Vibrações Mecânicas - Guia Completo para Estudo e Pesquisa

VIBRAÇÕES MECÂNICAS BRASÍLIADF Elaboração Rayssa Falcão Freitas Produção Equipe Técnica de Avaliação Revisão Linguística e Editoração Sumário APRESENTAÇÃO 5 ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA 6 INTRODUÇÃO 8 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS 11 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 11 CAPÍTULO 2 GRAUS DE LIBERDADE 15 CAPÍTULO 3 SISTEMA DISCRETO E CONTÍNUO 18 CAPÍTULO 4 SISTEMA LIVRE E AMORTECIDO 20 CAPÍTULO 5 VIBRAÇÕES LINEARES E NÃO LINEARES 30 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS 33 CAPÍTULO 1 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO 33 CAPÍTULO 2 SISTEMA NÃO AMORTECIDO 36 CAPÍTULO 3 SISTEMA AMORTECIDO 41 CAPÍTULO 4 VIBRAÇÕES SOB CONDIÇÕES DE FORÇAMENTO VARIADAS 46 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES 51 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 51 CAPÍTULO 2 REDUÇÃO DE VIBRAÇÃO NA FONTE 55 CAPÍTULO 3 BALANCEAMENTO DE SISTEMAS ROTATIVOS 57 CAPÍTULO 4 ISOLADORES 65 CAPÍTULO 5 ABSORVEDORES 72 UNIDADE APLICAÇÕES 77 CAPÍTULO 1 MODELAGEM DE SISTEMAS 77 CAPÍTULO 2 CASO 1 MODELAGEM DE UM PÊNDULO SIMPLES 80 CAPÍTULO 3 CASO 2 UM QUARTO DE VEÍCULO 85 CAPÍTULO 4 CASO 3 RESOLUÇÃO DE EXEMPLO 90 REFERÊNCIAS 93 5 Apresentação Caro aluno A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade Caracterizase pela atualidade dinâmica e pertinência de seu conteúdo bem como pela interatividade e modernidade de sua estrutura formal adequadas à metodologia da Educação a Distância EaD Pretendese com este material leválo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos conhecimentos a serem oferecidos possibilitandolhe ampliar conceitos específicos da área e atuar de forma competente e conscienciosa como convém ao profissional que busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científicotecnológica impõe ao mundo contemporâneo Elaborouse a presente publicação com a intenção de tornála subsídio valioso de modo a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na profissional Utilizea como instrumento para seu sucesso na carreira Conselho Editorial 6 Organização do Caderno de Estudos e Pesquisa Para facilitar seu estudo os conteúdos são organizados em unidades subdivididas em capítulos de forma didática objetiva e coerente Eles serão abordados por meio de textos básicos com questões para reflexão entre outros recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável Ao final serão indicadas também fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares A seguir apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de Estudos e Pesquisa Provocação Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor conteudista Para refletir Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio É importante que ele verifique seus conhecimentos suas experiências e seus sentimentos As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões Sugestão de estudo complementar Sugestões de leituras adicionais filmes e sites para aprofundamento do estudo discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso Atenção Chamadas para alertar detalhestópicos importantes que contribuam para a sínteseconclusão do assunto abordado 7 Saiba mais Informações complementares para elucidar a construção das síntesesconclusões sobre o assunto abordado Sintetizando Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo facilitando o entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos Para não finalizar Texto integrador ao final do módulo que motiva o aluno a continuar a aprendizagem ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado 8 Introdução Vibração são as oscilações mecânicas de um objeto em torno de um ponto de equilíbrio As oscilações podem ser regulares como o movimento de um pêndulo ou aleatórias como o movimento de um pneu em uma estrada de cascalho Quase todas as máquinas produzem vibrações por exemplo os motores de combustão vibram em razão do movimento periódico dos pistões os dispositivos rotacionais vibram acarretando peças desequilibradas automóveis vibram em razão da aspereza da superfície da estrada etc A fala humana é um produto da vibração das cordas vocais e o reconhecimento dos sons ocorre graças à oscilação do tímpano a operação de muitos instrumentos musicais é baseada na vibração Figura 1 Vibração da corda de um violão Fonte httpswwwredditcomrblackmagicfuckerycomments7omlchguitarstringsfilmedwitharollingshutter Acesso em 9 set 2020 A vibração também é importante no estudo da saúde humana Ela entra no corpo a partir de partes desse corpo ou de órgãos em contato com o equipamento vibratório Quando um trabalhador opera equipamentos portáteis por exemplo como uma motosserra ou uma britadeira a vibração afeta suas mãos e braços O risco de lesão induzida por vibração depende da exposição diária média Uma avaliação do risco leva em consideração a intensidade e a frequência da vibração a duração da exposição e a parte do corpo que recebe a energia da vibração A maioria das vibrações é indesejável na engenharia mecânica Vibrações em máquinas e estruturas produzem tensões aumentadas perdas de energia causam desgaste 9 adicional aumentam as cargas dos rolamentos induzem fadiga criam desconforto ao passageiro nos veículos e absorvem energia do sistema As peças rotativas da máquina precisam de um balanceamento cuidadoso para evitar danos causados por vibrações O pior impacto é a ressonância de sistemas mecânicos A ressonância pode ocorrer quando há vibração forçada e pode causar sérios danos mesmo em baixas cargas Portanto o entendimento das vibrações é muito importante para os engenheiros Vamos estudar agora as vibrações mecânicas e destacar as vibrações forçadas e o controle de vibrações e veremos também alguns exemplos de aplicações desses temas Bons estudos Objetivos Entender os conceitos básicos relacionados às vibrações mecânicas Ser capaz de diferenciar sistemas discretos e contínuos Compreender a análise de vibração livre Diferenciar vibrações lineares e não lineares Aprender os cálculos da Equação de movimento e suas aplicações Compreender vibrações forçadas e as condições de forçamento Discutir os vários aspectos do controle de vibração VIBRAÇÕES MECÂNICAS BRASÍLIADF 11 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS CAPÍTULO 1 Introdução Vibrações são oscilações em sistemas dinâmicos mecânicos Ocorre quando movimentos se repetem após um intervalo de tempo Exemplos típicos de vibrações são o movimento de uma corda ao ser dedilhada ou de um pêndulo balançando A teoria da vibração estuda os movimentos oscilatórios dos corpos e as forças que são associadas a esses movimentos Embora qualquer sistema possa oscilar quando forçado a fazêlo externamente o termo vibração na engenharia mecânica é frequentemente reservado para sistemas que podem oscilar livremente sem forças aplicadas Às vezes essas vibrações causam problemas menores outras vezes graves problemas de desempenho e de segurança em sistemas projetados Em muitos sistemas de engenharia um ser humano age como parte integral do sistema A transmissão de vibração a seres humanos resulta em desconforto e perda de eficiência Assim uma das finalidades importantes de estudar vibração é reduzila por meio do projeto adequado de máquinas e de seus suportes Por isso o engenheiro mecânico projeta o motor ou a máquina de modo a minimizar o desbalanceamento ao passo que o engenheiro de estruturas tenta projetar a estrutura de suporte de modo a assegurar que o efeito do desbalanceamento não seja danoso Por exemplo quando uma asa de uma aeronave vibra excessivamente os passageiros ficam desconfortáveis especialmente quando as frequências de vibração correspondem às frequências naturais do corpo e dos órgãos humanos Sabese que a frequência ressonante do trato intestinal humano aproximadamente 48 Hz deve ser evitada a todo custo ao projetar aeronaves porque a exposição sustentada pode causar graves traumas internos Se uma asa da aeronave vibrar em grandes amplitudes por um longo período a asa sofrerá algum tipo de falha por fadiga o que potencialmente causará o acidente da 12 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS aeronave resultando em ferimentos ou fatalidades As vibrações das asas geralmente estão associadas à grande variedade de fenômenos de vibração provocados pelas interações estruturafluido Sempre que uma frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincidir com a frequência de excitação externa ocorre um fenômeno conhecido como ressonância que resulta em deflexões excessivas e falha A literatura está repleta de relatos de falhas de sistemas causados por ressonância e vibração excessiva de componentes e sistemas Nesse sentido um dos desastres de engenharia mais famoso foi o da ponte Tacoma Narrows em 1940 Figura 2 Após 4 meses de inauguração a ponte sofreu com ventos de aproximadamente 70 kmh acabou entrando em colapso e desabando A falha da ponte ocorreu devido ao mesmo tipo de comportamento de vibração autoexcitado que ocorre nas asas de aeronaves Figura 2 Ponte Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento Fonte httpsengenharia360compontetacomanarrowsaeroelasticidadeouressonancia Acesso em 9 set 2020 Ao ler livros e documentos técnicos sobre vibração incluindo o parágrafo anterior os estudantes de engenharia geralmente ficam com a impressão de que todas as vibrações são prejudiciais porque a maioria dos trabalhos divulgados discute a redução de vibração de uma forma ou de outra Mas apesar de seus efeitos danosos a vibração pode ser positiva em várias aplicações industriais e de consumo Por exemplo a vibração entra em ação em esteiras transportadoras peneiras máquinas de lavar escovas de dentes elétricas e outros equipamentos vibratórios A vibração também é usada em bateestacas testes vibratórios de materiais processos vibratórios de acabamento e circuitos eletrônicos na filtragem de frequências indesejadas 13 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I Constatouse que a vibração melhora a eficiência de certos processos de usinagem fundição forjamento e soldagem Ela é empregada na simulação de terremotos em pesquisas geológicas e para realizar estudos no projeto de reatores nucleares Na natureza as vibrações também são usadas por tipos de espécies diferentes em suas vidas diárias As aranhas de teia de orbe por exemplo usam vibrações em suas teias para detectar a presença de moscas e de outros insetos enquanto lutam depois de serem capturados na teia A maioria das atividades humanas envolve vibração de uma forma ou de outra Por exemplo nós somos capazes de ouvir porque nossos tímpanos vibram e somos capazes de enxergar porque as ondas da luz sofrem vibração Nossa respiração está associada à vibração dos pulmões e andar envolve movimento oscilatório periódico de pernas e mãos Somos capazes de falar devido ao movimento oscilatório da laringe e da língua Em relação às partes que constituem sistemas vibratórios geralmente estes são compostos por uma mola ou um elemento elástico que funciona como meio para armazenar energia potencial uma massa ou inércia funcionando como meio para o armazenamento da energia cinética e um amortecedor que é o meio de perda gradual de energia Quando falamos de vibração de sistemas estamos falando da transferência alternada da energia potencial em energia cinética e da energia cinética para energia potencial Em um sistema amortecido uma quantidade de energia é dissipada em cada ciclo de vibração e deve ser substituída por uma fonte externa no caso da necessidade de se manter um regime permanente de vibração A razão pela qual os sistemas mecânicos vibram livremente é porque a energia é trocada entre os elementos inerciais massas e os elementos elásticos molas As vibrações livres geralmente cessam após certo período de tempo porque os elementos de amortecimento nos sistemas dissipam energia à medida que são convertidos entre a energia cinética e a energia potencial O papel da análise de vibração mecânica deve ser o uso de ferramentas matemáticas para modelar e prever possíveis problemas e soluções de vibração que geralmente não são óbvios em projetos de engenharia preliminares Se os problemas puderem ser previstos os projetos poderão ser modificados para reduzir os problemas de vibração antes que os sistemas sejam fabricados 14 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS As vibrações também podem ser intencionalmente introduzidas em projetos para tirar proveito dos benefícios do movimento mecânico relativo e para ressonar sistemas por exemplo microscopia de varredura As vibrações podem causar danos devastadores em máquinas e estruturas por isso a importância do teste de vibrações veio crescendo ao logo do tempo até que nos dias de hoje se tornou um procedimento padrão no projeto e no desenvolvimento da maioria dos sistemas da engenharia Infelizmente o conhecimento de vibrações em projetos mecânicos preliminares raramente é considerado essencial alguns estudos de vibração são realizados somente após a fabricação dos sistemas Nesses casos os problemas de vibração devem ser resolvidos usando modificações de projeto passivas ou ativas Às vezes uma modificação no projeto pode ser tão simples quanto uma alteração de espessura em um painel vibratório a espessura adicionada tende a elevar as frequências ressonantes de um painel levando a menos vibração na faixa de frequência operacional Mas as modificações no projeto também podem ser tão complicadas quanto a inserção de amortecedores magnetoreológicos em sistemas mecânicos para tirar