É importante destacar que os pontos P3 e P4 devem ser escolhidos por você Além disso devem ser pontos que estão contidos na reta e simultaneamente não podem ser escolhidos de forma a equivaler a um ponto de dado coletado por você As informações mencionadas acima são representadas na Figura 3 40 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS Figura 3 Retas auxiliares para a construção do gráfico Segundo quadrante Primeiro quadrante Terceiro quadrante Quarto quadrante 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 Retas auxiliares 03 05 07 09 1 4 2 3 𝑇𝑇2𝐿𝑠𝑠2𝐿 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Fonte elaborada pelo autor Seguindo as equações 13 e 14 encontramos para os coeficientes da melhor reta que se ajuste aos dados experimentais á í 1 1 023 054 038 2 2 m ximo m nimo a a a á í 1 1 01 0175 003 2 2 m ximo m nimo b b b As respectivas incertezas das quantidades acima são calculadas por 15 e 16 e resultam em á í 1 038 013 282 2 8 m ximo m nimo u a a a á í 1 1 003 0075 001 282 2 8 2 8 m ximo m nimo u b b b Repare que a incerteza do coeficiente linear b foi considerado em módulo Os dados da Tabela 5 a metodologia o tratamento estatístico dos dados e os coeficientes lineares e angulares da melhor reta que se ajusta aos dados coletados são representados pela Figura 4 41 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Figura 4 Dados marcados no gráfico Segundo quadrante Primeiro quadrante Terceiro quadrante Quarto quadrante 𝑏𝑏𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 𝐿𝐿𝑚𝑚 Relação linear entre período e frequência 03 05 07 09 1 4 2 3 𝑎𝑎𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑇𝑇2𝑠𝑠2 Fonte elaborada pelo autor A reta em azul na figura acima é justamente a estimativa da melhor reta que se ajusta aos dados coletados na Tabela 5 Repare que ela deve apresentar coeficientes linear e angular seguindo os resultados obtidos pelos cálculos e tratamento estatístico dos dados coletados É importante destacar que como pode ser visto a reta em azul não precisa necessariamente passar por todos os pontos dos dados coletados além disso também é importante perceber que ela não é a ligação de pontos dos dados coletados Em resumo podese perceber que o método do gráfico para a determinação dos coeficientes é um método que depende das habilidades do experimentador ou seja ele precisa fazer algumas estimativas para determinar a reta que melhor se adapte aos dados coletados Método dos mínimos quadrados O método dos mínimos quadrados é o segundo método a ser introduzido e discutido por nós para a obtenção de coeficientes em relações lineares entre as grandezas físicas envolvidas O fator mais importante que expressa a diferença 42 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS entre esse método e o método do gráfico discutido anteriormente é que o presente método independe das habilidades do experimentador O presente método consiste em minimizar a diferença entre os pontos medidos e os pontos calculados a partir da seguinte equação 2 2 1 1 1 1 n n calculado i i i i i i R a b y y y ax b n n Os valores a e b satisfazem a condição de minimizar essa diferença Isso quer dizer que a derivada parcial de R em relação a a deve ser nula Simultaneamente a derivada parcial de R em relação a b também deve ser nula Matematicamente isso quer dizer que 2 1 1 1 2 n n i i i i i i i R y ax b y ax b x a n a n 2 1 1 1 2 0 n n i i i i i i R y ax b y ax b b n b n Aplicando a propriedade distributiva e em seguida separando os termos obtemos 2 1 1 1 0 n n n i i i i i i i x y a x b x 1 1 0 n n i i i i y a x nb Nas equações acima usamos o fato de que 1 n i b nb As duas equações acima formam um sistema de equações cuja solução é dada por 1 1 1 2 2 1 1 n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y a n x x 2 1 1 1 1 2 2 1 1 n n n n i i i i i i i i i n n i i i i x y x y x b n x x Em termos de física experimental e de laboratório as expressões acima podem ser mais bem escritas em termos dos valores médios das grandezas x e y 2 1 2 2 2 1 n i i i n i i n x y n x y a n x n x 2 1 1 2 2 2 1 n n i i i i i n i i n x y n x y x b n x n x 43 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Combinando as equações acima e depois de algumas manipulações algébricas obtemos que b y a x Isso é o mesmo que a relação 9 dada em termos dos valores médios das grandezas envolvidas Uma nova quantidade estatística muito importante e muito utilizada no método dos mínimos quadrados é o coeficiente de correlação definido como 2 2 2 1 2 2 2 1 n i i n i i x n x r a y n y O coeficiente de correlação é um dos resultados do ajuste de computadores e calculadoras científicas Seu valor está no intervalor 1 r 1 Terá valor positivo se a reta for crescente e negativo se for decrescente Quanto melhor o ajuste mais próximo da unidade positiva ou negativa ou seja 1 O erro no ajuste é calculado na forma εi yi yi calculado Uma discussão mais aprofundada e a maneira de calcular as incertezas referentes a essas grandezas podem ser consultadas em 2 para mais detalhes caso julgue necessário Exemplo Para esclarecer os conceitos e definições discutidos acima vamos considerar o exemplo de um ciclista que se desloca com velocidade constante em uma pista O ciclista avista um obstáculo à sua frente e para não colidir aciona o freio A Tabela 6 expressa a distância x do ciclista e o obstáculo em função do tempo t Tabela 6 Ciclista ao ver um obstáculo xm 590 510 390 310 190 ts 10 20 30 40 50 Fonte Próprio autor Usando o método dos mínimos quadrados encontre os coeficientes linear e angular da melhor reta que se ajustem aos dados representados pela Tabela 6 44 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS Para uma melhor organização dos resultados algumas grandezas úteis são destacadas na Tabela 7 Tabela 7 Quantidades utilizadas no método dos mínimos quadrados i ti s xi m ti 2 s2 xi 2m2 ti xi ms 1 10 590 10 3481 59 2 20 510 40 2601 102 3 30 390 90 1521 117 4 40 310 160 961 124 5 50 190 250 361 95 total 15 it 199 ix 2 55 it ix 2 497 i t xi Fonte Próprio autor De acordo com a Tabela 7 os valores médios do tempo e da posição do ciclista fica 15 199 30 398 5 5 t x Os coeficientes angular e linear ficam dados por 2 1 2 2 2 1 100 10 100 n i i i n i i n t x n x t a n t n t b x at 398 10 30 698 Finalmente o coeficiente de correlação fica 2 2 2 1 2 2 2 1 10 10 099761 1048 n i i n i i x n x r a y n y Repare que o coeficiente de correlação é bem próximo da unidade negativa como já mencionado isso quer dizer que a reta foi bem ajustada aos dados representados pela Tabela 7 Exemplo Vamos agora fazer o tratamento estatístico dos dados coletados na Tabela 5 utilizando o método dos mínimos quadrados para isso destacamos na Tabela 8 algumas quantidades importantes para o cálculo dos coeficientes linear e angular 45 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Tabela 8 Mínimos quadrados para o pêndulo simples i Li m Ti 2 s2 Li 2 m2 Ti 4 s4 Li Ti 2 m s2 1 1 375 1 1406 375 2 09 337 081 1135 303 3 08 290 064 841 232 4 07 265 049 702 185 5 06 228 036 519 136 6 05 187 025 349 093 7 04 151 016 228 060 8 03 113 009 127 033 total 52 iL 2 1946 iT 2 38 iL 4 5327 iT 2 1 417 i LTi Fonte Próprio autor De acordo com a Tabela 8 os valores médios das grandezas envolvidas ficam 2 52 1946 065 243 8 8 L T Os coeficientes angular e linear ficam dados por 8 2 2 2 1 8 2 2 2 1 8 8 1192 354 336 8 8 i i i i i LT T L a L L b T2 aL 243 354 065 473 Finalmente o coeficiente de correlação fica 2 2 2 1 4 2 2 2 1 354 007 093 n i i n i i L n L r a T n T Repare que o coeficiente de correlação é bem próximo da unidade positiva como já mencionado isso quer dizer que a reta foi bem ajustada aos dados representados pela Tabela 8 Segundo os exemplos apresentados é importante perceber que o método do gráfico gerou um resultado razoavelmente diferente do método dos mínimos quadrados Essa diferença como já mencionada está ligada ao fator experimentador ou seja o método do gráfico que depende das habilidades do experimentador assim como sua capacidade intuitiva e de fazer estimativas Já o método dos mínimos quadrados independe desses fatores 46 CAPÍTULO 3 Medição de grandezas físicas Introdução O presente capítulo é destinado ao estudo das medidas físicas Nele destacaremos algumas características dos processos de medidas e como tratálas quantitava e qualitativamente Também serão destacados alguns conceitos envolvidos no processo dessas medidas e dos instrumentos de medidas utilizados Medidas físicas Na natureza grandezas físicas são todas as quantidades que podem ser medidas ou mensuradas No processo de medida existem dois tipos de medidas sendo elas as medidas físicas diretas e as medidas físicas indiretas As medidas diretas são dadas pelo resultado direto da leitura de um determinado instrumento de medida Já as medidas indiretas são resultados de uma relação matemática que relaciona duas ou mais grandezas físicas Como exemplo de medida direta podemos citar a medida de um pedaço