Analise Modal Experimental em Estruturas-Comparativo de Metodos e Aplicacao em Portico Plano-CILAMCE 2016

CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL APLICADO A UM PÓRTICO PLANO EM ESCALA REDUZIDA Anorosval Pedro Leirias da Silva Jr Maurício Pegoraro Paulo Rogerio Novak Francisco Augusto Aparecido Gomes Douglas da Costa Ferreira pedroleiriasgmailcom mauriciopegoraro85gmailcombr novakutfpredubr franciscogomesutfpredubr douglasferreirautfpredubr Universidade Tecnológica Federal Paraná UTFPR Via do Conhecimento Km 1 CEP 85503390 Pato Branco Paraná Brasil Resumo Este trabalho tem como objetivo a comparação entre quatro métodos de análise modal experimental e a simulação numérica em elementos finitos Os métodos Rational Fractional Polynomial RFP Ibrahim Time Domain ITD CircleFit e LineFit foram aplicados em um pórtico plano de quatro pavimentos em escala reduzida A estrutura foi excitada por um martelo de impacto e a resposta de vibração foi medida por um acelerômetro piezoelétrico A análise foi realizada em uma faixa de frequência de 0 a 400Hz Os autovalores autovetores e fator de amortecimento foram estimados e posteriormente comparados Constatouse que os resultados obtidos pelos métodos são compatíveis com o método dos elementos finitos MEF apesar No geral entendese que os quatro métodos apresentados podem ser aplicados para a identificação dos parâmetros modais da estrutura desde que se entenda as características e particularidades de cada método Palavrachave estrutura de aço análise modal experimental vibração COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL APLICADO A UM PÓRTICO PLANO EM ESCALA REDUZIDA CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 1 INTRODUÇÃO Os estudos realizados para a elaboração de projetos de estrutura para edificações apresentam exigências cada vez mais apuradas em função da diminuição e afastamento dos apoios disponíveis em conjunto com o aumento da altura dos pórticos condicionados aos partidos arquitetônicos atuais A decorrência disto é o aumento sensível dos efeitos causados pela vibração assim se tornando relevante na concepção estrutural das edificações Comumente verificamse inconvenientes causados pela vibração em indústrias pontes passarelas ginásios e estádios entretanto observamse hoje efeitos de ações dinâmicas provocando desconforto e patologias construtivas em edificações escritórios e residências O aumento da necessidade de verificações dinâmicas das estruturas tem aumentado e observando o descrito na norma brasileira ABNT NBR88002008 Projeto de estruturas de aço e estruturas mistas de aço e concreto de edifícios vemos que existem considerações dos efeitos de segunda ordem e seus deslocamentos Entretanto as formas de cálculo apresentadas são simplificadas e em sua maioria são manuais e geram processos demorados para a consideração destes efeitos e assim pouco utilizados Esta situação abre a necessidade da aplicação de um método de análise viável utilizando programas computacionais Por outro lado os ensaios dinâmicos permitem avaliações do comportamento da estrutura de maneira mais adequada e precisa se comparados com os ensaios estáticos uma vez que mobilizam integralmente a massa rigidez e amortecimento além de não serem destrutivos proporcionam sua repetição e modelagem computacional para comparação Atualmente com a introdução da transformada rápida de Fourier e o desenvolvimento de ferramentas computacionais que viabilizam a análise de grande quantidade de dados tem sido possível realizar análises modais com grande precisão Contudo a análise modal por sua característica traz consigo uma grande formulação matemática para descrever o comportamento dinâmico Formenti and Richardson 2002 apresentam o avanço dos métodos de análise modal desenvolvidos a partir da década de 70 Entre eles destacamse os métodos no domínio do tempo Complex Exponential Method CEM Time Domain