a energia dos sistemas de vibração em momentos específicos durante o movimento O ponto aqui é que as alterações no projeto antes da fabricação são menos caras e mais eficazes do que as modificações feitas no projeto posteriormente 15 CAPÍTULO 2 Graus de Liberdade O grau de liberdade de um sistema pode ser definido como o número mínimo de coordenadas cineticamente independentes necessárias para determinar as posições de todas as partes do sistema e a qualquer instante de tempo Devese ter claro que a escolha de um conjunto de coordenadas não é única Por exemplo as quantidades cinemáticas deslocamento velocidade e aceleração são descritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais O pêndulo simples mostrado na Figura 3 e cada um dos sistemas mostrados na Figura 4 constituem sistemas de um grau de liberdade O movimento do pêndulo simples da Figura 3 pode ser definido em termos do seu ângulo θ ou em termos das coordenadas cartesianas x e y Se as coordenadas x e y forem usadas para descrever o movimento devese reconhecer que essas coordenadas não são independentes e elas estarão relacionadas através da equação 2 2 2 x y l onde l é o comprimento constante do pêndulo Dessa forma qualquer uma das duas coordenadas pode descrever o movimento do pêndulo Para o exemplo da Figura 3 a escolha da coordenada θ será mais conveniente do que a escolha das coordenadas x ou y Figura 3 Um pêndulo simples 𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 cos 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑚𝑚 1 2 3 Plano de Referência 𝑙𝑙 𝜃𝜃 𝑂𝑂 Fonte Rao 2007 16 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS Para o cursor da Figura 4a a coordenada angular θ ou a coordenada x podem ser utilizadas para descrever o movimento Para o sistema da Figura 4b a coordenada linear x pode ser empregada para especificar o movimento No caso do sistema torcional da Figura 4c a coordenada angular θ pode ser usada para descrever o movimento Figura 4 Sistemas com apenas um grau de liberdade 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑚𝑚 a Mecanismo cursor manivelamola c Sistema torcional b Sistema massamola Fonte Rao 2007 Alguns exemplos de sistemas de dois e de três graus de liberdade são mostrados nas Figuras 5 e 6 respectivamente Figura 5 Sistemas com dois graus de liberdade a b c 𝑘𝑘1 𝑘𝑘2 𝑚𝑚1 𝑚𝑚2 𝑚𝑚 𝑙𝑙 𝜃𝜃 𝑦𝑦 𝜃𝜃2 𝐽𝐽2 𝜃𝜃1 𝐽𝐽1 Fonte Rao 2007 17 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I Figura 6 Sistemas com três graus de liberdade 𝑘𝑘1 𝑘𝑘2 𝑘𝑘3 𝑘𝑘4 𝑚𝑚1 𝑚𝑚2 𝑚𝑚3 𝑙𝑙1 𝑙𝑙2 𝑙𝑙3 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2 𝑦𝑦3 𝜃𝜃1 𝜃𝜃2 𝜃𝜃3 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 a b c 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝜃𝜃1 𝜃𝜃2 𝜃𝜃3 𝐽𝐽1 𝐽𝐽2 𝐽𝐽3 Fonte Rao 2007 A Figura 5a representa um sistema descrito pelas duas coordenadas lineares 1x e 2x composto por duas molas e duas massas A Figura 5b denota um sistema em termos de 1θ e 2 θ O movimento do sistema mostrado na Figura 5c pode ser descrito completamente por X e θ ou por x y e X No último caso x e y são limitadas porque 2 2 2 x y l onde l é uma constante Nos sistemas mostrados nas Figuras 6a e 6c as coordenadas 123 ix i e 123 θi i podem ser usadas para descrever o movimento Para o sistema mostrado na Figura 6b 123 θi i especifica as posições das massas 23 mi i Um método alternativo para descrever esse sistema é em termos de i e 123 iy i porém nesse caso as restrições 2 2 2 123 i i i x y l i têm que ser consideradas As coordenadas necessárias para descrever o movimento de um sistema constituem um conjunto de coordenadas generalizadas Tais coordenadas são normalmente denotadas por 1 2 q q e podem representar coordenadas cartesianas ou não cartesianas 18 CAPÍTULO 3 Sistema Discreto e Contínuo Um sistema de vários graus de liberdade pode ser considerado um sistema que consiste em massas pontuais separadas por molas e amortecedores Os parâmetros do sistema são conjuntos discretos de números finitos Sistemas com um número finito de graus de liberdade são denominados sistemas discretos ou de parâmetros concentrados e os que têm um número infinito de graus de liberdade são denominados sistemas contínuos ou distribuídos Em um sistema contínuo a massa a elasticidade ou flexibilidade e o amortecimento são distribuídos por todo o sistema Durante a vibração cada um dos infinitos números de massas pontuais se move em relação à outra massa pontual de maneira contínua Por exemplo a viga em balanço mostrada na Figura 7 Como a viga tem um número infinito de pontos de massa também será necessário um número infinito de coordenadas para especificar sua configuração defletida O número infinito de coordenadas define a curva de deflexão elástica Assim a viga em balanço tem um número infinito de graus de liberdade Figura 7 Viga em balanço Um sistema contínuo com um número infinito de graus de liberdade 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑙𝑙 etc Fonte Rao 2007 A grande maioria das máquinas e dos sistemas estruturais possuem elementos deformáveis ou elásticos e por isso um número infinito de graus de liberdade A escolha entre modelar um determinado sistema como discreto ou contínuo depende do objetivo da análise e da precisão esperada dos resultados O movimento de um sistema de grau de liberdade é governado por um sistema de n equações diferenciais ordinárias de segunda ordem acopladas Para um sistema contínuo a equação de movimento governante tem a forma de uma equação diferencial parcial Como a solução de um 19 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I conjunto de equações diferenciais ordinárias é simples é relativamente fácil encontrar a resposta de um sistema discreto que está experimentando uma excitação especificada Por outro lado a solução de uma equação diferencial parcial é mais complexa e as soluções de forma fechada estão disponíveis para apenas alguns sistemas contínuos que possuem geometria condições de contorno e excitações simples Devido a esse fato em muitas situações os sistemas contínuos são aproximados como sistemas discretos Dessa forma as soluções conseguem ser obtidas de um jeito mais simples Tratar sistemas como sendo contínuos traz resultados mais exatos porém os métodos analíticos disponíveis para lidar com sistemas contínuos são limitados a soluções de problemas de placas finas vigas uniformes e hastes delgadas Por conta disso a maioria dos sistemas práticos são estudados como massas molas e amortecedores finos concentrados Para obter resultados mais precisos podese aumentar o número de graus de liberdade aumentando as massas molas e amortecedores Para um sistema de n graus de liberdade haverá no máximo n frequências naturais de vibração distintas de modo correspondente a cada frequência natural Um sistema contínuo por outro lado terá um número infinito de frequências naturais de modo correspondente a cada frequência natural Já vimos que um sistema contínuo pode ser aproximado como um sistema discreto e sua solução pode ser obtida de maneira mais simples Por exemplo a viga mostrada na Figura 7 pode ser aproximada a um único grau de liberdade assumindo que a massa da viga seja uma massa pontual concentrada localizada na extremidade livre da viga e que a flexibilidade contínua seja aproximada como uma mola linear simples como mostrado na Figura 8a A precisão da aproximação pode ser melhorada usando um modelo de dois graus de liberdade como mostrado na Figura 8b em que a massa e a flexibilidade da viga são aproximadas por duas massas pontuais e duas molas lineares Figura 8 a sistema de grau único de liberdade e b sistema de dois graus de liberdade 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑙𝑙 etc Fonte Rao 2007 20 CAPÍTULO 4 Sistema Livre e Amortecido Se um sistema vibra devido a uma perturbação inicial sem força externa aplicada após o tempo zero dizse que o sistema sofre vibração livre Por outro lado se o sistema vibra devido à aplicação de uma força externa dizse que o sistema está sob vibração forçada Na vibração livre nenhuma força externa age sobre o sistema A oscilação de um pêndulo simples é um exemplo de vibração livre A Figura 9 mostra um sistema massamola esse é um dos sistemas vibratórios mais simples denominado sistema com um grau de liberdade pois a coordenada x é suficiente para indicar a posição da massa a qualquer tempo Como não existe nenhuma força externa aplicada à massa o movimento resultante de uma perturbação inicial será uma vibração livre Em um sistema não amortecido não existe elementos causadores de dissipação de energia assim durante a realização do movimento da massa a amplitude do movimento se mantém constante ao longo do tempo Porém em situações práticas exceto no vácuo a resistência do meio circundante como o ar faz com que a amplitude de vibração livre diminua gradativamente com o tempo Para esses casos a vibração é chamada de amortecida Para entender questões mais avançadas de vibrações é necessário estudar vibrações livres em sistemas amortecidos e não amortecidos Figura 9 Sistema massamola em posição horizontal Comprimento distendido 𝑏𝑏 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑂𝑂 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑎𝑎 Comprimento livre 𝑙𝑙0 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑐𝑐 Fonte Rao 2007 21 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I Vibração livre de um sistema de translação não amortecido As Equações de movimento de um sistema vibratório podem ser derivadas por vários métodos Aqui vamos considerar a segunda lei do movimento de Newton para obter tal Equação O procedimento utilizado pode ser resumido da seguinte maneira Selecione uma coordenada adequada para descrever a posição da massa ou do corpo rígido no sistema Use uma coordenada linear para descrever o movimento linear de uma massa pontual ou do centroide de um corpo rígido e uma coordenada angular para descrever o movimento angular de um corpo rígido Determine a configuração de equilíbrio estático do sistema e meça o deslocamento da massa ou do corpo rígido em relação à sua posição de equilíbrio Desenhe o diagrama de corpo livre da massa ou do corpo rígido quando submetidos a um deslocamento positivo e a uma velocidade Indique todas as forças ativas e reativas que agem sobre a massa ou corpo rígido Aplique a segunda lei do movimento de Newton à massa ou ao corpo rígido mostrado no diagrama de corpo livre A segunda lei do movimento de Newton pode ser enunciada como A taxa de variação do momento linear é igual à força que age sobre a massa ou corpo Assim se a massa m for deslocada por uma distância x t quando uma força resultante F t agir sobre ela na mesma direção a segunda lei do movimento de Newton resulta em dx t d F t dt m dt Se a massa m for constante essa Equação se reduz a 2 2 d x t F t m m x dt 1 Onde 2 2 d x t x dt 22 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS é a aceleração da massa A Equação 1 pode ser enunciada em palavras como Força resultante sobree a massa Massa x Aceleração Para um corpo rígido sujeito a movimento rotacional a Lei de Newton resulta em M t J θ 2 Onde M é o momento resultante que age sobre o corpo e θ e 2 2 d t dt θ θ são o deslocamento angular e a aceleração angular resultantes respectivamente Tanto a Equação 1 como a Equação 2 representam a Equação do movimento do sistema vibratório Aplicando o procedimento ao sistema não amortecido da Figura 9a verificamos que a massa está apoiada sobre roletes sem atrito e pode ter movimento de translação no sentido horizontal Quando a massa é deslocada a uma distância x em relação à sua posição de equilíbrio estático a força da mola é kx Na Figura 9c o diagrama de corpo livre da massa é representado A aplicação da Equação 1 à massa m resulta na Equação do movimento F t kx m x Ou 0 m x kx 3 Equação do movimento de um sistema massamola em posição vertical Para o sistema massamola exibido na Figura 10a podemos observar que a massa se encontra pendurada na extremidade inferior da mola que por sua vez está ligada na sua extremidade superior a um suporte rígido Quando em repouso essa massa estará em uma posição conhecida como posição de equilíbrio estático na qual a força da mola para cima equilibra a força gravitacional para baixo que age sobre a massa 23 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I Figura 10 Sistema massamola em posição vertical 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑂𝑂 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑙𝑙0 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑘𝑘𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑊𝑊 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎 Posição de equilíbrio estático Posição Final 𝑥𝑥 𝑊𝑊 𝑘𝑘𝑥𝑥 𝑏𝑏 Energia Potencial Força da mola 𝑘𝑘𝑥𝑥 Posição de equilíbrio estático 𝑥𝑥 𝑂𝑂 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑊𝑊 𝑘𝑘𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑐𝑐 𝑑𝑑 Fonte Rao 2007 Nessa posição de equilíbrio estático o comprimento da mola é 0 st I δ onde st δ é a deflexão estática alongamento devido ao peso W da massa m Pela Figura 10a constatamos que para equilíbrio estático st W mg kδ 4 Onde g é a aceleração devida à gravidade A força da mola será st k x δ para o caso de a massa sofrer uma deflexão até uma distância x em relação à sua posição de equilíbrio estático como mostrado na Figura 10c A aplicação da segunda lei do movimento de Newton à massa m nos dá st m x k x W δ Visto que k st W δ obtemos 0 m x kx 5 24 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS Observe que as Equações 3 e 5 são idênticas Isso indica que quando a massa se