de barbante pelo uso de uma régua centimetrada Como exemplo de medidas indiretas podemos citar a velocidade escalar média que é determinada pela razão entre a medida do espaço percorrido pela medida do tempo Medidas corriqueiras Entendemos como medidas corriqueiras as medidas que fazemos no dia a dia Essas são realizadas sem os cuidados técnicos e específicos pelo fato de não apresentarem importância significativa cotidianamente Para o melhor entendimento das afirmações acima vamos considerar a seguinte situação imagine que você queira saber seu peso Para isso você sobe em uma balança que expressa o resultado da medida na seguinte forma Peso 902kg 47 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Ao subir na balança o que você faz é nada mais do que comparar a informação fornecida pela balança com um determinado padrão de medida Nesse caso o padrão de medida é 1kg Como observação é importante destacar e reparar que no processo de pesagem estamos desconsiderando os detalhes do instrumento de medida nesse caso é a balança Como já mencionado essas informações não são tão importantes e por isso não nos atentamos aos detalhes do processo de medida O fato desse descaso é justificado pela seguinte situação imagine que logo após a pesagem um amigo pergunta a leitura da balança Como de costume você responderá 90kg aproximadamente Certamente você responde dessa forma por não lembrar o valor correto das casas decimais Um outro detalhe importante que não é levado em consideração e que merece muita atenção é o fato de que esse é o valor da sua massa e não do seu peso Todas as informações descritas acima caracterizam as medidas corriqueiras que como já destacado não levam em consideração o rigor exigido pela ciência e pelos trabalhos técnicos Medidas científicas Imagine agora que em vez de se pesar apenas uma vez você suba na balança várias vezes Nesse caso é possível que a balança indique diferentes resultados Essa situação é representada pela Tabela 9 Tabela 9 Medidas da massa de uma pessoa Medida Leitura Massa kg 1 902 2 903 3 902 4 900 Fonte elaborada pelo autor Nesse caso a pergunta a ser realizada é qual o valor real da pesagem uma vez que o valor indicado variou em cada processo de medida Essa é uma pergunta complexa cuja resposta necessita de muitos cuidados Para respondêla vamos discutir um pouco sobre o conceito de flutuações nas medidas realizadas As flutuações indicadas na Tabela 9 não são negligências e muito menos problemas eventuais 48 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS As flutuações nos valores medidos são características intrínsecas ao processo de medida As flutuações podem ser afetadas por uma infinidade de motivos como por exemplo a temperatura do ambiente a umidade do ar entre outros A condições em que se encontra um experimento podem variar no decorrer de cada medida efetuada Outro fator importante relacionado às flutuações seria a avaliação dos algarismos duvidosos mas isso será visto mais adiante A moral de tudo isso é que não conseguimos controlar as flutuações mas conseguimos minimizálas pelas análises e instrumentações utilizadas nos processos de medidas Em outras palavras isso quer dizer que precisamos conviver com essas flutuações Volto a dizer que a parte mais importante ao coletar dados é saber analisálos e interpretálos de maneira correta Afinal isso é a base de um trabalho experimental científico A análise e a interpretação dos dados coletados são feitas pela teoria das medidas e dos erros Esse será o objetivo da presente unidade De acordo com os dados da Tabela 9 conseguimos ter uma noção de valor verdadeiro e isso é uma noção intuitiva e extremamente desafiadora É difundido por toda a comunidade científica que medidas técnicas ou científicas devem ser expressas por um resultado representativo também chamado de valor de referência seguido de um intervalo de dúvida e da unidade de medida correspondente Em outras palavras o valor verdadeiro deve ser representado cientificamente na forma Medida m ε unidade de medida Na forma dada acima m é o valor de referência e ε o valor da incerteza que leva em consideração o valor da incerteza estatística εestatística e o valor da incerteza intrínseca do instrumento de medida εintrínseca Isso quer dizer que Medida m εestatística εintrínseca unidade de medida Um fato curioso é que a forma de representar o valor verdadeiro tenta garantir que apresente uma probabilidade de 70 de ser encontrada dentro do intervalo m ε Medida m ε 49 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II É importante destacar que todas as flutuações e a forma de analisar o valor verdadeiro no processo de medida devem ser feitas por meio de análises estatísticas Logo o valor de referência deve ser obtido pela média aritmética do conjunto de dados e a incerteza no processo de medida deve ser medida pelo desvio padrão do conjunto de medidas Esses conceitos serão introduzidos mais adiante Introdução das incertezas Incertezas em medições é um parâmetro associado à dispersão dos valores medidos ou mensurados A incerteza está relacionada com a dúvida devido a vários fatores colocando em questão a validade do resultado de uma determinada medição É claro que isso também irá se refletir na forma final ou seja no valor verdadeiro das medidas efetuadas e dos resultados obtidos pela análise dos dados coletados Segundo a norma ISO GUN 11 a incerteza é agrupada em duas categorias ligadas ao tipo de avaliação realizado Dessa forma as incertezas são classificadas em tipo A e tipo B Incertezas tipo A Incertezas do tipo A são determinadas pela análise estatística de dados coletados ou pelos processos aleatórios Uma maneira apropriada e difundida pela comunidade científica de representação dessas incertezas é o desvio padrão ou qualquer quantidade que seja seu múltiplo Incertezas tipo B Incertezas tipo B são avaliadas por um critério científico que depende do cientista experimental envolvido Essa incerteza é baseada em todas as informações obtidas e na variação das quantidades medidas e analisadas Essas informações que irão contribuir para o julgamento do cientista podem incluir por exemplo medidas obtidas previamente conhecimento préadquirido dos materiais e instrumentos de medida utilizados entre outros É importante destacar que incertezas do tipo B não levam em consideração parâmetros estatísticos ou processos aleatórios Está claro que os processos experimentais a capacidade e a habilidade do experimentador são critérios essenciais para a avaliação de incertezas do tipo B É muito importante destacar que o desvio experimental da média 50 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS não corresponde ao erro tratado de maneira aleatória da média mas isso é considerado em algumas publicações O mais importante de tudo é que a incerteza de um resultado experimental não é equivalente ao erro desconhecido Por meio dessas informações estamos aptos a descrever a forma final de um resultado de medida frente a todas as quantidades e informações descritas acima Medida m εestatística εintrínseca unidade de medida Medida m σtotal unidade de medida sendo σtotal εestatística εintrínseca Ao se tratar dados experimentais de maneira estatística as incertezas relacionadas a cada medida efetuada podem ser propagadas durante cálculos e resultados Essa propagação é denominada propagação da incerteza e existem maneiras de minimizar essas situações Também é importante mencionar que os instrumentos de medidas utilizados em um processo de medida podem influenciar de maneira significativa a presença dessas propagações Para mais detalhes e aprofundamento você pode consultar 3 Instrumentos de medida precisão e incerteza intrínseca Como já é de seu conhecimento existem diferentes instrumentos de medida que apresentam diferentes precisões e incertezas intrínsecas Como incerteza intrínseca entendemos a incerteza mínima que devemos considerar ao anotarmos a leitura de uma determinada medida Nesse contexto destacamos dois tipos de instrumentos os analógicos e os digitais A classificação dos instrumentos de medida é de fundamental importância pois em cada um dos casos são necessários procedimentos diferentes na estimativa da incerteza intrínseca Instrumentos analógicos permitem estimar o valor do chamado algarismo significativo Instrumentos digitais não permitem a avaliação do algarismo significativo 51 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II Dessa forma foi definido que instrumentos analógicos apresentam como incerteza intrínseca a metade de sua precisão instrumental Já os digitais apresentam como incerteza intrínseca sua própria precisão instrumental Exemplo Como exemplo de instrumentos analógicos podemos citar a régua centimetrada O menor valor medido por uma régua centimetrada é 1 cm logo sua incerteza intrínseca é de 05 cm Figura 5 Régua centimetrada 𝑐𝑐𝑐𝑐 1 2 3 4 5 6 7 Fonte elaborada pelo autor Exemplo Como exemplo de instrumentos analógicos podemos citar o