Polyreference Method TDPM e Ibrahim Time Domain Method ITDM e os métodos no domínio da frequência CircleFit LineFit e Rational Fraction Polynomial Method RFPM A análise modal experimental é útil em outras aplicações como no trabalho de Braga et al2011 onde os autores comparam os resultados encontrados por meio de métodos numéricos com os resultados dos métodos experimentais de análise modal em cabos condutores de linha de transmissão Os resultados obtidos como as frequências naturais e os modos de vibração descrevem satisfatoriamente o comportamento dinâmico dos cabos Freitas 2008 em estudos com estruturas reais comparou o Identificação Estocástica de Subespaços IES com a Decomposição no Domínio da Frequência DDF Neste experimento as duas técnicas foram capazes de estimar os parâmetros modais das estruturas analisadas Outros autores como Richardson e Schwarz 2003 Nunes Jr 2006 Cruz 2006 e Gómez 2015 contribuíram para a otimização dos métodos de análise modal e suas aplicações Existem vários métodos para estimação de parâmetros modais cada um com suas particularidades não sendo possível generalizar a indicação do melhor método Neste Silva Jr A P L Pegoraro M Novak P R Gomes F A A Ferreira D C CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 contexto este trabalho apresenta a comparação dos resultados de quatro métodos de análise modal experimental aplicadas a um pórtico plano 2 MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL Os métodos de análise modal experimental CircleFit LineFit RFP e ITD os quais foram utilizados neste trabalho são apresentados 21 Método de Ajuste de Círculo CircleFit O CircleFit é um método de análise modal experimental no domínio da frequência que utiliza uma faixa de frequência limitada conforme descrito Ewins 2000 O método assume que a contribuição dos modos fora do intervalo de frequência é representada através de resíduos Desta forma a equação para a receptância de um sistema com amortecimento histerético é aproximada por 2 2 2 r r ks ks ks r r r A a B i 1 Onde r ks B é uma constante complexa associada com o modo r r e r ks A são respectivamente o fator de perda e a constante modal complexa i r r ks e A A Figura 1 apresenta a Eq 1 representada graficamente considerando os eixos Reα e Imα Figura 1 Modelo de ajuste de círculo Fonte Adaptado de Ewins 2000 Relacionando para qualquer frequência obtémse 2 2 1 2 tan r r 2 O fator de perda fica descrito como COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL APLICADO A UM PÓRTICO PLANO EM ESCALA REDUZIDA CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 b a r b a r tan tan 1 2 2 2 3 Uma vez conhecidos ωr e ηr a determinação do módulo e da fase da constante modal é feita através das seguintes expressões 2 r ks ks r r A D 4 0 0 D r D x x arctan y y 5 Onde D x e D y são as coordenadas da origem e seus valores são determinados depois de calculada a posição da frequência natural 22 Método Inverso de Dobson LineFit O método inverso baseiase no fato de que as partes real e imaginária do inverso da receptância são retas quando em função do quadrado da frequência O método aqui apresentado está fundamentado em Ewins 2000 Iniciando com a fórmula básica para a análise da receptância Eq 1 notamos a presença do termo complexo r Bks sendo a contribuição dos outros modos de vibração Assim o método prevê a definição de um novo termo FRF αks ω que é a diferença entre a FRF medida e o valor da FRF de uma frequência de referência no intervalo de interesse designada por Ω jk jk jk 6 E então 2 2 jk y 7 Assim teremos duas equações 2 R R Re c m 8 2 Im I I c m 9 Ao selecionar Ω frequências em torno da frequência natural ωr podese obter uma série de linhas retas para ambas as partes real e imaginária da função Δ ω2 He e Fu 2001 Algebricamente poderemos retirar as inclinações e as interceptações derivando as funções lineares de ω2 23 Método Rational Fraction Polynomial