movimenta em uma direção vertical podemos ignorar seu peso contanto que x seja medida em relação à sua posição de equilíbrio estático Vibração livre com amortecimento viscoso A força de amortecimento viscoso F é proporcional à velocidade de x e pode ser expressa como F cx 6 c é a chamada constante de amortecimento também conhecida por coeficiente de amortecimento viscoso Seu sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade A Figura 11 mostra um sistema com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m a aplicação da lei de Newton fornece a equação do movimento m x cx kx Ou 0 m x cx kx 7 Figura 11 Sistema com um grau de liberdade com amortecedor viscoso 𝑘𝑘 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑂𝑂 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑥𝑥 Fonte Rao 2007 25 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I Para resolver a Equação 7 precisamos admitir uma solução na forma st x t Ce 8 Aqui C e s são constantes indeterminadas A inserção da função da Equação 8 na Equação 7 resulta na Equação característica 2 0 ms cs k 9 E as raízes são 2 12 4 2 c c mk S m 2 12 2 2 c c k S m m m 10 Tais raízes dão duas soluções para a Equação 7 1 1 1 S t x t C e e 2 2 2 S t x t C e 11 Combinando as duas soluções 1x t e 2x t obtemos a solução geral da Equação 7 1 2 1 2 S t S t x t C e C e 2 2 2 2 2 2 1 2 c c k c c k t t m m m m m m x t C e C e 12 Onde 1 C e 2 C são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema O amortecimento crítico cc é definido como o valor da constante de amortecimento c para o qual o radical na Equação 10 tornase zero 2 0 2 cc k m m Ou 2 2 2 c n k c m km m m ω 13 26 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS O fator de amortecimento ζ é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico isso para qualquer sistema amortecido c c ζ c 14 Através das Equações 14 e 13 podemos escrever 2 2 c n c c c c m c m ζω 15 E por consequência 2 12 1 n s ζ ζ ω 16 Dessa forma a solução da Equação 12 pode ser escrita como 2 2 1 1 1 2 n n t t x t C e C e ζ ζ ω ζ ζ ω 17 A natureza das raízes 1s e 2s e o comportamento da solução da Equação 17 dependem da magnitude do amortecimento Podemos notar que para o caso de ζ 0 o resultado são vibrações não amortecidas Admitindo que ζ 0 consideramos os três seguintes casos Sistema Subamortecido ζ 1 Nessa condição o valor de 2 1 ζ será negativo e as raízes 1s e 2s podem ser expressas como 2 1 1 n s i ζ ζ ω 2 1 1 n s i ζ ζ ω A solução da Equação 17 pode ser escrita das seguintes formas 2 2 1 1 1 2 n n i t i t x t C e C e ζ ζ ω ζ ζ ω 27 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I 2 2 1 1 1 2 n n n i t i t t e C e C e ζ ω ζ ω ζω 2 2 1 2 1 2 cos 1 sin 1 nt n n e C C t i C C t ζω ζ ω ζ ω 2 2 1 2 cos 1 sin 1 nt n n e C t C t ζω ζ ω ζ ω 2 sin 1 nt n Xe t ζω ζ ω φ 2 0 0 cos 1 nt n X e t ζω ζ ω φ 18 Onde 1 C C2 X φ e 0 0 X φ são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais 0 0 x t x e 0 0 x t x assim podese determinar 1 C e 2 C 1 0 C x e 0 0 2 2 1 n n x x C ζω ζ ω 19 E portanto a solução tornase 2 2 0 0 0 2 cos 1 sin 1 1 nt n n n n x x x t e x t t ζω ζω ζ ω ζ ω ζ ω 20 As constantes X φ e 0 X φ0 podem ser expressas como 2 2 0 1 2 X X C C 21 1 1 2 tan C C φ 22 1 0 1 2 tan C C φ 23 O movimento descrito pela Equação 20 é um movimento harmônico amortecido de frequência angular 2 1 ζ ωn De acordo com a Figura 12 podemos notar que devido ao fator e ζωnt a amplitude diminui exponencialmente com o tempo A frequência de vibração amortecida é denominada pela quantidade 2 1 d n ω ζ ω 24 O caso subamortecido é muito importante no estudo das vibrações mecânicas pois é o único caso que resulta em um movimento oscilatório 28 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS Figura 12 Solução não amortecida 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑋𝑋 𝑋𝑋1 𝑂𝑂 𝜙𝜙 𝜙𝜙0 𝑡𝑡1 𝑥𝑥1 𝜏𝜏𝑑𝑑 2𝜋𝜋 𝜔𝜔𝑑𝑑 𝑥𝑥2 𝑡𝑡2 Equação 20 𝑋𝑋𝑒𝑒𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡 𝜔𝜔𝑑𝑑𝑡𝑡 Fonte Rao 2007 Sistema criticamente amortecido ζ 0 Para esse caso as duas raízes da Equação 16 são iguais 1 2 2 c n c s s m ω 25 Por conta das raízes que se repetem a solução da Equação 7 é dada por 1 2 nt x t C C t e ω 26 A aplicação das condições iniciais 0 0 x t x e 0 0 x t x para esse caso nos dá 1 0 C x 2 0 n 0 C x ω x 27 A solução tornase 0 0 0 nt n x t x x x t e ω ω 28 Podemos notar que o movimento representado pela Equação 28 não é periódico pois 0 e ωnt quando t portanto o movimento diminuirá até chegar em zero como mostrado na Figura 13 29 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I Figura 13 Comparação entre movimentos com diferentes tipos de amortecimento 𝑥𝑥0 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑂𝑂 tan1 𝑥𝑥0 Superamortecido 𝜁𝜁 1 Criticamente amortecido 𝜁𝜁 1 Não amortecido 𝜁𝜁 0 Subamortecido 𝜁𝜁 1 𝜔𝜔𝑑𝑑 é menor do que 𝜔𝜔𝑛𝑛 2𝜋𝜋 𝜔𝜔𝑑𝑑 2𝜋𝜋 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 Fonte Rao 2007 Sistema superamortecido ζ 1 A Equação 16 aponta que as raízes 1s e 2s são reais e distintas Elas são dadas por 2 1 1 0 n s ζ ζ ω 2 2 1 0 n s ζ ζ ω Com 2 1 s s Para esse caso a solução da Equação 17 será expressa como 2 2 1 1 1 2 n n t t x t C e C e ζ ζ ω ζ ζ ω 29 Para as condições iniciais 0 0 x t x e 0 0 x t x as constantes 1 C e 2 C podem ser obtidas 2 0 0 1 2 1 2 1 n n x x C ω ζ ζ ω ζ 2 0 0 2 2 1 2 1 n n x x C ω ζ ζ ω ζ 30 A Equação 29 mostra que o movimento é não é periódico independentemente de quais forem as condições iniciais impostas ao sistema A Figura 13 mostra que o movimento diminui exponencialmente com o tempo visto que ambas as raízes são negativas 30 CAPÍTULO 5 Vibrações lineares e não lineares Quando todos os componentes de um sistema vibratório massa mola e amortecedor exibem um comportamento linear a vibração resultante é conhecida como vibração linear Por outro lado se algum desses componentes não for linear a vibração será chamada de vibração não linear As equações diferenciais que governam o comportamento do sistema vibratório linear são lineares de igual forma as equações para sistemas não lineares serão não lineares Se temos uma vibração linear o princípio da superposição será válido e as técnicas matemáticas de análise bem desenvolvidas Para a vibração não linear o princípio da superposição não é válido e as técnicas de análise são menos conhecidas Uma vez que todos os sistemas vibratórios tendem a comportarse não linearmente com o aumento da amplitude de oscilação é bom conhecer vibrações não lineares ao lidar com sistemas vibratórios na prática Um sistema é considerado linear se atender aos dois critérios a seguir 1 Se a entrada x no sistema resultar na saída X uma entrada de 2x produzirá uma saída de 2X Em outras palavras a magnitude da saída do sistema é proporcional à magnitude da entrada do sistema 2 Se a entrada x produzir a saída X e a entrada y produzir a saída Y uma entrada de x y produzirá uma saída de X Y Em outras palavras o sistema lida com duas entradas simultâneas independentes e elas não interagem dentro o sistema Está implícito nesses critérios o fato de um sistema linear não produzir nenhuma frequência na saída que não esteja presente na entrada Observe que não há nada nesses critérios que indique que a saída do sistema seja igual à entrada do sistema ou que seja semelhante à entrada do sistema Por exemplo a entrada pode ser uma corrente elétrica e a saída pode ser uma temperatura No caso de estruturas mecânicas como máquinas podemos considerar a entrada como uma força vibratória e a saída como a própria vibração medida A linearidade absolutamente perfeita não existe em nenhum sistema real Existem muitos tipos diferentes de não linearidade e eles existem em graus variados em todos os 31 VIBRAÇÕES MECÂNICAS UNIDADE I sistemas mecânicos embora muitos sistemas reais abordem o comportamento linear especialmente com pequenos níveis de entrada Se um sistema não for perfeitamente linear ele produzirá frequências em sua saída que não existem em sua entrada Um exemplo disso é um amplificador estéreo ou gravador de fita que produz harmônicos de seu sinal de entrada Isso é chamado de distorção harmônica e degrada a qualidade da música que está sendo reproduzida Distorção harmônica quase sempre piora com sinal de altos níveis Um exemplo disso é um rádio pequeno que soa relativamente limpo em níveis baixos de volume mas soa duro e distorcido em níveis altos de volume Muitos sistemas são quase lineares em resposta a pequenos insumos mas tornamse não lineares em níveis mais altos de excitação Às vezes existe um limite definido em que os níveis de entrada apenas um pouco acima do limite resultam em não linearidade bruta Um exemplo disso é o recorte de um amplificador quando seu nível de sinal de entrada excede a capacidade de oscilação de tensão ou corrente de sua fonte de alimentação Isso é análogo a um sistema mecânico em que uma peça está livre para se mover até que ela pare como um alojamento de mancal frouxo que pode se mover um pouco antes de ser parado pelos parafusos de montagem Como foi discutido a vibração de uma máquina é na verdade sua resposta às forças causadas pelas partes móveis da máquina Medimos a vibração em vários locais da máquina e deduzimos dessas vibrações a magnitude das forças Ao medir a frequência da vibração assumimos que as forças ocorrem na mesma frequência da resposta e que os níveis medidos são proporcionais às magnitudes das forças Essa lógica pressupõe que a máquina seja linear em sua resposta às funções de forçar e isso é uma suposição razoável para a maioria das máquinas No entanto à medida que a máquina se desgasta e aumentam as folgas ou desenvolvem rachaduras ou peças soltas sua resposta não será mais linear e o resultado é que a vibração medida pode ter um caráter bastante diferente das funções de forçar Por exemplo um rotor desequilibrado transmite uma força sinusoidal a uma frequência de 1X ao rolamento e essa força não contém nenhuma outra frequência Se a estrutura mecânica da máquina for não linear essa força sinusoidal será distorcida e a vibração resultante ocorrerá nas harmônicas de 1X A extensão e a magnitude do conteúdo harmônico da vibração é uma medida do grau de não linearidade da máquina Por exemplo a vibração de um mancal contém números e magnitudes cada vez maiores de harmônicos à medida que a folga do mancal aumenta Os acoplamentos flexíveis não são lineares quando desalinhados e é por isso que sua assinatura de vibração contém um segundo harmônico forte de 1X Os acoplamentos 32 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS gastos desalinhados geralmente produzem um terceiro harmônico forte de 1X Quando forças que atuam em diferentes frequências interagem de maneira não linear em uma máquina o resultado é a geração de frequências de soma e diferença novas frequências que não estão presentes nas próprias funções de força Essas frequências de soma e diferença são as bandas laterais encontradas nos espectros de caixas de engrenagens defeituosas rolamentos de corpos rolantes etc No caso de uma caixa de engrenagens uma frequência forçante é a malha da engrenagem e outra é a rotação da engrenagem Se a engrenagem for excêntrica ou de outro modo deformada as rpm modularão a malha da engrenagem resultando em bandas laterais A modulação é sempre um processo não linear criando frequências que não existem nas funções forçantes 33 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS CAPÍTULO 1 Equação de Movimento Sempre que é fornecida energia externa ao sistema durante a vibração dizse que o sistema sofre vibração forçada A maneira de fornecer energia externa ao sistema pode ser através de uma força aplicada ou de uma excitação de deslocamento imposta A natureza de tal força pode ser harmônica não harmônica mas periódica não periódica ou aleatória Resposta harmônica é a resposta de um sistema a uma excitação harmônica A excitação não periódica pode ser de longa ou de curta duração Resposta transitória é a resposta de um sistema dinâmico a excitações não periódicas que são aplicadas repentinamente Para os nossos estudos vamos considerar a resposta dinâmica de um sistema com um grau de liberdade sob excitação harmônica da forma 0 i t F t F e ω φ ou 0 cos F t F ωt φ ou 0 sin F t F ωt φ Onde F0 amplitude frequência ω ângulode fasedaexcitaçãoharmônica φ O valor de φ depende do valor de F t em t 0 normalmente esse valor é zero O sistema responderá de forma harmônica se a excitação também for harmônica e se a frequência de excitação coincidir com a frequência natural do sistema a resposta do sistema será muito grande Essa condição é conhecida como ressonância A ressonância deve ser evitada pois traz falhas ao sistema 34 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS Figura 14 Sistema massamola amortecedor 𝑘𝑘 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑘𝑘𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑏𝑏 Diagrama de corpo livre Fonte Rao 2007 Observando a Figura 15 se a força F t agir sobre o sistema massamola viscosamente amortecido a equação do movimento poderá ser obtida pela segunda lei de Newton m x cx kx F t 31 A solução geral x t é dada pela soma da solução homogênea hx t com a solução particular px t visto que a Equação 31 é não homogênea a solução homogênea é 0 m x cx kx 32 Que representa a vibração livre do sistema Como já estudamos na Unidade I a vibração livre desaparece de acordo com o tempo e sob uma das três possíveis formas de amortecimento subamortecido crítico ou superamortecido e também sob todas as possíveis formas de condições iniciais Dessa forma em um determinado momento a solução geral da Equação 31 irá se