multímetro que apresenta as funções para a medida de resistência corrente elétrica voltagem elétrica etc A Figura 6 representa um multímetro digital Figura 6 Multímetro digital Fonte elaborada pelo autor Perceba que em ambos os casos devemos saber a precisão dos instrumentos de medidas utilizados A precisão é definida como o menor valor medido pelo 52 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS correspondente instrumento de medida Isso vale para qualquer instrumento seja ele analógico ou digital No entanto é importante destacar que alguns instrumentos de medida possuem escalas ajustáveis como por exemplo os multímetros Em resumo a incerteza intrínseca ou experimental é uma característica do instrumento de medida e está relacionada com a confiabilidade dos resultados medidos por ele Isso quer dizer que a escolha do instrumento de medida apesar de ser do cientista operador vai interferir no processo de medida por isso é muito importante escolher o instrumento que mais se adapte às condições propostas e às medidas que se quer obter Série de medições Em muitos experimentos são necessárias várias medições de uma mesma grandeza O conjunto de várias medições sob a condição de repetição da medida e na coleta desses dados caracteriza a denominada série de medições O fato de sucessivas medidas da mesma grandeza poderem apresentar variações mesmo que pequenas influencia diretamente o resultado e o tratamento estatístico correto dos dados coletados Precisão X exatidão Dizemos que um determinado instrumento de medida qualquer é preciso quando os dados medidos por ele apresentam a menor dispersão estatística e com o maior número de algarismos significativos Em outras palavras a precisão reflete a capacidade de um instrumento de medida repetir o resultado medido Em termos numéricos os valores das medidas devem apresentar concordância A precisão é tratada estatisticamente pelo desvio padrão e a variância A exatidão que também é conhecida como acurácia está ligada à capacidade de um instrumento de medida aproximar ao máximo os valores lidos do valor verdadeiro A acurácia é tratada estatisticamente pelo erro absoluto ou erro relativo Para entender melhor a diferença entre esses dois conceitos vamos considerar a seguinte situação um atirador com o intuito de acertar um alvo manipula duas 53 DADOS EXPERIMENTAIS UNIDADE II diferentes armas de fogo uma de cada vez e sempre sob as mesmas condições Nesse caso se os tiros das armas apresentarem grande dispersão isso quer dizer que as armas são imprecisas caso contrário são precisas Em contrapartida se os tiros atingem o centro do alvo isso quer dizer que as armas apresentam boa acurácia caso contrário apresentam acurácia ruim As situações destacadas acima são representadas pelas Figuras 7a e 7b Figura 7 Tiros de uma arma de fogo com boa precisão a b Fonte elaborada pelo autor Figura 8 Tiros de uma arma de fogo com boa acurácia a b Fonte elaborada pelo autor Na Figura 7a a arma utilizada é precisa e acurada Na Figura 7b a arma é precisa e não acurada Na Figura 8a a arma é imprecisa e acurada Na figura 8b a arma é imprecisa e não acurada O exemplo discutido acima pode ser vinculado ao conceito de série de medição já discutido Nesse contexto a precisão está ligada à dispersão dos tiros e a acurácia está ligada à proximidade dos tiros do centro do alvo Tipos de interferência Diretamente ligado aos conceitos de precisão e exatidão está o conceito de interferência As interferências são causas adversas no processo de 54 UNIDADE II DADOS EXPERIMENTAIS medida e são classificadas de duas maneiras interferências sistemáticas e as interferências aleatórias As interferências sistemáticas afetam as medidas desviandoas do valor verdadeiro Esse desvio é dado sempre no mesmo sentido Isso quer dizer que esse tipo de interferência leva as medições para valores maiores ou menores que o valor verdadeiro Esse tipo de interferência está relacionado com a perda de acurácia de uma série de medições Como exemplos podem ser citados os vícios do cientista experimentador ao realizar medidas erradas e os defeitos de aferição dos instrumentos de medidas As interferências aleatórias afetam as medidas desviandoas para valores maiores ou menores que o valor verdadeiro Sua origem é desconhecida imprevisível e gerada por causas inconstantes que são sempre ignoradas pelo experimentador Esse tipo de interferência está relacionado com a perda de precisão dos valores medidos causando um aumento da dispersão Um fato importante a ser destacado é que não são todas as interferências aleatórias que podem ser corrigidas 55 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS CAPÍTULO 1 Introdução Introdução Na presente unidade nos limitaremos ao estudo dos projetos de pesquisa Para isso introduziremos conceitos e discussões sobre métodos de pesquisa e sobre projetos de pesquisas Em seguida discutiremos informações sobre os resultados obtidos e apresentados na forma de relatórios de pesquisa Finalmente discutiremos a funcionalidade e a aplicabilidade desses tópicos assim como sua importância no desenvolvimento da ciência e da sociedade moderna Iremos introduzir alguns sistemas físicos mecânicos de vibração Introdução aos métodos de pesquisa Até o presente momento nos limitamos apenas ao estudo dos dados coletados e suas formas de tratamento através da análise estatística dos mesmos A partir de agora iremos compreender como esses dados suas análises interpretações e resultados devem ser propostos e apresentados Pesquisas técnicas ou científicas são de uma maneira geral compostas por três etapas elaboração do que se quer estudar execução dos métodos utilizados e apresentação dos resultados obtidos Em outras palavras uma pesquisa exige reflexão do que se pretende pesquisar dos resultados que se espera obter bem como sua apresentação No desenvolvimento das pesquisas técnicocientíficas são necessários dois diferentes documentos O primeiro deve descrever todo planejamento desenvolvido para a execução do projeto Já o segundo deve descrever os resultados obtidos Esses documentos são chamados respectivamente de projeto de pesquisa e relatório de pesquisa 56 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS Dentre inúmeras outras essa é uma das funções do cientista pesquisador Desenvolver e vincular esses dois documentos para que a pesquisa seja completa e compreensível Dessa forma são criadas novas teorias e novas tecnologias e a ciência se desenvolve de maneira natural suprindo todas as necessidades da sociedade moderna Como já mencionado o projeto de pesquisa é um documento formal que antecede a pesquisa de fato É uma forma de planejar o desenvolvimento da pesquisa Os objetivos principais do projeto de pesquisa é buscar os melhores caminhos e os melhores recursos para o desenvolvimento do que se quer pesquisar Além disso testase também os resultados pretendidos Todos os objetivos destacados acima devem ser claros para que haja a compreensão por parte de qualquer pessoa seja cientista pesquisador ou não do que se quer pesquisar Dessa forma os cientistas envolvidos não terão problemas ou dúvidas em relação a sua execução É claro que no meio do caminho podem surgir imprevistos e situações inesperadas mas essas condições adversas fazem parte do trabalho científico Essas dificuldades são superadas pela capacidade intelectual dos cientistas envolvidos e das tecnologias disponíveis para esses fins Na ciência nada é feito ao acaso Isso quer dizer que todos os detalhes devem ser minimamente calculados e previstos ou seja o planejamento no desenvolvimento do projeto deve ser o mais amplo e detalhado possível Dessa forma o sucesso da pesquisa será garantido Repare que as informações e os métodos devem ser informados e destacados de maneira gradativa e subsequente até assumir a forma final do projeto É interessante que antes de chegar ao projeto o cientista faça um levantamento de bibliografias Isso é mais conhecido como revisão bibliográfica Dessa forma ele consegue buscar objetivos gerais na forma de uma versão que anteceda o projeto de fato Essa etapa é denominada anteprojeto Como próximo passo com as informações mais claras o criador desenvolve o projeto finalizando com a apresentação dos resultados relatório de pesquisa Um projeto de pesquisa deve responder algumas perguntas em sua fase de elaboração Essas perguntas serão destacadas no capítulo seguinte 57 CAPÍTULO 2 Definição de objetos e métodos Introdução No presente capítulo iremos apresentar e discutir alguns dos objetos essenciais na produção de um projeto de pesquisa Estrutura de um projeto de pesquisa No processo de elaboração de um projeto de pesquisa devese apresentar e responder as seguintes perguntas Identificação e apresentação Esse item é encarado como a pergunta de quem desenvolveu o presente projeto assim como todos os cientistas técnicos e instituições envolvidos Em outras palavras de maneira prática esse item deve conter Relação científica Capa do