RFPM É um método de análise modal experimental realizado no domínio da frequência O método aqui apresentado está fundamentado em Ewins 2000 e Iglesias 2000 e tem a seguinte formulação Silva Jr A P L Pegoraro M Novak P R Gomes F A A Ferreira D C CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 2 2 1 2 r N r r r Ar H i 10 A diferença entre a FRF analítica de Hω e a FRF experimental Heω é a função erro dado por 2 1 0 2 0 k N k j k j e j k N k j k b i e H i 11 Porém a função erro é linearizada trabalhando com a função erro modificada abaixo 2 1 0 N k j j k j k e e i 12 E fazendo α2N 1 leva á 2N 1 2N 1 k k 2N j k j e j k j j k 0 k 0 e b iω H ω α iω iω 13 Assim podese escrever um vetor erro da seguinte forma 1 2 1 2 1 1 2 2 Lx Nx Nx Lx Lx N Lx N E P b T W 14 Esta função erro pode ser minimizada pelo método dos gradientes quadráticos ou pelo método dos mínimos quadrados Iglesias 2000 24 Método Ibrahim Time Domain ITD O método ITD é um método de análise modal experimental realizado no domínio do tempo Observando que o somatório de m modos de vibração pode ser escrito como a resposta em vibrações livres x de uma estrutura medida na posição i i1n e no tempo tj j1qBarbosa 2002 O método aqui apresentado está fundamentado em Ewins 2000 e Barbosa 2002 2 1 k j m t i j ik k x t e 14 Onde λk representa o késimo autovalor complexo de vibração e φik a amplitude do k ésimo modo de vibração complexo na posição i A Equação 14 podese representada na forma matricial como X 15 Onde X é uma matriz n x q da resposta em vibração livre da estrutura é uma matriz n x 2m de autovetores desconhecidos e é uma matriz 2m x q é uma matriz que depende dos autovalores complexos e da resposta no tempo De maneira similar podese escrever a Eq 14 defasadas de Δt 2 1 t k j m t t i j ik k x t e 16 COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL APLICADO A UM PÓRTICO PLANO EM ESCALA REDUZIDA CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 E representar na forma matricial como ˆ ˆ X 17 Onde representa a defasagem no tempo t Definindo A como uma matriz do sistema podemos escrever ˆ A 18 e ˆ A X X 19 Assim utilizando uma solução por mínimos quadrados determinase a matriz A 1 ˆ T T A X X X X 20 Os autovalores e autovetores do sistema são determinados pela solução de um problema de autovalor Para r r r r r S t t I t I r r r r e a Ib e e c e I é uma unidade imaginária podese chegar nas relações 1 2 2 1 2 tan r r r r r r b c a b a 21 2 2 ln 2 r r r r a b t 22 2 1 1 tan r r r r r b a t 23 Uma vez determinados os valores de a e b através das Eq 22 e Eq 23 podese chegar às frequências naturais e amortecimentos da estrutura 3 METODOLOGIA Para este trabalho foram realizadas quatro etapas Figura 2 modelagem e simulação da estrutura pelo MEF para identificação dos parâmetros modais ensaio experimental para obtenção das FRFs análise modal experimental por meio dos métodos RFP ITD LineFit e CircleFit e comparação de resultados Silva Jr A P L Pegoraro M Novak P R Gomes F A A Ferreira D C CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 Figura 2 Diagrama de blocos das etapas 31 Instalação do experimento A estrutura utilizada para a aplicação dos métodos de analise modal experimental é um pórtico plano de aço com dimensões reduzidas As propriedades físicas e geométricas da estrutura são mostradas na Tabela 1 Tabela 1 Propriedades físicas da estrutura de aço Propriedades da estrutura de aço Valores numéricos Comprimento L 015 m Altura H 06 m Altura parcial D 015 m Espessura seção a 000615 m Comprimento seção b 00131 m Densidade de massa 7850 kgm3 Modulo de Young E 200 GPa Módulo de Poisson 026 Área da Seção transversal Aab 806x1005 m Momento de Inércia Iba312 254x1010 m4 A estrutura foi fixada de modo a simular um engaste Esta condição foi obtida fixando a base da estrutura em morsas mecânicas e posteriormente acoplando este conjunto a uma base rígida conforme ilustrado