reduzir à solução particular px t que representa a vibração em regime permanente O movimento em regime permanente estará presente se a função forçante estiver presente A Figura 15 mostra um caso típico das variações das soluções homogêneas particular e geral com o tempo Através da Figura 15 podemos observar que hx t desaparece e x t se transforma em px t após algum tempo Perceba τ na Figura 15 35 VIBRAÇÕES FORÇADAS UNIDADE II Figura 15 Soluções homogênea particular e geral da Equação 31 para um caso não amortecido 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝜏𝜏 𝜏𝜏 𝜏𝜏 𝑂𝑂 𝑂𝑂 𝑂𝑂 𝑥𝑥ℎ𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑥𝑥ℎ𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑡𝑡 Fonte Rao 2007 A parte da vibração livre que é aquela que desaparece devido ao amortecimento é chamada de transitória São os valores parâmetros do sistema k c e m que determinam a taxa à qual o movimento transitório se degrada 36 CAPÍTULO 2 Sistema Não amortecido Vamos estudar por simplicidade um sistema não amortecido sujeito a uma força harmônica Se uma força 0 cos F t F ωt agir sobre a massa m de um sistema não amortecido a Equação 31 se reduz a 0 cos m x kx F ωt 33 Temos aqui a solução homogênea dessa Equação 1 2 cos sin h n n x t C t C t ω ω 34 Onde 12 n ω k m é a frequência natural do sistema Como a força F t é harmônica a solução particular px t também será harmônica e terá a mesma frequência ω Dessa maneira podemos admitir uma solução na forma cos px t X ωt 35 X é a constante que expressa a amplitude máxima de px t Substituindo a Equação 35 na Equação 33 e resolvendo para X temos 0 2 2 1 st n F X k m δ ω ω ω 36 Como 0 F é uma força estática constante às vezes ela é chamada de deflexão estática 0 st F k δ expressa a deflexão da massa sob a força 0 F Dessa forma a Equação 33 tornase 0 1 2 2 cos sin cos 1 n n n F x t C t C t t ω ω ω ω ω 37 Utilizando as condições iniciais 0 0 x t x e 0 0 x t x podemos constatar que 0 0 1 0 2 2 n F x C x C k mω ω 38 Por consequência 37 VIBRAÇÕES FORÇADAS UNIDADE II 0 0 0 0 2 2 cos sin cos n n n F x F x t x t t t k m k m ω ω ω ω ω ω 39 Podemos expressar a amplitude máxima X na Equação 36 como 2 1 1 st n X δ ω ω 40 st X δ é a quantidade denominada fator de ampliação ou coeficiente de amplitude que representa a razão entre a amplitude dinâmica e a estática do movimento A Figura 16 mostra a variação do coeficiente de amplitude com a razão de frequências n r ω ω Por meio da Figura 16 é possível constatar que existem três tipos de resposta do sistema São eles Figura 16 Fator de ampliação de um sistema não amortecido 𝑋𝑋 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑟𝑟 𝜔𝜔 𝜔𝜔𝑛𝑛 1 2 3 3 2 1 1 2 3 Fonte Rao 2007 38 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS Quando ωωn 1 Nesse caso o denominador da Equação 40 é positivo e a resposta é dada pela Equação 35 sem alteração A Figura 17 mostra que a resposta harmônica do sistema px t está em fase com a força externa Figura 17 Resposta harmônica quando 0 ωωn 1 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝐹𝐹0 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝐹𝐹0 𝑂𝑂 2𝜋𝜋 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝜔𝜔𝑡𝑡 2𝜋𝜋 𝑂𝑂 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑡𝑡 𝑋𝑋 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑋𝑋 Fonte Rao 2007 Quando ωωn 1 Para esse caso o denominador da Equação 40 será negativo a solução em regime permanente poderá ser expressa como cos px t X ωt 41 E a amplitude do movimento X é redefinida para ser uma quantidade positiva como 2 1 st n X δ ω ω 42 A Figura 18 mostra as variações de F t e px t com o tempo Como px t e F t possuem sinais opostos então a resposta está defasada de 180º em relação à força externa Além disso quando n ω ω X 0 Desse modo a resposta do sistema a uma força harmônica de frequência muito alta é próxima de zero 39 VIBRAÇÕES FORÇADAS UNIDADE II Figura 18 Resposta harmônica quando ωωn 1 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑡𝑡 𝑂𝑂 𝜏𝜏 2𝜋𝜋 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑡𝑡 Fonte Rao 2007 Quando ωωn 1 Nesse caso a amplitude X dada pela Equação 40 ou pela Equação 42 tornase infinita Essa condição na qual a frequência forçante ω é igual à frequência natural do sistema n ω é a chamada ressonância A Equação 39 pode ser reescrita de modo a determinar a resposta para essa condição 0 0 2 cos cos cos sin 1 n n n st n n x t t x t x t t ω ω ω ω δ ω ω ω 43 O último termo da Equação 43 toma uma forma indefinida quando n ω ω Podemos aplicar a regra de LHospital para avaliar o limite de tal termo 2 cos cos lim 1 n n n t t ω ω ω ω ω ω 2 2 cos cos lim 1 n n n d t t d d d ω ω ω ω ω ω ω ω 40 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS 2 sin lim 2 sin 2 n n n n t t t t ω ω ω ω ω ω ω 44 Desse modo a resposta do sistema em ressonância tornase 0 0 cos sin sin 2 st n n n n n x t x t x t t t δ ω ω ω ω ω 45 Pela Equação 45 notamos que em ressonância x t aumenta indefinidamente A Figura 19 mostra o último termo da Equação 45 em que a amplitude da resposta aumenta linearmente com o tempo Figura 19 Resposta quando ωωn 1 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑡𝑡 𝑂𝑂 𝜏𝜏 2𝜋𝜋 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑡𝑡 Fonte Rao 2007 41 CAPÍTULO 3 Sistema Amortecido Se a função forçada for dada por 0 cos F t F ωt a Equação do movimento será 0 cos m x cx kx F ωt 46 A solução da Equação 46 também será harmônica e estará na forma cos px t X ωt φ 47 Onde X e φ são constantes X é a amplitude e φ é o ângulo de fase da resposta Substituindo a Equação 47 na Equação 46 temos 2 0 cos sin cos X k m t c t F t ω ω φ ω ω φ ω 48 Precisamos utilizar as relações trigonométricas na Equação 48 cos cos cos sin sin t t t ω φ ω φ ω φ sin sin cos cos sin t t t ω φ ω φ ω φ Igualando os coeficientes de cos t ω e sin t ω em ambos os lados da Equação resultante temos 2 0 cos sin X k m c F ω φ ω φ 2 sin cos 0 X k m c ω φ ω φ 49 A solução da Equação 49 nos dá 0 12 2 2 2 F X k m c ω 50 E 1 2 tan c k m ω φ ω 51 Substituindo os valores de X e φ na Equação 47 obtemos a solução particular da Equação 46 A Figura 20a mostra gráficos típicos da função forçante e reposta em 42 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS regime permanente A Figura 20b mostra os vários termos da Equação 48 sob forma vetorial Dividindo o numerador e o denominador da Equação 50 por k e fazendo as seguintes substituições n k frequêncianatural nãoamortecida m ω 2 2 2 n c n c c c c c m mk m ζ ζω ω 0 0 st F deflexãosoba forçaestática F k δ e n r razãode frequências ω ω Obtemos 12 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 st n n X r r δ ζ ω ζ ω ω ω 52 e 1 1 2 2 2 2 tan tan 1 1 n n r r ω ζ ω ζ φ ω ω 53 43 VIBRAÇÕES FORÇADAS UNIDADE II Figura 20 Representação de função forçante e resposta 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝜔𝜔 𝑋𝑋 𝐹𝐹0 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑡𝑡 𝑂𝑂 𝜙𝜙 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑋𝑋 𝑐𝑐𝜔𝜔𝑋𝑋 𝑘𝑘𝑋𝑋 𝑋𝑋 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅ê𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 a Representação gráfica b Representação vetorial Fonte Rao 2007 As variações do coeficiente de amplitude ou fator de amplificação st M X δ e de φ com a razão de frequências r e o fator de amortecimento ζ são mostradas na Figura 21 O que podemos observar sobre o fator de amplificação da Figura 21a e da Equação 52 é Para um sistema não amortecido ζ 0 a Equação 52 se reduz à Equação 40 e M quando 1 r Qualquer quantidade de amortecimento ζ 0 reduz o fator de amplificação para todos os fatores da frequência forçante Para qualquer valor especificado de r um valor mais alto de amortecimento reduz o valor do fator de amplificação 44 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS No caso degenerado de uma força constante quando r 0 o valor do fator de amplificação é 1 A redução do fator de amplificação na presença de amortecimento é muito significativa na ressonância ou próximo da ressonância A amplitude de vibração forçada tornase menor com valores crescentes da frequência forçante Para 1 0 2 ζ o valor máximo do fator de amplificação ocorre quando 1 2 2 r ζ Ou 2 ù n 1 2 ω ζ 54 Onde observamos que é mais baixo do que a frequência natural não amortecida 2 1 d n ω ω ζ O valor máximo de X quando 1 2 2 r ζ é dado por 2 1 2 1 st máx X δ ζ ζ 55 E o valor de X em n ω ω por 1 2 n st X ω ω δ ζ 56 A Equação 55 pode ser usada para a determinação experimental da medida do amortecimento presente no sistema Se a amplitude máxima da resposta X máx for medida durante um teste de vibração o fator de amortecimento do sistema pode ser determinado usandose a Equação 55 Ao contrário se a quantidade de amortecimento for conhecida podese fazer uma estimativa da máxima amplitude de vibração Para 1 2 ζ 0 dM dr quando r 0 Para 1 2 ζ o gráfico de M decresce monotonicamente com valores crescentes de r Em relação ao ângulo de fase por meio da Figura 21a e da Equação 52 podemos observar as seguintes características Para um sistema não amortecido a Equação 53 mostra que o ângulo de fase é 0 para 0 1 r e 180º para 1 r Isso implica que a excitação e a resposta estão em fase para 1 r quando ζ 0 45 VIBRAÇÕES FORÇADAS UNIDADE II Para ζ 0 e 0 1 r o ângulo de fase é dado por 0 90 φ o que implica que a resposta se atrasa em relação à excitação Para ζ 0 e r 0 o ângulo de fase é dado por 90 180 φ o que implica que a resposta se adianta em relação à excitação Para ζ 0 e 1 r o ângulo de fase é dado φ 90 o que implica que a diferença de fase entre a excitação e a resposta é 90 Para ζ 0 e valores grandes de r o ângulo de fase se aproxima de 180º o que implica que a resposta e a excitação estão fora de fase Figura 21 Variação de X e Ø com a razão de frequências R a b 28 24 20 16 12 10 08 04 0 𝜁𝜁 01 180º 150º 120º 90º 60º 30º 𝜁𝜁 03 𝜁𝜁 04 𝜁𝜁 05 𝜁𝜁 15 𝜁𝜁 20 𝜁𝜁 30 𝜁𝜁 10 𝜁𝜁 50 04 08 10 12 16 20 24 28 32 Razão de amplitude 𝑀𝑀 𝑋𝑋 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠 Ângulo de fase 𝜙𝜙 05 0 10 15 20 25 30 𝜁𝜁 000 𝜁𝜁 005 𝜁𝜁 025 𝜁𝜁 05 𝜁𝜁 10 𝜁𝜁 20 𝜁𝜁 50 𝜁𝜁 50 𝜁𝜁 20 𝜁𝜁 10 𝜁𝜁 050 𝜁𝜁 005 𝜁𝜁 00 𝜁𝜁 025 Razão de frequências 𝑟𝑟 𝜔𝜔 𝜔𝜔𝑛𝑛 Razão de frequências 𝑟𝑟 𝜔𝜔 𝜔𝜔𝑛𝑛 Fonte Rao 2007 46 CAPÍTULO 4 Vibrações sob condições de forçamento variadas Até agora vimos vibrações forçadas sob a ação de forças harmônicas nesse capítulo vamos estender nossos estudos para forças de qualquer natureza Uma função forçante geral pode ser periódica ou não periódica A função forçante não periódica pode agir durante um tempo curto longo ou infinito Se a duração for pequena em relação ao período natural do sistema a função forçante é denominada choque Como exemplo de funções forçantes gerais podemos citar o movimento de um automóvel quando passa por um buraco na estrada ou ainda a vibração de um edifício durante um terremoto Resposta à força periódica geral Quando a força externa F t é periódica com período 2 τ π ω ela pode ser expandida em uma série de Fourier 0 1 1 cos sin 2 j j j j a F t a j t b j t ω ω 57 Onde 0 2 cos 012 ja F t j tdt j τ ω τ 57b e 0 2 sin 12 jb F t j tdt j τ ω τ 58 A Equação do movimento do sistema pode ser expressa como m x cx kx F t 0 1 1 cos sin 2 j j j j a a j t b j t ω ω 59 47 VIBRAÇÕES FORÇADAS UNIDADE II O lado direito da Equação 59 é uma constante mais uma soma de funções harmônicas Pelo princípio da superposição a solução em regime permanente da Equação 59 é a soma das soluções em regime permanente das seguintes equações 0 2 a m x cx kx 60 j cos m x cx kx a j t ω 61 j sin m x cx kx b j t ω 62 Observando que a solução da Equação 60 é dada por 0 2 p a x t k 63 a solução completa da Equação 59 para regime permanente é dada por 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 cos sin 2 1 2 1 2 j j p j j j j a k b k a x t j t j t k j r jr j r jr ω φ ω φ ζ ζ 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 cos sin 2 1 2 1 2 j j p j j j j a k b k a x t j t j t k j r jr j r jr ω φ ω φ ζ ζ 64 Por meio da Equação 64 podemos observar que a amplitude e o deslocamento de fase correspondentes ao jésimo termo dependem de j Se n jω ω para qualquer j então a amplitude da harmônica correspondente será comparativamente grande Particularmente isso será válido para pequenos valores de j e ζ À medida que o valor de j cresce a amplitude diminui e os termos correspondentes tendem a 0 Desse modo em geral alguns dos primeiros termos já serão suficientes para obter a resposta com precisão razoável A solução dada pela Equação 64 denota a resposta do sistema em regime permanente A parte transitória da solução que surge em função das condições iniciais também pode ser incluída para determinar a solução completa Para determinar a solução completa é preciso que as constantes arbitrárias sejam avaliadas igualando o valor da solução completa e sua derivada aos valores especificados do deslocamento inicial x 0 e da velocidade inicial x 0 Essa operação resulta em uma expressão complicada para a parte transitória da solução total 48 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS Resposta a uma força periódica de forma irregular Em alguns casos a força que age sobre um sistema pode ser bastante irregular e só pode ser determinada por procedimentos experimentais Por exemplo as forças induzidas por terremotos e a força do vento Para esses casos as forças estarão disponíveis em forma gráfica e não será possível determinar nenhuma expressão analítica para descrever F t Por vezes o valor de F t estará disponível apenas em uma pequena quantidade de pontos discretos 1 2 N t t t Para todos esses casos é possível determinar os coeficientes