projeto Entidadeinstituição à qual os cientistas envolvidos pertencem Título do projeto Cientistas coordenadores de pesquisa Local onde será desenvolvida a pesquisa e data da realização Relação técnica EntidadeInstituição à qual os técnicos envolvidos pertencem Coordenadores técnicos da pesquisa Técnicos envolvidos 58 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS Objetivos de pesquisa O presente item é encarado com as perguntas para que e para quem Esse item deve conter informações como o tema abordado a limitação os objetivos gerais e os objetivos específicos ou seja Tema envolvido na pesquisa Delimitação do tema contendo suas especificações e limitações geográficas e temporais Objetivos gerais Objetivos específicos Justificativa Neste item buscase responder a questão do porquê de desenvolver pesquisas sobre o determinado assunto Objetivo de pesquisa Aqui destacamos os assuntos abordados pela resposta da seguinte pergunta O que será pesquisado Destacamos o problema que iremos estudar a hipótese básica para o desenvolvimento da pesquisa ahipótese secundária e as variáveis envolvidas É importante destacar e mencionar que um projeto de pesquisa não precisa necessariamente obedecer a todos os tópicos e subtópicos discutidos acima mas deve apresentar os elementos básicos para um bom entendimento e execução por parte da comunidade científica e da sociedade Outro fator extremamente importante que será visto mais adiante é que muitos projetos de pesquisa seguem modelos predeterminados por instituições federais estaduais ou privadas fomentadoras ou empresas que oferecem parceria com instituições de ensino 59 CAPÍTULO 3 Aplicação de projeto Introdução No presente capítulo discutiremos um pouco sobre a funcionalidade de um projeto de pesquisa e suas aplicações Em seguida introduziremos a análise de alguns sistemas físicos mecânicos envolvendo vibrações e oscilações Aplicações de projetos de pesquisa Você certamente sabe que a ciência evolui dia após dia Essa evolução é dada em termos de novos conhecimentos que muitas vezes ainda não haviam sido explorados Esses conhecimentos são adquiridos e aperfeiçoados de acordo com a evolução da sociedade moderna ou seja a sociedade é quem orienta o desenvolvimento de novas pesquisas e da criação de novas áreas de pesquisa É aí que entra o projeto de pesquisa O projeto de pesquisa como já mencionado antecede a pesquisa Geralmente professores pesquisadores cientistas instituições públicas ou privadas desenvolvem projetos de pesquisa voltados às novas tecnologias a aumentar sua produção desenvolver novos produtos para o mercado e coisas do tipo Essa é a principal aplicação de um projeto de pesquisa colaborar por meio da ciência com o desenvolvimento da sociedade moderna e da humanidade Vibrações mecânicas em física Nesta seção destacaremos a análise de alguns sistemas físicos mecânicos sobre vibrações e oscilações Esses sistemas apresentam inúmeras aplicações principalmente no ramo da física e da engenharia pois muitas situações reais podem ser analogamente estudadas pelos sistemas destacados em seguida No fim da seção se você achar conveniente também poderá seguir nossas instruções e as informações destacadas na presente unidade para desenvolver algum projeto de pesquisa utilizando o laboratório virtual que será referenciado 60 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS O pêndulo simples O pêndulo é um sistema físico mecânico caracterizado pela presença de uma certa massa m presa a um fio de comprimento L consideraremos o fio como sendo inextensível Isso quer dizer que desprezaremos qualquer possibilidade de ele apresentar algum tipo de elasticidade Ao oscilar esse sistema é chamado de pêndulo simples Na presente situação iremos considerar a ausência de forças externas e escrever as equações de movimento para o pêndulo É importante destacar que equação de movimento é um dos nomes que utilizamos para a equação da segunda lei de Newton Como sabemos a segunda lei de Newton é uma equação diferencial de segunda ordem A situação descrita acima é representada pela Figura 9 Figura 9 Pêndulo simples FontehttpswwwresearchgatenetfigureFigura1Opendulosimpleseasforcasatuantesconsideradasnamodelagem simplificadafig1260772938 Precisamos criar um diagrama de forças para estudar a relação entre as grandezas que descrevem o movimento do pêndulo Sabemos que a presença do fio indica a força de tração dada por T Sabemos que a força peso dada por P aponta sempre para o centro da terra De acordo com o diagrama de forças percebemos que ela é a única força que está fora do eixo considerado Isso quer dizer que a força peso deve ser decomposta em duas componentes sendo uma sobre o eixo x e outra sobre o eixo y A decomposição da força peso é feita da seguinte maneira 61 PROJETO DE EXPERIMENTOS UNIDADE III xP sen P θ yP cos P θ Como o pêndulo se encontra em repouso ao longo do eixo y a força resultante nesse eixo deve ser nula isso vai implicar em T mgcosθ No eixo x obtemos a segunda lei de Newton t x dv P m dt 17 Repare que a trajetória do pêndulo é semicircular isso quer dizer que o seu movimento deve ser descrito em termos do ângulo de oscilação θ Pelo estudo dos movimentos circulares sabemos a seguinte relação entre a velocidade tangencial vt e a velocidade angular w t d v L L dt θ w Logo 2 2 dvt L d dt dt θ Finalmente a segunda lei de Newton 17 assume a forma final 2 2 0 d g sen dt l θ θ Considerando ângulos pequenos de oscilação a equação acima se transforma em 2 2 0 d g dt l θ θ 18 Essa é a chamada equação diferencial para o pêndulo simples Repare que ela é uma equação diferencial em termos da variável θ que nesse caso é a variável que descreve a posição do corpo em movimento 62 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS Oscilador massamola Assim como o pêndulo simples o oscilador massamola é um sistema físico em que um objeto de massa m está preso a uma mola de constante elástica k Sabemos que a força elástica oferece uma força de resistência ao movimento por isso consideraremos seu sentido sempre contrário ao sentido do movimento Essa força é sempre dada como Fel ky sendo k a constante elástica da mola e y o deslocamento em relação à posição de equilíbrio Ao oscilar esse sistema é chamado de oscilador massamola Assim como no pêndulo simples na presente situação iremos considerar a ausência de forças externas e escrever as equações de movimento para o pêndulo Essa situação é representada pela figura abaixo Figura 10 Forças que atuam no pêndulo massamola Fonte httpsefisicaatpuspbrpluginfilephp5073modresourcecontent2F201exerciciosresolvidospdf Adaptada O diagrama de forças evidencia o fato de que o oscilador se movimenta apenas ao longo do eixo y Em outras palavras isso quer dizer que precisamos escrever a segunda lei de Newton para esse eixo obtendo Fry may 2 2 el d y F P m dt 19 O movimento então é descrito em termos da variável y Isso quer dizer que todos os termos da equação diferencial acima devem conter a variável y A grande dificuldade é encontrar alguma alternativa para escrevermos a força peso em termos dessa variável Esse problema é contornado considerando a condição de equilíbrio Nessa condição a força resultante no eixo y é nula Fry 0 Ou seja 63 PROJETO DE EXPERIMENTOS UNIDADE III Fry 0 Fel P 0 ky mg 0 ky0 mg 0 mg ky0 20 Substituindo 20 em 19 2 0 2 d y ky ky m dt Definindo Y y y0 e substituindo na equação acima encontramos 2 2 0 d Y k Y dt m 21 Repare que a equação acima apresenta a mesma estrutura da equação diferencial para o pêndulo simples 18 Trocase apenas a aceleração da gravidade g pela constante da mola k e o comprimento do fio L pela massa m Oscilador massamola forçado O oscilador forçado também é um oscilador massamola porém consideramos a presença de uma força externa dada por F Essa força age no sentido da oscilação Essa situação é representada pela Figura 11 Figura 11 Forças que atuam no pêndulo massamola Fonte httpsefisicaatpuspbrpluginfilephp5073modresourcecontent2F201exerciciosresolvidospdf Adaptada Novamente a tarefa é encontrar as equações de movimento para o sistema físico considerado 64 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS Como o pêndulo se movimenta apenas ao longo do eixo y Fry may 2 2 el d y F F P m dt Utilizando as ideias representadas pela equação 21 obtemos 2 2 d Y k F Y dt m m Oscilações massamola amortecidas No presente caso vamos considerar por exemplo o oscilador massamola com a presença de uma força externa representando a força de atrito do ar dada por Fà que age no sentido contrário a oscilação Essa situação é representada pela Figura 12 Figura 12 Forças que atuam no pêndulo massamola Fonte httpsefisicaatpuspbrpluginfilephp5073modresourcecontent2F201exerciciosresolvidospdf Como o pêndulo se movimenta apenas ao longo do eixo y a segunda lei de Newton nesse eixo fica dada na forma Fry may 2 2 el d y F F P m dt A força externa é considerada como uma força de resistência do tipo F bv 65 PROJETO DE