na Fig 3a Para realização do ensaio experimental foram marcados 46 pontos na estrutura Estes pontos são os locais onde são fixados os acelerômetros para a medição da resposta A Figura 3b apresenta a visualização da estrutura e a localização dos pontos A estrutura é excitada na direção perpendicular a estrutura A figura 3 a mostra a fixação do acelerômetro no ponto 12 e o ponto de excitação 24 A escolha do ponto de excitação foi baseada no resultado da simulação numérica a fim de evitar um ponto nodal COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL APLICADO A UM PÓRTICO PLANO EM ESCALA REDUZIDA CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 a b c Figura 3 Experimento a Pórtico Plano de aço b Pontos de Medição e c Analisador de vibração e Martelo de Impacto 32 Ensaio Experimental O objetivo do ensaio experimental é a obtenção das funções de resposta em frequência os quais servem de base para a aplicação dos métodos de identificação dos parâmetros modais da estrutura Os dados foram adquiridos utilizando um analisador dinâmico de vibrações Fig 3c Este analisador possui quatro canais de aquisição de dados O primeiro canal foi utilizado para medição da força aplicado na estrutura e o segundo canal para a medição da resposta da estrutura A frequência de amostragem foi fixada em 400 Hz Os sinais de entrada e saída foram filtrados por uma janela de força e uma janela de decaimento exponencial respectivamente enquanto a resolução em frequência da medição foi de 025 Hz A estrutura foi excitada com um martelo de impacto Fig 3c impulsionandoo para a direção negativa do eixo x O martelo possui uma célula de carga com uma sensibilidade de 227 mVN para detectar a magnitude da força de excitação Para excitar a estrutura dentro da faixa de frequência fixada uma ponteira de Nylon foi utilizada A resposta de vibração foi medida em todos os nós com um acelerômetro piezoelétrico O acelerômetro foi posicionado nos 46 pontos da estrutura para medir apenas as acelerações Silva Jr A P L Pegoraro M Novak P R Gomes F A A Ferreira D C CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 perpendiculares à superfície da mesma Fig 3b A fim de reduzir o ruído na resposta a média de cinco medições da Função Resposta em Frequência FRF com coerência acima de 90 foi utilizada 33 Simulação Numérica O software Ansys versão 162 foi utilizado para determinar as freqüências e os modos de vibração A estrutura foi modelada pelo Método de Elementos Finitos MEF e o sistema foi discretizado com 4654 nós e 496 elementos com malha quadrangular Os quatro primeiros modos foram analisados e posteriormente comparados com os métodos de análise modal experimental 34 Análise Modal Experimental Após a geração das FRFs dos 46 pontos os dados foram processados com o Toolbox EasyMod Kouroussis 2012 O EasyMod possui em sua biblioteca o algoritmo CircleFit e LineFit Os métodos RFP e ITD foram implementados com o mesmo padrão de variáveis já utilizadas no EasyMod e posteriormente inseridos em sua biblioteca Os parâmetros modais foram determinados para cada faixa de frequência e posteriormente com o agrupamento dos autovetores é possível a visualização dos modos de vibração da estrutura 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES As frequências naturais e o fator de amortecimento para os quatro primeiros modos de vibração estão mostrados na Tab 2 onde apenas os modos de flexão no plano x y foram medidos sendo que os outros planos foram desconsiderados Tabela 2 Frequências naturais e amortecimentos para os quatro primeiros modos de vibração erro da frequência em relação ao MEF Método Parâmetros Modais 1 modo 2 modo 3 modo 4 modo RFP Frequência Hz 2630 9102 17751 27746 Erro 1030 785 719 1208 Taxa de amortecimento 2513 0936 0447 0222 ITD Frequência Hz 2710 9187 17702 27632 Erro 757 699 745 1244 Taxa de amortecimento 1216 0426 01698 00707 LineFit Frequência Hz 2671 9200 