de Fourier por um procedimento de integração numérica se 1 2 N F F F denotarem os valores de F t em 1 2 N t t t respectivamente onde N denota um número par e pontos equidistantes em um único período Ä τ τ N t como mostra a Figura 22 A aplicação da regra trapezoidal nos dá 0 1 2 N i i a F N 65 1 2 2 cos 12 N i j i i j t a F j N π τ 66 1 2 2 sin 12 N i j i i j t b F j N π τ 67 Figura 22 Uma função forçante irregular 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑂𝑂 𝜏𝜏 𝑁𝑁Δ𝑡𝑡 Δ𝑡𝑡 Δ𝑡𝑡 Δ𝑡𝑡 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 𝑡𝑡3 𝑡𝑡4 𝑡𝑡5 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2 𝐹𝐹3 𝐹𝐹4 𝐹𝐹5 𝐹𝐹𝑁𝑁1 𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑡𝑡𝑁𝑁 Δ𝑡𝑡 𝑇𝑇𝑁𝑁1 2τ t Fonte Rao 2007 49 VIBRAÇÕES FORÇADAS UNIDADE II Se os coeficientes de Fourier já são conhecidos a resposta do sistema em regime permanente pode ser determinada pela Equação 64 com 2 n r π τω Resposta a uma força não periódica As forças periódicas sejam elas de qualquer forma podem ser representadas pela série de Fourier como uma sobreposição de componentes harmônicas de várias frequências Então a resposta de um sistema linear é determinada pela sobreposição da resposta harmônica a cada uma das forças excitadoras Quando a força excitadora F t for não periódica como a resultante do deslocamento do ar provocado por uma explosão é preciso um método diferente para calcular a resposta Vários métodos podem ser usados para determinar a resposta do sistema a uma excitação arbitrária Alguns deles são Representar a excitação por uma integral de Fourier Usar o método da integral de convolução Utilizar o método das transformadas de Laplace Primeiro aproximar F t por um modelo de interpolação adequado e então usar um procedimento numérico Integrar numericamente como equações de movimento Vamos discutir o método 2 Integral de Convolução A magnitude de uma força excitadora não periódica normalmente varia com o tempo ela age durante um período especificado e então para A forma mais simples é a força impulsiva uma força que tem uma grande magnitude F e age durante um período muito curto Ät Sabemos pela dinâmica que impulso pode ser medido pela determinação da variação no momento do sistema causado por ele Se 1x e 2x denotarem as velocidades da massa m antes e depois da aplicação do impulso temos 2 1 Ä Impulso F t mx mx 68 50 UNIDADE II VIBRAÇÕES FORÇADAS Designando a magnitude do impulso Ä F t por F podemos escrever em geral Ä t t t F Fdt 69 Um impulso unitário é definido como Ä Ä 0 lim 1 t t t t f Fdt Fdt 70 Podemos notar que para que Fdt tenha um valor finito F tende a infinito visto que dt tende a zero Embora a função impulso unitário não tenha significado físico ela é uma ferramenta conveniente na análise presente 51 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES CAPÍTULO 1 Introdução Em um ambiente industrial existem várias fontes de vibração Apesar de os equipamentos industriais serem desenhados para operar de forma a evitar vibrações ainda assim todas as máquinas em funcionamento as produzem Muitas vezes a vibração nessas máquinas pode indicar problemas ou deterioração do equipamento resultando em desgaste excessivo de mancais afrouxamento de parafusos formação de trincas falhas estruturais e mecânicas sendo necessárias manutenções frequentes e dispendiosas Quando tratamos de vibrações uma outra preocupação é a exposição ocupacional de seres humanos que pode resultar em dores e desconforto Algumas vezes a vibração pode ser eliminada com base na análise teórica porém os custos envolvidos na fabricação para eliminar a vibração podem ser excessivamente altos Cabe ao projetista procurar soluções que equilibrem custos razoáveis com uma quantidade aceitável de vibração O princípio de análise de vibrações é baseado na ideia de que as estruturas das máquinas pela ação das forças dão sinais vibratórios e que a frequência do sinal vibratório é igual à dos agentes excitadores Dessa forma inserindo captadores de vibrações em pontos da máquina eles poderão registrar as vibrações e identificar a origem dos esforços presentes na máquina em operação O aparelho utilizado para analisar vibrações é chamado analisador de vibrações Existem diversos modelos disponíveis no mercado que vão dos mais complexos aos mais simples e portáteis Mesmo uma força de excitação relativamente pequena pode causar uma resposta grande e indesejável próxima da ressonância em especial em sistemas levemente amortecidos Nesses casos a magnitude da resposta pode ser significativamente reduzida com a utilização de isoladores e absorvedores de massa auxiliares 52 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES Os níveis aceitáveis de vibração costumam ser especificados em termos da resposta de um sistema com um grau de liberdade não amortecido sujeito à vibração harmônica Os limites são mostrados em um gráfico denominado nomograma de vibração que apresenta as variações das amplitudes de deslocamento velocidade e aceleração em relação à frequência de vibração Para o movimento harmônico sin x t X ωt 71 A velocidade e a aceleração são dadas por cos 2 cos t x t X t fX t ν ω ω π ω 2 2 2 sin 4 sin a t x t X t f X t ω ω π ω 72 Onde ω é a frequência circular rads f é a frequência linear Hz X é a amplitude de deslocamento A amplitude de deslocamento X a velocidade νmáx e a aceleração amáx se relacionam da seguinte maneira 2 máx fX ν π 73 2 2 4 2 máx máx a f X f π π ν 74 Tomando o logaritmo das Equações 73 e 74 obtemos as seguintes relações lineares ln ln 2 ln máx f X ν π 75 ln ln ln 2 máx amáx f ν π 76 Podemos notar que para um valor constante de X a Equação 75 mostra que ln νmáx varia com ln 2 π f como uma linha reta de inclinação 1 Do mesmo modo para um valor constante de amáx a Equação 76 indica que ln νmáx varia com ln 2 π f como uma linha reta com inclinação 1 Vibrações impostas a máquinas ou a seres humanos são compostas por muitas frequências os valores em rms de x t t ν e a t são utilizados para especificar níveis de vibrações As faixas usuais encontradas em diferentes aplicações da engenharia e na ciência são dadas a seguir 53 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III Tabela 1 Faixas usuais de vibração Tipo de vibração Frequência Amplitude de deslocamento Observação Vibrações atômicas 1012 Hz 108 a 106 mm Microssismos ou pequenos tremores da crosta terrestre 01 a 1 Hz 105 a 103 mm Essa vibração também denota o patamar de perturbação de equipamentos óticos eletrônicos e computadores Vibração de maquinaria e edifícios 10 a 100 Hz 001 a 1 mm O patamar da percepção humana cai para a faixa da frequência de 1 a 8 Hz Oscilação de edifícios altos 01 a 5 Hz 10 a 1000 mm Fonte Adaptado de Rao 2007 A severidade da vibração de maquinaria é definida em termos do valor rms da velocidade de vibração na ISO 2372 A definição ISO identifica 15 faixas de severidade de vibração na faixa de velocidade 011 a 71 mms para quatro classes de máquinas pequenas médias grandes e turbomáquinas A ISO DP 4866 fornece a severidade da vibração em edifícios causada por explosão e para a vibração de regime permanente na faixa de frequência de 1 a 100 Hz A ISO 2631 recomenda os limites de vibração para a sensibilidade humana à vibração Sabese que a vibração segmentada causa dano por tensão localizada a diferentes partes do corpo em frequências diferentes esse dado é indicado na Figura 23 Em diferentes frequências alguns efeitos podem ser observados 01 a 1 Hz Tontura e náusea 2 a 20 Hz Turvamento da visão 1 a 20 Hz Perturbação da fala 05 a 20 Hz Interferência com tarefas 02 a 15 Hz Fadiga posterior 54 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES Figura 23 Sensibilidade à frequência de vibração de diferentes partes do corpo humano Pernas 2 a 20 Hz Mão 50 a 150 Hz Braço 16 a 30 Hz Caixa torácica 60 Hz Cabeça 25 Hz Globos oculares 30 a 60 Hz Coluna vertebral 10 a 12 Hz Massa pélvica Nádegas 4 a 8 Hz Fonte Rao 2007 55 CAPÍTULO 2 Redução de vibração na fonte A primeira coisa a ser explorada no controle de vibrações é tentar alternar a fonte de vibração de modo que ela produza menos vibração mas nem sempre esse método é viável Alguns exemplos de fontes de vibração que não podem ser alternadas são a excitação causada por um terremoto a turbulência atmosférica as estradas irregulares e a trepidação de motores de combustão Por outro lado certas fontes de vibração como o desbalanceamento em máquinas alternativas ou rotativas podem ser alteradas para reduzir as vibrações Normalmente isso pode ser conseguido usando balanceamento interno ou aumentando a precisão de elementos de máquinas A utilização de tolerâncias mais rigorosas e melhor acabamento superficial de peças de máquinas que possuem movimentos relativos umas em relação às outras tornam a máquina menos suscetível à vibração Claro que podem existir restrições econômicas e de fabricação para o grau de balanceamento que pode ser conseguido ou para a precisão com a qual as peças de uma máquina podem ser fabricadas Consideramos a análise de máquinas rotativas e alternativas na presença de desbalanceamento bem como os meios para controlar as vibrações que resultam de forças desbalanceadas Vamos ver um exemplo de redução da vibração de assentos de helicópteros O assento de um helicóptero com o piloto pesa 1000 N e tem deflexão estática conhecida de 10 mm sob o peso próprio A vibração do rotor é transmitida à base do assento como um movimento harmônico com 4 Hz de frequência e 02 mm de amplitude Vamos encontrar o nível de vibração sentido pelo piloto e descobrir como o assento pode ser redesenhado para reduzir o efeito da vibração Modelando o assento como um sistema não amortecido com um grau de liberdade podemos calcular o seguinte 1000 981 1019368 Massa m kg 5 1000 10 001 st W Rigidez k N m δ 105 1019368 n k Frequêncianatural m ω 313209 49849 n Frequêncianatural rad s Hz ω 49849 12462 40 n Razãode frequências r ω ω 56 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES Uma vez que o assento está sujeito à excitação harmônica de base a amplitude de vibração sentida pelo piloto massa do assento será 2 02 03616 1 12462 X mm As amplitudes de velocidade e aceleração sentidas pelo piloto são dadas por 2 5 03616 90887 X mm s ω π e 2 2 2 2 2 2284074 02284 X f X mm s m s ω π A amplitude de movimento de 03616 mm pode não causar muito desconforto Contudo os níveis de velocidade e aceleração na mesma frequência não são aceitáveis para uma viagem confortável 57 CAPÍTULO 3 Balanceamento de sistemas rotativos Uma massa excêntrica ou desbalanceada presente sobre um disco rotativo provoca uma vibração aceitável até um determinado nível Se a vibração causada não for aceitável ela poderá ser eliminada com a adição ou remoção de uma massa de forma que o efeito do desbalanceamento seja cancelado Para utilizar tal procedimento é preciso determinar a quantidade e a localização da massa excêntrica por meio de métodos experimentais Na prática o desbalanceamento de máquinas pode ser atribuído a irregularidades como erros na usinagem e variações no tamanho de parafusos porcas rebites e soldas Nesse estudo consideramos o balanceamento em um plano estático e o balanceamento em dois planos dinâmico Balanceamento em um plano Vamos considerar um elemento de máquina na forma de um disco circular Quando erros de fabricação deslocam o centro de massa do eixo de rotação falamos que o elemento de máquina está estaticamente desbalanceado Para determinar se um disco está ou não balanceado podemos montar o eixo sobre dois mancais de baixo atrito como na Figura 24a O disco deve ser girado até que volte à posição de repouso e então o ponto mais baixo da circunferência do disco deve ser marcado com giz O processo precisa ser repetido várias vezes Se o disco estiver desbalanceado todas as marcas de giz coincidirão se estiver balanceado as marcas de giz estarão espalhadas aleatoriamente por toda a circunferência O desbalanceamento estático é detectado por esse procedimento e ele poderá ser corrigido pela remoção de metal através de perfuração na marca de giz ou ainda pela adição de um peso a 180º da marca de giz Quando não conhecemos a magnitude do desbalanceamento a quantidade de material removida ou adicionada deve ser determinada por tentativa e erro Tal procedimento é chamado de balanceamento em um plano porque toda a massa é praticamente encontrada em um único plano A quantidade de desbalanceamento pode ser determinada girandose o disco a uma velocidade conhecida ω e medindo as reações nos dois mancais Figura 24b 58 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES Figura 24 Balanceamento de um disco em um plano Mancal 1 Mancal 2 a b 𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝜔𝜔2 Disco 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑚𝑚 𝑚𝑚 Mancal 1 Mancal 2 𝐹𝐹1 𝑎𝑎2 𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝐹𝐹2 𝑎𝑎1 𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝜔𝜔2 Fonte Rao 2007 Se uma massa desbalanceada m estiver localizada a um raio r do disco a força centrifuga será 2 mrω Assim as reações medidas do mancal 1F e 2 F dão m e r 2 2 2 1 1 2 a a F mr F mr l l ω ω 77 A Figura 25 mostra um outro procedimento utilizado para balanceamento em um plano que utiliza um analisador de vibração Para esse caso uma pedra de esmeril disco está ligada a um eixo rotativo que tem um mancal em A e é acionada por um motor elétrico a uma velocidade angular ω 59 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III Figura 25 Balanceamento em um plano utilizando analisador de vibração Mancal 𝐴𝐴 Sensor de vibração Estroboscópio Analisador de vibração