EXPERIMENTOS UNIDADE III Nessa força b é um coeficiente qualquer e v a velocidade com que o sistema é freado Como já mencionado a força externa pode representar a resistência do ar em um movimento de queda livre ou a viscosidade de um fluido Utilizando as ideias representadas pela equação 21 obtemos 2 2 0 d Y k b dY Y dt m m dt Essa é a equação diferencial para sistemas físicos denominados oscilações amortecidas É importante reparar que ela é uma equação diferencial em termos da variável Y Essa é a variável que descreve o movimento Repare também que para o caso em que a força externa é anula F 0 o sistema apresenta uma equação com a mesma estrutura das equações do pêndulo simples A modelagem e o estudo dos sistemas físicos destacados acima também conhecidos como osciladores harmônicos são de extrema importância na física e na engenharia Esse sistema físico apresenta inúmeras aplicações Isso se dá pelo fato de muitos sistemas físicos poderem ser aproximados para osciladores harmônicos O oscilador harmônico se aplica em todas as áreas da física como por exemplo na cosmologia Pesquisas atuais indicam que o universo vem se expandindo de maneira acelerada mas ainda não se sabe a causa dessa aceleração De acordo com as equações da Relatividade Geral de Einstein conseguimos obter em muitos casos uma equação de oscilador harmônico que pode ser simples forçado ou amortecido Isso quer dizer que o Universo em determinada fase pode se expandir mas em outra se contrair É importante destacar que as equações dos pêndulos e sistemas osciladores mencionados acima apresentam equações de movimento com a mesma estrutura ou seja 2 2 0 2 0 d x x dt w A quantidade representada por w0 é a denominada frequência angular de oscilação Como a trajetória dos sistemas oscilantes pode ser associada a movimentos circulares podemos associar essa frequência ao período de oscilação que é dado por 0 2 T π w 66 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS Dessa forma é possível determinar o período de oscilação de cada sistema oscilante como por exemplo para o pêndulo simples 0 g l w E o período fica dado por 2 l T g π Já para o pêndulo massamola 0 k m w E o período fica dado por 2 k T m π A modelagem e o estudo dos sistemas acima são conhecidos como osciladores harmônicos Esses seguem movimentos que são denominados movimento harmônico simples MHS Esses sistemas são de extrema importância na física e na engenharia e apresenta inúmeras aplicações principalmente na mecânica quântica e nas construções civis Isso se dá pelo fato de muitos problemas nessas áreas poderem ser aproximados para osciladores harmônicos Ondas eletromagnéticas Ondas é o nome designado a tipos específicos de movimento Uma onda é caracterizada por propagar energia Em outras palavras isso significa que uma onda não transporta matéria Uma boa parte de fenômenos na natureza pode ser descrita pelas ondas isso faz com que haja a necessidade de classificação desse tipo de movimento Hoje sabemos que diferentes ondas podem apresentar diferentes origens mais especificamente sabemos que as ondas são caracterizadas de acordo com sua natureza como mecânicas ou eletromagnéticas As ondas mecânicas necessitam obrigatoriamente de um meio material para se propagarem 67 PROJETO DE EXPERIMENTOS UNIDADE III Exemplo O exemplo mais clássico de onda mecânica é o som Outro exemplo muito utilizado são as ondas em uma superfície de um lago e ondas em uma mola De maneira oposta as ondas mecânicas ondas eletromagnéticas não necessitam de um meio material para se propagar e por isso se propagam no vácuo e também em meios materiais Exemplo O exemplo mais clássico de ondas eletromagnéticas é a luz cuja oscilação do campo elétrico é perpendicular à oscilação do campo magnético Figura 13 Oscilações do campo elétrico e magnético em ondas eletromagnéticas Campo magnético Campo elétrico Fonte httpsasofrequenciaswebnodeptnewsondaselectromagneticas A luz é um fenômeno natural descrito pelas quatro equações de Maxwell 0 E ρ ε 22 0 B 23 B E t 24 0 0 B B J t µ ε µ 25 As quatro equações de Maxwell combinadas geram as seguintes equações de onda para os campos eletromagnéticos 68 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS 2 2 0 0 2 0 E E t µ ε 26 2 2 0 0 2 0 B B t µ ε 27 Como ondas eletromagnéticas entendese luz mas é importante destacar que não é apenas a luz branca Isso também inclui as luzes que não são perceptíveis pelo olho humano tais como os raios X raios ultravioletas infravermelho etc A luz branca que enxergamos é composta por sete cores sendo elas as cores do arcoíris Vermelho laranja amarelo verde azul anil e violeta Por serem fenômenos oscilatórios cada uma dessas cores apresenta características diferentes como por exemplo a frequência de oscilação e os comprimentos de onda característica de cada onda Como já visto a frequência pode ser associada ao período de oscilação Exemplo Como exemplo a luz vermelha é a que apresenta o maior comprimento de onda consequentemente apresenta a menor frequência Já a luz violeta é a que apresenta a maior frequência e o menor comprimento de onda O conjunto de comprimentos de ondas e frequências das ondas eletromagnéticas é denominado espectro eletromagnético COHENTANNOUDJI DIU LALOE 1977 ABREU MENDES OLIVEIRANETO 2019 OLIVEIRANETO RODRIGUES 2019 Destacarei no presente momento um laboratório virtual de acesso gratuito contendo diferentes experiências de todas as áreas da ciência Em especial destaco os links relacionados a experimentos oscilatórios como o pêndulo simples e o pêndulo de mola Dessa forma você pode montar seus próprios experimentos e investigar as relações entre as grandezas físicas de seu interesse httpsphetcoloradoeduptBRsimulationmassesandspringsbasics httpsphetcoloradoeduptBRsimulationmassesandsprings httpsphetcoloradoeduptBRsimulationpendulumlab 69 PROJETO DE EXPERIMENTOS UNIDADE III Análise de resultados e ajuste do projeto Introdução No presente capítulo será apresentado um modelo de um projeto fictício de pesquisa para ilustrar todas as informações apresentadas até o presente momento O projeto utilizado foi desenvolvido por um pesquisador do departamento de física de uma instituição de ensino com o intuito de receber verbas da própria instituição Exemplo Como já mencionado o exemplo a seguir representa de forma fictícia um projeto de pesquisa desenvolvido por um cientista com a finalidade de receber verbas da própria instituição Nesse caso vamos considerar que para ampla concorrência o projeto seguiu o modelo oferecido pela instituição de ensino Quadro 1 Modelo para desenvolvimento de projetos de pesquisa ORIENTAÇÕES RECOMENDADAS PARA A APRESENTAÇÃO DE PROJETOS O documento deverá apresentar as seguintes propostas I Restringir a no máximo sete páginas de papel A4 II Ser desenvolvido na fonte Arial tamanho 11 III Conter entre os caracteres o espaçamento simples Observações I Qualquer proposta que não siga os padrões acima será desconsiderada II Não é necessária a impressão da presente página no encaminhamento do projeto III Anexar ao projeto o Plano de Trabalho do Bolsista caso necessário Dados gerais da proposta Título do projeto Nome do pesquisador Nome do coordenador do projeto Nome do departamento de vínculo Endereços eletrônicos e telefônicos para contato JustificativaCaracterização do problema Objetivos Estratégiasmetodologia Resultados esperados Cronograma Orçamento Fonte elaborado pelo autor 70 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS Vamos considerar também que esse projeto foi desenvolvido na área de Relatividade Geral Cosmologia e Teoria Quântica de Campos Nesse caso o professor contará com a participação de um aluno de iniciação científica da graduação em Física e não serão necessários equipamento e orçamentos externos envolvendoos Com as informações mencionadas acima foi preenchido o seguinte relatório Quadro 2 Relatório para preenchimento dos requisitos determinados pela instituição Observação Os dados solicitados devem ser preenchidos sem a alteração do modelo PRÓREITORIA DE METODOLOGIA DE PESQUISA Dados do projeto e do coordenador do projeto Título do projeto Quantização das Geodésicas Nulas do Buraco Negro de Schwarzschild Referência da chamada ISERIR UM DOS TIPOS DE BOLSA ABAIXO BOLSA A BOLSA B BOLSA C BOLSA D BOLSA E BOLSA F BOLSA G Coordenador do projeto Inserir o nome do coordenador do projeto Linha de pesquisa do orientador Relatividade Geral Cosmologia e Teoria Quântica de Campos Endereço para contato Eletrônico xxxxxxxxxxxxxcom Telefônico XXXXXXXX RXXX Unidadedepartamento Data Departamento de Física 30042020 Fonte elaborado pelo autor As figuras seguintes destacam os objetos obrigatórios solicitados pela Figura 14 selecionados como importantes por parte da instituição de ensino que fomentará o projeto 71 PROJETO DE EXPERIMENTOS UNIDADE III Quadro 3 Primeira parte do preenchimento das informações obrigatórias solicitadas pelo Quadro 1 JustificativaCaracterização do problema Apesar dos grandes