17777 26756 Erro 890 685 706 1521 Taxa de amortecimento 2445 1956 05614 0337 CircleFit Frequência Hz 2638 9060 17758 27764 Erro 1003 827 716 1202 Taxa de amortecimento 2658 1073 0462 0208 MEF Frequência Hz 2932 9877 19127 31557 Erro Taxa de amortecimento erro da frequência em relação ao MEF COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL APLICADO A UM PÓRTICO PLANO EM ESCALA REDUZIDA CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 A Tabela 2 apresenta uma comparação dos parâmetros modais encontrados pelo método de elementos finitos e pelos métodos de análise modal experimental considerando como referência o método numérico Embora não apresente informações de amortecimento o método numérico foi considerado como referência As Figuras 4 a e b apresentam respectivamente a FRF e o diagrama de fase medida no ponto 1 da estrutura durante o ensaio experimental Estes dados serviram de base para a aplicação dos métodos de identificação dos parâmetros modais da estrutura no domínio da frequência e para a geração da função resposta ao impulso IRF utilizada no método do domínio do tempo A Figura 5 mostra a função resposta ao impulso obtida por meio da Transformada Rápida Inversa de Fourier IFFT da FRF do ponto 1 0 100 200 300 400 80 60 40 20 0 20 Frequência Hz AcelerânciadB a 0 100 200 300 400 4 2 0 2 4 Frequência Hz Fase Rad b Figure 4 Medição experimental no ponto 1 a FRF b Fase 0 05 1 01 005 0 005 01 Tempo s Aceleração ms2 Figure 5 IRF medida no ponto 1 Silva Jr A P L Pegoraro M Novak P R Gomes F A A Ferreira D C CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 As Figuras de 6 a 9 apresentam uma comparação dos gráficos de acelerância e fase obtidas pelos quatro métodos de analise modal experimental com valores do ensaio experimental para o ponto 1 da estrutura 10 15 20 25 30 35 40 45 60 40 20 0 20 40 60 Frequência Hz Acelerância dB LineFit CircleFIT ITD RFP Experimental a 10 15 20 25 30 35 40 45 3 2 1 0 1 2 3 Frequência Hz Fase Rad LineFit CircleFit ITD RFP Experimental b Figure 6 Comparação entre os métodos de análise modal do primeiro modo de vibração do ponto 1 a FRF b Fase 85 90 95 100 105 30 20 10 0 10 20 30 Frequência Hz Acelerância dB LineFit CircleFIT ITD RFP Experimental a 85 90 95 100 105 0 05 1 15 2 25 3 Frequência Hz Fase Rad LineFit CircleFit ITD RFP Experimental b Figure 7 Comparação entre os métodos de análise modal do segundo modo de vibração do ponto 1 a FRF b Fase COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL APLICADO A UM PÓRTICO PLANO EM ESCALA REDUZIDA CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 160 165 170 175 180 30 20 10 0 10 20 30 Frequência Hz Acelerância dB LineFit CircleFIT ITD RFP Experimental a 160 165 170 175 180 0 05 1 15 2 25 3 Frequência Hz Fase Rad LineFit CircleFit ITD RFP Experimental b Figure 8 Comparação entre os métodos de análise modal do terceiro modo de vibração do ponto 1 a FRF b Fase 260 270 280 290 300 20 10 0 10 20 Frequência Hz Acelerância dB LineFit CircleFIT ITD RFP Experimental a 260 270 280 290 300 3 2 1 0 1 2 3 Frequência Hz Fase Rad LineFit CircleFit ITD RFP Experimental b Figure 9 Comparação entre os métodos de análise modal do quarto modo de vibração do ponto 1 a FRF b Fase A Fig 10 apresenta uma comparação gráfica dos quatro primeiros modos de vibração da estrutura obtidos pelos quatro métodos de análise modal experimental e pelo MEF Para padronizar a visualização dos respectivos modos de vibração foi realizada a normalização dos autovetores tomando como referência o maior elemento de cada autovetor Silva Jr A P L Pegoraro M Novak P R Gomes F A A Ferreira D C CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 a e i m q b f j n r c g k o s d h l p t Figure 10 Modos de vibração numérico e experimental MEF a 1ºModo 29319 Hz b 2ºModo 98771 Hz c 3ºModo 19127 Hz d 4ºModo 31557 Hz ITDM e 1ºModo 2710 Hz f 2ºModo 9187 Hz g 3ºModo 17702 Hz h 4ºModo 