Motor Disco de esmeril rotor Fonte Rao 2007 Antes de iniciar o procedimento marcas de fase ou de referência são colocadas no rotor e no estator como mostra a Figura 26a O mancal está em contato com um sensor de vibração Figura 25 e o analisador de vibração é ajustado a uma frequência que corresponde à velocidade angular do disco de esmeril No mostrador do analisador de vibração é possível ler o sinal da vibração produzido pelo desbalanceamento O analisador de vibração na frequência do disco giratório aciona uma luz estroboscópica No momento em que o rotor gira à velocidade ω a marca de fase produzida por ele parece estacionária sob a luz estroboscópica porém ela está posicionada a um ângulo θ em relação à marca do estator Figura 26 b Quando o rotor funciona a uma velocidade ω a nova posição angular da marca de fase φ do rotor e a amplitude de vibração causada por u w A são anotadas conforme a Figura 26 c Figura 26 Utilização de marcas de fase 0 0 0 0 𝜃𝜃 𝜙𝜙 𝛼𝛼 Marca de referência Peso experimental Direção do desbalanceamento original Peso experimental d c b a Fonte Rao 2007 60 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES Para determinar a magnitude e a localização da massa de correção necessárias para o balanceamento do disco de esmeril podemos construir um diagrama vetorial Na Figura 27 vemos o vetor de desbalanceamento original Au desenhado em uma direção arbitrária com seu comprimento igual a u A Dessa maneira o vetor de desbalanceamento combinado é desenhado como u w A a um ângulo φ θ em relação à direção de Au com um comprimento de u w A Portanto um vetor diferença w u w u A A A na Figura 27 representa o vetor de desbalanceamento devido ao peso experimental W A lei dos cossenos pode ser utilizada para calcular a magnitude de Aw 12 2 2 2 cos w u u w u u w A A A A A φ θ 78 Como conhecemos o peso W e a sua direção em relação ao desbalanceamento original denotado por α na Figura 27 então sabemos que o desbalanceamento original deve estar a um ângulo em relação à posição do peso experimental mostrado na Figura 26d Através da lei dos cossenos o ângulo pode ser obtido 2 2 2 cos 1 2 u w u w u w A A A A A α 79 Figura 27 Desbalanceamento devido ao peso experimental W 𝐴𝐴Ԧ𝑤𝑤 𝐴𝐴Ԧ𝑢𝑢𝑤𝑤 𝐴𝐴Ԧ𝑢𝑢 𝐴𝐴Ԧ𝑢𝑢𝑤𝑤 𝐴𝐴Ԧ𝑤𝑤 𝛼𝛼 𝜙𝜙 𝜃𝜃 𝐴𝐴Ԧ𝑢𝑢 0 Desbalanceamento original desconhecido Direção do peso de balanceamento Posição do peso experimental conhecido Fonte Rao 2007 0 u w W A A é a magnitude do desbalanceamento original Se a localização e a magnitude do desbalanceamento original são conhecidas podemos adicionar o peso de correção para então conseguir o balanceamento adequado do disco de esmeril Balanceamento em dois planos Para o balanceamento em um plano o procedimento a ser utilizado só servirá para rotores do tipo disco rígido Se o rotor for um corpo rígido alongado conforme a Figura 28 em 61 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III qualquer lugar ao longo do comprimento do rotor poderá estar o desbalanceamento Em um caso como esse para balancear o rotor podese adicionar pesos balanceados em dois planos quaisquer Normalmente por uma questão de conveniência os dois planos escolhidos são as extremidades do rotor que na Figura 28 estão mostrados por linhas tracejadas Vamos considerar um rotor com uma massa desbalanceada m a uma distância 3 l da extremidade direita conforme mostra a Figura 29a para entender a substituição de qualquer massa desbalanceada no rotor por duas massas desbalanceadas equivalentes Ao girar a uma velocidade ω a força resultante do desbalanceamento do rotor será 2 F m ω R Aqui R representa o raio do rotor As massas 1 m e 2 m podem substituir a massa desbalanceada Figura 29 b As forças que essas massas exercem sobre o rotor são 2 1 1 F m ω R e 2 2 2 F m ω R Para a equivalência de forças nas Figuras 29a e b temos 2 2 2 1 2 m R m R m R ω ω ω Ou 1 2 m m m 80 Figura 28 Balanceamento de um rotor em dois planos Figura 28 Balanceamento de um rotor em dois planos Plano L Plano R Mancal A Mancal B Rotor rígido Fonte Rao 2007 62 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES Figura 29 Representação de uma massa desbalanceada com duas massas desbalanceadas equivalentes 𝐹𝐹 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑅𝑅 𝑙𝑙 3 𝑚𝑚 𝑅𝑅 𝜔𝜔 𝑙𝑙 a 𝑙𝑙 𝜔𝜔 𝑚𝑚1 𝑚𝑚2 𝑅𝑅 𝐹𝐹1 𝑚𝑚1𝜔𝜔2𝑅𝑅 𝐹𝐹2 𝑚𝑚2𝜔𝜔2𝑅𝑅 b Fonte Rao 2007 Em ambos os casos para a equivalência de momentos podemos considerar momentos em relação à extremidade direita de forma que 2 2 1 3 l m R m Rl ω ω ou 3 1 m m 81 As Equações 80 e 81 dão 1 3 m m e 2 2 3 m m Dessa forma duas massas desbalanceadas podem substituir qualquer outra massa desbalanceada pois são equivalentes nos planos das extremidades do rotor Vamos utilizar um analisador de vibração para considerar o procedimento de balanceamento em dois planos Na Figura 30 dois pesos desbalanceados L U e R U cada um em um lado esquerda e direita substituem o desbalanceamento total no rotor A amplitude a velocidade de operação do rotor ω e a fase da vibração que resulta do desbalanceamento original são medidas nos mancais A e B os vetores VA e VB são a maneira por meio da qual os resultados são registrados A magnitude do vetor de vibração é dada como a amplitude de vibração e a direção do vetor é o negativo do ângulo de fase observado sob luz estroboscópica em relação à linha de referência do estator Os vetores VA e VB podem ser expressos como 63 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III A AL L AR R V A U A U 82 B BL L BR R V A U A U 83 Onde Aij é considerado um vetor que reflete o efeito do desbalanceamento no plano j j L R sobre a vibração do mancal i i A B Observe que UL e UR e todos os vetores Aij são incógnitas nas Equações 82 e 83 Figura 30 Balanceamento em dois planos 𝑈𝑈𝐿𝐿 𝑈𝑈𝑅𝑅 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑅𝑅 Plano Esquerdo Plano Direito Fonte Rao 2007 Da mesma forma do caso do balanceamento em um plano para conseguir informações a respeito das massas desbalanceadas podemos adicionar pesos experimentais conhecidos e realizar medições Primeiramente precisamos adicionar um peso conhecido WL no plano esquerdo em uma posição angular conhecida e depois realizamos medições do deslocamento e da fase de vibração nos dois mancais no momento em que o rotor está girando à velocidade ω As vibrações medidas são denotadas por vetores como A AL L L AR R V A U W A U 84 B BL L L BR R V A U W A U 85 Subtraindo as Equações 82 e 83 das Equações 84 e 85 respectivamente obtemos A A AL L V V A W 86 B B BL L V V A W 87 Então retiramos WL e adicionamos um peso conhecido WR em uma posição angular conhecida do plano direito para em seguida medirmos as vibrações resultantes 64 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES durante o funcionamento do rotor a uma velocidade ω As vibrações medidas podem ser denotadas pelos vetores A AR R R AL L V A U W A U 88 B BR R R BL L V A U W A U 89 Como antes subtraímos as Equações 82 e 83 das Equações 88 e 89 respectivamente para determinar A A AR R V V A W 90 B B BR R V V A W 91 Com o conhecimento dos operadores vetoriais Aij as Equações 82 e 83 serão resolvidas para a determinação dos vetores de desbalanceamento UL e UR BR A AR B L BR AL AR BL A V A V U A V A V 92 BL A AL B R BR AR AL BR A V A V U A V A V 93 Nesse momento o rotor poderá ser balanceado adicionando pesos balanceadores iguais e opostos em cada plano Os pesos balanceadores nos planos esquerdo e direito podem ser denotados em forma vetorial por L L B U e R R B U Podemos ver que o procedimento de balanceamento em dois planos é uma extensão direta do procedimento de balanceamento em um plano Embora rotores de alta velocidade sejam balanceados durante a fabricação geralmente é necessário balanceá los novamente no local de trabalho devido a leves desbalanceamentos resultantes de fluência operação em alta temperatura e ocorrências semelhantes 65 CAPÍTULO 4 Isoladores O procedimento para reduzir efeitos indesejáveis da vibração é chamado isolamento da vibração Essencialmente o isolamento da vibração envolve a adição de um membro resiliente isolador entre a massa vibratória e a fonte de vibração de forma que se consiga uma redução da resposta dinâmica do sistema perante condições de vibração especificadas Dependendo da força exigida para que o isolado execute sua função podemos dizer que o sistema de isolamento será ativo ou passivo O isolador passivo molas de metal feltro molas de borracha cortiça etc consiste em um membro resiliente rígido e um dissipador de energia responsável pelo amortecimento Já o isolador ativo é composto por um servomecanismo que contém um sensor um processador de sinal e um acionador A efetividade de um isolador é expressa através de sua transmissibilidade rT que é a razão entre a amplitude da força transmitida e a força excitadora Existem dois tipos de situações que podemos utilizar o isolamento da vibração O primeiro é para proteger a fundação ou base de uma máquina vibratória contra forças desbalanceadoras ou forças impulsivas Para esses casos em um sistema modelado com um grau de liberdade Figura 31 a a força será transmitida para a fundação através da mola e do amortecedor e ela será dada por tF t kx t cx t 94 Se a força tF t variar harmonicamente como acontece em máquinas rotativas e alternativas as tensões resultantes nos parafusos da fundação também irão variar harmonicamente e isso poderá provocar falha por fadiga Por isso a magnitude da força transmitida precisa ser limitada a valores seguros mesmo que essa força não seja harmônica 66 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES Figura 31 Isolamento da vibração Fonte Rao 2007 Máquina vibratória Base ou fundação rígida a b 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑡𝑡 Base embalagem Instrumento ou máquina delicada Fonte Rao 2007 No segundo tipo de situação há uma proteção do sistema contra o movimento da sua fundação base Podemos comparar a um caso emq eu um equipamento delicado é protegido contra o movimento da embalagem que o contém Se tal equipamento delicado for modelado como um sistema com um grau de liberdade Figura 31b a força transmitida a ele será ÿ tF t mx t k x t y t c x t y t 95 O deslocamento relativo é x y e a velocidade relativa da mola e do amortecedor é dada por x y Para muitos problemas práticos o projeto da embalagem deve ser realizado de modo a evitar a transmissão de grandes forças ao equipamento delicado e assim evitar danos Sistema de isolamento da vibração com fundação rígida Caso 1 Redução da força transmitida à fundação Para a situação em que temos uma máquina parafusada de forma direta em um piso ou fundação rígida essa fundação ficará sujeita a uma carga harmônica que é resultante do desbalanceamento da máquina juntamente com a carga estática que é própria do peso da máquina Precisase reduzir a força transmitida à fundação e para isso podese colocar um membro elástico ou resiliente entre a máquina e a fundação Desse modo o sistema pode ser idealizado como mostra a Figura 32a com um grau de liberdade Podemos entender que o 67 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III membro resiliente amortece e é elástico por isso na Figura 32b ele é modelado como uma mola k e um amortecedor c Figura 32 Máquina e membro resiliente sobre fundação rígida Fonte Rao 2007 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝐹𝐹0 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 Máquina 𝑚𝑚 Membro resiliente Fundação ou base a 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑡𝑡 Máquina 𝑚𝑚 Membro resiliente 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝐹𝐹0 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑘𝑘 𝑐𝑐 b Fundação ou base Fonte Rao 2007 A operação da máquina origina uma força que varia harmonicamente 0 cos F t F ωt e a Equação do movimento da máquina será 0 cos m x cx kx F ωt 96 Como a solução transitória desaparece com o passar do tempo o que vai restar é a solução do regime permanente Para a Equação 96 a solução de regime permanente é cos x t X ωt φ 97 Onde 0 12 2 2 2 2 F X k m c ω ω 98 E 1 2 tan c k m ω φ ω 99 A força transmitida à fundação por meio da mola e do amortecedor é cos sin tF t kx t cx t kX t c X t ω φ ω ω φ 100 A magnitude da força total transmitida é 68 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES 12 2 2 2 12 2 2 0 2 2 2 12 2 2 2 2 T F k c F kx cx X k c k m c ω ω ω ω 101 Definimos a transmissibilidade ou fator de transmissão do isolador rT como a razão entre a magnitude da força transmitida e da força excitadora 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 T r r F k c T F r r k m c ζ ω ζ ω ω 102 A razão de frequências é dada por n r ω ω e rT varia conforme n r ω ω de acordo com a Figura 33 A força transmitida à fundação precisa ser menor que a força de excitação para que o isolamento seja obtido A Figura 33 mostra que a frequência forçante precisa ser 2 vezes maior que a frequência natural do sistema para que o isolamento da vibração seja conseguido Figura 33 Variação do fator de transmissão rT com ω 2 𝜁𝜁 000 𝜁𝜁 025 𝜁𝜁 050 00 05 10 15 20 25 05 10 20 25 30 𝜔𝜔 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑟𝑟 1 𝑇𝑇𝑟𝑟 1 15 Região de amplificação Região de isolamento Fonte Rao 2007 Observações Reduzir a frequência natural do sistema pode reduzir a magnitude da força transmitida à fundação 69 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III A redução do fator de amortecimento também pode reduzir a força transmitida à fundação Porém como o isolamento da vibração necessita que 2 r então a máquina passa por ressonância durante a partida e a parada por isso é necessário que haja algum amortecimento para