sucessos experimentais e da bela visão geométrica do espaçotempo introduzida pela relatividade geral essa teoria apresenta um sério problema Esse problema foi primeiramente formulado de maneira teoricamente consistente por J R Oppenheimer e H Snyder 1 Usando a relatividade geral esses físicos demonstraram explicitamente que quando uma estrela muito massiva acaba com seu combustível nuclear ela colapsa violentamente sobre a ação de sua própria gravidade e forma uma singularidade do campo gravitacional Essa singularidade é caracterizada pelo fato de que o tensor de curvatura de Riemann quantidades calculadas a partir desse tensor e ainda o tensor momentoenergia assumem valores infinitos sobre ela Hoje em dia muitos físicos se dedicam ao estudo do colapso gravitacional em relatividade geral clássica 26 Desta forma embora a relatividade geral prediga a existência dessas singularidades uma vez que essas ocorram a teoria perde seu poder de explicação e predição A predição de singularidades pela relatividade geral não se restringe ao domínio astrofísico podemos ter singularidades também em escalas cosmológicas Pouco depois da sua descoberta percebeuse que as soluções de Friedmann 7 tinham uma época singular no passado Nessa época toda a matéria do Universo estaria concentrada em uma região muito pequena A generalidade da presença de singularidades nas soluções das equações da relatividade geral foi demonstrada nos anos 60 em uma série de teoremas A maior parte desses teoremas é de autoria de R Penrose S W Hawking e P Geroch 8 Assim como a quantização de sistemas físicos como o átomo de hidrogênio e da eletrodinâmica clássica resolveu problemas de inconsistências físicas eou a presença de infinitos a melhor esperança de resolver o problema dos infinitos em relatividade geral é a quantização desta teoria Um dos resultados do colapso gravitacional é o chamado Buraco Negro Essa entidade astrofísica é composta de uma singularidade que é isolada do espaço exterior por um horizonte de eventos Podemos obter muitas informações importantes sobre os buracos negros estudando as trajetórias de partículas no espaçotempo próximo a estas entidades Essas trajetórias são chamadas de geodésicas As geodésicas chamadas nulas correspondem à trajetória da luz Já as geodésicas do tipo tempo correspondem às trajetórias de partículas massivas O estudo da quantização das geodésicas dos buracos negros pode fornecer muitas informações importantes sobre o comportamento e a possível eliminação das singularidades dessas entidades astrofísicas Fonte elaborado pelo autor Figura 14 Segunda parte do preenchimento das informações obrigatórias solicitadas pelo Quadro 1 Objetivos Nesse projeto estaremos interessados em estudar as geodésicas nulas em nível quântico do buraco negro de Schwarzschild Esse buraco negro é o exemplo mais simples conhecido Seu espaçotempo tem simetria esférica é estático e a única matéria presente está situada na origem do sistema de coordenadas espaciais Desta forma esperamos obter muitas informações importantes sobre o comportamento e a possível eliminação da singularidade desse buraco negro Metodologia e estratégias de ação Para desenvolver este trabalho o aluno iniciará um estudo dirigido de material proposto pelo orientador baseado principalmente em livrostexto de relatividade geral 9 e mecânica quântica 10 artigos científicos e pesquisas na internet O bolsista estudará tópicos de matemática avançada e física necessários para o bom entendimento das equações da relatividade geral Além disso o aluno debruçarseá sobre alguns conteúdos importantes de mecânica quântica para poder estudar as equações das geodésicas em nível quântico Este estudo será acompanhado por encontros periódicos entre o aluno e o orientador Resultados e os impactos esperados Como resultados deste projeto o bolsista terá uma boa formação em relatividade geral em alguns tópicos de mecânica quântica e conhecerá algumas propriedades gerais de buracos negros nessa teoria Obteremos também uma equação quântica para as geodésicas nulas do buraco negro de Schwarzschild Isso será bastante importante pois poderemos verificar se a equação será capaz de fornecer soluções que eliminem a singularidade deste espaço tempo Além disso teremos como resultado bastante importante desse trabalho a iniciação científica de um aluno do curso de física em um tópico moderno de pesquisa científica para o qual estamos solicitando uma bolsa no presente projeto Os resultados obtidos nesse projeto serão apresentados no Seminário de Iniciação Científica Fonte elaborada pelo autor 72 UNIDADE III PROJETO DE EXPERIMENTOS Na Figura 15 serão apresentados o cronograma o orçamento e as referências bibliográficas propostas pelo coordenador de pesquisa e criador do projeto Figura 15 Terceira parte do preenchimento das informações obrigatórias solicitadas pelo Quadro 1 DUARTE J BARROS D Métodos e técnicas de pesquisa em comunicação São Paulo Atlas 2006 MERZBACHER E Quantum Mechanics New York John Wiley and Sons 1998 COHENTANNOUDJI C DIU B LALOE F Quantum Mechanic New York John Wiley and Sons 1977 v1 Cronograma ATIVIDADES Trimestre 1 2 3 4 Tópicos de Relatividade Geral Geodésicas e Buraco Negro de Schwarzchild X Introdução à Mecânica Quântica X X Quantização das Geodésicas Nulas do EspaçoTempo de Schwarzchild X X Confecção do Relatório Final X Orçamento Neste projeto precisaremos somente da bolsa de iniciação científica Referências Bibliográficas 1 CERVO A L BERVIAN P A Metodologia científica para uso dos universitários São Paulo McGrawHill 1976 2 COCHRAN Willian G Técnicas de Amostragem Rio de Janeiro Editora Fundo de Cultura 1965 3 Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT Contagem em Desenho Técnico Procedimento ABNTNB 10126 1987 4 Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT Regras de arredondamento na numeração decimal ABNTNB 87 1977 5 COSTA NETO Pedro Luiz de Oliveira Estatística São Paulo Editora Edgard Blucher 1977 Fonte elaborada pelo autor Para finalizar seguindo todas as informações e normas estipuladas pela Instituição de ensino para a criação de um projeto de pesquisa vamos considerar que o projeto foi aprovado 73 UNIDADE IV RELATÓRIOS TÉCNICOS CAPÍTULO 1 Introdução Introdução No presente capítulo discutiremos um pouco sobre a funcionalidade dos relatórios de pesquisa e suas aplicações Em seguida introduziremos e discutiremos alguns tópicos considerados essenciais na apresentação de resultados obtidos Finalmente será apresentado um exemplo de alguns tópicos referentes a um modelo de relatório específico Introdução aos relatórios de pesquisa Como já mencionado na unidade anterior destacamos que o processo de pesquisa técnica e científica é composto por três etapas e dois documentos Na presente unidade faremos o estudo do tratamento técnicocientífico dos relatórios de pesquisa Como relatório entendemse documentos que tratam sobre a análise de dados coletados e dos resultados obtidos Em outras palavras um relatório de pesquisa é um documento ou escrita formal em que se destacam todos os passos e fatos que foram verificados mediante uma pesquisa científica ou que disserta de maneira histórica sobre uma determinada execução de prática que gerou uma determinada experiência científica e profissional É importante frisar que a metodologia aplicada as características as discussões os conceitos introduzidos e os resultados obtidos na presente unidade estarão sempre vinculados à unidade anterior ou seja à etapa do projeto de pesquisa 74 UNIDADE IV RELATÓRIOS TÉCNICOS Dessa forma com o projeto de pesquisa definido o cientista exerce sua profissão sempre de maneira graduada e assim vai formulando lentamente o relatório de pesquisa O relatório de pesquisa é um documento gradativo que conforme o andamento da pesquisa vai aumentando sua complexidade e detalhamento Esse deve seguir todos os passos e ações realizadas pelo pesquisador durante a execução de todo o projeto No fim de todo esse processo o cientista foca na escolha do melhor tratamento dos dados coletados e nos resultados obtidos Esse tratamento geralmente vem esboçados nas formas de gráficos e tabelas Segue os tipos diversos de apresentação de resultados Gráfico 7 Tipos de resultados Trabalho de conclusão de curso TCC Monografias Dissertações Artigos científicos Apresentações em palestras outros Fonte elaborado pelo autor É importante destacar que ao executar um projeto de pesquisa podemos nos deparar com duas situações A primeira é que os resultados obtidos estão dentro do que foi previsto Nesse caso o relatório de pesquisa se torna um documento formal de conclusão o que consolida tudo que foi desenvolvido durante a execução de todo o projeto de pesquisa Então o projeto de pesquisa oferece o conteúdo e o relatório de pesquisa organizao refletindo todo o rigor científico exigido 75 RELATÓRIOS TÉCNICOS UNIDADE IV Consequentemente os dados e resultados obtidos podem ser seguramente interpretados e introduzidos