27632 Hz RFPM i 1ºModo 2630 Hz j 2ºModo 9102 Hz k 3ºModo 17751 Hz l 4ºModo 27746 Hz LineFit m 1ºModo 2671 Hz n 2ºModo 9200 Hz o 3ºModo 17777 Hz p 4ºModo 26756 Hz CircleFit q 1ºModo 2638 Hz r 2ºModo 9060 Hz s 3ºModo 17758 Hz t 4ºModo 31557 Hz COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL APLICADO A UM PÓRTICO PLANO EM ESCALA REDUZIDA CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 5 CONCLUSÃO O objetivo geral deste trabalho foi a aplicação e a comparação de quatro métodos de analise modal experimental aplicado a um pórtico plano A simulação numérica forneceu informações importantes para o planejamento do experimento como a identificação dos modos de interesse e a localização dos pontos nodais Constatouse que os resultados obtidos pelos métodos são compatíveis com o MEF apesar de as frequências naturais terem uma pequena dispersão nos valores Tais divergências podem estar relacionadas ao amortecimento O método ITD apresentou um menor percentual de erro Já entre os modos de vibração Figura 10 a maior discrepância ocorreu no CircleFit Ao contrário dos métodos RFP ITD e LineFit o método CircleFit demonstrou ser bastante sensível às alterações no intervalo de freqüência O processo de identificação dos parâmetros modais por meio do CircleFit somente teve êxito quando os intervalos de freqüência foram pequenos Mesmo assim podese concluir que os valores obtidos experimentalmente e numericamente são próximos Dessa forma entendese que os quatro métodos apresentados podem ser aplicados para a identificação dos parâmetros modais da estrutura desde que se entenda as características e particularidades de cada método AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o apoio financeiro recebido da CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior da Fundação Araucária e a UTFPR Câmpus Pato Branco REFERENCIAS Braga D S Sá A S Soeiro N S and Melo G V 2011 Análise modal numérica e experimental de condutores de linha de transmissão 1º Workshop de Vibração e Acústica da Reigão Norte Cruz S L M da 2006 Estudo de Técnicas de Análise Modal Operacional em Sistemas Sujeitos a Excitações Aleatórias com a Presença de Componente Harmônico Dissertação Mestrado Universidade Federal do Pará Belém Ewins D J 2000 Modal Testing Theory Practice and Application John Wiley Philadelphia 2nd edition Formenti D L Richardson M H 2002 Parameter estimation from frequency response measurements using rational fraction polynomials twenty years of progress In IMAC XX Silva Jr A P L Pegoraro M Novak P R Gomes F A A Ferreira D C CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila Editor ABMEC Brasília DF Brazil November 69 2016 Gómez I D 2015 Análise modal operacional métodos de identificação baseados em transmissibilidade Tese Doutorado Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de São Carlos São Carlos Iglesias A M 2000 Investigating various modal analysis extraction techniques to estimate damping ratio Thesis of master degree submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University Blacksburg Virginia Kouroussis G Ben Fekih L Conti C Verlinden O 2012 EasyMod a matlabscilab toolbox for teaching modal analysis Proceedings of the 19th International Congresso on Sound and Vibration Vilnius Lituânia July 912 Kouroussis G Ben Fekih L Conti C Verlinden O2012 EasyMod du developpement dun toolbox sous MatLab vers lenseignement des bases de lanalyse modale experimentale 3ieme Colloque Analyse vibratoire Experimentale Blois France 20 et 21 novembre Nunes Junior OA 2008 Identificação dos parâmetros modais utilizando apenas respostas da estrutura Identificação do domínio do tempo Dissertação Mestrado Universidade Estadual Paulista Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Ilha Solteira Richardson M Schuwarz B 2003 Modal parameter estimation from opering data Vibrant Technology Inc In Sound and Vibration Mgazine Jamestown California