evitar amplitudes muito altas em ressonância Somente se 2 r a força máxima transmitida à fundação será reduzida mesmo o amortecimento reduzindo a amplitude da massa X para todas as frequências Se a frequência forçante velocidade da máquina variar então é necessária uma solução de compromisso para que a quantidade de amortecimento minimize a força transmitida A quantidade de amortecimento não pode ser muita para que não aumente de forma desnecessária a força transmitida na velocidade de operação mas ela deve ser suficiente para limitar a amplitude X e a força transmitida tF ao passar pela ressonância Caso 2 Redução da força transmitida à massa uma máquina sensível de massa m precisa estar isolada contra o movimento harmônico indesejado de sua base a equação é m z cz kz m y 103 Se o movimento da base for harmônico o deslocamento da massa em relação à base é denotado por z x y Então a transmissibilidade de deslocamento d X T Y será dada por 12 2 2 2 2 1 2 1 2 d r X T Y r r ζ ζ 104 Note que o lado direito da Equação 104 é o mesmo da Equação 102 A Equação 104 também é à razão entre as acelerações máximas de regime permanente da massa e da base Sistema de isolamento da vibração com fundação flexível Existem situações em que quando uma máquina montada sobre um isolador está em funcionamento a fundação ou estrutura em que o isolador está ligado também se move Podemos citar o exemplo de uma turbina montada sobre o casco de um navio ou do motor de um avião montado na asa da aeronave Nesses dois exemplos a área em 70 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES torno do suporte se move em conjunto com o isolador Para esses casos representamos o sistema com dois graus de liberdade A Figura 34 mostra um sistema desse tipo onde 1 m é a massa da máquina e 2 m a massa da estrutura de suporte que se movem juntamente com o isolador Para simplificar desprezamos o amortecimento o isolador é representado pela mola k As Equações de movimento das massas 1 m e 1 m são 1 1 1 2 0 cos m x k x x F ωt 105 2 2 2 1 0 m x k x x 106 Vamos considerar uma solução harmônica da forma cos 12 j j x X t j ω 107 Figura 34 Máquina com isolador sobre uma fundação flexível 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝐹𝐹0 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑥𝑥1𝑡𝑡 𝑥𝑥2𝑡𝑡 Máquina 𝑚𝑚1 Isolador 𝑘𝑘 Estrutura de suporte 𝑚𝑚2 Fonte Rao 2007 As Equações 105 e 106 dão 2 1 1 2 0 2 1 2 2 0 X k m X k F X k X k m ω ω 108 As frequências naturais do sistema serão dadas pelas raízes da equação 2 1 2 2 k m k k k m ω ω 0 109 As raízes da Equação 109 são 71 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III 12 0 ω 1 2 2 2 1 2 m m k m m ω 110 1 ω 0 representa o movimento do corpo rígido uma vez que o sistema não é restringido As amplitudes de 1 m e 2 m em regime permanente são governadas pela Equação 108 a solução é 2 2 0 1 2 2 2 1 2 k m F X k m k m k ω ω ω 111 0 2 2 2 2 1 2 kF X k m k m k ω ω 112 A força transmitida à estrutura de suporte tF é dada pela amplitude de 2 2 m x 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 2 t m k F F m X k m k m k ω ω ω ω 113 A transmissibilidade do isolador rT é 2 2 2 2 2 0 1 2 t r F m k T F k m k m k ω ω ω 2 1 2 1 2 1 m m m m k ω 2 2 1 2 2 2 1 1 m m m ω ω 114 2 ω é a frequência natural do sistema dada pela Equação 110 A Equação 114 mostra que a força transmitida à fundação se torna menor à medida que a frequência natural do sistema 2 ω é reduzida assim como no caso de um isolador sobre uma base rígida 72 CAPÍTULO 5 Absorvedores Se uma força de excitação coincide com a frequência natural de uma máquina ou sistema essa máquina ou sistema poderá experimentar uma vibração excessiva Para esse tipo de situação pode ser feito o uso de um absorvedor dinâmico de vibração para reduzir a vibração da máquina ou do sistema O princípio do absorvedor dinâmico é que ele seja projetado de tal forma que as frequências naturais do sistema resultante não se aproximem da frequência de excitação Vamos considerar a análise de um absorvedor dinâmico de vibração idealizando a máquina como um sistema com um grau de liberdade Absorvedor dinâmico de vibração não amortecido Se uma massa auxiliar 2 m é ligada a uma máquina de massa 1 m por meio de uma mola de rigidez 2k o sistema com dois graus de liberdade resultante será parecido com o mostrado na Figura 35 As equações de movimento das massas 1 m e 2 m são 1 1 1 1 2 1 2 0 sin m x k x k x x F ωt 115 2 2 2 2 1 0 m x k x x Supondo uma solução harmônica sin 12 j j x t X t j ω 116 Obtemos as amplitudes de regime permanente das massas 1 m e 2 m como 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 k m F X k k m k m k ω ω ω 117 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 k F X k k m k m k ω ω 118 73 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III O principal interesse aqui é reduzir a amplitude da máquina X1 de modo que a amplitude de 1 m seja zero Para isso igualamos o numerador da Equação 117 a zero O resultado será 2 2 2 k ω m 119 Se antes de adicionar o absorvedor dinâmico a máquina funcionar perto de sua ressonância 2 2 1 1 1 k m ω ω o absorvedor deve ser projetado de modo que 2 2 1 2 1 k k m m ω 120 Figura 35 Absorvedor dinâmico de vibração não amortecido 𝐹𝐹0 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 Máquina 𝑚𝑚1 𝑥𝑥1𝜔𝜔 𝑘𝑘2 Isolador 𝑘𝑘1 2 Isolador 𝑘𝑘1 2 𝑥𝑥2𝜔𝜔 Absorvedor dinâmico de vibração Base rígida Fonte Rao 2007 Ao operar a uma frequência de ressonância original a amplitude de vibração da máquina será zero Definindo 12 0 1 1 1 1 st F k k m δ ω Como a frequência natural da máquina é 74 12 2 2 2 k m ω 121 Com a frequência natural do absorvedor ou sistema auxiliar as Equações 117 e 118 podem ser reescritas como 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 st X k k k k ω ω δ ω ω ω ω 122 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 st X k k k k δ ω ω ω ω 123 A Figura 36 apresenta a variação da amplitude de vibração da máquina 1 st X δ em relação à velocidade da máquina 1 ω ω Os dois picos representam as duas frequências naturais do sistema composto Sabemos que 1 X 0 em 1 ω ω Nessa frequência a Equação 123 dá 0 1 2 2 2 st F k X k k δ 124 Dessa forma entendemos que a força exercida pela mola auxiliar é oposta à força aplicada 2 2 0 k X F e a neutraliza assim reduz 1 X a zero As Equações 124 e 120 podem determinar o tamanho do absorvedor dinâmico de vibração 2 2 2 2 2 0 k X m X F ω 125 Desse modo os valores de 2k e 2 m dependem do valor permissível de 2 X A Figura 36 nos mostra que o absorvedor dinâmico de vibração mesmo sendo capaz de eliminar a vibração na frequência aplicada ω introduz duas frequências de ressonância 1 Ù e 2 Ù nas quais a amplitude da máquina é infinita Desse modo a frequência de operação ω precisa ser mantida longe das frequências 1 Ù e 2 Ù Os valores de 1 Ù e 2 Ù podem ser determinados igualando o denominador da Equação 122 a zero Observamos que 75 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 k k m m m k m m k m ω ω 126 Igualando o denominador da Equação 122 a zero temos 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0 m m ω ω ω ω ω ω ω ω 127 As duas raízes dessa Equação são dadas por 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 4 Ù Ù 2 m m m m ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 128 Onde notamos que elas são funções de 2 1 m m e 2 ω 1 ω Figura 36 Efeito de um absorvedor de vibração não amortecido sobre a resposta da máquina Com absorvedor Sem absorvedor Com absorvedor 16 06 07 08 09 10 11 12 13 Ω1 Ω2 𝜔𝜔 𝜔𝜔1 𝑋𝑋1 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚2 𝑚𝑚1 1 20 𝜔𝜔1 𝜔𝜔2 12 8 4 0 Fonte Rao 2007 76 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES Figura 37 Variações de Ω1 e Ω2 dadas pela Equação 128 24 22 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 00 0 02 04 06 08 10 26 𝑚𝑚2 𝑚𝑚1 Ω2 𝜔𝜔2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 ω2 𝜔𝜔1 05 Ω2 𝜔𝜔2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 ω2 𝜔𝜔1 10 Ω2 𝜔𝜔2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 ω2 𝜔𝜔1 20 Ω1 𝜔𝜔2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 ω2 𝜔𝜔1 05 Ω1 𝜔𝜔2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 ω2 𝜔𝜔1 10 Ω1 𝜔𝜔2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 ω2 𝜔𝜔1 20 Ω1 𝜔𝜔2 𝑒𝑒 Ω2 𝜔𝜔2 Fonte Rao 2007 Observações A Equação 128 mostra que Ω1 é menor que a velocidade de operação e Ω2 é maior A frequência de operação da máquina é igual à frequência natural 1 ω Por isso a máquina precisa passar por Ω1 durante a partida e a parada esse fato resulta em grandes amplitudes Sintonizando o absorvedor dinâmico para uma única frequência de excitação ω apenas nessa frequência a amplitude de regime permanente será zero A amplitude de vibração da máquina poderá se tornar grande caso a máquina funcione em outras frequências ou ainda se a força que age sobre a máquina tiver frequências variadas A Figura 37 mostra as variações de Ω1 ω2 e Ω2 ω2 e as funções da razão de massas 2 1 m m para três valores diferentes da razão de frequências ω2 ω1 Observamos que a diferença entre Ω1 e Ω2 provoca o aumento dos valores de 2 1 m m 77 UNIDADE APLICAÇÕES CAPÍTULO 1 Modelagem de sistemas Existem três formas de resolver problemas científicos modo experimental modo teórico e modo computacional Esses três modos não são isolados um do outro pelo contrário a interação entre eles é fundamental para a melhor compreensão do problema e o avanço do conhecimento Por meio da abordagem teórica modelos são construídos partindo de princípios e de leis preexistentes e pela abordagem experimental experimentos são realizados com o intuito de obter informações sobre o sistema em estudo Quando tratamos de problemas relacionados ao campo da física a análise teórica da situação representa uma descrição matemática Algumas vezes a resolução do problema é exato porém na maioria dos casos a resolução exata não é possível e aproximações são necessárias Nem sempre é viável a resolução analítica das aproximações por isso o modo computacional é necessário e o seu uso se dá por meio de modelagem e simulações Nesse sentido o programa Simulink é utilizado para a modelagem de sistemas complexos Ele fornece uma interface gráfica que utiliza variados blocos na criação da simulação de um sistema dinâmico sistema que pode ser modelado com o uso de equações diferenciais O Simulink é uma ferramenta do software matemático Matlab e utiliza algoritmos de integração para resolver equações numericamente Pelo Simulink podemos desenvolver controles resolver equações realizar simulações criar gráficos e outras diversas funções realizadas apenas com blocos onde cada bloco possui funções específicas A Figura 38 apresenta alguns blocos do Simulink onde a representa a operação de integração b representa a derivação c é a função matemática das operações soma ou subtração d realiza a multiplicação por um escalar ou seu inverso e é o bloco de entrada que gera um pulso de sinal degrau representando uma perturbação inicial 78 UNIDADE III CONTROLE DE VIBRAÇÕES no sistema necessário para retirálo do equilíbrio f e g fornecem uma resposta ao comportamento do sistema por meio de gráficos Figura 38 Alguns blocos do Simulink 1 𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 Saída a Integrador b Derivativo c Soma d Ganho e Degrau f Gráfico g Área de trabalho Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 Por exemplo se quisermos representar os valores de uma função y e suas derivadas primeira e segunda em uma única expressão a representação em blocos será como mostrado na Figura 39 Figura 39 Diagrama de blocos de uma função e suas derivadas 1 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 A Figura 40 apresenta um exemplo de animação efetuada no Matlab de um sistema mecânico que possui um comportamento dinâmico oscilante 79 CONTROLE DE VIBRAÇÕES UNIDADE III Figura 40 Exemplo de uma animação realizada no Matlab Arias 2017 A partir da animação podemos analisar a resposta do sistema massamola para diferentes posições no tempo Os resultados de uma simulação permitem que possamos compreender melhor o que está acontecendo em uma expressão analítica além de possibilitar comparações do comportamento de um modelo com um sistema real Apesar de o Simulink não ser um software livre ele apresenta uma alta popularidade no meio acadêmico por isso aqui usaremos exemplos de aplicações baseadas no seu uso Vamos apresentar três problemas de temas distintos O primeiro caso é o do modelo de um pêndulo esse é um problema tradicional quando tratamos de vibrações mecânicas O segundo caso é a formulação de um sistema de um quarto de carro modelo bastante utilizado para simplificar a análise da suspensão de um automóvel No terceiro caso vamos ver a resolução de um exemplo resolvido com a utilização do Matlab 80 UNIDADE IV APLICAÇÕES CAPÍTULO 2 Caso 1 Modelagem de um pêndulo simples Primeiro empregaremos nossa compreensão da física do sistema pendular simples para derivar a estrutura do modelo do sistema Neste exemplo empregamos as seguintes variáveis m massa da barra pendular M massa do peso final do pêndulo l comprimento até o centro do peso final da massa θ ângulo do pêndulo com a vertical para baixo Figura 41 Pêndulo e variáveis 𝑂𝑂 𝑙𝑙 𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝜃𝜃 Fonte httpctmsenginumicheduCTMSindexphpauxHome Acesso em 09 set 2020 Primeiramente desenhamos o diagrama do corpo livre onde as forças que atuam no pêndulo são seu peso e a reação na junta rotacional Também incluímos um momento devido ao atrito na articulação e no potenciômetro rotativo A abordagem mais simples à modelagem assume que a