na literatura para consulta por parte de outros pesquisadores e alunos Já na segunda situação os resultados obtidos podem não estar dentro do que foi previsto pelo projeto de pesquisa Nesse caso destacamos que o fato de o resultado não está de acordo com o previsto não quer dizer que eles estejam errados A alternativa é então argumentar possíveis interferências externas ou condições adversas que possam ter influenciado os resultados Isso está diretamente ligado com a capacidade e a experiência do cientista envolvido bem coo sua imperícia Além disso também devemos mesmo assim interpretar os resultados e buscar diferentes alternativas para justificalos Em resumo durante a execução de um projeto de pesquisa o cientista realiza a coleta de dados Em seguida determina a maneira mais adequada de fazer o tratamento estatístico dos dados coletados obtendo os resultados e suas interpretações Feito isso o cientista finaliza o projeto redigindo um relatório final reflexivo e com todas as informações ações realizadas e executadas de maneira organizada 76 CAPÍTULO 2 Boas práticas em relatório Introdução No presente caítulo iremos apresentar e discutir alguns tópicos essenciais na confecção de um bom relatório de pesquisa Para isso é importante mencinar que na literatura técnicocientífica existem diferentes tipos de apresentação de dados e resultados que seguem considerações particulares das normas técnicas Os relatórios de pesquisa variam de acordo com diferentes autores e pesquisadores Um relatório de pesquisa pode ser estruturado conforme destacado a seguir Estruturação de um bom relatório de pesquisa Segundo os mesmos autores citados na unidade anterior 12 um relatório de pesquisa pode ser estruturado conforme destacado em seguida I Apresentação A apresentação do trabalho deve conter capa com os seguintes dados entidade título coordenador do projeto de pesquisa local e data de construção A figura abaixo ilustra um tipo de apresentação de resultados contendo os dados mencionados acima É importante mencionar que a Tese apresentada seguiu os padrões determinados pela instituição de ensino a qual fomentou a pesquisa 77 RELATÓRIOS TÉCNICOS UNIDADE IV Figura 16 Apresentação de resultados de uma tese de doutorado Universidade XXXXXXX Instituto de Ciências XXXXX PósGraduação em XXXXXX INSERIR NOME INSERIR TÍTULO DO TRABALHO INSERIR CIDADE INSERIR DIA E ANO Fonte elaborada pelo autor Página de rosto contendo os seguintes dados entidade título coordenador de pesquisa equipe técnica envolvida local e data A Figura 17 ilustra a página de rosto da mesma tese representada pela Figura 18 Nesse caso durante a realização do projeto a pesquisa não contou com nenhum membro técnico Ou seja o trabalho foi realizado apenas pelo o aluno e seu orientador de pesquisa 78 UNIDADE IV RELATÓRIOS TÉCNICOS Figura 17 Página de rosto de uma tese de doutorado INSERIR NOME INSERIR TÍTULO DO TRABALHO Tese apresentada ao Programa de Pós Graduação em Física da Universidade XXXXXX na área concentração em Física como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Física INSERIR CIDADE INSERIR DIA E ANO Orientador XXXXXXXX Fonte elaborada pelo autor II Sinopse também conhecido como abstract Quadro 4 Sinopse de uma tese de doutorado RESUMO Na presente tese estudamos modelos cosmológicos clássicos nãocomutativos do ponto de vista da teoria gravitacional de HovravaLifshitz e também da Relatividade Geral Ambos os modelos foram estudados com a métrica FriedmannRobertsonWalker cujas seções espaciais podem ter curvatura constante positiva k1 negativa k1 ou zero k0 O conteúdo material é descrito por diferentes fluidos perfeitos A dinâmica dos modelos nãocomutativos é descrita no formalismo Hamiltoniano com o auxílio da formulação ADM e do formalismo variacional de Schutz O espaço de fase dos modelos é dado pelas variáveis at Tt Pa t e PT t em que at é o fator de escala do Universo Tt é a coordenada associada ao fluido e Pa t PT t seus respectivos momentos canonicamente conjugados A introdução da nãocomutatividade é feita através do formalismo de FaddeevJackiw Esse formalismo introduziu de maneira natural transformações de coordenadas que nos levaram a variáveis comutativas mais um parâmetro nãocomutativo a Combinando as equações de Hamilton obtidas a partir da Hamiltoniana escrita em termos das variáveis comutativas mais o parâmetro a chegamos a uma equação diferencial de primeira ordem e uma equação diferencial de segunda ordem para o fator de escala at Tais equações descrevem a dinâmica dos modelos nãocomutativos e dependem de vários parâmetros Obtivemos soluções numéricas para essas equações Com as soluções encontradas estudamos as novas propriedades introduzidas pela nãocomutatividade com o objetivo de obter resultados que auxiliem na explicação da atual expansão acelerada do Universo Além dos parâmetros comuns as soluções nãocomutativas apresentaram um parâmetro adicional a em comparação com as soluções comutativas correspondentes Tal parâmetro influencia de maneira significativa o tipo de comportamento de cada solução Para determinados valores dos parâmetros envolvidos algumas soluções podem ser consideradas como possíveis candidatas à explicação da atual expansão do Universo Finalmente estimamos o valor do parâmetro não comutativo alpha nos diferentes casos considerados Palavraschave Nãocomutatividade Modelos cosmológicos Aceleração do Universo Fonte elaborado pelo autor 79 RELATÓRIOS TÉCNICOS UNIDADE IV III Sumário O sumário deve conter os tópicos e subtópicos do capítulo presentes na apresentação dos resultados obtidos Quadro 5 Primeira parte do sumário de uma tese de doutorado SUMÁRIO CONSIDERAÇÕES INICIAIS INTRODUÇÃO UM BREVE HISTÓRICO MOTIVAÇÃO ESTRUTURA DOS CAPÍTULOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS INTRODUÇÃO COSMOLOGIA RELATIVÍSTICA O universo de FriedmannRobertsonWalker Os espaços FRW e suas geometrias Caso k 1 Caso k 0 Caso k 1 TÓPICOS DA FORMULAÇÃO ADM O FLUIDO PERFEITO O FORMALISMO DE SCHUTZ NA REPRESENTAÇÃO DE POTENCIAIS VELOCIDADES FORMULAÇÃO HAMILTONIANA DO UNIVERSO FRW COM FLUIDO PERFEITO Cálculo dos momentos canonicamente conjugados O FORMALISMO DE FADDEEVJACKIW OS MODELOS COSMOLÓGICO DE HORAVALIFSHITZ INTRODUÇÃO A TEORIA GRAVITACIONAL DE HL AÇÃO DA TEORIA DE HL EQUAÇÃO DE FRIEDMANN EQUAÇÕES DE MOVIMENTO Fonte elaborado pelo autor 80 UNIDADE IV RELATÓRIOS TÉCNICOS Quadro 6 Segunda parte do sumário de uma tese de doutorado OS MODELOS COSMOLÓGICOS DE HORAVALIFSHITZ NÃO COMUTATIVOS INTRODUÇÃO APLICAÇÃO DO FORMALISMO DE FADDEEVJACKIW RESULTADOS OBTIDOS DOS MODELOS COSMOLÓGICOS DE HORAVALIFSHITZ NÃO COMUTATIVOS INTRODUÇÃO O FLUIDO PERFEITO NC O fluido perfeito NC e o setor de matéria SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO ESTIMATIVA DO PARÂMETRO NC CONCLUSÃO OS MODELOS COSMOLÓGICOS NC EM RELATIVIDADE GERAL INTRODUÇÃO OS MODELOS COSMOLÓGICOS DE RELATIVIDADE GERAL NC METODOLOGIA RESULTADOS OBTIDOS CONCLUSÃO CONCLUSÃO REFERÊNCIAS APÊNDICE A COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 3 APÊNDICE B COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 4 APÊNDICE C COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 5 Fonte elaborado pelo autor IV Introdução A introdução do relatório de apresentação dos resultados deve conter os seguintes dados objetivo contendo o tema e sua delimitação objetivos gerais e específicos justificativa objeto contendo o problema a hipótese básica e as hipóteses secundárias as variáveis 81 RELATÓRIOS TÉCNICOS UNIDADE IV V Revisão da bibliografia Na bibliografia destacamse as fontes utilizadas para o desenvolvimento da pesquisa e análise dos resultados VI Metodologia Este item deve conter os seguintes tópicos método abordado métodos dos procedimentos realizados técnicas utilizadas delimitação do universo amostragem VII Embasamento teórico O embasamento teórico deve conter os seguintes dados teoria de base definições dos termos VIII Apresentação dos dados e análise IX Interpretação dos resultados X Conclusão XI Recomendações e sugestões XII Apêndices Os apêndices caso existam devem conter os seguintes dados tabelas quadros 82 UNIDADE IV RELATÓRIOS TÉCNICOS gráficos outras ilustrações instrumentos de pesquisa XIII Anexos XIV Bibliografia 83 CAPÍTULO 3 Elaboração de relatório Introdução No presente capítulo trataremos de maneira mais aprofundada alguns dos tópicos destacados no capítulo anterior Para isso é importante perceber que um relatório pode ser visto como uma estrutura do projeto de pesquisa evoluído em que alguns tópicos são incluídos excluídos ou trocados Há um ganho de informações principalmente em relação à escrita que fica extremamente sofisticada Esse ganho também refletese no entendimento dos processos realizados Em outras palavras um relatório de pesquisa é uma maneira mais detalhada de tratar o projeto de pesquisa somado aos dados coletados com o devido tratamento interpretação e análise dos resultados Apresentação A apresentação do projeto