massa da barra é desprezível e que toda a massa do pêndulo está concentrada no centro do peso final 81 APLICAÇÕES UNIDADE IV Figura 42 Diagrama de corpo livre do pêndulo Fonte httpctmsenginumicheduCTMSindexphpauxHome Acesso em 9 set 2020 A equação de movimento do pêndulo pode então ser derivada da soma dos momentos Optaremos por somar os momentos sobre o ponto de fixação O pois esse é o ponto que está sendo girado e uma vez que a força de reação não transmite um momento sobre esse ponto temse que sin a O M M m gl T I θ θ 129 Supondo que a massa do pêndulo esteja concentrada em sua massa final o momento de inércia da massa é 2 OI M m l Uma abordagem mais precisa seria considerar a haste e a massa final explicitamente Nesse caso o peso do sistema pode ser considerado localizado no centro de massa do sistema 05 Gl Ml ml M m e o momento de inércia da massa 2 2 3 OI ml Ml Para esse exemplo o pêndulo consiste em uma haste de comprimento 043 l m e massa 0095 m kg com uma massa final de 0380kg Portanto a diferença entre 043 l m e 039 Gl m é significativa o suficiente para incluíla A diferença entre 2 2 0088 OI M m l kg m e 2 2 2 3 0079 OI ml Ml kg m também é significativa o suficiente para incluíla Inicialmente assumiremos um modelo viscoso de atrito ou seja aT bθ onde b é uma constante Às vezes o momento de atrito não é linearmente 82 UNIDADE I VIBRAÇÕES MECÂNICAS proporcional à velocidade angular e a aderência na junta pode ser significativa o suficiente para ser modelada também Levando em consideração as premissas acima a equação de movimento passa a ser a seguinte G sin O M m gl b I θ θ θ 130 Assim o modelo se torna sin 0 O G I b M m gl θ θ θ Considerando b 0003 o modelo se torna o seguinte 0079 0003 182sin 0 θ θ θ Com base em dados experimentais o pêndulo foi liberado de um ângulo de aproximadamente 2423 graus Convertendo para radianos o ângulo inicial é de 0423 radianos A velocidade angular inicial é zero desde que o pêndulo foi liberado do repouso Os valores utilizados para a simulação são apresentados na Tabela 2 Tabela 2 Parâmetros do modelo Variável Módulo Unidade Descrição M 0380 Kg massa do pêndulo m 0095 Kg massa da haste do pêndulo l 043 m comprimento da haste do pêndulo Gl 0387 m localização do centro de massa do pêndulo OI 0079 Kgm2 estimativa do momento de inércia da massa pendular b 0003 Nms estimativa do coeficiente de atrito viscoso theta ic 0423 Rad posição angular do pêndulo inicial theta dot ic 0 Rads velocidade angular do pêndulo inicial g 981 ms2 aceleração devido à gravidade Fonte httpctmsenginumicheduCTMSindexphpauxHome Acesso em 09 set 2020 83 APLICAÇÕES UNIDADE IV Figura 43 Diagrama de blocos 1 𝐼𝐼𝑂𝑂 1 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 𝑏𝑏 𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑔𝑔𝐼𝐼𝐺𝐺 1 𝐼𝐼𝑂𝑂 1 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 𝑏𝑏 𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑔𝑔𝐼𝐼𝐺𝐺 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 tempo thetanl thetalin thetaddot thetadot theta thetaddot thetadot theta Ganho 3 Integrador 2 Integrador 3 Ganho 4 Ganho 5 Ganho Integrador Integrador 1 Ganho 1 Ganho 2 Função trigonométrica Clock Espaço de trabalho Espaço de trabalho 1 Espaço de trabalho 2 Fonte httpctmsenginumicheduCTMSindexphpauxHome Acesso em 9 set 2020 Executando a simulação acima é possível pegar as saídas thetalin e thetanl e compará las com dados experimentais reais Examinando a Figura 44 percebemos uma concordância muito boa embora não perfeita entre os modelos e os dados experimentais Algumas fontes de erro poderiam ser quantização limitações do modelo de atrito etc Outra fonte de erro é o fato de ter se utilizado um modelo linearizado para estimar alguns dos parâmetros do sistema A evidência desse efeito pode ser vista de alguma forma pelo fato de o modelo linearizado e o modelo não linear não concordarem perfeitamente De fato o modelo linearizado aproximado concorda com os dados experimentais melhor do que o modelo não linear 84 UNIDADE IV APLICAÇÕES Uma maneira de melhorar esse acordo é estimar os parâmetros de um experimento em que o pêndulo recebe um deslocamento inicial menor Figura 44 Respostas do pêndulo livre Fonte httpctmsenginumicheduCTMSindexphpauxHome Acesso em 9 set 2020 85 CAPÍTULO 3 Caso 2 Um quarto de veículo Essa aplicação foi retirada do trabalho de Jácome Mendes Villarreal 2016 Tal modelo é muito utilizado como forma de simplificar a análise da suspensão de carros Para isso podemos considerar que a massa do carro é distribuída de maneira uniforme em suas quatro rodas onde existe uma atuação independente de cada amortecedor Considerase que o pneu não perde contato com o solo Esse sistema possui dois graus de liberdade Figura 45 Representação de um quarto de carro 𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑚𝑚𝑤𝑤 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑤𝑤 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑟𝑟 Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 Na Figura 45 a massa representada por b m é a massa total dividida por quatro e é sustentada por uma mola de rigidez sk e por um amortecedor cujo coeficiente de amortecimento é b Como já sabemos a mola tem a função de armazenar energia ao sistema e o amortecedor a de dissipála A mola e o amortecedor estão ligados a uma massa w m que representa a massa do pneu da roda e de todos os elementos associados A mola w k encontra se entre a massa w m e o solo mas na verdade ela não representa uma mola trata se da compressibilidade do pneu Como essa compressibilidade é uma deformação proporcional à compressão do pneu então pode ser representada como uma mola Os valores utilizados para a simulação são apresentados na Tabela 3 86 UNIDADE IV APLICAÇÕES Tabela 3 Parâmetros do modelo Variável Módulo Unidade Descrição sk 20000 Nm Rigidez da mola suspensão b 1000 Nsm Amortecimento mb 400 Kg Massa suspensa mw 50 Kg Massa do conjunto pneuroda kw 250000 Nm Constante de rigidez do pneu Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 A força exercida pelo amortecedor é proporcional à velocidade de deslocamento e a sua derivada temporal é de primeira ordem Sabemos que a força elástica é o produto entre a constante elástica de uma mola pela sua deformação então 1 s f k y x 131 2f b y x 132 3 w f k x r 133 Pela Segunda lei de Newton sabemos que a força resultante é o produto entre massa e aceleração ou seja a derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo Somando as forças que agem no bloco b m conseguimos chegar à equação diferencial de segunda ordem que descreve seu comportamento Figura 46 Diagrama de forças da massa suspensa 𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑦𝑦ሶ 𝑥𝑥ሶ Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 0 Fy 1 2 b m y f f 87 b s m y k y x b y x 134 A partir da Figura 47 podemos analisar a força que age no conjunto pneuroda A equação diferencial que rege seu desempenho também é encontrada Figura 47 Diagrama de forças no conjunto pneuroda 𝑚𝑚𝑤𝑤 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑦𝑦ሶ 𝑥𝑥ሶ 𝑘𝑘𝑤𝑤𝑥𝑥 𝑟𝑟 Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 0 Fy 1 2 3 w m x f f f w s w m x k y x b y x k x r 135 Conseguimos acompanhar a montagem do circuito isolando as derivadas segundas em um único lado das Equações 136 e 137 1 b s y m b y x k y x 136 1 w s w x m b y x k y x k r x 137 Pela Figura 48 podemos notar que a sequência superior de blocos representa o fluxo de sinais da função y mostrando a sequência de integração Já a sequência de integração é realizada para a função x onde cada etapa é ramificada e multiplicada por uma constante que pode ser a de rigidez ou a de amortecimento e então entra no somatório de valores que são representados pelos blocos de soma A partir disso a soma total é reintroduzida no circuito de maneira que se voltem os valores da derivada segunda de 88 UNIDADE IV APLICAÇÕES cada função garantindo a realimentação do sistema A entrada degrau é a variação da referência r Com o gráfico apresentado na Figura 49 observamos a estabilização do deslocamento do bloco superior por meio do bloco situado no local em que passa o sinal dessa variável Como a aceleração é uma grandeza sentida pelo corpo humano então também se torna importante analisar seu comportamento por meio da reposta encontrada para ela Do mesmo modo ela apresentou uma estabilização atendendo assim a necessidade da suspensão Figura 48 Figura 48 Diagrama de blocos da suspensão 1 𝑚𝑚𝑏𝑏 1 𝑚𝑚𝑤𝑤 1 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑤𝑤 tempo clock rigidez 2 rigidez 1 deslocamento aceleração amortecimento 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 89 APLICAÇÕES UNIDADE IV Figura 49 Gráfico do deslocamento em função do tempo Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 Deslocamento m 018 016 014 012 01 008 006 004 002 0 002 0 1 2 3 4 5 6 Tempo s Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 Figura 50 Gráfico da Aceleração em função do tempo Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 0 1 2 3 4 5 6 20 15 10 5 0 5 Aceleração ms2 Tempo s Fonte Jácome Mendes Villarreal 2016 90 UNIDADE IV APLICAÇÕES CAPÍTULO 4 Caso 3 Resolução de Exemplo Resposta de vibração livre de um sistema massamola Um sistema massamola com uma massa de 20 2 lb s in e rigidez de 500 lb in é sujeito a um deslocamento inicial de 0 30 x in a uma velocidade inicial de 0 40 x in s Vamos desenhar gráficos para as variações de tempo deslocamento da massa velocidade e aceleração com a utilização do Matlab O deslocamento de um sistema não amortecido pode ser expresso como 0 0 sin n x t A ω t φ E1 Onde 500 5 20 n k rad s m ω 12 12 2 2 2 2 0 0 0 40 30 31048 50 n x A x in ω 1 1 0 0 0 30 50 tan tan 750686 13102 40 n x rad x ω φ Assim a Equação E1 dá 31048sin 5 13102 x t t in E2 15524cos 5 13102 x t t in s E3 2 7762sin 5 13102 x t t in s E4 91 APLICAÇÕES UNIDADE IV As Equações E2 a E4 são representadas em gráfico com a utilização do Matlab na faixa de t 0 a 6s No Matlab isso pode ser escrito como for i1101 ti6i1100 xi31048sin5ti13102 x1i15524cos5ti13102 x2i7762sin5ti13102 end subplot 311 plot tx ylabel xt title Figura 51 Exemplo subplot 312 plot tx1 ylabel xt subplot 313 plot tx2 xlabel t ylabel xt 92 UNIDADE IV APLICAÇÕES Figura 51 Exemplo 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 4 2 0 2 4 20 0 10 20 10 100 50 0 50 100 Fonte Rao 2007 93 Referências ACTIVITY 3 Modeling of a Simple Pendulum Control Tutorials for Matlab Simulink 2019 Disponível em httpctmsenginumicheduCTMSindex phpauxActivitiesPendulum Acesso em 9 set 2020 ADAMS D E Mechanical Vibrations Purdue University 2010 Disponível em httpsengineeringpurdueedudeadamsME563notes10pdf Acesso em 3 mar 2020 ARIAS R DA CUNHA A P RAMIREZ A R G Ensino de Conceitos de Vibrações Mecânicas utilizando a simulação computacional apoiada na plataforma ScilabMatlab Uma aplicação no curso de Engenharia Mecânica In Computer on the Beach 2018 Anais Florianópolis Universidade do Vale do Itajaí 2018 p 896898 DOS SANTOS JUNIOR J QUEIRES G D Importância dos estudos das vibrações mecânicas para a formação do engenheiro mecânico Revista Fatec de Tecnologia Ciências v 3 n 2 2018 ISSN 24484695 ELAINA Jeniffer Quais são as infrações mais comuns cometidas por motociclistas Portal do Trânsito e mobilidade 27 ago 2019 Disponível em portaldotransito combrnoticiasmotoquaissaoasinfracoesmaiscomunscometidaspor motociclistas Acesso em 3 mar 2020 GRAHAM K S Vibrações mecânicas teoria e aplicações Revisor técnico Vinícius Gabriel Segala Simionato Tradução Noveretis do Brasil São Paulo Cengage 2017 JÁCOME M C MENDES N E de C VILLARREAL E R L Uso do Simulink para simulação de um sistema dinâmico descrito por equações diferenciais In XLIV Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia 2016 Natal UFRN ABENGE 2016 MARÇAL R A SANTOS R L dos Medição análise e controle de vibração em máquinas industriais estudo de caso em uma empresa de grande porte do setor madeireiro 2013 Trabalho de Conclusão de Curso Tecnologia em Automação Industrial Departamento Acadêmico de Eletrônica Universidade Tecnológica Federal do Paraná Ponta Grossa 2013 RAO Singiresu Vibrações mecânicas Revisor técnico José Juliano de Lima Junior Tradução Arlete Simille São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 94 REFERÊNCIAS SILVA S Apostila de Vibrações Mecânicas Universidade Estadual do Paraná UNIOESTE Campus de foz do Iguaçu Centro de Engenharia e Ciências Exatas CECE Foz do Iguaçu 2009 SOEIRO N S Curso de fundamentos de vibrações e balanceamento de rotores promovido para a Centrais Elétricas do Norte do Brasil SA BelémPará 2008 Disponível em httpfilesengematicowebnodecom2000000177fc6780c07 Fundamentos20de2020Vibracaopdf Acesso em 09 set 2020 WHAT IS Vibration Azima DLI 2009 Disponível em httpwwwazimadlicom vibmanwhatisvibrationhtm Acesso em 09 Mar 2020 WHAT IS vibration Linear and nonlinear Systems Maintenance World 11 set 2014 Disponível em httpwwwmaintenanceworldcom20140911vibration linearnonlinearsystems Acesso em 3 mar 2020 WHY MEASURE or evaluate vibration exposure CCOHS 03 jan 2018 Disponível em httpswwwccohscaoshanswersphysagentsvibrationvibrationintrohtml Acesso em 9 mar 2020 WEIGMANN Daniel 15 belos modelos de projetos com estrutura em balanço 31 ago 2018 Homify Disponível em httpswwwhomifycombrlivrosde ideias572270715belosmodelosdeprojetoscomestruturaembalanco Acesso em 3 mar 2020 Lista de Imagens httpswwwredditcomrblackmagicfuckerycomments7omlchguitarstrings filmedwitharollingshutter Acesso em 9 set 2020 httpsengenharia360compontetacomanarrowsaeroelasticidadeou ressonancia Acesso em 9 set 2020