referese aos cientistas e técnicos envolvidos e a algumas informações sobre a pesquisa título instituição data e local O exemplo de uma boa apresentação foi ilustrado pelas Figuras 16 e 17 Sinopse também conhecido como abstract Um fato curioso sobre o abstract é que se localiza no início da apresentação dos resultados Como já mencionado o abstract é um pequeno resumo sobre a pesquisa realizada e é escrito como um texto corrido O exemplo de um abstract foi ilustrado no Quadro 4 Sumário O sumário é o elemento do relatório de pesquisa que contém todo conteúdo da pesquisa Indica os tópicos e subtópicos dos capítulos que serão abordados O exemplo de um sumário foi ilustrado nos Quadros 5 e 6 84 UNIDADE IV RELATÓRIOS TÉCNICOS Introdução Este é o elemento composto por partes do projeto como os objetivos o objeto e a justificativa Revisão da bibliografia É importante relembrar que antes do projeto de fato devese pensar em um anteprojeto Neste é feito um levantamento sobre as referências que serão utilizadas no decorrer do projeto Isso não quer dizer que durante o projeto e na apresentação dos resultados obtidos não possamos incluir novas referências Dessa forma o anteprojeto evolui para o projeto que por final é transformado em relatório final Exemplos de referências bibliográficas foram destacados no cronograma do projeto apresentado pela Figura 17 Metodologia Uma das principais exigências de uma pesquisa científica é a disciplina Em outras palavras em uma pesquisa devemos ter muito empenho persistência e paciência A disciplina é transformada em uma pesquisa científica na forma de metodologia que deve incluir as modificações e suas causas decorrentes no andamento do projeto científico Embasamento teórico Esse é o elemento de um relatório que deve conter teorias desenvolvidas por autores conhecidos e renomados na área científica Além disso devese acrescentar suas modificações e suas observações relacionadas ao trabalho específico desenvolvido Um exemplo de embasamento teórico em um relatório científico é representado pelos capítulos 1 2 e 3 do Quadro 5 Apresentação dos dados e análise É praticamente o elemento mais importante de um trabalho científico pois é a base para seu desenvolvimento Esse elemento merece total destaque na apresentação dos resultados e pode ser dividido em vários tópicos contendo todos os métodos e análise dos dados coletados e obtidos Além disso sua 85 RELATÓRIOS TÉCNICOS UNIDADE IV finalização deve conter a verificação ou não verificação de todas as hipóteses que foram propostas Um exemplo de apresentação dos dados e análise em um relatório científico é representado pelos capítulos 4 5 e 6 do Quadro 6 Interpretação dos resultados Assim como o tópico anterior este também entra para a lista de elementos mais importantes em um trabalho científico A partir do momento em que a análise dos resultados é feita de maneira correta e ética a interpretação dos resultados permite uma enorme probabilidade de reconhecimento por parte da comunidade científica Isso porque essa interpretação possibilita a criação de novas teorias e a descoberta de novas evidências que podem confirmar ou não as hipóteses propostas Um exemplo de interpretação dos resultados em um relatório científico é também representado pelos capítulos 4 5 e 6 do Quadro 6 e foram tratados de maneira conjunta com o tópico anterior Além de todas as informações destacadas acima esse elemento também apresenta os resultados finais da pesquisa Isso inclui a relevância do trabalho as insuficiências as discrepâncias e pode inclusive atingir novos resultados não esperados Devem ser mencionados nesse elemento os seguintes tópicos discrepância nos dados previstos e obtidos comprovação das hipóteses propostas e impossibilidade em suas comprovações parecer sobre a validação ou não das hipóteses propostas a validação de maneira geral dos resultados obtidos as formas de aumentar ou maximizar as generalizações como a pesquisa realizada de maneira empírica pode possibilitar a existências de leis científicas as limitações e reprovações das teorias utilizadas na realização do trabalho científico 86 UNIDADE IV RELATÓRIOS TÉCNICOS Conclusão Na conclusão os resultados obtidos devem ser evidenciados e refletidos de maneira a mostrar a relação entre a teoria desenvolvida e os fatos observados Isso também deve conter as limitações e alterações na pesquisa desenvolvida para a melhora e aumento da qualidade dos resultados Na conclusão não devem ser desenvolvidos argumentos e sim a observação da realidade que foi desenvolvida na pesquisa Isso torna a pesquisa comprovável e racional obtendo eficiência do conhecimento adquirido Um fato curioso a ser destacado é que não são obtidas conclusões exatas Recomendações e sugestões São simplesmente recomendações a serem implementadas na área da pesquisa realizada Apêndices Esse elemento fica a critério do autor Só deve ser incluído se necessário É constituído de materiais complementares Exemplo de apêndices são representados no Quadro 6 Anexos Os anexos são materiais de outros autores que ajudam no esclarecimento de tópicos da pesquisa realizada Bibliografia É composta por todo material que foi consultado durante todo o processo de investigação É simplesmente a enumeração de todos os documentos utilizados ao se desenvolver a pesquisa 87 RELATÓRIOS TÉCNICOS UNIDADE IV Figura 18 Papel milimetrado Fonte elaborada pelo autor Figura 19 Papel centimetrado Fonte elaborada pelo autor 88 Referências ABREU E M C MENDES A C R OLIVEIRANETO G et al HořavaLifshitz cosmological models in noncommutative spacetimes Gen Relativ Gravit v 51 n 7 pp 95 2019 ALVES Luciana e Sá ROCHA Gelson O novo sistema internacional de unidades SI São Paulo Sociedade Brasileira de Metrologia e Sociedade Brasileira de Física 2019 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NB 10126 Contagem em Desenho Técnico Procedimento Rio de Janeiro ABNT 1987 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NB 87 Regras de arredondamento na numeração decimal Rio de Janeiro ABNT1977 BIPMIECIFCCISSOIUPACOIML Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement corrected and reprinted 1995 International Organization for Standardization ISO 1993 Geneva BRADY Patrick R Selfsimilar scalar field collapse Naked singularities and critical behavior Physical Review D v 51 n 8 pp 41684176 abr 1995 CASTRO Gustavo de Estatística e Matemática Clássica As Idéias 5 ed Sintra Publicações EuropaAmérica 1985 Coleção Saber CERVO A L BERVIAN P A Metodologia científica para uso dos universitários São Paulo McGrawHill 1976 CHOPTUIK M W Universality and scaling in gravitational collapse of a massless scalar filed Phys Rev Lett v 70 n 1 pp 912 jan1993 COCHRAN Willian G Técnicas de Amostragem Rio de Janeiro Editora Fundo de Cultura 1965 COHENTANNOUDJI C DIU B LALOE F Quantum Mechanic New York John Wiley and Sons 1977 v1 COSTA NETO Pedro Luiz de Oliveira Estatística São Paulo Editora Edgard Blucher 1977 89 REFERÊNCIAS DINVERNO R Introducing Einsteins Relativity Oxford Oxford University Press 1995 DUARTE J BARROS D Métodos e técnicas de pesquisa em comunicação São Paulo Atlas 2006 FRIEDMANN A On the curvature of space Z Phys v 10 1922 GIL A C Como elaborar projetos de pesquisa São Paulo Atlas 2002 GORDON M Bragg Principles of Experimentation and Measurement Englewood PrenticeHall Inc 1974 GRIFFITHS D J Eletrodinâmica São Paulo Pearson 2009 JACKSON J D Classical electrodynamics New York John Wiley Sons 1975 LAKATOS E M MARCONI M Fundamentos da metodologia científica São Paulo Atlas 2008 MACHADO K D Teoria do eletromagnetismo Ponta Grossa UEPG 2000 MERZBACHER E Quantum Mechanics New York John Wiley and Sons 1998 MISNER C W THORNE K S WHEELER J A Gravitation New York W H Freeman and Company 1973 NUSSENZVEIG M H Curso de física básica São Paulo Edgard Blucher 1997 OLIVEIRANETO G RODRIGUES L G R Noncommutative cosmological models induced by a symplectic formalism coupled to phantom fluids Intern Journal of Modern Physics A v 34 n 31 nov 2019 OPPENHEIMER J R SNYDER H On continued gravitational contraction Physical Review v 56 pp 455459 set 1939 RIESS A G et al Observational evidence from supernovae for an accelerating universe and cosmological constant Astron Journal v 116 n 3 pp 10091038 set 1998 SILVA Nilza Nunes da Amostragem Probabilística São Paulo Editora Edusp 1998 VUOLO J H Fundamentos da teoria de erros 2 ed São Paulo Edgard Bluncher Ltda 1996 90 REFERÊNCIAS Sites httpsphetcoloradoedusimshtmlpendulumlablatestpendulumlabpt BRhtml httpswwwresearchgatenetfigureFigura1Opendulosimpleseasforcas atuantesconsideradasnamodelagemsimplificadafig1260772938 httpsefisicaatpuspbrpluginfilephp5073modresourcecontent2F201 exerciciosresolvidospdf httpsasofrequenciaswebnodeptnewsondaselectromagneticas httpsphetcoloradoeduptBRsimulationmassesandspringsbasics httpsphetcoloradoeduptBRsimulationmassesandsprings httpsphetcoloradoeduptBRsimulationpendulumlab httpsphetcoloradoeduptBRsimulationpendulumlab